安徽省师大附中12-13学年高一上学期期中考试(数学)

师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。

一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}13,5A =,{}0,1,2B ==A B A ．∅B ．C ．D ．{}1{0,1}{}1,2,3【答案】B【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】解：，，{}13,5A = ,{}0,1,2B = {}1A B ∴⋂=故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．y =1y x =-2y x =3y x =【答案】C【分析】利用偶函数的定义判断即可．【详解】解：，不关于原点对称，不是偶函数；y =[)0,∞+是非奇非偶函数； 1y x =-是偶函数，2y x =是奇函数；3y x =故选：．C 【点睛】本题考查常见函数的奇偶性的判断，属于基础题．3．不等式的解集为（ ）()()130x x +-<A ．B ． {}13x x -<<{}31x x -<<C ．或D ．或{1x x <-3}x >{3x x <-1}x >【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，可得()()130x x +-<(1)(3)0x x +->所以或，1x <-3x >所以不等式的解集为或. {1x x <-3}x >故选：C.4．“”是“”的（ ）a b >a b >A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件必要条件的定义即得．【详解】因为，故当时，有，故成立；b b ≥a b >a b b >≥a b >取，此时，但，即由“”推不出“”；3,4a b ==-a b >a b <a b >a b >所以“”是“”的必要非充分条件．a b >a b >故选：B ．5．设命题：，，则的否定为（ ）p 1x ∀<-20x x +>p A ．，B ．， 1x ∃<-20x x +≤1x ∃≥-20x x +≤C ．，D ．， 1x ∀<-20x x +≤1x ∀≥-20x x +≤【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出的否定.p 【详解】解：命题：，， p 1x ∀<-20x x +>的否定为：，，p ∴1x ∃<-20x x +≤故选：A.6．函数的定义域为（ ） ()12f x x =-A ． B ． [)0,21,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭()(),22,-∞+∞ 【答案】C 【分析】根据被开方数是非负数以及分母不为零即得.【详解】由题，解得且， 21020x x -≥⎧⎨-≠⎩12x ≥2x ≠∴函数的定义域为． ()12f x x =+-()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C.7．已知是上的增函数，则的取值范围是（ ） ()243,2,2x x x f x t x x x ⎧-+-≤⎪=⎨+>⎪⎩(),-∞+∞t A ．B ．C ．D ． (]0,4[]2,4-[)2,-+∞(],4-∞【答案】B【分析】根据函数是上的增函数可知，在上是增函数，且()f x (),-∞+∞t y x x=+()2,∞+，即可求出的取值范围． 2242322t -+⨯-≤+t 【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得． ()f x (),-∞+∞24242322t t ≤⎧⎪⎨-+⨯-≤+⎪⎩24t -≤≤故选：B.8．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的R ()f x ()f x (),0∞-()10f =()0xf x ≥解集为（ ）A ．B ． [][)1,01,-⋃+∞[]1,1-C ．D ．(][),11,-∞-⋃+∞(][){},11,0-∞-+∞⋃ 【答案】D【分析】由奇函数的性质可得，函数在在上单调递增，结合函数性()0(1)(1)0f f f =-==()f x ()0,∞+质解不等式即可.【详解】因为为的奇函数，又，在上单调递增，()f x R ()10f =()f x (),0∞-所以，函数在在上单调递增， ()0(1)0f f =-=()f x ()0,∞+由，可得，或，或， ()0xf x ≥()00x f x <⎧⎨≤⎩()00x f x >⎧⎨≥⎩0x =由，，可得； ()00x f x <⎧⎨≤⎩(1)0f -=1x ≤-由，，可得； ()00x f x >⎧⎨≥⎩()10f =1x ≥所以的解集为.()0xf x ≥(][){},11,0-∞-+∞⋃ 故选：D.二、多选题9．已知集合，，则（ ）{N |4}A x x =∈<B A ⊆A ．集合 B ．集合可能是 B A A ⋃=A B ⋂{}123，，C ．集合可能是 D ．不可能属于 A B ⋂{}11-，0B 【答案】AB【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．{}0,1,2,3A =【详解】∵，∴，故A 正确．B A ⊆B A A ⋃=∵集合，{}{}N 40,1,2,3A x x =∈<=∵，∴集合可能是，故B 正确；B A ⊆A B ⋂{}1,2,3∵，∴集合不可能是，故C 错误；1A -∉A B ⋂{}1,1-∵，∴0可能属于集合，故D 错误.0A ∈B 故选：AB.10．下列选项中正确的有（ ）A ．不等式B ．，则 a b +≥()()()22,13M a a N a a =-=+-M N >C ．的最小值为1D ．存在a ，使得不等式 ()101y x x x =+>+12a a+≤【答案】BD【分析】根据基本不等式的条件即可判断A 、C 、D ；利用作差法即可判断B.【详解】对于A ，当时，，，故A 错误；1,0a b =-=1a b +=-0a b =>+对于B ，，所以，故B 正确； ()()()()22221323120M N a a a a a a a -=--+-=-+=-+>M N >对于C ，，当且仅当，即时，取11111111y x x x x =+=++-≥=++111x x +=+0x =等号，又因，所以，故C 错误； 0x >111y x x =+>+对于D ，当时，，所以存在，使得不等式成立，故D 正确. 1a =12a a +=a 12a a+≤故选：BD. 11．