石家庄铁道大学四方学院毕业设计
基于提升小波多分辨分析的语音信号
和图像去噪
Speech Signal and Image Denoising Analysis Based on Lifting Wavelet Transfrom
2012 届电气工程系
专业电子信息工程
学号 20086373
学生姓名孙磊 __
指导教师 _汪西原 ___
完成日期 2012年 5 月 15 日
毕业设计成绩单
学生姓名孙磊学号20086373 班级方0809-3专业电子信息工程毕业设计题目基于提升小波多分辨分析的语音信号和图像去噪
指导教师姓名汪西原
指导教师职称教授
评定成绩
指导教师得分
评阅人得分
答辩小
组组长得分
成绩：
院长(主任) 签字：
年月日
毕业设计任务书
题目基于提升小波多分辨分析的语音信号和图像去噪
学生姓名孙磊学号20086373 班级方0809-3专业电子信息工程
承担指导任务单位电气工程系导师
姓名
汪西原
导师
职称
教授
一、主要内容
(1)提升小波变换的原理及其多分辨分析的特性；
(2)体现提升小波多分辨分析相比Mallat算法的优势；
(3)小波基的选择对语音信号和图像去噪有何影响；
(4)研究衡量语音信号和图像去噪的技术指标以及针对的对象；
(5)衡量提升小波对语音信号和图像去噪比起其他算法的优劣。
二、基本要求
(1)熟练掌握Matlab工具箱的运行环境及其仿真编程语言；
(2)熟悉提升小波变换的原理及其多分辨分析的特性，以便与滤波器结合起来；
(3)熟悉小波基函数的基本特性；
(4)熟悉在Matlab环境下如何载入语音信号和图像，并对其加噪；
(5)对不同噪声的类型能够选择合适的小波基函数和小波分解级数；
(6)利用提升小波变换和其他算法对相同的图像或信号进行处理，比较分析仿真结果。
三、主要技术指标
软件环境：Matlab工具箱
设计论文以提升小波变换的多分辨分析的基本理论作为本设计的支持。在理论上实现提升小波变换的去噪，并给出仿真结果和评价。论文正文不少于1.5万字，查阅文献资料不少于15篇，其中外文文献2篇以上，翻译与课题有关的外文资料不少于3000汉字。
四、应收集的资料及参考文献
收集关于提升小波变换的多分辨分析、滤波器设计、信号或图像处理，以及Matlab工具箱的使用等方面的资料和参考文献。
五、进度计划
第1周—第2周：收集资料，完成开题报告
第3周—第4周：需求和可行性调试
第5周—第7周：概要设计
第8周：中期检查
第9周—第12周：详细设计和代码设计
第13周—第14周：论文审核定稿
第15周—第16周：答辩
教研室主任签字时间年月日
毕业设计开题报告
题目基于提升小波多分辨分析的语音信号和图像去噪
学生姓名孙磊学号20086373 班级方0809-3专业电子信息工程
一、研究背景
基于提升小波多分辨分析的语音信号和图像去噪是小波理论中的一项重要的内容。本课题提出基于提升系统的小波多分辨分析的语音信号和图像去噪主要目的是体现提升小波对语音信号和图像去噪比起其他算法的优势，突出感兴趣的部分，其研究具有很重要的意义。表现为以下几个方面：
提升小波方法的实现形式给出了小波完全的空间域解释，与传统小波去噪相比，它具有许多优良特性：结构简单，运算量低，原位运算，节省存储空间，逆变换能够直接反转实现，以及可逆的整数到整数变换，便于实现。
小波多分辨分析能多尺度多角度提取信号特征，可在不同尺度上将噪声和信号明显地区分开来，并且能够注意到图像的边缘细节。
提升系统的小波变换是基于提升方案的小波变换，比传统的小波变换有很多的优越性：①传统的小波变换都是通过Mallat算法实现的，而提升系统的小波变换要比Mallat算法的计算量减少一半；②逆变换简单、直接，并且意义明确；③只占少量的存储空间；④边缘处理容易。
用提升的算法来构造小波库在对其进行去噪的过程中可以自适应的选择不同的滤波器。
二、国内外研究现状
小波分析是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，小波变换具有多分辨分析的性能，能从不同的角度和尺度进行时域和频域分析，能对尺度提取信号特征，并在不同尺度上将噪声和信号明显的区分开来，因此基于小波多分辨分析的研究在信号去噪和图像去噪上都有很大的优势。
