角平分线专题
1、轴对称性：
内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
思路和方法：边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形基本结构：如图,
2、角平分线的性质定理：注意两点（1 ）距离相等（2 ）一对全等三角形
3、定义：带来角相等。
4、补充性质：如图，在△ ABC中，AD平分/ BAC，则有AB:AC=BD:DC
针对性例题:
例题1:如图，AB=2AC , / BAD玄DAC,DA=DB
求证：DCL AC
例题2:如图，在△ ABC中，/ A等于60°, BE平分/ ABC , CD平分/ ACB 求证：
DH=EH
B C
例题3:如图 1 , BC > AB, BD 平分/ ABC，且/ A+ / C=180°, 求证：
AD=DC
思路一：利用“角平分线的对称性”来构造
因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分
线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形.
证法1:如图1,在BC上取BE=AB，连结DE , v BD平分
/ ABC，?/ ABD= / DBE，又BD=BD , ?△ ABD ◎△ EBD (SAS), ???/ A= / DBE , AD=DE ,又/ A+ / C=1800, / DEB+ / DEC=1800,贝U AD=DC .
证法2:如图2,过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F, 连结DE,由BD 平分/ ABC，易得△ ABF ◎△ EBF，贝U AB=BE , BD 平分/ ABC , BD=BD , ABD ◎△ EBD ( SAS), ? AD=ED , / BAD= / DEB ,又/ BAD+ / C=1800,
/ BED+ / CED=1800, C=Z DEC,贝U DE=DC , ? AD=DC .
说明：证法1 , 2,都可以看作将△ ABD沿角平分线BD折向全等三角形的.
证法3：
?/ BD平分/ ???/ C=Z E ,
图i
C=Z DEC , DE=DC ,
BC而构成
如图3,延长BA至E,使BE=BC，连结DE,
ABC ,???/ CBD= / DBE，又BD=BD ,.??△ CBD ◎△ EBD (SAS
CD=DE，又/ BAD+ / C=180°,/ DAB+ / DAE=180 0,
E
:丄 E= / DAE , DE=DA ,贝U AD=DC . B图3 说明：证法3是厶CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.
思路二：利用“角平分线的性质”来构造
由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向
角的两边作垂线而构成
两个全等的直角三角
形.
证法4:如图4,
Z ABC , ? DE=DF ,
? Z FAD=Z C,.?.A
例题 4 已知：如图5，在△ ABC中, Z C=90° ,AC=BCAD平分/ CAB 求证：AGCD=AB
证明：在AB上截取AE=AC ?/ AD平分Z CAB ?Z CAD Z
DAB AD=AD ???△CAD^A EAD ???/ DE/=90°, vZ C=90° , AC=BC B=45° ,
?Z B=Z BDE45°
?DE=BE ?- A（+CD=AE H DE=AE H BE=AB即AGCDAB
例题5.已知：如图6，在Rt△ ABC中，/ C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三
角形，使C点与AB边上的一点D重合，当/ A满足什么条件时，明D为AB中点.
解：当/ A=30°时，点
角三角形两锐角互余）.
等三角形对应角相
等），???/ DBE Z
A等量代换）? T BE=AE等角对等边），又/ ED昏90°, 即EDLAB ? D是AB的中点（三线
从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F,T BD平分又/
BAD+ / C=180°,/ BAD+ / FAD=180°,
FAD◎△ ECD （AAS ）,贝U AD=DC .
点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证
囹6
D 恰为AB 的中点.vZ A=30°, Z C=90° （已知），?/ CB/=60 ° （直
又厶BEC^A BED已知），?Z CBE Z DBE30° ,且Z EDB Z C=90 °（全
合一）.