关于狄利克雷函数，有如下四个命题：其中正确的命题有（ ） ()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．， B ．，R x ∀∈()()D x D x =-Q r ∀∈()()D r x D r x -=+C ．，D ．,,R x ∀∈()()1D D x =x ∃R y ∈()()()D D y y D x x +=+【答案】ABCD【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据和x x =x =可判断D.【详解】对于A ，当为有理数时，则为有理数，则，x x -()()1D x D x -==当为无理数时，则为无理数，则，x x -()()0D x D x -==故，，故A 正确；R x ∀∈()()D x D x =-对于B ，，当是有理数时，, 是有理数，，Q r ∀∈x r x -x r +()()D r x D r x -=+当是无理数时， , 是无理数，，故B 正确；x r x -x r +()()D r x D r x -=+对于C ，若自变量是有理数，则，x []()(1)1D D x D ==若自变量是无理数，则，故C 正确；x []()(0)1D D x D ==对于D ， 当是无理数，x =y =x y +=+则，满足，故D 正确.()0,()()000D x y D x D y +=+=+=()()()D x y D x D y +=+故选：ABCD. 12．函数的图像可能是（ ） 2()x f x x a=+A ． B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.a 【详解】由题可知，函数， 2()x f x x a =+若时，则，定义域为：，选项C 可能； 0a =21()x f x x x==1x ≠若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为0a >1a =2()1x f x x =+R 0x ≠ 选项B 可能；1()1f x x x =+若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A 可能， a<01a =-2()1x f x x =-1x ≠±故不可能是选项D ，故选： ABC 【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.三、填空题13．______.()()122023220228-⎡⎤---+=⎣⎦【答案】 54【分析】根据指数幂的运算性质计算直接得出结果.【详解】原式. 213()223215(2)12212144⨯--=-+=-+=+=故答案为：. 5414．设函数，则的值为______. ()21,111,12x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩()()2f f -【答案】 3132【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入计算，即可求解.【详解】由，可得，()21,111,12x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩2(2)1(2)5f -=+-=所以. ()()51312(5)1232f f f ⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭故答案为：. 313215．已知正数满足，那么的最小值是__________．,x y 220x y xy +-=2x y +【答案】 92【详解】由得，所以 220x y xy +-=122y x +=121(2)(2)()2x y x y y x +=++⨯=5592222x y y x ++≥+=16．如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的218m 造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.【答案】42000【分析】设房屋的长为，由题可得总造价，再利用基本不等式m x 1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭即得；【详解】设房屋的长为，则宽为，则总造价 m x 18m x 1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当，即时取等号， 36600030006000300042000y x x ⎛⎫∴=+⨯+≥+⨯= ⎪⎝⎭36x x =6x =故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元.6m 3m 42000故答案为：.42000四、解答题17．设集合，.{}260P x x x =--<{}23Q x a x a =≤≤+(1)若，求；0a =P Q (2)若，求实数的取值范围；P Q P = a (3)若，求实数的取值范围.P Q =∅ a 【答案】(1)；{}03x x ≤<(2)；()()103-⋃+∞,,(3). (]3,2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞【分析】（1）求出，然后根据交集的定义运算即得；P （2）由题可得，分类讨论列出不等式即可求解；Q P ⊆（3）分与讨论，列出不等式求解即得.Q =∅Q ≠∅【详解】（1）因为，，{}{}2|6023P x x x x x =--<=-<<{}03Q x x =≤≤所以；{}03P Q x x ⋂=≤<（2），，{}23P x x =-<< {}23Q x a x a =≤≤+由，可得，P Q P = Q P ⊆当时，得，解得满足题意；Q =∅23a a >+3a >当时，得，解得，Q ≠∅232233a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩10a -<<综上，得实数的取值范围是；a ()()103-⋃+∞,,（3），，，P Q =∅ {}23P x x =-<<{}23Q x a x a =≤≤+当时，得，解得满足题意；Q =∅23a a >+3a >当时，或，解得或； Q ≠∅2323a a a ≤+⎧⎨≥⎩2332a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩5a ≤-332a ≤≤综上，得实数的取值范围是. a (]3,2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞18．