2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:
·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ?=+
·棱柱的体积公式V = Sh ，
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =
·球的体积公式34
.3
V R π=
其中R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【答案】D
【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B A
x x =-≤≤，选D.
(2) 设变量x , y 满足约束条件360,
20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤?
???
则目标函数2z y x =-的最小值为
(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2
【答案】A
【解析】由2z y x =-得2y x z =+。作出可行域如图
，平移直线
2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z
最小，由2030x y y --=-=???，得5
3x y ==???
，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-?=-，选A.
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输
出n 的值为
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4
【答案】D
【解析】第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-?==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-?=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-?=，满足条件输出4n =，选D.
(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.
(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = (A) 1
2-
(B) 1
(C) 2
(D)
12
【答案】C
【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)
到直线的距离
22251
k k k +-=+，2251
k k -=+，解得1
2
k =-
。因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以11
2
k a =-
=-， 即2a =,选C. (6) 函数()sin 24f x x π??=- ???在区间0,2π??
????
上的最小值是
(A) 1- (B) 2
(C)
2
(D) 0
【答案】B
【解析】当0,2x π??
∈????
时，02x π≤≤，32444x πππ-≤-≤，所以当244x ππ-=-时，函数
()sin 24f x x π?
?=- ???
的最小值为2sin()4y π=-=，选B.
(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是
(A) [1,2] (B) 10,2??
???
(C) 1,22??????
(D) (0,2]
【答案】C
【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且12
2log log a a =-，所以
222122
(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函
数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤，所以21log 1a -≤≤，解得
122a ≤≤，即a 的取值范围是1,22??
????
，选C. (8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<
(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<
【答案】A
【解析】由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令
122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。在坐标系中分别作出函数122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+的图象，由图象知01,12a b <<<<。
此时21()()g a g a <，所以()0g a <又。12()()f b f b >，所以()0f b >，即()0()g a f b <<，选A.