解三角形
一、选择题
1．在△ ABC 中，若C 900, a 6, B 30 0，则c b 等于（）
A．1 B．1 C．2 3 D．23
2．若A为△ ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）
1
A ．sin A
B ．cos A C．tan A D．
tan A
3．在△ ABC 中，角A, B均为锐角，且cos A sin B, 则△ABC的形状是（）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是 3 ，这条高与底边的夹角为60 0，则底边长为（）
A．2B．
3
C．3 D．2 3 2
5．在△ABC中，若b 2a sin B ，则 A 等于（）
A．300或600 B．450或600 C．1200或
600
D．300或
1500
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A．900 B．1200 C．1350 D．1500
二、填空题
1 ．在Rt△ ABC 中， C 900 ，则 sin Asin B 的最大值是_______________ 。
2．在△ ABC 中，若a2 b2 bc c2 ,则 A _________。
3．在△ ABC 中，若b 2, B 30 0 , C 1350 , 则 a _________。4．在△ ABC 中，若sin A∶sin B ∶ sin C 7 ∶ 8 ∶ 13 ，则
C_____________ 。
5 ABC
中，AB62, C 30
0 ，则
AC BC
的最大值是
．在△
________。
三、解答题
1.在△ ABC 中，若a cos A b cos B c cosC , 则△ABC的形状是什么？
2．在△ ABC 中，求证：
a
b c( cos B cos A )
b a b a
3．在锐角△ABC中，求证：sin A sin B sin C cos A cosB cosC 。
4．在△ ABC 中，设a c 2b, A C, 求sin B的值。
3
解三角形
一、选择题
1．在△ ABC 中，A: B : C 1: 2:3 ，则 a : b : c 等于（）
A ．1: 2:3 B．3: 2:1 C．1: 3 : 2 D．2: 3 :1
2．在△ ABC 中，若角B为钝角，则sin B sin A 的值（）
A ．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定
3．在△ ABC 中，若A 2B ，则 a 等于（）
A ．2bsin A B．2bcos A C．2bsin
B D．2bcosB
4 ．在△ ABC 中，若 lg sin A lg cos B lg sin C lg 2 ，则△ABC 的形状是（）
A ．直角三角形
B ．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ AB
C 中，若(a b c)(b c a) 3bc, 则A () A．900 B．600 C．1350 D．1500
6．在△ ABC 中，若a 7, b 8,cosC
13
，则最大角的余弦是（）
14
1 1
C．
1
D ．
1
A ．
B ．
7 8
5 6
7．在△ ABC 中，若tan
A
B a
b
，则△ ABC 的形状是（）
2 a b
形或直角三角形
A ．直角三角形
B ．等腰三角形C．等腰直角三角形 D ．等腰三角
二、填空题
1 ．
若 在 △ABC 中 ，
A 600 , b 1, S ABC
3, 则
（数学 5 必修）第一章：解三角形
a b c
一、选择题
sin A sin B =_______ 。
sin C
1． A 为△ ABC 的内角，则 sin A
cos A 的取值范围是（
2．若 A, B 是锐角三角形的两内角，则 tan Atan B _____1（填 >或<）。
）
3
．
在
△ ABC
中
，
若
A ． ( 2,2)
B ． (
2, 2)
C ．( 1,
2 ]
D ． [
2, 2]
sin A 2 cos B cosC , 则 tan B tan C
_________。
2．在△ ABC 中，若 C
900
, 则三边的比
a b
等于（
）
c
4． 在△ABC
中 ， 若 a 9,b 10,c
12, 则 △ ABC
的形状是
A ．
A
B
B ．
2 cos A B C ．
A B
2 cos
2
2
2 sin
2
_________。
D ．
A B
2 sin
6 2
则 A
2
5．在△ ABC 中，若 a
3, b
2, c
_________ 。
3．在△ ABC 中，若 a
7, b 3, c 8 ，则其面积等于（
）
2
6 ． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 若 a 2, b 3 ， 则 边 长 c 的 取 值 范 围 是
A ．12
21
C ． 28
D ． 6 3
B ．
2
_________。
4．在
中，
C 90 0
0 0
A
45 0
三、解答题
△ABC
，
，则下列各式中正确的是
1． 在△ ABC 中， A
1200 ,c b, a
21, S V ABC 3 ，求 b,c 。
（ ）
A ． sin A cos A
B ． sin B cos A
C ． sin A cosB
D ． sin B cosB
5．在△ ABC 中，若 (a c)(a
c) b(b c) ，则 A
（ ）
A ．900
B ． 600
C ． 1200
D ． 1500
2． 在锐角△ ABC 中，求证： tan A tan B tanC 1。
tan A a 2
6．在△ ABC 中，若
b 2 ，则△ ABC 的形状是（ ）