已知关于的不等式．x ()()110ax x -+>(1)若此不等式的解集为，求实数的值；{}21x x -<<-a (2)若，解这个关于的不等式；a ∈R x (3)，恒成立，求实数的取值范围．()0,3x ∀∈()()11ax x x -+<a 【答案】(1) 12-(2)答案见详解(3) 7,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； 2-1-(1)(1)0(0)ax x a -+=<（2）讨论，，，又分，，时，由二次不等式的解法，即可得0a =0a >a<01a =-1a <-10a -<<到所求解集；（3）利用分离参数将原问题等价为在上恒成立，利用换元法求分式型函数的最221x a x x +<+03x <<值，结合函数的单调性可得的取值范围，从而可得的取值范围． 1()4f t t t=-a 【详解】（1）由不等式的解集为，()()110ax x -+>{}21x x -<<-可得，为方程的两根，2-1-(1)(1)0(0)ax x a -+=<可得，即； 12a=-12a =-（2）当时，原不等式即为，解得，解集为；0a =10x +<1x <-{}|1x x <-当时，原不等式化为，解集为或； 0a >()110x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1{|x x a >1}x <-当时，原不等式化为， a<0()110x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭①若，可得，解集为；1a =-2(1)0x +<∅②若，，可得解集为； 1a <-11a>-1{|1}x x a -<<③若，，可得解集为； 10a -<<11a <-1{|1}x x a <<-（3），恒成立，()0,3x ∀∈()()11ax x x -+<等价为在上恒成立，2(+)21a x x x <+03x <<由于的对称轴为， 2y x x =+12x =-所以在上单调递增，即，2y x x =+()0,3()20,12y x x =+∈可得在恒成立， 2212()212x x a x x x x++<=++03x <<令，则， 117,222t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭2212()2221144x t x x t t t+==+--令，， 1()4f t t t =-17,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭显然单调递增，所以， ()f t 24()0,7f t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时， 27,1124t t∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭-所以，即的取值范围是． 712a ≤a 7,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦19．已知定义在R 上的函数是奇函数，且当时，．()f x 0x >()222f x xx =-+(1)求和的值；()1f ()2f -(2)求函数的解析式；()f x (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域．()f x 【答案】(1)；12-(2) ()2222,00,022,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩(3)图象见详解；单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为(),1-∞-()1,+∞()1,0-()0,1(]{}[),101,∞∞--⋃⋃+【分析】（1）根据函数的解析式可直接求解，再根据奇函数的性质可求解； ()1f ()2f -（2）根据奇函数的性质即可求解；（3）结合（2）可得图象，即可求解的单调区间和值域．()f x ()f x 【详解】（1）当时，，则，0x >()222f x x x =-+()11f =又因为函数为R 上的奇函数，则； ()f x ()()222f f -=-=-（2）因为函数为R 上的奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-令，得，所以，0x =()()00f f -=-()00f =任取，则，(),0x ∈-∞()0,x -∈+∞所以，()()()222222f x x x x x -=--⨯-+=++所以， ()()222f x f x x x =--=---综上所述； ()2222,00,022,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩（3）结合（2）可得图象如下，()fx由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为和， ()f x (),1-∞-()1,+∞()1,0-()0,1值域为．()f x (]{}[),101,∞∞--⋃⋃+20．设为实数，函数. a ()()20a f x x x x=+≠(1)讨论函数的奇偶性；()f x (2)当时，证明：函数在区间上单调递增；2a =()f x ()1,+∞(3)在（2）的条件下，若，使成立，求实数的取值范围.[]1,5x ∃∈()22f x m m <-m 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)或. 1m <-32m >【分析】（1）分和两种情况讨论，利用奇偶函数的定义判断可得结果；0a =0a ≠（2）按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可；（3）利用单调性求出函数在上的最小值，再将不等式能成立转化为，解不等()f x []1,5223m m ->式即可得解.