角平分线定理使用中的几种辅助线作法
、已知角平分线，构造三角形
例题、如图所示，在厶ABC 中，/ ABC=3 / C , AD 是/ BAC 的平分线,
证明：延长BE 交AC 于点F 。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线, 所以AD 为/ BAC 的对称轴， 又因为BE 丄AD 于F , 所以点B 和点F 关于AD 对称，
1
所以 BE=FE= BF , AB=AF ，/ ABF= / AFB 。
2
因为/ ABF +Z FBC= / ABC=3 / C ,
/ ABF= / AFB= / FBC + Z C , 所以/ FBC +Z C +Z FBC=3 / C ,
所以/ FBC= Z C ,所以 FB=FC ,
1 1 1
所以 BE= FC=— (AC — AF ) =— ( AC — AB ),
2 2 2
1
所以 BE -(AC AB)。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 如图所示，Z 1 = Z 2, P 为BN 上的一点，并且 PD 丄BC 于D , AB + BC=2BD 。
求证：Z BAP +Z BCP=180 °。
证明：经过点P 作PE 丄AB 于点E 。 因为 PE 丄 AB , PD 丄 BC , Z 1 = Z 2, 所以PE=PD 。 在 Rt △ PBE 和 Rt △ PBC 中
BP BP PE PD
所以 Rt △ PBE 也 Rt △ PBC ( HL ), 所以BE=BD 。
因为 AB + BC=2BD , BC=CD + BD , AB=BE — AE , 所以AE=CD 。
因为PE 丄AB , PD 丄BC , 所以 Z PEB= Z PDB=90 ° . 在厶PAE 和Rt A PCD 中
PE PD PEB PDC AE DC
求证:
BE
1(A
C
AB)
BE 丄AD 于F 。
A
所以△ PAE也Rt A PCD , 所以/ PCB= / EAP。
因为/ BAP + Z EAP=180
所以/ BAP + Z BCP=180 °。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
例题、如图所示，在厶ABC中，PB、PC分别是/ ABC的外角的平分线，求证：/仁/ 2
证明：过点P作PE丄AB于点E, PG丄AC于点G, PF丄BC 于
点F.
因为P在/ EBC的平分线上，PE丄AB , PH丄BC,
所以PE=PF。
同理可证PF=PG。
所以PG=PE,
又PE丄AB , PG 丄AC ,
所以PA是/ BAC的平分线，
所以/仁/ 2。
与三角形的角平分线有关的结论的
探究
三角形的内角和等于1800，三角形的外角等于和它不相邻的两个内
角的和。应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。
从结论的探究
过程中，希望同学们能
从中得到有益的启示：在平时的数学学习中，要学会运用所学知识
去探索新的结论，学会探
究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水
平。
探究一：在ABC中，/ A,Z B的平分线交于点P,试探究 / BPC与/ A 的关系？
探究：因为/ BPC在A BPC中，由三角形的内角和定理，有：
BPC 1800 PBC PCB
而在在ABC 中，ABC ACB180A
所以BPC 1800-1800A90°丄A
22
故有结论一：在ABC中，/ A,Z B的平分线交于点P,则有
1 BPC 900A。
2
知：/ 11
:PBC—ABC ,Z PCB—ACB 22
所以BPC18001ABC 1
-ACB
1
1800丄 ABC
222
ACB
A
2
C
B
E
G
P
F
C
A
而由BP, CP分别是/ ABC和/ACB的角平分线
探究二：在ABC中，BP是/ ABC的平分线，CP是A ABC的外角/ ACE的平分线,
1
则有 BPC 900
A 。
2
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定
理及其逆定理水平测试
一、选择题
1.下列说法，错误的是(
)
A. 三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等
B. 三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上
C. 三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等
D. 三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部
所以：. 1 / PBC=-