然而随着科学技术不断的发展，在去噪处理领域，处理的信号和图像不仅要满足较高的视觉要求，而且也要求进一步提高精度，解决处理速度的问题，所以就要在小波多分辨分析的基础上开发一种新的处理方法，来解决处理的速度问题。1995年，Wim Sweldens和P.Schroder在文献中正式提出了小波提升格式及第二代小波的概念。1996年，Wim Sweldens 正式提出了提升小波变换理论后，在信号处理领域和图像去噪方面都得到了非常广泛的应用，并且被选做了JPEG2000的变换核，提升小波变换用于语音信号去噪和图像去噪也得到了良好的效果。
三、研究方案
(1)掌握提升小波变换的原理及其多分辨分析的特性；
(2)掌握滤波器设计的基本方法，熟悉在Matlab环境下载入语音信号和图像，并对其加噪；
(3)研究小波基的选择对语音信号和图像去噪的影响，小波基的选择应考虑以下几个方面：正交性，紧支撑性，对称性，正则性，消失距等；
(4)分别用小波和提升小波分别对语音信号和图像进行去噪，对去噪效果从视觉直观图和峰值信噪比、均方误差等参数上进行对比，比较效果；
(5)衡量提升小波对语音信号和图像去噪比起其他算法的优劣，分别用直观图和相关参数
衡量去噪效果。
四、预期结果
(1)完成对提升小波变换的原理及其多分辨分析的特性分析，掌握提升小波去噪的理论基础；
(2)实现对语音信号和图像的加噪；
(3)实现对不同类型的噪声能够选择合适的小波基函数和小波分解级数，能够选择合适的技术指标对其进行有效的衡量的功能；
(4)实现提升小波变换对信号和图像的去噪，完成提升小波对语音信号和图像去噪比起其他算法的对比，提升小波去噪效果较好。
指导教师签字时间年月日
摘要
基于提升小波多分辨分析的语音信号和图像去噪是小波理论中的一项重要的内容，它是解决去噪问题的一种非常有效手段，提升系统的小波变换是基于提升方案的小波变换，比传统的小波变换有很多的优越性。本课题提出基于提升系统的小波多分辨分析的语音信号和图像去噪主要目的是体现提升小波对语音信号和图像去噪比起其他算法的优势。
本课题采用了对比的方法，对cameraman图像和leleccum信号加入自定义噪声，噪声方差为0.5，利用haar小波函数对该图像和信号进行二级分解，分别用小波变换和其对应的提升小波进行图像和信号去噪，并采用空域滤波和频域低通滤波对其去噪，给出了仿真结果，从视觉直观图和峰值信噪比、均方误差等参数上进行了分析对比，比较其效果，体现了提升小波对语音信号和图像去噪比起其他算法的优劣。
仿真结果表明，提升小波和传统小波相比，其优点在于计算简单，编程容易，速度快，该算法去噪后的图像质量优于一般小波变换和传统方法。
关键词：小波变换提升小波图像消噪信号去噪
Abstract
Based on lifting wavelet multiresolution analysis of the speech signal and image denoising in wavelet theory is an important content, it is to solve denoising problem is a very effective means, lifting system based on lifting scheme wavelet transform is wavelet transform, than the traditional wavelet transform has many advantages. In this paper based on the lifting system of the multi resolution analysis of wavelet transform in speech signal and image denoising the main purpose is to reflect the lifting wavelet transform for speech signal and image denoising compared with other algorithm's advantage.