【详解】（1）当时，为偶函数，理由如下：0a =()()20f x x x =≠因为的定义域为，且，()f x (,0)(0,)-∞+∞ 22()()()f x x x f x -=-==所以为偶函数；()f x 当时，为非奇非偶函数，理由如下： 0a ≠()()20a f x x x x=+≠因为，即，所以不是奇函数，(1)(1)1120f f a a -+=-++=≠(1)(1)f f -≠-()f x 因为，即，所以不是偶函数，(1)(1)1(1)20f f a a a --=--+=-≠(1)(1)f f -≠()f x 所以为非奇非偶函数；()f x 综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；0a =()f x 0a ≠()f x （2）当时，， 2a =()22f x x x=+任取，121x x >>则 2212121222()()f x f x x x x x -=+--121212122()()()x x x x x x x x -=-+-， 12121212()2()x x x x x x x x +-=-⋅因为，所以，，，，121x x >>120x x ->121x x >122x x +>1212()20x x x x +->所以，即， 12121212()2()0x x x x x x x x +--⋅>12()()f x f x >所以函数在区间上单调递增；()f x ()1,+∞（3）由上可知函数在区间上单调递增，()f x []1,5所以函数在上的最小值为，()f x []1,5()13f =所以，即223m m ->2230m m -->解得或. 1m <-32m >【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；()k f x ≥[,]a b max ()k f x ≥②若在上恒成立，则；()k f x ≤[,]a b min ()k f x ≤③若在上有解，则；()k f x ≥[,]a b min ()k f x ≥④若在上有解，则.()k f x ≤[,]a b max ()k f x ≤21．已知幂函数为奇函数. ()()()2157R m f x m m xm --=-+∈(1)求的值； 12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若，求实数的取值范围.()()21f a f a +>a 【答案】(1)；8(2)或. 1a <-102a -<<【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即2m =3m =m 1(2f 可；（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.210a a +<<021a a <+<210a a +>>【详解】（1）由，得或，2571m m -+=2m =3m =当时，是奇函数，满足题意，2m =()3f x x -=当时，是偶函数，不满足题意，3m =()4f x x -=所以，； ()3f x x -=311822f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为的定义域为，单调减区间为，， ()3f x x -=()(),00,∞-+∞U (),0∞-()0,∞+由，可得或或，()()21f a f a +>210a a +<<021a a <+<210a a +>>解得或， 1a <-102a -<<所以实数的取值范围为或. a 1a <-102a -<<22．定义在的函数，满足，且当时，.()0,∞+()f x ()()()1f mn f m f n =++1x >()1f x >-(1)求的值；()1f (2)判断函数的单调性，并说明理由；()f x (3)若，解不等式.()21f =()()32f x f x ++>【答案】(1)；()11f =-(2)函数在上单调递增，详见解析；()f x ()0,∞+(3).{}1x x >【分析】（1）利用赋值法结合条件即得； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）将原不等式等价转化为，结合定义域和单调性即可得结果.()()34f x x f +>⎡⎤⎣⎦【详解】（1）因为， ()()()1f mn f m f n =++令，可得， 1m n ==()()()1111f f f =++所以；()11f =-（2）函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+任取，，且，则，， 1x ()20,x ∈+∞12x x <211x x >211x f x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭所以， ()()()222111111x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅>在上单调递增； ()f x \()0,∞+（3），()21f = ，()()()42213f f f ∴=++=由，可得， ()()32f x f x ++>()()()()31334f x f x f x x f +++=+>=⎡⎤⎣⎦又在上为增函数，()f x ()0,∞+所以，()30034x x x x ⎧+>⎪>⎨⎪+>⎩解得，1x >故不等式的解集为. ()()32f x f x ++>{}1x x >。

2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题（解析版）2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合,则为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件解出集合，再根据交集的概念即可求出.【详解】解：集合，又集合所以.故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.【详解】解：A.在上单调递减，在上单调递减，但是在定义域内不是减函数.B.在定义域内为减函数，但不是奇函数.C.是偶函数，也不单调递减.D.是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题.3．函数与的图象只可能是下图中的（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】观察选项AC，均单调递增，则，则直线所过定点在1的上方，选项BD，单调递减，则，则直线所过的定点在1的下方且在y轴正半轴上，由此可以判断选项.【详解】解：选项AC中，单调递增，则，过定点在（0,1）点上方，所以A、C不正确.选项BD中，单调递减，则，过定点在（0,1）点下方，所以B正确，D不正确.故选：B.【点睛】本题考查指数函数和一次函数的图像，考查指数函数的性质，属于基础题.4．已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，函数存在“倍增区间”，若函数单调递增，则，若函数单调递减，则，根据条件逐个分析选项，求解即可.