ABC , / PCE 」ACE
2
2
所以Z
BPC 」 1 ACE —-
ABC
2 2
1 ACE ABC
1
A 2
2
故有结论二：在 ABC
中，
BP 是/ ABC 的平分
线,
则有： BPC
1
A 。
2
探究三：在 ABC 中，BP, CP 分别是△ ABC 的两个 外角的平分线，
试探究：/ BPC 与/ A 的关系？
探究：因为/ BPC 在 A BPC 中,由三角形的内角和定理， 有：
BPC 1800 PBC PCB
由BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线，有：
1 1
/ PBC= EBC ，/ PCB= BCF
2 2
而/ ABC+Z CBE=18(0，Z ACB+Z BCF=18(0， 所以/
ABC+Z CBE+Z ACB+Z BCF=360 所以/ EBC+Z FCB=360—(Z ACB+Z ABC
360° 180°
A 1800
1 BPC 1800 EBC FCB
2 故有结论三：在 ABC 中，BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,
所以 1800
11800
A 900 试探究：/ BPC 与/ A 的关系？
探究：由。卩是4 ABC 的外角/ ACE 的平分线, 所以有：/ BPCN PCE-Z BPC
又BP 是/ ABC 的平分线，CP 是/ ACE 的平线 A
。卩是厶ABC 的外角/ ACE 的平分
A
分别是60cm 和38cm,则厶ABC 的腰长和底边 BC 的长分别是（ ） A. 24cm 和 12cm B. 16cm 和 22cm C . 20cm 和 16cm D. 22cm 和 16cm
6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， BC, BD 为折痕，则/
的度数为（ A. 60° C. 90°
2.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ A.锐角三角形
B.钝角三角形
3.如图所示, 在 Rt A ABC 中，ACB
AC 3.9,
A. 2个
B . 3个
C. 4个
4. 等腰△ ABC 两腰AB ,
A. OA 丄 BC
B. 5. 已知△ ABC 中，AB AC 的垂直平分线交于点 OA 平分 BAC O ，下列各式不正确的是（
C. OB OC
D. OA BC AC , AB 的垂直平分线交 AC 于D , △ ABC 和厶DBC 的周长 ) 75° 95°
ABC 三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形
（ ）
7. 若厶
一定为 A.等腰三角形，但不一定是等边三角形. B.直角三角形. C.等腰直角三角形.
D.等边三角形.
8. 如图，△ AB （中, AE 为/ BAC 勺平分线，DEL AB, DF 丄 AC, E 、 ?△ ADE^A ADF ； ?△ BDE^A CDF
正确结论的个数是（ ）
F 为垂足,
在以下结论中： ③厶 ABD^A ACD ④ AE=AF ⑤ BE=CF ⑥ BD=CD 其中
A
A. 1
9.已知
P 点在 AOB 的平分线上,
AOB 60： , OP 10cm,那么 P
点到边 OA ，OB 的距离分别是（ A. 5cm, 5 3 cm B . 4cm , 5cm
C . 5cm, 5cm D. 5cm, 10cm
10.如图，△ ABC 中/ C=90o, BD 平分/ ABC 交AC 于D, DE 是AB 的垂直平分线, 1 DE=_ BD,
2
DE=1.5c m,贝 UAC 等于( )
A. 3cm
B. 7.5cm
C. 6cm
D. 4.5cm
二、填空题
1.已知线段AB 和它外一点P ,若PA=PB 则点P 在AB 的
C.直角三角形
( ）
D.不能确定
则图中有多少个角等于 60 ） CBD
月
;若点P 在AB
的
n
△ ABC中，C 90 , DE是AB的垂直平分线，AB 2AC ,
BC 18cm，则BE的长度为
的度数是
BAC，交BC于D，若DC 7 ,贝U D到AB的距
离是___________ .
7. △ ABC的三边长分别为3cm 4cm
斜边AB的距离等于__________________
8. 如图，已知B0平分CBA, C0平分ACB , MN // BC，且过点0，若AB 12 ,
AC 14，则△ AMN的周长是
9.如图，BD是ABC的平分线，DE丄AB于E , S^
ABC
5.在锐角三角形ABC中，A 60 , AB , AC两边的垂直平分线相交于点O,则BOC
_____________________ ，贝y PA=PB
2.如图，△ ABC中，EF是AB的垂直平分线交于D ,
AC .