In this paper in order to reflect the lifting wavelet denoising effect, this paper adopts the comparative method, adding a custom noise, the noise variance is 0.5. The denoising by using two layers of decomposition and Haar wavelet basis function, respectively, using the wavelet transform and its corresponding lifting wavelet for image and signal denoising, the simulation results are given, from the visual chart and peak signal to noise ratio, mean square error, parameters are analyzed and compared, compare its effect, embodies the lifting wavelet transform for speech signal and image denoising compared to other algorithms.
In this paper, the algorithm is realized by using Matlab software platform. The simulation results show that compared with traditional wavelet transform, lifting wavelet, has the advantages of simple calculation, programming easy, fast speed, the algorithm for denoising the image quality is generally better than traditional method wavelet transform.
Key Words: Wavelet transform Lifting wavelet Image de-noising Signal de-noising
目录
第1章语音信号和图像与噪声 (1)
1.1噪声语音信号和图像模型及噪声特性 (1)
1.1.1含噪模型 (1)
1.1.2噪声特性 (1)
1.2语音信号和图像质量的评价 (2)
1.2.1主观评价 (2)
1.2.2客观评价 (2)
第2章语音信号和图像去噪方法 (4)
2.1传统去噪方法 (4)
2.1.1空域滤波 (4)
2.1.2频域低通滤波法 (5)
2.2小波去噪 (7)
第3章小波变换理论基础 (9)
3.1引言 (9)
3.2小波理论的基本概念 (9)
3.2.1连续小波变换 (9)
3.2.2离散小波变换 (11)
3.3多分辨分析特性 (14)
3.4小波基的选择 (15)
第4章提升小波去噪基本原理 (17)
4.1提升小波去噪概述 (17)
4.1.1提升小波去噪法 (17)
4.1.2提升算法的过程 (17)
4.2利用提升方案构造小波基函数 (18)
4.2.1提升方案的基本原理 (19)
4.2.2把小波变换分解成基本的提升步骤 (20)
4.2.3整数小波变换 (25)
第5章基于M ATLAB的图像和语音信号噪声仿真与分析 (28)
5.1小波分级层数对去噪效果的影响 (28)
5.2小波基函数对去噪效果的影响 (29)
5.3提升小波去噪仿真结果与分析 (30)
总结与展望 (32)
参考文献 (33)
致谢 (34)
Ⅰ
附录 (35)
附录A外文资料 (35)
附录B程序清单 (49)
Ⅰ
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1
第1章 语音信号和图像与噪声
人类获取外界信息有视觉、听觉、触觉、味觉等多种方法，但绝大部分(约80%)是来自视觉所接收的语音信号和图像信息，即所谓“百闻不如一见”。而语音信号和图像处理就是对语音信号和图像信息进行加工处理，以满足人的视觉心理和实际应用的要求。因此，语音信号和图像处理技术的广泛研究和应用是必然的趋势。在分析和使用语音信号和图像之前，需要对语音信号和图像信号进行一系列处理。比如调整语音信号和图像存储的格式，对语音信号和图像进行去噪等。语音信号和图像处理是针对性很强的技术，根据不同用途、不同要求采用不同的处理方法。采用的方法是综合各学科较先进的成果而形成的，如数学、物理学、心理学、生理学、医学、计算机科学、通信理论、信号分析、控制论和系统工程等，各学科相互补充、相互渗透才使数字语音信号和图像处理技术飞速发展。