【详解】解：对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确.对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确.对于C：，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若，仍然无解，所以C不正确.对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确.故选：B.【点睛】本题考查函数新定义题型，考查函数的单调性以及构造函数求解问题，属于中档题.二、填空题5．若幂函数为常数）的图象过点，则的值为_____.【答案】【解析】根据函数所过定点，可以求出函数的解析式，只需代入即可求得的值.【详解】解：因为幂函数为常数）的图象过点，所以，解得：，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查根据图像所过点求幂函数的解析式问题，考查具体函数求值问题，属于基础题.6．设，,则按从小到大排列的顺序是_______.【答案】【解析】因为，，，所以根据函数值的范围即可比较出大小顺序.【详解】解：，，，所以按从小到大排列的顺序是.故答案为：.【点睛】本题考查指对幂大小的比较，中间值法是常用的方法，属于基础图.7．已知集合若则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由得，则可根据子集的定义列出不等式求解即可.【详解】解：则，所以，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查子集的定义和运算，考查不等式的解法，属于基础题.8．函数的定义域是__________．【答案】【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.9．已知函数，则的值是______.【答案】1【解析】根据条件，先代入，求得的值，再根据函数值代入相应的解析式计算，则可求出结果.【详解】解：函数，所以，则.故答案为：1【点睛】本题考查分段函数求值，比较范围，逐步代入解析式是解题的关键，属于基础题.10．若，则______【答案】1【解析】由求得，，利用对数的运算法则化简即可.【详解】因为，所以，则，故答案为1.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.11．函数的最小值是______.【答案】2【解析】令，对函数进行换元，则原式等价于求的最小值.对二次函数配方即可求函数的最小值.【详解】解：令，则原式等价于求的最小值.，函数图像开口向上，对称轴为，所以当时，y有最小值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查求复合型二次函数的最小值，解题的关键是换元后注意范围的变化，属于基础题.12．已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，若，则满足的实数的取值范围是______.【答案】【解析】函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，可以得出在区间上是单调减函数，又，所以，结合单调性即可求出的解，将整体代入，即可求出某的范围.【详解】解：函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，所以在区间上是单调减函数，又，所以.的解为：，则的解为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数奇偶性单调性的综合应用，考查整体代换和转化的思想，解题的关键是时刻注意函数的定义域，属于基础题.13．若函数在区间上有，则的单调减区间是_______.【答案】【解析】由题意当时，，又，得.则根据复合函数的单调性即可求出的单调减区间.【详解】解：因为，所以，又，所以.根据复合函数单调性法则：的单调减区间为的单调增区间，又，所以的单调减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查对数函数的取值范围，考查求复合函数的单调区间，解题的关键是注意函数的定义域，属于基础题.14．设函数，则使得成立的实数的取值范围是_______.【答案】或.【解析】观察函数，可知函数为偶函数，且在区间上单调递增，则根据函数的奇偶性和单调性，若成立，则，求解即可得出的取值范围.【详解】解：函数为偶函数，且在区间上单调递增，所以若成立，则，变形为：解得：或.故答案为：或.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.三、解答题15．计算（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据指数的运算性质化简即可.（2）根据对数的运算性质化简即可求出答案.【详解】解：（1）=.（2）=.【点睛】本题考查指数函数，对数函数的运算性质，解题的关键是牢记公式并且灵活运用，属于基础题.16．已知全集，集合（1）求；（2）设实数，集合,若求a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）求出集合B，根据并集的定义和运算求出即可.（2），又，所以，则根据交接为空集列出不等关系求解即可.【详解】解：（1）=，又集合，所以.（2）集合，又，所以.，，则或，解得：或.【点睛】本题考查并集的概念和运算，考查根据交集为空求解，涉及到指数函数的运算，属于基础题.17．已知函数（1）求函数的定义域（2）求不等式成立时，实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)函数的定义域为和定义域的交集，求出函数和的定义域，再求交集即可求出结果.(2)等价于，解不等式，再结合定义域即可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）的定义域为，的定义域为.所以函数的定义域为.（2）不等式，等价于，即：，解得：.又定义域为，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，属于基础题.18．已知定义在上的函数的图像关于原点对称（1）求实数的值;（2）求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，代入即可求出m的值.（2）由（1）可求，结合指数函数的性质即可求值域.【详解】解：（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，则有，所以.