tan B
A ．直角三角形
B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
D ．等腰
三角形
二、填空题
1 ．在△ ABC 中，若 sin A sin B, 则 A 一定 大于 B ，对吗 ？填
3.在△ ABC 中，求证： sin A sin B sin C A
B cos C
_________ （对或错）
4 cos cos 。
2．在△ ABC 中，若 cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1, 则△ ABC 的形状是
2 2 2 ______________ 。
3
．
在
△ABC
中 ， ∠ C 是 钝
角
，
设
x sin C , y sin A sin B, z
cos A cos B,
则 x, y, z 的大小关系是 ___________________________ 。
4.在△ ABC 中，若 A B 1200
，则求证：
a b
1 。 4
．
在
△ABC
中 ， 若
a c 2b
，
则
b
1
c a c
cos A cosC
cos A cosC
sin A sin C ______。
3
5．在△ ABC 中，若 2 lg tan B lg tan A lg tan C , 则 B 的取值范围
是 _______________。
5．在△ ABC 中，若 a cos 2
C
A 3b
6 ．在△ ABC 中，若 b 2
ac ，则 cos( A C ) cos B cos2B 的值
ccos2 ，则求证： a c 2b 是 _________。
2 2 2
三、解答题
1．在△ ABC 中，若(a2 b 2 ) sin( A B) (a2 b 2 )sin( A B) ，请
判断三角形的形状。
1．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin 2 A sin 2 C ) ( 2a b) sin B,
求△ ABC 的面积的最大值。
3.已知△ ABC 的三边a b c 且a c 2b, A C，求a : b : c
2
4．在△ABC 中，若 ( a b c)(a b c) 3ac ，且tan A tan C 3 3 ，AB边上的高为 4 3 ，求角 A,B,C 的大小与边 a, b, c 的长
[ 基础训练 A 组]
一、选择题
1.C b tan 300 ,b a tan 300 2 3, c 2b 4 4, c b 2 3
a
2.A 0 A ,sin A 0
3.C cos A sin( A) sin B,
2 A, B 都是锐角，则
2
2 A B, A B ,C
2
2
4.D 作出图形
5.D b 2a sin B,sin B 2sin Asin B,sin A 1
, A 300或1500 2
6.B 设中间角为，则cos 52 82 72 1 , 600 ,180 0 600 1200为所求
2 5 8 2
二、填空题
1. 1
sin A sin B sin A cos A
1
sin 2A
1
2
2 2
2.1200
cos A b 2 c 2 a 2
1 , A 1200
2bc 2
3.
6
2 A 150 , a
b ,a bsin A 4sin A 4sin15 0 4
6 2
sin A sin B sin B
4
4. 1200
a ∶
b ∶ c
sin A ∶ sin B ∶ sinC
7∶8∶13，
令
a 7k,b
8k, c
13k
cosC
a
2
b 2
c 2
1
, C 1200
2ab
2
5.
4
AC
BC AB , AC BC AB
,AC BC
sin B sin A sin C sin B sin A
sin C
A B cos A B
2( 6
2)(sin A sin B)
4( 6
2)sin
2 2
4cos
A
B 4,( AC
BC) max 4
2
三、解答题
1. 解
：
a cos A
b cos B
c cosC ,sin Acos A sin B cos B sin C cosC
sin 2A sin 2B sin 2C,2sin( A B)cos( A B) 2sin C cosC
cos( A B)
cos( A B),2cos A cos B
cos A 0 或 cosB 0，得 A
2 或 B
2
所以△ ABC 是直角三角形。
2. 证明：将 cos B
a 2 c 2
b 2
b 2
c 2
a 2
2ac
， cos A
2bc
代入右边
得右边
a 2 c 2
b 2 b 2
c 2 a 2
2a 2 2b 2
c(
2abc
)
2ab
2abc
a 2
b 2
a b
ab
b 左边，
a
∴
a
b c( cos B
cos A )
b
a
b
a
3．证明：∵△ABC
是锐角三角形，∴ A
B
, 即
2
2 A B 0
2
∴ sin A
sin(
2
B) ， 即 sin A cosB ； 同 理
sin B cosC ； sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cos A
cosB cosC
4. 解 ： ∵ a c 2b,
∴
sin A sin C
2sin B ，
即
2sin
A C
cos
A
C 4sin B cos B
， 2.
A B
, A
2
B ，
即
2
2 2 2
2
∴
sin
B 1
cos
A
C
3
，
而 0
B
,
∴
tan A
tan(
B) sin( 2 B)
2
2
2 4
2 2
2 cos( B)
cos
B
13
2
，
cos B 1
1
1
2
4
sin B
， tan A
, tan A tan B
tan B
tan B
2sin B
cos
B
3 13 39 3.
