2019学年第二学期期末考试
常熟创新研学班数学试卷 2019.6
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时间120分钟；
2．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的密封线内。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，请把答案直接填写在答题纸相应的位置．．．．．．．．上。 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则(
)U
A B =（ ）
A ．{}1-
B ．{}0,1
C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,1,3-
2．下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（ ）
A ．1
2
y x =
B ．12x
y ??
= ???
C ．12
log x y =
D ．1y x
=
3．已知扇形的半径为R ，面积为2
2R ，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A
B
．C ．2 D ．4
4．设()f x 是周期为4的奇函数，当01x ≤≤时，()()1f x x x =+，则92f ??
-
= ???
（ ） A ．3
4
-
B ．14
-
C ．
14 D ．
34
5．已知23
13a ??= ???，13
14b ??
= ???
，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
6．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ω?ω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 26
3f x x π
π??=++
???
B ．()1
3sin 23
6f x x π??
=+
+ ???
C ．()2sin 36
6f x x π
π??=++
???
D ．()2sin 36
3f x x π
π??=++
???
7．在同一直角坐标系中，函数1x y a =
，()1log 0,12a y x a a ?
?=+>≠ ???
的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设二次函数()2
2f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，且实数m 的取值范围是
（ ） A ．(],0-∞
B ．[)2,+∞
C ．(]
[),02,-∞+∞ D ．[]0,2
9．已知函数()2sin 26f x x π?
?
=+
??
?
，若将它的图象向右平移
6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．12
x π
=
B ．4
x π
=
C ．3
x π
=
D ．23
x π=
10．已知R ω∈，函数()()()2
6sin f x x x ω=-?，存在常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能
的值为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
5
π 11．已知函数()()4sin
cos
02
2
x
x
f x ωωω=?>在区间2,
2
3ππ??
-
????
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得
一次最大值为2，则ω的取值范围是（ ）
A ．(]0,1
B ．30,4
?? ??
?
C ．[)1,+∞
D ．13,24
??????
12．已知函数(
)01,
1,
1.x f x x x
?≤≤?
=?>??若关于x 的方程()()14f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，
则a 的取值范围为（ ）
A ．59,44
??????
B ．59,44??
???
C ．{}59,144
?? ?
??
D ．{}59,144
????
??
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案直接填写在答题纸相应的位置．．．．．．．．
上。 13．函数(
)()2
ln 1f x x =
++的定义域为_______________． 14．已知51
tan 4
5
πα??-
= ??
?，则tan α=_______________． 15．如果函数sin 2cos2y x a x =+的图象关于直线12
x π
=
对称，那么该函数在0,
2x π??
∈????
上的最小值为_______________．
16．设函数()()
4
1
lg 121f x x x
=+-
+，则使得()()324f x f x ->-成立的x 的取值范围是_______________．
三、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内。 17．（本题满分10分）
设全集是实数集R ，集合{}
13A x x =-<<，{}
22B x m x m =-<<+． （1）若A
B =?，求实数m 的取值范围；
（2）若2B ∈，求A B ．
18．（本题满分12分）
已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3
4,55P ??-- ???
．
（1）求()sin απ+的值； （2）若角β满足()5
sin 13
αβ+=，求cos β的值． 19．（本题满分12分）
如图，已知函数()()()sin 0,0f x x ω?ω?π=+><<，点A ，B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，C ，D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π，23
π的两点，//CD x 轴，A ，B ，D 共线． （1）求ω，?的值；
（2）若关于x 的方程()sin2f x k x =+在区间,122ππ??
?
??
?上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围．
20．（本题满分12分）
如图，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在
OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ，按下列要求写出函数的关系式：
（1）①设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式；②设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值．
21．（本题满分12分）
对于函数()1f x ，()2f x ，()h x ，如果存在实数a ，b 使得()()()12h x a f x b f x =?+?，那么称()h x 为()1f x ，()2f x 的生成函数．
（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为()1f x ，()2f x 的生成函数？并说明理由；
第一组：()1sin f x x =，()2cos f x x =，()sin 3h x x π?
?
=+
??
?
； 第二组：()2
1f x x x =-，()2
21f x x x =++，()2
1h x x x =-+；
（2）设()12log f x x =，()212
log f x x =，2a =，1b =，生成函数()h x ．若不等式
()()2320h x h x t ++<在[]2,4x ∈上有解，求实数t 的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知函数()()2
1f x x x x a =+--．
（1）若1a =-，解方程()1f x =；
（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）是否存在实数a ，使不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立？若存在，求出a 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
2018～2019学年第二学期期末考试
常熟创新研学班数学试卷答案 2019.6
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共计60分 1．A 2．A 3．D 4．A 5．D 6．D 7．D
8．D
9．C
10．C
11．D
12．D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分
13．()1,1-
14．
3
2
15．
16．()
3,1,2??-∞-+∞ ???