证明，当时，，关于原点对称，所以成立.（2），由于，所以，所以.所以的值域为.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，同时考查了指数函数值域的求解，属于中档题.19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：.如图，学校在点处，商店在点,小明家在点处，某日放学后，小明沿道路从学校匀速步行到商店，已知小明的速度是每分钟1个单位长度，设步行分钟时，小明与家的距离为个单位长度.（1）求关于的解析式;（2）做出中函数的图象，并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，从A到B直线行走，起始点的横坐标为1，所以步行分钟后，横坐标为，不变，则根据距离的新定义可求出关于的解析式.（2）根据解析式做出图像，由图像解方程即可求出结果.【详解】解：（1）步行分钟时，小明仍在AB之间，所以小明的坐标为，则小明与家的距离为.所以关于的解析式为：.（2）图像如图：.当故当小明离家的距离不大于7个单位长度时，.【点睛】本题考查函数与解析式新定义题型，考查根据解析式做出函数图像，解题的关键是对新定义一定要理解深刻，属于中档题.20．设M为满足下列条件的函数构成的集合，存在实数，使得.（1）判断是否为M中的元素，并说明理由；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知的图象与的图象交于点，,证明：是中的元素，并求出此时的值（用表示）.【答案】（1）是；（2）[3﹣，3+]；（3）某0＝，证明见解析【解析】根据集合M的定义，可根据函数的解析式f（某0+1）＝f（某0）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符合集合M的定义；（2）设h（某）＝∈M，则存在实数某，使h（某+1）＝h（某）+h （1）成立，解出a的取值范围即可；（3）利用f（某0+1）＝f（某0）+f（1）和y＝2e某（某＞）的图象与y＝为图象有交点，即对应方程有根，与求出的值进行比较即可解出某0．【详解】解：（1）设g（某）为M中的元素，则存在实数某0，使得f（某0+1）＝f（某0）+f（1）；即（某+1）2＝某2+1，∴某＝0，故g（某）＝某2是M中的元素．（2）设h（某）＝∈M，则存在实数某，使h（某+1）＝h（某）+h （1）成立；即lg＝lg+lg；∴＝；∴（a﹣2）某2+2a某+2a﹣2＝0，当a＝2时，某＝﹣；当a≠2时，则△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；解得a2﹣6a+4≤0，∴3﹣≤a≤3+且a≠2；∴实数a的取值范围为：[3﹣，3+]．（3）设m（某）＝ln（3某﹣1）﹣某2∈M，则m（某0+1）＝m（某0）+m（1）；∴ln[3（某0+1）﹣1]﹣（某0+1）2＝ln（3某0﹣1）﹣某02+ln2﹣1；∴ln＝2某0；∴＝；∴＝2；由于y＝2e某（某＞）的图象与y＝为图象交于点（t，2et），所以2et＝；令t＝2某0，则2＝＝；即存在某0＝，使得则m（某0+1）＝m（某0）+m（1）；故m（某）＝ln（3某﹣1）﹣某2是M中的元素，此时某0＝．【点睛】本题主要利用元素满足恒等式进行求解，根据指数和对数的性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。

一、单选题1．已知集合，，则为（ ）{}2230A x x x =+-<{}1B x x =≥-A B ⋃A ． B ． C ． D ．[]3,1--[)1,1-[]1,1-()3,-+∞【答案】D【分析】解出不等式，然后根据集合的并集运算可得答案.2230x x +-<【详解】因为，，{}{}223031A x x x x x =+-<=-<<{}1B x x =≥-所以， {}3A B x x =>- 故选：D2．下列函数中既是偶函数，又在内单调递增的为（ ） ()0,∞+A ． B ． C ． D ．2y x -=2y x -=-3y x -=3y x -=-【答案】B【分析】根据幂函数的基本性质对各选项中函数的奇偶性及其在上的单调性进行判断，可()0,∞+得出结论.【详解】对于A 选项，函数为偶函数，且在上单调递减； 2y x -=()0,∞+对于B 选项，函数为偶函数，且在上单调递增； 2y x -=-()0,∞+对于C 选项，函数为奇函数，且在上单调递减； 3y x -=()0,∞+对于D 选项，函数为奇函数，且在上单调递增. 3y x -=-()0,∞+故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉幂函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.3）的分数指数幂形式为（ ） 0a >A ． B ．C ．D ．34a -34a 43a -43a 【答案】A【分析】由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可.【详解】. 1333242411a aa⨯-===故选：A.【点睛】本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题.4．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）()()2213f x x m x =-+-+(]3,4-m A ． B ． C ． D ．[3,)-+∞[3,)+∞(,5]-∞(,3]-∞-【答案】D【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意()()2213f x x m x =-+-+1x m =-14m -≥，解得，即 3m ≤-(],3m ∈-∞-故选：D5．已知，，，则，，的大小关系是（ ） 133a =159b =295c =a b c A ． B ． C ． D ．a b c <<a c b <<c<a<b c b a <<【答案】C【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可 【详解】∵，， 111365399a b ==<=21119993525273c a ==<==∴． c<a<b 故选：C ．6．下列结论正确的是（ ） A ．若，则B ．若，则 0a b >>11a b>0a b >>1122a b >C ．若，则 D ．