根据本文研究的内容，我们只探讨语音信号和图像去噪这一语音信号和图像预处理技术。一般来说，在语音信号和图像采集、编码、传输、恢复的几个基本步骤中，影响语音信号和图像质量的因素很多。例如，现实语音信号和图像中无用的信息对我们而言就是噪声，设备、环境、获取方法等因素也会引入许多噪声干扰。如电磁干扰、相片颗粒噪声、采集语音信号和图像信号的传感器噪声、信道噪声、甚至滤波器产生的噪声等等。所以，为了提高语音信号和图像的质量以及后续更高层次的处理，对语音信号和图像进行去噪处理是不可缺少的重要环节，而寻求一种行之有效的去噪方法也是人们一直在进行的工作。
1.1 噪声语音信号和图像模型及噪声特性
1.1.1 含噪模型
现实中的数字语音信号和图像在数字化和传输过程中[1]
，常受到成像设备与外部
环境噪声干扰等影响，成为含噪语音信号和图像。去除或减轻在获取数字语音信号和图像中的噪声称为语音信号和图像去噪，在语音信号和图像去噪之前我们先要建立一个含噪语音信号和图像的模型，为了简便，我们研究如下的加性噪声模型，即含噪语音信号和图像仅由原始语音信号和图像叠加上一个随机噪声形成：
()()()y x v y x f y x g ,,,+= (1-1)
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()y x f,表示语音信号和图像，()y x v,为噪声，含噪语音信号和图像记为()y x g,。
1.1.2 噪声特性
经常影响语音信号和图像质量的噪声源可分为三类：
1、电子噪声。
在阻性器件中由于电子随机热运动而造成的电子噪声是三种模型中最简单的，一般常用零均值高斯白噪声作为其模型，它可用其标准差来完全表征。
2、光电子噪声。
由光的统计本质和语音信号和图像传感器中光电转换过程引起，在弱光照的情况下常用具有泊松分布的随机变量作为光电噪声的模型，在光照较强时，泊松分布趋向于更易描述的高斯分布。
3、感光片颗粒噪声。
由于曝光过程中感光颗粒只有部分被曝光，而其余部分则未曝光，底片的密度变化就由曝光后的颗粒密集程度变化所决定，而算曝光颗粒的分布呈现一种随机性。在大多数情况下，颗粒噪声可用高斯白噪声作为有效模型。
通过以上分析可知，绝大多数的常见语音信号和图像噪声都可用均值为零，方差不同的高斯白噪声作为其模型，因而为了简便和一般化，常采用零均值的高斯白噪声作为噪声源。
1.2 语音信号和图像质量的评价
如何评价一个语音信号和图像经过去噪处理后所还原语音信号和图像的质量[2]，对于判断去噪方法的优劣有很重要的意义。现有的评价方法一般分为主观和客观两种。
1.2.1 主观评价
主观评价通常有两种：一种是作为观察者的主观评价，这是由选定的一组人对语音信号和图像直接用肉眼进行观察，然后分别给出其对所观察的语音信号和图像的质量作好或坏的评价，再综合全组人的意见给出一个综合结论。它只是一种定性的方法，没有定量的标准，而且受到观察者的主观因素的影响，评价结果有一定的不确定性。另一种是随着模糊数学的发展，可以用模糊综合评判方法来尽量减少主观因素的影响，实现对语音信号和图像质量近似定量的评价，不过它仍然没有完全消除主观不确定性的影响，其定量计算公式中的参数往往要依赖专家经验确定。
2
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1.2.2 客观评价
语音信号和图像质量的客观评价由于着眼点不同而有多种方法[3]，这里介绍的是一种经常使用的所谓的逼真度测量。对于彩色语音信号和图像逼真度的定量表示是一个十分复杂的问题。目前应用得较多的是对黑白语音信号和图像逼真度的定量表示。合理的测量方法应和主观实验结果一致，而且要求简单易行。
对于连续语音信号和图像场合，设()y x f ,为一定义在矩形区域x x L x L ≤≤-，
y y L y L ≤≤-的连续语音信号和图像，其降质语音信号和图像为()y x f ,^
，它们之间的逼真度可用归一化的互相关函数K 来表示：
()()()??
??
----=
x
x y
y
x x y
y
L L L L L L L L dxdy
y x f
dxdy
y x f y x f K ,,,2
^
(1-2)
对于数字语音信号和图像场合，设()k j f ,为原参考语音信号和图像，()y x f ,^
为其降质语音信号和图像，逼真度可定义为归一化的均方误差值NMSE ：
()[]()()[]{}
∑∑∑∑-=-=-=-=???
?