3.如图，ABC50：, AD垂直平分线段BC于点D, ABC的平分线BE交AD于点
E ,连结EC ,则AEC的度数是
4.如图所示，在
6. △ ABC 中，C 90 , AD 平分
5cm,若0 ABC三内角平分线交点，则点0到
C
二轮复习之角平分线问题 【考点一：角平分线+平行→等腰三角形】 典例1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=7，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 的长为（ ） A ．4 B ．3 C ．72 D ．2 关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。 模型图总结： 【考点二：角平分线+垂直→等腰三角形】 典例2.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则CD 的长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．2 D ． 关键点分析：关注题目中有无“双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份“垂线”，这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。 模型图总结：
【考点三：见角平分线→作双垂】 典例3． 如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，∠BAC=84°，则∠BDC=_______度。 关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。 模型图总结： 【考点四：见角平分线→作对称】 典例4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ，若AC=3，CD=2，则AB=________。 关键点分析：轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。 模型图总结： 【模型应用】 1．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度为_________cm 。 2． 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB ，则DM 的长是________． 3． M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于___________． 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）。
人教版八年级上第十二章 全等三角形 12.7 角平分线辅助线添加方法 教师： 学生： 时间： 教学目标：学会解平面几何题常用辅助线作法——题中有角平线的时。 重难点：根据平面几何题中有角平分线时——采用相对应的辅助作法。 知识回顾与新知识准备 【回顾要点】 角平分线的性质： 1、 2、 3、 【新知识】 角平分线辅助线添加1：角分线上点向角两边作垂线构全等 【知识要点】 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上 的点到两边距离相等的性质来证明问题。 【典型例题】 【例1】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD A B C D
1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 2、如图，已知∠B=∠C=90。，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。 【例2】如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF. 举一反三：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG. 角平分线辅助线添加方法2------截取构全等 E B A C D B C M A D
【知识要点】 截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ， 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 【典型例题】 【例1 方法2】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 图1-1 O A B D E F C A B C D
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型 已知：AD是∠BOC的角平分线 （1）（2） （3）（4） 2、补充性质： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC
典型例题 例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB 例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。
B 例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ， F ．求证：AD 垂直平分EF ． 例5、 如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。
例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 变式练习 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： ⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断写出FE与FD之间的数量关系； ⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由。
1.如图，2是/ DE = DG* △ ADG*U A AED 的而枳分别为 35,见I △ EDF 的而积为( ) 2 - A ?25 B ? 5.5 C ? 7.5 2?如图f 是ZAOB 平分线OC 上一点f D 丄OB,垂足为D, 若PD=2M 点P 到边OA 的距离是 3?如图,AABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,M 三条角平分线将Z\ABC 分为 三个三角形，则 S. .ABO : S A BCO : S/.CAO ，： .r \ ' _______________ ? 4. （2016?怀化）如图,OP 为Z AOB 的角平分线，PC 丄OA, PD 丄OB,垂足分别是C, D,则下 列结论错误的是（） 4 PC=PD B ? ZCPD=Z DOP C ? ZCPO = Z DPO D ? OC = OD 5. （2016?淮安）如图，在PtAABC 中，ZC=90°,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分 别交AC, AB 于点M, N,再分别以点M, N 为圆心，大于扌MN 的长为半径画弧，两弧交于 点P ，作射线AP 交边BC 于点D,若CD=4, AB = 15,则厶ABD 的面积是（ 6. 如图，AABC 中，ZC=90°, AD 平分Z BAC 交BC 于点D ?已知BD ： CD = 3 ： 2，点D 到 AB 的距禽是6,则BC 的长是 _________ 7. 如图所示，已知AABC 的周长是20, OB, OC 分别平分Z ABC 和Z ACB, OD 丄BC 于点D, 且OD = 3,贝U ABC 的面积是. _______ 之定理专题（基础题） B.2 C. 4 1 5 B. 30 C ? 45 D ? 60 () 為DF 丄AB ，垂足为& A D. B D B O A D H
第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现 例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ． B E D C
练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ． 例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ． 练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异 A B C E D P A P C B E D A F B
于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．
例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ． 练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ． A E F B C D G F A E B C G D
角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B
第一章遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线，补得等腰现
练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC．
例3．已知如图，在△ABC中（AB≠AC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作
例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=2 1（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形． 练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ． 【homework 】 1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如 果BC=6，求△DEF 周长． 2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ． A D E C B A E D F G C B A D F E C B