2
tan B tan C sin B sin C
∴ sin B 2
cos B cosC
2
2
4
4
8
sin B cosC cosB sin C sin(B C)
2sin A
[ 综合训练 B 组]
cosB cosC 1
sin A
sin A
2
一、选择题
4. 锐角三角形
C 为最大角， cosC 0, C 为锐角
1.C
A
, B , C
, a : b : c sin A : sin B : sin C 1 : 3 : 2
5.
60 0
2 1: 3:2
6
3
2 2 2
8 4 3
2
cos A b 2 c 2 a 2
4 3
3 1
1 2.A
A B
, A
B
A,
B
， 且
都是锐角，
2bc
6
2
2
2 (
3 1)
2
2 2
2
sin A sin(
B) sin B
3.D
sin A sin 2B 2sin B cos B, a 2b cos B
6
．
(
5, 13)
a 2
b 2
c 2
13 c 2
sin A
sin A
4.D
lg
lg 2, 2,sin A 2cos B sin C
a 2 c 2
b 2 , 4
c 2 9,5 c 2 13, 5 c 13
cos Bsin C
cos B sin C
c 2
b
2
a
2
c
2
9 4
sin( B
C ) 2cos B sin C ,sin B cosC cos B sin C 0,
sin( B C ) 0, B C ，等腰三角形
5.B
(a b c)(b c a) 3bc,( b c) 2 a 2 3bc,
b 2
c 2
a 2 3bc,cos A
b 2
c 2 a 2
1
, A 600
2bc
2
6.C
c 2
a 2
b 2 2ab cosC 9,
c 3 ， B 为最大角， cos B
1
A B A B 7
2cos
7.D
tan A B a b sin A sin B 2 sin 2
，
2 a b sin A sin B 2sin A B A B
2 cos 2
A B tan
A
B
A B
，或 tan
A
B
tan 2 B , tan 0 1
2 tan
A 2
2
2
所以 A
B 或 A B
2
二、填空题
1.
2 39
3
S
ABC
1
bc sin A 1 c
3
3, c 4, a 2 13,a
13
2
2 2
a b c
a 13 2 39 sin A sin B sin C sin A
3 3
2
三、解答题
1.解： S ABC
1
bc sin A
3, bc 4,
2
a 2
b 2
c 2 2bc cos A, b c 5 ，而 c b
所以 b
1, c 4
2. 证明：∵△ABC 是锐角
三角形，∴A
B,
即
2
A 2
B 0 2
∴ sin A sin(
B) ， 即 sin A cosB
； 同 理
2
sin B cosC ； sin C cos A
∴
sin A sin B sin C cos A cos B cosC ,
sin Asin B sin C 1
cos Acos B cosC
∴ tan A tan B tanC
1
3.
证
明
：
∵
sin A sin B sin C 2sin
A
B cos A B sin( A B)
2 2 2sin
A B
cos
A
B 2sin
A B
cos
A
B
2
2
2
2
2sin
A B
(cos
A
B cos
A
B )
2
2 2
C A B
2cos 2cos
cos
2 2
2
A B C
4cos
cos cos
2 2
2
4 cos A cos B cos C
∴ sin A sin B
sin C
2 2 2
4．证明：要证
a c b
c 1 ，只要证 a 2 ac b 2
bc 1，
b a ab b
c ac c 2
即 a 2 b 2 c 2
ab
而∵ A B 1200
, ∴ C 600
cosC
a 2
b 2
c 2
, a 2
2
c 2
2ab cos60 0
ab
2ab
b
∴原式成立。
5．证明：∵ a cos 2
C
ccos 2 A 3b
2
2 2
∴ sin A
1 cosC
sin C
1 cos A 3sin B
2
2 2
即 sin A
sin A cosC sin C sin C cos A 3sin B
∴ sin A sin C sin( A C ) 3sin B 即 sin A
sin C 2sin B ，∴ a c 2b
[ 提高训练 C 组]
一、选择题
1.C
sin A cos A
2 sin( A
),
4
而 0
A
,
A
5
2 sin( A
) 1
4 4
2
4
4
2.B
a
b sin A sin B sin A sin B
c
sin C
2sin
A B cos
A
B 2 cos
A
2 B
2
2
3.D
cos A
1
, A 600
, S V ABC 1
bc sin A
6 3
2
2
4.D
A B 900 则 sin A cos B,sin B cos A ， 00 A 450 ,
sin A cos A ， 450
B 900 ,sin B cos B
5.C
a
2
c
2
b
2
bc,b
2
c
2
a
2
bc,cos A
1
, A 1200
2
6.B
sin A cos B sin 2 A cos B
sin A
,sin Acos A sin B cos B
cos A sin B sin 2 B ,
sin B cos A
sin 2 A sin 2B,2 A 2B 或
2A 2B
二、填空题
1. 对 sin A
a b b
A B
sin B, 则
a
2R
2R
2. 直角三角形
1
(1 cos 2A 1 cos 2B) cos 2 ( A B) 1,
2
1
(cos 2 A cos2B) cos 2 ( A B) 0,
2
cos( A B)cos( A
B) cos 2 ( A B)
cos AcosB cosC 0
3.
