2018-2019学年八年级（上册）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列线段能组成三角形的是（）
A．3、4、8B．5、6、11C．5、6、10D．2、2、4
2．下列图案中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
4．一个多边形的各个内角都等于120°，则它的边数为（）
A．3B．6C．7D．8
5．如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（）仍不能证明△ABC≌△DEC．
A．DE＝AB B．CE＝CB C．∠DEC＝∠B D．∠ECD＝∠BCA
6．已知：点P、Q是△ABC的边BC上的两个点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠BAC的度数是（）
A．100°B．120°C．130°D．150°
7．用一条长20cm的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的2倍少4cm．若第一条边最短，则x的取值范围是（）
A．2＜x＜8B．C．0＜x＜10D．7＜x＜8
8．如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．
A．4B．16C．23D．24
9．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）A．1个B．4个C．7个D．10个
10．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为．
12．如图，AD平分∠BAO，D（0，﹣3），AB＝10，则△ABD的面积为．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝2，则AD＝．
14．平面直角坐标系中，已知A（4，3）、B（2，1），x轴上有一点P，要使PA﹣PB最大，则P点坐标为
15．△ABC的三个内角满足5∠A＞7∠B，5∠C＜2∠B，则△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”
或“钝角”）
16．在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝20°，平面内有一异于A、B、C、E的D点，若△ABC ≌△CDA，则∠DAE的度数为．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
18．（8分）已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长．
19．（8分）如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，
求证：OP垂直平分AB．
20．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）求出△A1B1C1的面积．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAD＝60°，∠C＝α
（1）用α表示∠BAD，则∠BAD＝；
（2）求∠EDB的度数．
22．（10分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，∠ADC＝∠BAE．
（1）求证：∠DAE＝45°；
（2）过B作BF⊥AD于F交直线AE于M，连CM，画出图形并判断BM与CM的位置关系，说明理由．
23．（10分）如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径．
同学甲：牧马人把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处
同学乙：作A点关于直线MN的对称点A1，再作A1关于直线l的对称点A2，连A2B交直线l于P，连PA交MN于Q，则路径A→Q→P→B为最短路径．
你认为哪位同学方案正确？并证明其正确性．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A（m，1），点B（3，n），C，D是y轴上两点（1）如图1，△AOC和△ABD是等边三角形，连接BC并延长交x轴于E，求CE的长；
（2）如图2，直线AC交x轴于E，∠DCA的平分线交直线OA于F，FD⊥y轴于D，交直线AC于G，若m＝1，请你写出线段OD，EG与DG之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若m＝2，n＝4，在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断．
【解答】解：A、∵3+4＜8，∴3、4、8不能组成三角形，故本选项错误；
B、∵5+6＝11，∴5、6、11不能组成三角形，故本选项错误；
C、∵5+6＞10，∴5、6、10能组成三角形，故本选项正确；
D、∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；
B、是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；
C、不是轴对称图形，符合题意，本选项正确；
D、是轴对称图形，不符合题意，本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．【分析】直接利用关于x轴对称，则其纵坐标互为相反数进而得出答案．
【解答】解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4．【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以每一个外角的度数即可得到边数．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，
∴边数n＝360°÷60°＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
5．【分析】添加的条件取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【解答】解：A．当DE＝AB，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（SAS）．
B．当CE＝CB，CD＝CA，∠D＝∠A时，不能得到△ABC≌△DEC．
C．当∠DEC＝∠B，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（AAS）．
D．当∠ECD＝∠BCA，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（ASA）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
6．【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．
【解答】解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．
∴∠BAC＝120°．
故∠BAC的度数是120°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．7．【分析】根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意可得：第二条边长为（2x﹣4）米，
∴第三条边长为20﹣x﹣（2x﹣4）＝（24﹣3x）米；
由题意得，
解得＜x＜6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．
8．【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【解答】解：如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．9．【分析】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．
10．【分析】如果设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，根据三角形的面积公式，先用含S、h 的代数式分别表示出三边的长度，再由三角形三边关系定理，列出不等式组，求出不等式组的解集，得到h的取值范围，然后根据h为整数，确定h的值．
【解答】解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为，则
．
由三边关系，得，
解得．
所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个角是（180°﹣100°）＝40°，
即40°，40°．
故答案为：40°，40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角只能是顶角．
12．【分析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，即可求得△ABD的面积．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAO，∠AOD＝90°，D（0，﹣3），
∴DE＝DO＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB?DE＝×10×3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE＝OD是解此题的关键，解题时注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