若，则0a b <<22a b <0a b <<22a b >【答案】B【分析】根据不等式的性质及指数函数、幂函数的性质判断即可； 【详解】解：对于A ：若，则，故A 错误；0a b >>110a b<<对于B ：因为幂函数在上单调递增，所以当时，故B 正确； 12y x =()0,∞+0a b >>1122a b >对于C ：若，则，所以，故C 错误；0a b <<a b >22a b >对于D ：因为指数函数在定义域上单调递增，所以当时，故D 错误； 2x y =R 0a b <<22a b <故选：B.7．已知,且,那么等于( ) 531()8f x x ax x=++-()216f -=()2f A ．16 B ．－16 C ．－24 D ．－32【答案】D【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解【详解】设,则 531()g x x ax x =++531()()g x x ax g x x-=---=-所以 ()()0g x g x +-=因为()()8f x g x =-所以()()()8()816f x f x g x g x +-=-+--=-所以,即 (2)(2)16f f +-=-(2)16(2)161632f f =---=--=-故选：D8．核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足，其中为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知()0lg lg 1lg n X n p X =++0X 某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（）（参考数据：，）0.2510 1.778≈0.25100.562-≈A ．22.2% B ．43.8% C ．56.02% D ．77.8%【答案】D【分析】根据列方程，结合指数、对数运算求得正确答案. ()0lg lg 1lg n X n p X =++【详解】依题意，()120lg 12lg 1lg X p X =⋅++， ()()00lg 100012lg 1lg X p X =⋅++，()00lg1000lg 12lg 1lg X p X +=⋅++，()()312lg 1,lg 10.25p p =⋅++=. 0.250.25110,1010.77877.8%p p +==-≈=故选：D二、多选题9．在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．命题“，使得”的否定是“，都有” R x ∃∈210x x ++<R x ∀∈210x x ++≥B ．当时，的最小值是5 1x >41x x +-C ．若不等式的解集为，则 220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=D ．“”是“”的充要条件 1a >11a<【答案】ABC【分析】利用特称命题的否定为全称命题可判断A ，利用基本不等式可判断B ，利用二次不等式的解法可判断C ，利用充分条件必要条件定义可判断D.【详解】对于A ，命题“，使得”的否定是“，都有”故A 正R x ∃∈210x x ++<R x ∀∈210x x ++≥确；对于B ，当时，，当且仅当，即1x >44111511x x x x +=-++≥=--411x x -=-3x =时，等号成立，故B 正确；对于C ，由不等式的解集为，可知，∴220ax x c ++>{}12x x -<<()212,12ca a-+=--⨯=，故C 正确； 2,4,2a c a c =-=+=对于D ，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D 错误. 1a >11a <11a<1a >a<01a >故答案为：ABC.10．已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）()()()f x x a x b =--()x g x a b =-A ．B ．C ．D ．【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的a b 101性质判断即可；【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个()()()0f x x a x b =--=1x a =2x b =a b 数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递1011a >01b <<()x g x a b =-增，且，即，所以满足条件的函数图形为C ；()001g a b b =-=-()001g <<②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足1b >01a <<()x g x a b =-()0010g a b b =-=-<条件的函数图形为A ； 故选：AC11．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） x 220x ax a -+>R x ∀∈A ． B ． 01a <<01a ≤≤C ． D ．102a <<0a ≥【答案】BD【分析】根据关于的不等式对恒成立求出 的范围，在根据充分条件和必要x 220x ax a -+>R x ∀∈条件的定义即可得到答案.【详解】由题意，关于的不等式对恒成立， x 220x ax a -+>R x ∀∈则，解得，2440a a ∆=-<01a <<对于选项A 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件； 01a <<x 220x ax a -+>R x ∀∈对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条01a ≤≤x 220x ax a -+>R x ∀∈件；对于选项C 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条102a <<x 220x ax a -+>R x ∀∈件；对于选项D 中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件. 0a ≥x 220x ax a -+>R x ∀∈故选：BD.12．已知函数（，），则下列说法正确的是（ ）()2+1x xf x a=0a >1a ≠A ．函数图象关于轴对称 y B ．函数的图像关于中心对称 (0,0)C ．当时，函数在上单调递增 1a >(0,)+∞D ．当时，函数有最大值，且最大值为01a <<2a【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D. 