第五章： 对称性及守恒定律
P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H
+=μ
。 （１） 证明
V r p p r dt
d ??-=?
μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2
（证明）（１）z y x p z p y p x
p r ??????++=?
，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：
]?,??[1)??(H p r i p r
dt d
?=?
]?,??[H p r =?
=)],z y （２） ?[r
? x x x x p x p p x p p x
?????]?,??[23
2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x
???????????22
23-+-= x x x x x p p x p p p x
?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４）
],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x
x x x x x x =-=-=
x
V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得：
}{)???(]?,??[222z
V z y V y x V x i p p p i H p r
z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p
i ??+=
μ
代入（１），证得题给公式：
V r p
p r dt d ??-=? μ
2?)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=?p r dt d 由前式
P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n
2,==
（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：
∑=ijk
k
j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）
此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：
n k j i =++ （定数）
ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
根据前一题的结论：
V r
T ??=?2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ??
的式子及其定态下平均值。 z
V z y V y x V x
V r ??+??+??=??
直接看出=n z z y y x x 321μωμωμω?+?+?=
V z y x 2)(2
32221=++=ωωωμ
V V r 2=??
，由（３）式可知V T =
（２）库仑场 2
2
2
1z
y x V ++=
直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2
但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：
z
V z y V y x V x V r ??+??+??=??
2
/32222/32222/3222)()()(z y x z
z z y x y y z y x x x ++-?+++-?+++-?
=
V z y x -=++-
=2
221 V V r -=??
V r =??
x =)2()1222z z y n
?++-
n =由（２）得
P260（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(?t A
应满足：
]?,?[1?H A i dt A d = （１） 又对于自由粒子，有μ
2??2p H =（p ? 不随时间t 变化）
令)(?)(?t x t A
=为海氏表象座标算符；代入（１）
]2?),(?[1)(?2μ
p
t x i dt t x d =
]?),(?[21
)(?2p t x
i
dt t x d μ= （２） 但 x p p x p t x
????]?),(?[222-= x p p p x p p x p p p x
????????????-+-= p i p x p p p x
?2]?,?[??]?,?[ =+= （３）
代入（２）积分得 将初始条件t
P260
]2
)(?2)(?),(?[1)(?222t x t p t x i dt t x d μωμ+= （２） 将等式右方化简，用前一题的化简方法：
μ
μωμμωμ)(?]?,?[2]?,?[21]2,?[1222222t p x x i p x i x p x i =+=+?
)(?1)(?t p
dt t x
d μ
= （３）
但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ?与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：
]2
)(2)(?),(?[1)(?222t x t p
t p i dt t p d μωμ+= 化简右方
}????{2]2)(),([1222
22p x x p hi
t x t p hi -=μωμω =
}?????????{22
p x x x p x x x p
hi
--μω =
)(?]}?,?[??]?,?{[2222
t x x p x x x p
hi
μωμω-=-
x
i p x x
??=
= )0(??)0(?
c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley
5.1设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明
[][]H H A A dt d ,,2
2
2
=-
证.若力学量A 不显含t ，则有
[]H A i dt dA ,1
=,令[]C H A =, 则
[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1
,112
22 -===, [][]H H A A dt
d ,, 2
2
2
=-∴
5.1证明力学量A
?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2
2
2
H H A A dt
d -= （H ?是哈密顿量）
此式遍乘2
5.2
ψ态中的平均值，有： ???-≡=τ
τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*]?,?[ （１） 今ψ代表H
?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H
=? （E 为本征值） （２） 又因为H
?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积分存在）
τψψτψψτ
d A
H
d A H ??????=)?(*)?()~
(?* （３）
（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）
（２）（３）代入（１）得：
τψψτψψd A H i
d H A i dt A d )?(*)?(1)?(?*1??????-= ??????-=
τψψτψψd A i
E d A i E ?**?* 因*E E =，而
0=dt
A
d 5.2
dt dA =
=
=
5.3证明，对于一维波包有：
)(1
2px xp x dt d +=μ
（解）一维波包的态中，势能不存在故
μ
2??2
x p H = （自由波包） 依据力学量平均值时间导数公式：
]2?,?[1]?,?[12222μ
x p
x i H x
i x dt d == ]?,?[212
2x p x i
μ=
（２）
但 2
22222????]?,?[x p p x p x
x x x -= )????????()????????(x p p x p x p x p x p x p p x x
x x x x x x x x -+-= )????????()????????(x x p p x p x p x p x p x p p x
x x x x x x x x -+-+ x p x p x p p x p x p x p p x x
x x x x x x x x ?]?,?[???]?,?[]?,?[???]?,?[?+++= （３） 因
p x
x ?,?[?,?[2p x
5.4 /]j ⑴ ⑵
=[
i
∑=])???(21
)???(21,???[2z 222z 1212121?+++?+++??+i iy ix i
y x i x x x p p p m p p p m p p p
i +]/)(//)(/ /)(/,???[322121?+-?-+-??+j i x x x r r V r r V r r V p p p
i ⑷
第一个对易式中，因为：0]?,?[2
x =j ix p p
， 0]?,?[2
x =jy i p p ，0]?,?[2
jz =p p ix 故整个 0]?21
,?[
2=∑∑i
i i
i
ix p m p
至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式
∑∑<---=-j
i j
i j i j i j i j j
i i z z y y x x V r r V ,,),,(/][/
=
)},,(),,({21
,j i j i j i j
i j i j i j i z z y y x x V z z y y x x V ---+---∑ 又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对
易，⑷式又能简化成：
]),,(?,?[]?,?[∑∑---=j
j
i j i j i i
ix x z z y y x x V p H p =
∑∑---+---i
i
j i j i j j i j i j i j
ix
z z y y x x V z z y y x x V p
)}],,(?),,(?{2
1,?[ ⑹ 再运用对易式（第四章11题） i
i i i i ix x x V i x F x i x F p
??=??=)()](,[)](,?[ 代入上式得：
])],,(?