????????-=
101
2
101
02
^,,,N j M k N j M k k j f Q k j f Q k j f Q NMSE (1-3)
式(1-3)中，运算符[]?Q 表示在计算逼真度前，为使测量值与主观评价的结果一致而进行的某种预处理。如对数处理、幂处理等，常用的
[]?Q =()[]k j f K K K b ,log 321+,1K 、2K 、3K 、b 均为常数。
另外一种常用的峰值均方误差PMSE ：
()[]()2101
02
^,,A
N M k j f Q k j f Q PMSE N j M k ??????????????-=∑∑-=-= (1-4) 式(1-4)中，A 为()[]k j f Q ,的最大值。
峰值均方误差PMSE 也被表示成等效的峰值信噪PSNR ：
()PMSE PSNR 10log 10-= (1-5)
主观评价和客观评价这两种语音信号和图像质量评价标准有各自的优缺点。由于人眼视觉特性的准确模型还没有完全建立起来，因此主观评价标准还只是一个定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。峰值信噪比能够对语音信号和图像质量给出定量的描述。它是一种数学上统计的处理方法[4]，其缺点是它并不
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是总能反映人眼的真实感觉。一种折衷的方法是在衡量语音信号和图像“去噪”算法的优劣时，将主观与客观两种标准结合起来考虑。
本课题中选择峰值信噪比和均方误差两个参数来衡量去噪的效果，因为峰值信噪比和均方误差提供了一个衡量图像和语音信号失真或是噪声水平的主要标准。
4
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第2章 语音信号和图像去噪方法
2.1 传统去噪方法
对随时间变化的信号，通常采用两种最基本的描述形式，即时域和频域[5]。时域描述信号强度随时间的变化，频域描述在一定时间范围内信号的频率分布。对应的语音信号和图像的去噪处理方法基本上可分为空间域法和变换域法两大类。前者即是在原语音信号和图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域法是在语音信号和图像的变换域上进行处理，对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换达到语音信号和图像去噪的目的。
2.1.1 空域滤波
1、均值滤波
邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅语音信号和图像()y x f ,为
N N ?的阵列，处理后的语音信号和图像为()y x g ,，它的每个像素的灰度级由包含
()y x ,领域的几个像素的灰度级的平均值所决定，即用式(2-l )得到处理后的语音信号
和图像：
()()()
∑∈=
S
j i j i f M
y x g ,,1
, (2-l ) 式中1,2,1,0,-=N y x ；s 是以()y x ,点为中心的邻域的集合，M 是s 内坐标总数。语音信号和图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径愈大，则语音信号和图像模糊程度也愈大。另外，语音信号和图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使语音信号和图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模越厉害。
2、中值滤波
中值滤波是一种非线性滤波[6]，由于它在实际运算过程中并不需要语音信号和图像的统计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被二维语音信号和图像信号处理技术所应用。
在一定的条件下，可以克服线性滤波器所带来的语音信号和图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及语音信号和图像扫描噪声最为有效。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的语音信号和图像不宜采用中值滤波的方法。
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中值滤波的基本原理是把数字语音信号和图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。
设有一个一维序列1f ，2f ，…，n f ，取窗口长度为m (m 为奇数)，对此序列进行中值滤波，就是从输入序列中相继抽出m 个数，v i f -，…，1-i f ，…，1f ，…，1+i f ，…，