B C A D
3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2 1(AB-AC)． 4．如图，ABC ?中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ． A B H D C A E C M B D A E B D C
专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法 类型之一线段垂直平分线的辅助线作法 1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB ＋BC＝BE，则∠B的度数是() A．45°B．60°C．50°D．55° 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________． 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数． 图4－ZT－3 4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．
图4－ZT－4 类型之二角平分线的辅助线作法 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm，则点D到AB的距离是() A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 图4－ZT－5 6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于() A．10 B．7 C．5 D．4 图4－ZT－6 类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法 7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB 和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角
第 1 页 共 2 页 角平分线习题精选 1、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。 2、已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点， 且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。 3、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交 BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ，求∠B 的度数 5、如图5、A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。DE 平分∠ADC ， 求证：AE 平分∠DAB 。 6、如图6、在△ABC 中，AB ＝7， 求内心到边的距离。 7、如图7、已知在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边向外作 正△BCE 、正△ACD ，BD 与AE 交于M ， 求证：（1）AE ＝BD 。（2）MC 平分∠DME 。 D D C
第 2 页 共 2 页 8、如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面 积，求证：OP 平分∠BOD 。 9如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分 线 AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。 10、如图10、已知在四边形ABCD 中，B D ＞AB ，AD ＝DC ， BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C ＝180°。 11、如图11、△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF 。 12、如图12、△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， AD 的垂直平分线交AD 于点E ， 交BC 的延长线于点F 。 求证：FD 2＝F B ×FC C F
垂直平分线角平分线培优提高练习 一．选择题（共6小题） 1．如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形 2．下列各语句中不正确的是（） A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等 C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等 3．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下： （甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确 4．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为（） A．45°B．47°C．49°D．51° 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（） A．B．C．D．6 6．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80° 二．填空题（共5小题） 7．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于． 8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=． 9．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC=10，DE=4，则AD+AE=．10．△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，且BC=18cm，则BE的长度是．11．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，△PMN的周长为． 三．解答题（共6小题） 12．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD． 13．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC． 14．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G． （1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=°；
等腰三角形常用辅助线专题练习 （含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由 解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2： 过A点作△ABC底边上的高， 再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。 证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性： 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图， 2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC 针对性例题： 例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB 求证：DC ⊥AC
B 例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．： 思路一：利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形． 证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ， 则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ， 连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ， BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的． 证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3
《4 角平分线》教案 第1课时 教学目标 掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题． 教学重点难点 重点：掌握角的平分线的性质和判定． 难点：例解性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题． 教学过程 1、引例 在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？ 2、角平分线的性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 例1、在△ABC 中，已知点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，并且BE=CF ，试证：AD 在∠BAC 的角平分线上． 3、角平分线的判定定理 例2、在∠AOB 中有一点P ，已知PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，且PE=PF ．试证：点P 在∠AOB 的角平分线上． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 例3、在△ABC 中，已知AD 将∠BAC 平分，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，试证：BE=CF ． 4、练习 在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，BN 平分∠ABC ，AM 与BN 于点P ，试证：点P 到三边的距离都相等；点 P 在∠ACB 的角平分线上． 四、小结 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．S 公路 铁路 P