13．【分析】由含30°角的直角三角形的性质得出AB＝2BC，BC＝2BD＝4，得出AB，即可得出AD．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角的互余关系；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14．【分析】根据|PA﹣PB|≤AB，即可得到当A，B，P三点共线时，PA﹣PB最大值等于AB长，依据待定系数法求得直线AB的解析式，即可得到P点坐标．
【解答】解：∵A（4，3）、B（2，1），x轴上有一点P，
∴|PA﹣PB|≤AB，
∴当A，B，P三点共线时，PA﹣PB最大值等于AB长，
此时，设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，3）、B（2，1）代入，可得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
令y＝0，则x＝1，
∴P点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB的解析式是解决问题的关键．15．【分析】利用已知条件，结合等式性质1可得5∠A+＞5∠B+5∠C，整理得∠A＞∠B+∠C，再利用等式性质，左右同加上∠A，结合∠A+∠B+∠C＝180°，解不等式可得∠A＞90°，从而可判断三角形的形状．
【解答】解：∵5∠A＞7∠B，2∠B＞5∠C，
∴5∠A+2∠B＞7∠B+5∠C，
即5∠A+＞5∠B+5∠C，
∴∠A＞∠B+∠C，
不等式两边加∠A，可得
2∠A＞∠A+∠B+∠C，而∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＞180°，
即∠A＞90°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故答案是：钝角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、不等式的性质的运用，解题的关键是掌握三角形内角和定理．16．【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图：
∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝20°，
∴∠BAC＝70°，∠ACB＝∠ABC＝55°，
∵△ABC≌△CDA，
∴∠CAD＝∠ACB＝55°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝55°+70°＝125°，
当△ABC为钝角三角形时，∠DAE＝15°、105°和35°
故答案为：125°、15°、105°和35°
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答．
三、解答题（共8题，共72分）
17．【分析】要证∠B＝∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．
18．【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．
【解答】解：当4为腰，9为底时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
当腰为9时，
∵9+9＞4，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：9+9+4＝22．
【点评】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
19．【分析】根据角平分线性质得出PA＝PB，根据HL证Rt△PAO≌Rt△PBO，推出OA＝OB，根据等腰三角形性质推出即可．
【解答】证明：∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴OA＝OB，
∵OP平分∠AOB，
∴OP⊥AB，OP平分AB，
即OP垂直平分AB（三线合一）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，等腰三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
20．【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（2，2）；
（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3＝2
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．21．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝α，根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣2α，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ADE＝（180°﹣∠BAD）＝30°+α，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝α，
∴∠BAC＝180°﹣2α，
∵∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝120°﹣2α；
故答案为：120°﹣2α；
（2）∵AE＝AD，
∴∠ADE＝（180°﹣∠BAD）＝30°+α，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°+α，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．【分析】（1）先求出∠B＝45°，再证明∠DAE＝∠B，即可证明：∠DAE＝45°；
（2）证明A，C，M，B四点共圆，即可判断BM⊥CM．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAE＝∠DAE+∠BAD，
∴∠ADC＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠B＝45°；（2）如图，
∵BM⊥AF，
∴∠AFM＝90°．
∵∠FAM＝∠DAE＝45°，
∴∠AMF＝45°＝∠ACB，
∴A，C，M，B四点共圆，
∴∠BAC+∠BMC＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BMC＝90°，即BM⊥CM．
【点评】本题考查等腰直角三角形，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【分析】作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，即可得到结论．
【解答】解：同学乙的正确，如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ+PQ+BP是最短路线，
即AQ+PQ+BP＝A′B′，
根据是两点之间线段最短．
【点评】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．
24．【分析】（1）过点A作AM⊥OD，可得OM＝CM＝1，由题意可证△AOD≌△ACB，可得∠ACB＝∠DOA＝60°＝∠CEO，再根据锐角三角形函数可求CE的长；
（2）过点F作FH⊥CE，FM⊥OE，由题意可得OA平分∠COE，即可证DF＝OD，根据角平分线的性质，可得EF平分∠CEM，即可证GF＝GE，则可得GE＝OD+GD；
（3）分AB＝AP，AP＝BP两种情况讨论，根据两点距离公式，勾股定理，一次函数性质可求点P坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥OD，垂足为点M，
∵△AOC和△ABD是等边三角形，
∴AC＝OA＝OC，AD＝AB，∠CAO＝∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝∠DAO，且AC＝AO，AD＝AB，
∴△AOD≌△ACB（SAS）
∴∠ACB＝∠DOA＝60°，
∴∠ECO＝180°﹣∠ACO﹣∠ACB＝60°
∵△AOC是等边三角形，AM⊥OD，
∴OM＝CM
∵点A（m，1）
∴OM＝CM＝1，
∴CO＝2，
∵cos∠ECO＝＝
∴CE＝2CO＝4；
（2）GE＝OD+GD，
如图，连接EF，过点F作FH⊥CE，FM⊥OE，
∵m＝1
∴A（1，1），且O（0，0）
∴直线OA解析式为：y＝x，
∴OA平分∠COE，
∴∠COF＝45°，且DF⊥OC，
∴∠DFO＝∠COF＝45°，
∴OD＝DF，
∵CF平分∠DCE，DF⊥CD，FH⊥CE，
∴DF＝FH，
∵OA平分∠COE，DF⊥OD，FM⊥OE，
∴DF＝FM，
∴FM＝FH，且FM⊥OE，FH⊥CE，
∴EF平分∠CEM，
∴∠GEF＝∠FEM，
∵DF⊥OD，OM⊥OD，
∴DF∥OM，
∴∠DFE＝∠FEM
∴∠GEF＝∠DFE
∴GF＝GE，
∴GE＝GD+DF＝GD+OD
（3）如图，过点A作AN⊥x轴，
∵m＝2，n＝4，
∴点A（2，1），点B（3，4），
∴BC＝＝
若AP＝BA，则NP＝＝3
∵点N（2，0）
∴P1（5，0），P2（﹣1，0）
若AP＝BP，则点P在AB的垂直平分线上，
∵点A（2，1），点B（3，4），
∴直线AB解析式为：y＝3x﹣5，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为：y＝﹣x+
∴当y＝0时，x＝10
∴点P3（10，0）
综上所述：点P的坐标为（﹣1，0），（5，0），（10，0）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，待定系数法求函数解析式以及分类思想等知识，利用角平分线的性质证明线段相等是本题的关键．