三、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内。 17．（1）若A
B =Φ，则有23m -≥或21m +≤-，即5m ≥或3m ≤-
所以m 的取值范围为5m ≥或3m ≤- （2）∵2B ∈，∴04m <<
当01m <≤时，()1,2A
B m =-+ 当14m <<时，()2,3A
B m =-
18．（1）()4
4
5sin sin 15
απα-
+=-=-=
（2）∵()βαβα=+-，∴()cos cos βαβα=+-????，
∵()5sin 13αβ+=
，∴()12cos 13
αβ+=±，
又∵4sin 5α=-
，且α终边在第三象限，∴3cos 5
α=-． ①当()12
cos 13
αβ+=
时， ()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++
123543620561351356565
--????=
?-+?-==- ? ?????． ②当()12
cos 13
αβ+=-
时， ()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++
123541613513565??????=-?-+?-= ? ? ???????
．
19．解：（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称
∴点B 的横坐标为
3
π
又点C 与点D 关于直线723212
x π
π
π2+
== ∴()f x 的最小正周期T 满足
741234
T πππ=-= ∴T π=，即22T
π
ω=
=； 又()0sin f ?=，0?π<<，∴3
π
?=
；
（2）由（1）知，函数()sin 23f x x π??
=+
??
?
∴()sin2f x k x =+，即sin 2sin 23x k x π??
+
=+ ??
?
1sin 2sin 2sin 2cos 23226k x x x x x ππ???
?=+-=-+=+ ? ????
?，
设()cos 26g x x π??
=+
??
?
，,122x ππ??
∈?
??
? 则2,6x ππ??
∈?
???
，72,636x πππ??+∈????
画出函数()g x 在,122x ππ??
∈?
???
上的图象，如图所示： 根据题意，y k =与()g x 恰有唯一交点，
∴实数k 满足1
2
k <≤或1k =-．
20．解：（1）①因为ON =3OM x =
，所以3
MN x =，
所以y x ?=-???
，30,2x ??∈ ???
②因为PN θ=，ON θ=，sin OM θθ=
=，
所以sin MN ON OM θθ=-=
-
所以)
sin y θ
θθ=-，
即2
3sin cos y θθθ=-，0,
3πθ??
??∈ ? ????? （2
）选择23sin cos 262
y πθθθθ??
==+
- ?
?
?， ∵0,
3πθ??
∈ ??
?
∴52,666
π
ππθ??+
∈ ???
所以max 2
y =
21．解：（1）①设sin cos sin 3a x b x x π??
+=+
??
?
，即1sin cos sin 22
a x
b x x x +=
+， 取1
2
a =
，b =，所以()h x 是()1f x ，()2f x 的生成函数．
②设()()
22211a x x b x x x x -+++=-+， 即()()2
2
1a b x a b x b x x +--+=-+，
则1
11a b a b b +=??
-+=-??=?
，该方程组无解， 所以()h x 是()1f x ，()2f x 的生成函数．
（2）因为()12log f x x =，()212
log f x x =，2a =，1b =，
所以()()()122122
22log log log h x f x f x x x x =+=+=，
不等式()()2
320h
x h x t ++<在[]2,4x ∈上有解，
等价于()()2
222323log 2log t h
x h x x x <--=--在[]2,4x ∈上有解，
令2log s x =，则[]1,2s ∈，由22
223log 2log 32y x x s s =--=--，
y 取得最小值-5，
所以5t <-．
22．解：（1）当1a =-时，故有()221,1
1,
1x x f x x ?-≥-=?<-?，
当1x ≥-时，由()1f x =，有2211x -=，()()2
11f x x x x =+-+
解得1x =或1x =-
当1x <-时，()1f x =恒成立
∴方程的解集为{}
11x x x ≤-=或
（2）()()(
)2
21,1,x a x a x a
f x a x a x a ?-++≥?=?+-
若()f x 在R 上单调递增，则有1
4410a a +?≤?
??+>?
，解得，13a ≥
∴当1
3
a ≥
时，()f x 在R 上单调递增 （3）设()()()23g x f x x =--，则()()(
)2233,13,x a x a x a
g x a x a x a ?-+++≥?=?+-+
不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立， 等价于不等式()0g x ≥对一切实数x R ∈恒成立．
①若1a >，则10a -<，即
2
01a
<-，
取02
1x a
=
-，此时()0,x a ∈-∞ ()()022131011g x g a a a a a ??
==-?-+=-< ?
--??
， 即对任意的1a >，总能找到02
1x a
=
-，使得()00g x <， ∴不存在1a >，使得()0g x ≥恒成立．
②若1a =，()2244,1
2,
1x x x g x x ?-+≥=?
所以()0g x ≥恒成立．
③若1a <，当(),x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为()
223,a a -++∞， 由于()2
223122a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立．
当[
),x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<
，()g x 在3
4
a x +=处取最小值， 令()2
333048a a g a ++??
=+-≥ ?
??
， 得35a -≤≤，又1a <，所以31a -≤< 综上，[]3,1a ∈-．