专题圆与相似含答案

专题：圆与相似(1)

1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ．点G 在⊙O 上，过点G 作直线EF ，交CD 延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．连接AG 交CD 于K ，且KE ＝GE ． （1）判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若AC ∥EF ，

AH 3

AC 5

，FB ＝1，求⊙O 的半径． 2．如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．

（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；

（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC ＝6，tan ∠F ＝1

2

，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．

3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．连接OC 交AE 于点H 。 （1）求证：GC ⊥OC ． （2）求证：AF=CF ．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA 的长．

4．如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交

AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=12

∠CAB ．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB=5，sin ∠CBF=

5

5

，求BC 和BF 的长． 5．如图，⊙O 的弦AB=8，直径CD ⊥AB 于M ，OM ：MD =3 ：2， E 是劣弧CB 上一点，连结CE 并延长交CE 的延长线于点F ． 求：（1）⊙O 的半径； （2）求CE ·CF 的值． 6．如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是

△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交BP 于点E ．

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；

（2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG?AB=12，求AC 的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF ：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值． 7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC 边上一点，以0为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连接DE ．

（1）当BD=3时，求线段DE 的长； （2）过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．求证：△FAE 是等腰三角形．

8.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过

E

A B

C O M F

点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；

（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

9.如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P 点，MD与OA交于N点．

（1）求证：PM=PN；

（2）若BD=4，PA= AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

10.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一

起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O

于点F，且BC=OE．

（1）求证：DE∥CF；

（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，

求OB的长；

（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直

角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．

11.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，

弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？

（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于

点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2=CD?2OE；

（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

专题：圆与相似答案

1．（1）相切，理由见解析；（2）4.

（1）如图，连接OG．

∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG.

∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．

∵KE＝GE，

∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.

∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°.

∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF.

又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切．

（2）∵AC∥EF，∴∠F＝∠CAH，

∴Rt△AHC∽ Rt△FGO．∴CH OG AC OF

=.

∵在Rt△OAH中，AH3

AC5

=，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t．

∴CH4

AC5

=. ∴

OG4

OF5

=.

∵FB＝1 ∴

OG4

OG15

=

+

，解得：OG＝4．

∴圆O的半径为4 .

考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质．

2．（1）证明见解析；（2）EF2=4OD?OP，证明见解析；（3）3

5

，

10

3

.

【解析】

试题解析：（1）如图，连接OB，

∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°.

∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.

又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）.

∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直线PA为⊙O的切线.

（2）EF2=4OD?OP，证明如下：

∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.

∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴OA OD

OP OA

=，即OA2=OD?OP.

又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP.

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=

1

2

BC=3（三角形中位线定理）.

设AD=x，

∵tan∠F=

AD1

FD2

=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3.

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，

解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，

OA=2x﹣3=5.

∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°.

又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠

ACB=BC63 AC105

==.

∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=10 3

.

3.试题解析：

（1）证明：如图，连结OC，∵C是劣弧AE的中点，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，