高一数学对数以及对数函数人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容:
对数以及对数函数
二. 学习目标:
1. 理解对数的概念,了解对数运算与指数运算的互逆关系。
2. 能正确利用对数性质进行对数运算。
3. 掌握对数函数的图象性质。
4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。
三. 重点、难点: 1. 对数
(1)对数恒等式
① b a b
a =log (10≠ ② N a N a =log ③ 1log =a a ④ 01log =a (2)对数的运算性质 对于10≠,N 0>,则 ① N M MN a a a log log )(log += ② N M N M a a a log log log -= [例 (1)5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+ (2)4log ]18log 2log )3log 1[(6662 6÷?+- 解: (1)原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22 22=+--+-= (2)原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662 66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62 6266÷-++-= 12 log 2 log 2log )3log 1(2662 66== ÷-= [例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z y x 643==,试比较x 3、y 4、z 6的大小。 解:设t z y x ===643(1>t ),则t x 3log =,t y 4log =,t z 6log =,从而 4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -=-=-4 lg 3lg 3 lg 44lg 3lg ?-=t 0)3lg 4(lg 4 lg 3lg lg 43<-?= t 故y x 43< 又由6lg 4lg ) 4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2(2)log 3log 2(26464?-=-=-=-t t t t t z y 6lg 4lg ) 4lg 6(lg lg 232?-=t 而0lg >t ,04lg >,06lg >,3 24lg 6lg <,则上式0< 故z y 64<,综上z y x 643<< [例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数,并且5log 5log n m >,试确定m 和n 的大小关系。 解:由n m n m 55log 1 log 15log 5log > ? >0log log log log 5555>?-?n m m n ???>?>-?0log log 0log log 5555n m m n 或???<-0log log 0 log log 55 55n m m n ?? ?>>>?1,1n m m n 或???<<<<<1 0,10n m m n 综上可得1>>m n 或10<< [例4] 试求函数) 32lg(4 )(22-+-=x x x x f 的定义域。 解:由?? ???≠-+>-+≥-0)32lg(03204222x x x x x ? ????±-≠>-<≥-≤?511322x x x x x 或或 则所求定义域为(∞-,51--)?(51--,3-)?),2[∞+ [例5](1)若函数)1lg(2 ++=ax ax y 的定义域为实数集R ,求实数a 的取值范围;(2)若函数)1lg(2 ++=ax ax y 的值域是实数集R ,求实数a 的取值范围。 解: (1)由已知,则有012 >++ax ax 恒成立???>=?010a 或???<-=?>0 40 2 a a a 40<≤?a (2)已知等价于函数12 ++ax ax 的值域包含(0,∞+),故400 ≥??? ?≥?>a a [例6] 已知函数x x f a log )(=,当210x x <<时,试比较)2 (2 1x x f +与 +)([2 1 1x f )](2x f 的大小。 解:]log [log 2 12log )]()([21 )2(21212121x x x x x f x f x x f a a a +-+=+-+ 2121log 2log x x x x a a -+=2 12 12log x x x x a += 又由210x x <<,则21212x x x x >+,即122 121>+x x x x 故① 1>a 时,02log 2 121>+x x x x a ,此时)]()([21 )2( 2121x f x f x x f +>+ ② 10< 121<+x x x x a ,此时)]()([2 1 )2( 2121x f x f x x f +<+ 【模拟试题】 1. =+16lg 2 1 210 。 2. 若5log log 248=+b a ,且7log log 2 48=+a b ,则=ab 。 3. 已知1>>b a ,3 10 log log =+a b b a ,则a b b a log log -= 。 4. 函数82log 22 1 -+=x x y 的递增区间为 。 5. 已知x x f 3log 2)(+=,]9,1[∈x ,求函数)()]([2 2x f x f y +=的最大值及相应的 x 的值。 试题答案 1. 20 2. 512 3. 3 8- 4. 解:)82(log 21 22 1-+= x x y ,令40822->-+x x x 或2>x 由822 -+=x x u 的递减区间为(∞-,4-),(0>u ) 则82log 22 1 -+=x x y 的递增区间为(∞-,4-) 5. 解:x x f 3log 2)(+= )()]([2 2x f x f y +=2323log 2)log 2(x x +++= 3)3(log 2 3-+=x 由)(x f 定义域为[1,9],则319 19 12≤≤????≤≤≤≤x x x 故1log 03≤≤x ,所以133)3(log 62 3≤-+=≤x y 当1log 3=x ,即3=x 时13=y 故当3=x 时,函数)()]([2 2 x f x f y +=取最大值13。 一、 教学目标: 1.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质;能利用对数函数的性质解题. 二、教学重、难点: 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律: 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化,对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数,主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等,主要以填空为主。 四、教学内容: 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作 ,其中a 叫做对数的 ,N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化:log b a a N b N =?= 2.常用对数:通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数,记作lg N 。 自然对数:通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数,记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式:①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 (2)换底公式:log a N =log log b b N a (3)对数的性质:①负数和零没有对数 ② 1的对数是零,即log 10a = ③底的对数等于1,即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且,那么 (1)log ()a MN = ; (2)log a M N = ; (3)log n a M = ; (4)log n a m M = 。 (5)log log a b b a ?= ; (6)log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).、 6.