v i f +，再将这m 个点按其数值大小排列，取其序号为正中间的那作为出。用数学公式
表示为：
{}v i i v i i f f f Med Y +-=,,,, 2
1
,-=
∈m v Z i (2-2) 例如：有一个序列为{0，3，4，0，7}，则中值滤波为重新排序后的序列{0，0，3，4，7}中间的值为3。此例若用平均滤波，窗口也是取5，那么平均滤波输出()8.25
70430=++++。因此平均滤波的一般输出为：
()m f f f f Z v i i v i v i i ++--+++++= 1 Z i ∈ (2-3)
对于二位序列{}ij X 进行中值滤波时，滤波窗口也是二维的，但这种二维窗口可以
有各种不同的形状，如线状、方形、圆形、十字形等。二维数据的中值滤波为： 为滤波窗口A X Med Y ij A
j i },{,= (2-4)
在实际使用窗口时，窗口的尺寸一般先用3×3再取5×5逐渐增大，直到其滤波效果满意为止。对于有缓变的较长轮廓线物体的语音信号和图像，采用方形或圆形窗口为宜，对于包含尖顶角物体的语音信号和图像，适宜用十字形窗口。使用二维中值滤波最值得注意的是保持语音信号和图像中有效的细线状物体。与平均滤波器相比
[7][8]
，中值滤波器从总体上来说，能够较好地保留原语音信号和图像中的跃变部分。
2.1.2 频域低通滤波法
在分析语音信号和图像信号的频率特性时，一幅语音信号和图像的边缘，跳跃部分以及颗粒声代表语音信号和图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表语音信号和图像信号的低频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声使语音信号和图像得到平滑由卷积定理可知：
()()()v u F v u H v u G ,,,= (2-5)
式(2-5)中，()v u F ,是含噪声语音信号和图像的傅里叶变换，()v u G ,是平滑后语音信号和图像的傅里叶变换，()v u H ,是低通滤波器传递函数。利用()v u H ,使()v u F ,的高频分量得到衰减，得到()v u G ,后再经过反变换就得到所希望的语音信号和图像
()y x g ,了。低通滤波平滑语音信号和图像的系统框图如图2-1所示：
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()()()()
??→???→???→???→?y x g v u G v u F y x f ,,,,傅里叶反变换线性低通滤波器傅里叶变换 图2-1 频域空间滤波框图
下面研究几种常用的低通滤波器： 1、理想低通滤波器(LIPF )
一个理想的低通滤波器的传递函数由下式表示：
()()()??
?>≤=0
,,0,,1,D v u D D V U D v u H (2-6) 式(2-6)中0D 是一个规定的非负的量，称为理想低通滤波器的截止频率。()v u D ,代表从频率平面的原点到()v u ,点的距离，即：
()[]
2
12
2,v u v u D += (2-7)
理想低通滤波器平滑处理的概念是清楚的，但它在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这是由于()v u H ,在0D 处由1突变到0，这种理想的()v u H ,对应的冲激响应()v u h ,在空域中表现为同心环的形式，并且此同心环半径与0D 成反比。0D 越小，同心环半径越大，模糊程度愈厉害。正是由于理想低通滤波器存在此“振铃”现象，使其平滑效果下降。
2、巴特沃思低通滤波器
巴特沃思低通滤波器(BLPF )又称作最大平坦滤波器。与LIPF 不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性，因此它的空域响应没有“振铃”现象发生，模糊程度减少。一个n 阶巴特沃思低通滤波器的传递函数为：
()()[]n
D v u D v u H 20
,11
,+=
（2-8） ()[
]
()[]
n
D v u D v u H 20,1211
,-+
=
（2-9） 与理想低通相比，它保留有较多的高频分量，所以对噪声的平滑效果不如理想低通滤波器。
一般情况下，常采用下降到()v u H ,最大值的2
1那一点为低通滤波器的截止频
率点。
3.指数低通滤波器(ELPF ) ELPF 的传递函数()v u H ,表示为：
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()()???
?????????????-=n
D v u D v u H 0,exp , (2-10)
或()()??
?