第2课时 教学目标 1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理． 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力． 教学重难点 证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理． 教学过程 一、学习准备 1、三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离． 2、三角形三条边的角平分线相交于一点，这一点一定在三角形． 二、自学提示 探究一： 1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线，你发现什么结论，并证明． 如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上． 定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离． 引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=＿＿． 例：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． 已知：CD=4cm，求AC长．求证：AB=AC+CD．
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
角平分线垂直平分线及辅助线专题
1在ABC V 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC V 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC V 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB V 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC V 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若 DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE V 的周长
于F，垂足为N，求EAF 的度数 10. 中，和分别是边AB和的垂直平分线，，则的周长 V V =8 ABC DE FG AC BC EAG 11.ABC V中，AB边的垂直平分线交BC于E，垂足为M，AC边的垂直平分线交BC于F，垂足为N， BC=12，求EAF V的周长 12.在ABC ，，AB的垂直平分线，与边V中，AB=AC DE BC所在的直线相交所成锐角为50°，
ABC B V的底角的大小为 ∠ 13.在ABC ，°， ∠ V中，AB=AC A=50 AB的垂直平分线DE交AC于 点D，垂足为E，则DBC ∠的度数是 14.如 图，在 ABC BC=8AB AB D AC V中，，的垂直平分线交于点，交边于点 cm ，BCE V的周长等于18cm,则AC 的长等于＿＿＿＿＿＿ 15.如图， ABC AB=AC DE AB AB=8BC=436 V中，，是的垂直平分线，，，°，则 ∠ ∠＿＿＿＿＿＿BDC DBC= V的周长为＿＿＿＿＿
角平分线专题 【类型一】角平分线倒角模型 例1、把一副学生用三角板)9060 30(???、、和)904545(???、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC . (1)把图1中的AED Rt ?绕A 点顺时针旋转α度)900(?<≤α得图2,此时AGH ?的面积是10,AHF ?的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标; (2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值. 检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。 x y
检测2、如图探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系． 探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？ 请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．
1．4 角平分线的性质 1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点) 2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点 ) 一、情境导入 在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等 【类型一】 利用角平分线的性质求线段长 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝7cm ，则△DBE 的周长是____________． 解析：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED ，AC ＝AE ＝BC ，继而可得△DBE 的周长为DE ＋BD ＋BE ＝CD ＋BD ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB .故答案为7cm. 方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 【类型二】 利用角平分线的性质求面积 如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 且交BC 的延长线于点F .若AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，DE ＝2.4cm ，求△ABC 的面积． 解析：根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，再将△ABC 分成△BCD 和△ADB 两个三角形，分别求出它们的面积再求和． 解：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BF ，∴DE ＝DF .∵S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ＝12BC ·DF ＋12AB ·DE ＝12(BC ＋AB )·DE ＝12 ×30×2.4＝36(cm 2)． 方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和． 【类型三】 利用角平分线的性质进行证明 如图，已知∠1＝∠2，P 为BN 上 一点且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC ＝2BD ，求证：∠BAP ＋∠BCP ＝180°. 解析：过点P 作PE ⊥BA ，根据已知条件得Rt △BPE ≌Rt BPD ，再根据AB ＋BC ＝2BD 得AE ＝CD ，可证Rt △APE 和Rt PDC ，可得∠PCD ＝∠P AE ，根据邻补角互补可得∠BAP ＋∠BCP ＝180°. 证明：过P 作PE ⊥AB ，交BA 的延长
三角形的内角与外角角平分线 1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。 （1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D= . （2）∠A=100°，则∠D= . （3）∠D=150°，则∠A= . （4）写出∠D和∠A的关系 2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， （1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D= . （2）∠A=100°，则∠D= . （3）∠D=50°，则∠A= . （4）写出∠D和∠A的关系 3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O， （1）∠1=80°，∠2=50°则∠O= . （2）∠A=100°，则∠O= . （3）∠D=50°，则∠A= . （4）设∠BOC=a，则∠A等于 . 4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别 交于D、E两点，则∠BDC度数是（） A．133°B．86°C．°D．88°
5、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM 两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是 . 6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（） 7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM 两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数 是 . 8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______. A P3 P2 P1 C B
D C A E B 角平分线的性质及判定专题 填空题： 1． 已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 8．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 选择题： 9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 10．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 11．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） 第4题 第5题 第6题