《5.1.1 任意角》教学设计
教学目标
1．通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；
2．了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；
3．掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．
教学重难点
教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角；终边相同的角．
教学难点：任意角概念的建构；“0°～90°的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”这些概念之间的关系．
课前准备
PPT课件
教学过程
（一）整体感知
问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：
（1）本章将要学习的函数是什么？
（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？
（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题．
预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．
设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向． （二）新知探究
1．任意角的概念、运算
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．
问题2：如图1，O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P 的位置变化呢？
预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra
动画）．
预设答案：通过角的变化进行刻画．
说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可
能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra ）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP 用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P 的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系．
设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）．
图1
问题3：我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．
预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．
预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°（如图）．
追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？
预设答案：两个方面，一是大小；二是方向． 设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0°～360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角．
追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？
预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．
预设答案：逆时针旋转；分针会旋转450°（链接Geogebra 动画）．假如校准前如图（1），校准后应该为图（2）．
图2（1）
图2（2）
图3（1）图3（2）
设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量．
追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？
预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向．
问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？
预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．
预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角．这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向．
练习1：你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗？
预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程．
预设答案：如图3（1）（2）（3）（4）．
设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识．
追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？
预设的师生活动：学生回答．
预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．
设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题．
追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？
预设的师生活动：学生回答．
预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+（－β）．
设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算．
练习2：你能用作图的方式反映出30°与-30°；30°+120°与150°；30°-120°与-90°的关系吗？
预设的师生活动：学生分别作图并说明．
图4（1）
图4（2）
图4（4）
图4（3）
预设答案：如图5（1）（2）（3）．
图5（2）
图5（1）
图5（3）追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？
预设答案：对于一般的α－β，如果α＞β，则α－β＞0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α＜β，则α－β＜0°．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转│β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．
设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法．
2．象限角
问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？
预设的师生活动：学生互相交流后，再回答．
预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．
设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便．这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论
得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示．
练习3：教材第171页第1、2、3题．
预设的师生活动：由学生逐题给出答案．
预设答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．
2．三，三，五．
3．（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．
设计意图：检验学生对象限角的理解情况．
3．终边相同的角
问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？
预设的师生活动：教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答．
预设答案：还有－392°、328°、688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；
{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}；
设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°的整数倍．
例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答．
追问：与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点？
预设答案：相差360°的整数倍；与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．
设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0°～360°范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．
例2写出终边在y轴上的角的集合．
预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流．
追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？
预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}、{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；相差180°的整数倍；{β｜β＝90°＋k·180°，k∈Z}．设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示．应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍．”
设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法．
上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素例3写出终边在直线y x
β有哪些？
预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示．
追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？
预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．
设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示．为了使学生顺利完成相应的集合运算，
可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征．
（三）归纳小结
问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？
预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．
预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”．
设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养．
（四）布置作业
（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；
（2）预习5.1.2弧度制的内容；
（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．
（五）目标检测设计
1．写出终边在x轴与坐标轴上的角的集合．
2．写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β（教科书第171页练习第5题）：
（1）1303°18′；（2）－225°．
设计意图：检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况．
参考答案：
1．{β｜β＝k·180°，k∈Z}；{β｜β＝k·90°，k∈Z}；终边在x轴上的角相差180°的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90°的整数倍．
2．（1）{β｜β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′；（2）{β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°．