x y z
A B
, A B,sin A
cos B,sin B cos A, y z
2
2
c
a b,sin C sin A
sin B, x y, x
y z
4
．
1
sin A sin C 2sin B,2sin A
C
cos
A
C
4sin
A C cos A C
2
2
2 2
cos
A
C 2cos
A C
,cos A cos
C
3sin A
sin
C
2
2
2
2
2
2
则 1
sin Asin C 4sin 2
A sin 2
C
3
2
2
cos A cosC
cos A cosC
1
sin Asin C
3
(1 cos A)(1 cosC) 1
4sin 2 A sin 2 C
2 2 2sin 2
A
2sin 2
C
4sin 2 A sin 2 C 1 1
2
2
2 2
5.
[ , )
3 2
tan 2 B tan A tan C , tan B
tan( A C )
tan A tan C
tan A tan C 1 tan B
tan(A tan A tanC
C )
tan 2 B 1
tan 3 B tan B tan A tan C 2 tan A tan C 2 tan B
tan 3 B
3tan B, tan B 0
tan B
3 B
3
6． 1 b 2 ac,sin 2 B
sin A sin C , cos(A C ) cos B cos2B
cos A cosC sin Asin C cos B 1 2sin 2 B
cos A cosC sin Asin C cosB 1 2sin A sinC cos A cosC sin Asin C cosB 1
cos( A C ) cos B 1 1
三、解答题
1. 解： a
2
b 2 sin( A B) , a 2
sin Acos B sin 2 A
a 2
b 2
sin( A B) b 2 cos A sin B sin 2 B
cos B sin A
,sin 2 A sin 2B,2 A 2B 或 2A 2B
cos A
sin B
∴等腰或直角三角形
2. 解： 2R sin A sin A
2R sin C sin C ( 2a b)sin B,
asin A c sin C ( 2a b)sin B, a 2 c 2
2ab b 2 ,
a
2
b
2
c
2
2ab,cos C a
2
b 2
c 2
2
,C 450
2ab
2
c 2R,c
2R sin C
2R, a 2 b 2 2R 2
2ab,
sin C
2R 2
2ab a 2 b 2 2ab, ab
2R 2
2 2
S
1
2
2 2R 2
2 1 2
absin C
ab
4 2
, S max
2 R
2
4
2
另法： S
1
ab sin C
2
ab
2 2R sin A 2R sin B
2
4
4
2 2R sin A 2R sin B 2R 2 sin Asin B
4
2R 2 1 [cos( A B) cos( A B)]
2
2R 2 1 [cos(A B) 2 ]
2 2
2R 2 (1
2 )
2 2
S
max
2 1 R 2 此时 A B 取得等号
2
3. 解
：
sin A sin C
A C A C A C
A C
2sin B,2sin
cos
2
4sin
2
cos
2
2
sin
B 1
cos
A
C
2
,cos
B
14
,sin B
2sin B cos
B
7
2
2
2
4
2 4
2
2
4
A C
, A C
B, A
3
B
B
4
, C
4
2
2
2
sin A sin(
3
B) sin
3
cos B cos
3
sin B
7 1
4
4
4
4
sin C sin(
B) sin cosB cos sin B
7 1
4
4
4 4
a :
b :
c sin A :sin B :sin C
(7
7):7:(7
7 )
4. 解
：
(a b c)(a
b c)
3ac, a
2
c
2
b
2
ac,cos B
1
, B 60 0
2
tan( A C ) tan A tan C ,
3
1 3 3 ,
1 tan A tan C tan A tan C
tan A tan C 2
3，联合 tan A tan C 3 3
tan A
1
tan A 2
A 75 或
A
45
得 3 或
2 3 ，即
tan C 1
tan C
C 450
C 750
当
A 750, C 450
时
，
b
4 3 4(3
2
6), c 8( 3 1), a 8
sin A
当 A
450, C 750 时， b
4 3 4 6, c 4( 3
1),a 8
sin A
∴ 当
A 750,
B 600 ,
C 450
时
，
a 8,
b 4(3 2
6), c 8( 3 1),
当 A 450, B 600 ,C 750时， a 8, b 4 6, c 4( 3 1) 。