[21,?[)],,(?[21,?[[]?,?[∑∑∑∑---+---=i i i j i j i j j
ix
j i j i j i j ix x z z y y x x V p z z y y x x V p H p
=
022=??-??∑∑∑∑i
i j i x V i x V i 满足⑶式，故⑵式得征。
5.5多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=i
l L ?? 为守恒。 证明：与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能)(j i r r V
-，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能：
][?21?,2j j
i i i i
r r V p H
-+=∑μ ⑴
要考察合力矩是否守恒，可以计算]?,?
[H
L 的分量看其是否等于零。 ]][?21),([]?,?[,2∑∑∑-+-=i j j
i i i i i iy i iz i x r r V p
p z p y H L μ )]
)(,,(),,()[()])(???()???()[(21
222222iy i ix i j i j i j i i
j i j i j i j
iy i iz i iy i iz i iz iy ix iz iy ix i iy i iz i i
p z p y z z y y x x V z z y y x x V p z p y p z p y p p p p p p
p z p y ---------+-++-++-=∑∑∑
μ
]
)()[()]??()??()??()??()??()??[(21
2
2
2
2
y 2
2
222222∑∑∑
-+-+-+-+-+-+-+-=i
j
iy i iy i ix i ix i iz iy i iy i iz iy iy i iy i i ix iy i iy i ix iz i iz iz iz i iz i iy iy iz i i
iz i ix ix iz i i
V p z p Vz p Vy V p y p p z p z p p p z p z p p p z p z p
p y p p p y p y p p p y p y p p
p y μ ⑶
因为 0],[],[],[],[2
222====iy iz ix iz iz iz iy ix p p p p p p p p 因而⑶可以化简：
]?,?
[=x H
L ]?,?
[H
L x = =
]?
,?[x H L 同理可证 因此L ?
5.6 [证明], i=1,2,3,…
）
i
i i i
i q B
p A p B q A B A ????-????≡∑
},{
在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是
0},{=i i q p A dt
d
或写作：
0=????-????+??=∑t p p A t
q q A t A dt dA i
i i i i
将哈密顿正则方程式组：
i i p H dt dq ??= i
i q H
dt dp ??-= 代入前一式得
0},{=+??=????-????+??=∑H A t A q H p A p H q A t A dt dA i
i i i i 因此，若力学量A ，B 不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是：
0},{=H A ⑵ 0},{=H B ⑶
假定以上两条件都适合，我们来考察{A ，B}是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立：
0}},,{{=H H A ⑷
∑≡i
I - 式中F F 与H 无关)，前式中},{i p B 的值可在⑴中，作替代A —>B ，B —>i p 得到，},{i p A 求法类似。再在⑹式中，令H=i p ，得：I=F （A ，B ）因而得： },{),(B A q B A F i
??
=
同理令H=i q 得：},{),(B A p B A G i
??
-
= 将所得的F 和G 代入⑹，并将这结果再和⑸等同起来，得到： {A ，{B ，H}}—{B ，{A ，H}}
}},,{{}},{},{{
H B A q H B A p p H B A q i
i i i
i =????-????=∑ 这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即{A,B}守恒。
在量子力学体系情形，B A
?,?守恒的条件是 0]?,?[=H A
0]?,?[=H B 再考察 ]?,????[]?]?,?[[H A B B A H B A
I -== ]?,??[]?,??[H A B H B A
-= 将此式加减A H B H B A
??????+后得到：
B A
]?,?[[若A
?，B ? 所以]?,?[B A
B A ?,?是守恒量，则H B A ?,?,?的值为0。
5.7——3.2，
5.8()x a D =Bloch 波函数）()e x k ikx φψ=证：()
a D x ψ 证毕
5.8 )()(x e x k ikx
Φ=ψ ，)()(x a x
k k Φ=+Φ
是)(?a D x
的本征函数，相应的本征值是ika
e 。
（证明）)(?a D x 是位移算符，它的本征态具有空间的移动（或平移）的对称性，假使)(x ψ是这种态，则)()()(?x x a D x
λψψ= 同时)(x ψ是有运动对称性的： )()(x a x ψψ=+
将)(a D x 作用于Bloch 函数：
)()()()()(?)(x e x e e a x e a x x D ika k
ikx ika k a x ik x ψψψ=Φ=+Φ=+=+
5.9——
6.7
5.9设m 表示z L 的本征态（本征值为 m ），证明
m e
e y z ikL ikL
θ?--
是角动量L 沿空间()?θ,方向的分量n L
角，m 原为z L 的本征态，
'z 轴（开始时和实验室z n L 的本征态。本征值是. P327）
5.105.135.14
5.14 .......]]?,?[,?[!
1],?[????+'+'+'=-A L L A L A e A
e L
t L ε （2） 因此令题给一式中的L t A
i ??= ，题给一式A B '=?)0(? （前式中的） 则 .......)]]0(?,?[,?[!
21)]0(?,?[)0(?)(?+++=B t A i t A i B t A i B t B
......)]]0(?,?[,?[!
2)()]0(?,?)[()0(?2
+++=B A A it B A it B
（3）
将（3）积分：......})]]0(?,?[,?[!3)()]0(?,?[!2)())(0({1)(?2
20
+++=?B A A it B A it it B i d B t ττ （4）
将（4）代入（1）式右方：
)(?......)]]0(?,?[,?[!21)]0(?,[])(?,[?00
0t B B t A i t A i B iAt B d B A i B t
=+++=+?ττ 题得证。