?????????????=n
D v u D v u H 0,21ln exp , (2-11)
当()0,D v u D =、1=n 时，式(2-10)，(2-11)传递函数分别为()e v u H 1,=和
()21
,=v u H ，
所以两者的衰减特性仍有不同。由于ELPF 具有比较平滑的过滤带[9]
，经此平滑后的语音信号和图像没有振铃现象，而ELPF 与BLPF 相比，它具有更快的衰减特性，因此ELPF 滤波后的语音信号和图像比BLPF 处理的语音信号和图像稍微模糊上些。综上所述，语音信号和图像的经典去噪方法主要有两大类，一种是基于空间域的处理方法，一种是基于频域的处理方法。 各种低通滤波器的性能比较如表2-1所示：
表2-1 各种低通滤波器的性能比较
振铃程度
语音信号和图像模糊程度
噪声平滑程度
理想低通滤波器 严重 严重 最好 巴特沃斯滤波器 无 很轻 一般 指数低通滤波器
无
较轻
一般 由上述经典去噪方法要么完全在频率域，要么完全在空间域展开。这两类消噪方法造成了顾此失彼的局面，虽然抑制了噪声，却损失了语音信号和图像边缘细节信息，造成语音信号和图像模糊。因此，提出了基于小波变换的去噪方法研究。小波分析由于在时域频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，能有效地把信号和噪声区别开来，因此不仅能满足各种去噪要求如低通、高通、陷波、随机噪音的去除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析信号的数学显微镜。
2.2 小波去噪
近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多分辨率特性，小波理论成功地在许多领域得到了广泛的应用。现在小波分析已经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域。在语音信号和图像去噪领域中[10]，应用小波理论进行语音信号和图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。
在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸
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带噪图像 特征信息
缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原语音信号和图像的最佳逼近，以完成原语音信号和图像和噪声的区分。这个问题可以表述为：
()()s opt f f -=ββmin arg (2-12) ()()代表最优解opt f f opt opt β= (2-13) 为噪声图像为原图像n s n s f f f f f ,,+= (2-14)
{}
(){}
J j J
j span W f f I 212,?ψ===，为实际图像 (2-15)
{}
的函数空间影射为W I T →=ββ (2-16)
由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际语音信号和图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原语音信号和图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留语音信号和图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器[11]。由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图2-2所示：
图2-2 小波去噪的等效框图
小波去噪的方法有多种，如利用小波分解与重构的方法滤波降噪、利用小波变换模极大值的方法去噪、利用信号小波变换后空域相关性进行信噪分离、非线性小波阈值方法去噪、平移不变量小波去噪法，以及多小波去噪等等。归结起来主要有三类：模极大值检测法、阈值去噪法和屏蔽(相关)去噪法。本论文主要研究在小波去噪基础上的提升小波去噪。
特征提取
低通滤波 重建图像
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第3章 小波变换理论基础
3.1 引言
傅立叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号()x f 的傅立叶变换()()dx e x f w F iwx -+∞∞
-?
=表示信号的频谱。正是傅立叶变换的这种重要的物理
意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。从数学角度来看，傅立叶变换是通过一个基函数的整数膨胀而生成任意一个周期平方可积函数。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的信号可转化为频域中的信号，因此傅立叶变换反映的是整个信号在全部时间下的整体频域特征，但不能反映信号的局部特征。
傅立叶变换有如下不足：
(1)当将一个信号变换到频域的时候，其时间上的信息就失去了。当观察一个信号的傅立叶变换，我们不可能知道特定的事件何时发生；
(2)为了从模拟信号中提取频谱信息，需要取无限的时间量，使用过去的和将来的信号信息只是为了计算单个频率的频谱；
(3)因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，对于高频谱的信息[12]，时间间隔要相对较小以给出比较好的精度。而对于低频谱的信息，时间间隔要相对较宽以给出完全的信息，亦即需要一个灵活可变的时间—频率窗，使在高“中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动变宽，傅立叶变换无法达到这种要求，它只能作全局分析，而且只对平稳信号的分析有用。
3.2 小波理论的基本概念
3.2.1 连续小波变换
设()()R L t 2∈ψ，其傅里叶变换为()w ψ，当()w ψ满足式(3-1)时，称()w ψ为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet )。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。
石家庄铁道大学四方学院毕业设计
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?∞
dw w w C 2
^
ψψ (3-1) 其中，当0=w 时，有()w ψ=0，即()0=?∞
∞-dt t ψ同时有()0=∞ψ。因此，一个允许的
基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零(即
()0=?
∞
∞
-dt t ψ)且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤
波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。
将母函数()t ψ经过伸缩和平移后得到：
()0;,,1,≠∈??
?
??-=
a R
b a a b t a