对数函数图像与性质 注:对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内,图像从左到右相应的底逐渐增大, 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时,应抓住定义的“形式”,像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且,因此,它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像,应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念,图象和性质,且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义,了解对底数的要求,及对定义域的要求,能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质,初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习,树立相互联系相互转化的观点,通过对数函数图象和性质的学习,渗透数形结合,分类讨论等思想, 注重培养学生的观察,分析,归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比,对学生进行对称美,简洁美等审美教育,调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数,它是在学生 已经学过对数与常用对数,反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用,也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念,图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整,系统,同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具,是学生今后学习对数方程, 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义,掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式,学生不易理解,而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上,故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数,所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质,这种方法是第一次使用,学生不适应,把握不住关键,所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时,就应从学生熟悉的指数问题出发,通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识,而且画对数函数 图象时,既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底,画在同一个坐标系内,便于观察图象的特征,找 出共性,归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点,一定要让学生动手做,动脑想,大胆猜,要以学生的研究为主,教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法,获取知识的途径,使学生学有所思,思有所得,练有所获,,从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义:函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的,所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识,从而找出对数函数的定义域为,对数函数的值域为,且底数就是指数函数中的,故 有着相同的限制条件. 在此基础上,我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 指数函数与对数函数(讲义) ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质: 2. 利用指数函数、对数函数比大小 (1)同底指数函数,利用单调性比较大小; (2)异底指数函数比大小,可采用化同底、商比法、取中间值、图解法; (3)同底数对数函数比大小,直接利用单调性求解;若底数为字母,需分类讨论; (4)异底数对数函数比大小,可化同底(换底公式)、寻找中间量(-1,0,1),或借助图象高低数形结合. 3. 换底公式及常用变形: log log log c a c b b a =(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0) 1 log log a b b a = (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1) log log m n a a n b b m = (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1) log a b a b =(a >0,且a ≠1;b >0) ? 精讲精练 1. 若a ,b ,c ∈R +,则3a =4b =6c ,则( ) A .b a c 111+= B . b a c 122+= C .b a c 221+= D .b a c 212+= 2. 计算: (1)若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =,,,,,则228log ()x y +=_________; (2)设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤(), ()则1 (())2g g =_____________; (3)若2(3)6()log 6f x x f x x x +=??≥() (),则)1(-f 的值为________. 3. (1 )函数2()log )f x x =是_______函数(奇或偶); (2)设函数()1x x a e f x ae -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数,则a =__________. 4. 下列大小关系正确的是( ) A .3log 34.044.03<< B .4.03434.03log << C .4.04333log 4.0<< D .34.044.033log << 5. 设a =3log 2,b =ln2,c =1 2 5 - ,则( ) A .a (本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为( ) A .y =log 2x B .y =2log 4x C .y =log 2x 或y =2log 4x D .不确定 解析: 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y =log a x (a >0,且a ≠1,x >0),则2=log a 4=log a 22=2log a 2,即log a 2=1,a =2.故所求解析式为y =log 2x .故选A. 答案: A 2.已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (a )=1,则a =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析: f (a )=log 2(a +1)=1 ∴a +1=2 ∴a =1.故选B. 答案: B 3.已知函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)的反函数为g (x ),且满足g (2)<0,则函数g (x +1)的图象是下图中的( ) 解析: 由y =a x 解得x =log a y , ∴g (x )=log a x . 又∵g (2)<0,∴0 A.????22,2 B .[-1,1] C.????12,2 D.? ???-∞,22∪[2,+∞) 解析: 函数f (x )=2log 12 x 在(0,+∞)为减函数, 则-1≤2log 12 x ≤1, 可得-12≤log 12x ≤12 , 解得22 ≤x ≤ 2.故选A. 答案: A 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1),则a =________. 解析: 函数f (x )的反函数为y =log a x ,由题意,log a 3=1, ∴a =3. 答案: 3 6.设g (x )=????? e x (x ≤0)ln x (x >0),则g ????g ????12=________. 解析: g ????12=ln 12 <0, g ????ln 12=eln 12=12 , ∴g ????g ????12=12 . 答案: 12 三、解答题(每小题10分,共20分) 7.求下列函数的定义域: (1)f (x )=log 2(9-x 2); (2)f (x )=log (5-x )(2x -3); (3)f (x )=2x +3x -1 log 2(3x -1). 解析: (1)由对数真数大于零,得9-x 2>0,即-3<x <3,∴所求定义域为{x |-3<x <3}. 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则 N M 的值为( ) A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N )=log a M+log a N , ∴log a (M-2N)2=log a (MN ),∴(M-2N)2 =MN , ∴M 2-4MN+4N 2=MN ,→m 2-5mn+4n 2=0(两边同除n 2)→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+,看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为:4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>,且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于( ) A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ,loga(1-x)=-n 两式相加得:→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1,x>0,y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n对数函数讲义(可直接使用).
高中数学对数函数教案
指数函数与对数函数(讲义)
人教版数学高一-必修一训练 .1对数函数的图象及性质(教师版)
高一数学对数函数经典题及详细答案
人教B版数学高一版必修1课后导练3.2.1对数及其运算第1课时对数概念及常用对数