【详解】的定义域为，当时，则，故是偶函()2+1x xf x a={}0x x ≠0x ≠()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=()f x 数，因此图象关于轴对称，故A 正确，B 错误， y 当时，，令，则， 0x >()2+11x x xxf x a a+==1u x x=+()u f u a =当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数1a >()u f u a =1u x x=+01x <<1x >的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C 错误，()2+11x x xxf x a a+==01x <<1x >当时，当时，01a <<0x >由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故()uf u a =1u x x=+01x <<1x >()2+11x x x xf x a a +==在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，01x <<1x >1x =()f x 2(1)f a =当时，由于是偶函数，故最大值为，故D 正确，0x <()f x ()21f a -=故选：AD三、填空题13．若函数，则________．()()12,12,1x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨-->⎪⎩()4f =【答案】##0.512【分析】根据分段函数，代入求值.【详解】因为时，，所以， 1x >()()2f x f x =--()()1442(2)(0)2=--=-==f f f f 故答案为：1214．函数的反函数的定义域为_________．()()2log 31xf x =+()1y f x -=【答案】()0,∞+【分析】反函数的定义域即为原函数的值域,故需求的值域即可.()1y f x -=()()2log 31xf x =+【详解】∵，∴，311x +>()2log 310x+>∴函数的值域为．()()2log 31xf x =+()0,∞+∵的定义域即函数的值域 ()1y f x -=()()2log 31xf x =+∴的定义域为．()1y f x -=()0,∞+故答案为:()0,∞+15．已知函数，则该函数的单调递增区间是______.212()log (23)f x x x =--【答案】(,1)-∞-【分析】根据复合函数单调性的判断方法，分别求内外层函数的单调性，即可求解.【详解】由，得定义域为 2230x x -->(,13,∞∞--⋃+）（）因为，所以该二次函数的对称轴为，2223(1)2=--=-+t x x x 1x =所以该二次函数单调递减区间是，单调递增区间是，对数函数是减函数，(,1)-∞-(3,)+∞12log y t =因此函数的单调递增区间是. 212()log (23)f x x x =--(,1)-∞-故答案为：(,1)-∞-16．已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．()272,11,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩R a 【答案】[]2,3【分析】由题知，解不等式组即可得答案.72212a a a -+≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩【详解】解：当时，为减函数，故1x <21y x ax =-+12a≥又因为是上的减函数，()272,11,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩R 所以，解得.72212a aa -+≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩23a ≤≤所以实数的取值范围为 a []2,3故答案为：[]2,3四、解答题 17．计算：(1)求值：； 013263290.125(2)8-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭(2)． 231lg25lg2log 9log 22+-⨯【答案】(1)81 (2)12-【分析】（1）根据指数式的运算直接计算即可； （2）根据对数式的运算直接计算即可． 【详解】（1）原式 0131132632239(2)(2)(23)8--⎛⎫⎡⎤=-++⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭；2188981=-++⨯=（2）原式2311lg5lg2lg 2log 3log 2210=+--⨯ 111222=+-=-18．已知集合，{}2230A x x x =--≤{}11B x k x k =-<<+(1)若，求；1k =()R A B ð(2)若，求 k 的取值范围． ()A B =R R U ð【答案】(1)或； {10x x -≤≤}23x ≤≤(2). []0,2【分析】（1）化简集合，然后利用补集及交集的定义运算即得；（2）由题可得，从而解出 k 的范围即可．1113k k -≥-⎧⎨+≤⎩【详解】（1）由题可得，{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤当时，， 1k ={}02B x x =<<所以或，{R 0B x x =≤ð}2x ≥所以或；()R A B ð{10x x =-≤≤}23x ≤≤（2）∵，()A B =R R U ð∴或或，{1x x <-}3x >⊆{1x x k ≤-}1x k ≥+∴， 1113k k -≥-⎧⎨+≤⎩解得，02k ≤≤∴实数 k 的取值范围为．[]0,219．已知定义域为R 的函数是奇函数．()22x x b f x a -+=+(1)求a ，b 的值．(2)判断函数的单调性，并用定义证明． ()f x 【答案】(1)，=1a 1b =(2)在上为减涵数，证明见解析 ()f x (),-∞+∞【分析】（1）根据奇函数的性质，列方程求，再验证函数满足奇函数的定义； ,a b （2）根据函数的单调性的定义，即可证明.【详解】（1）因为在定义域为R 上是奇函数，所以，即， ()f x ()00f =101ba-+=+∴，又，即，∴． 1b =()()11f f -=- 1112122a a -+=++=1a 则，由，()2121x x f x -+=+()()211221211221x x x x x x f x f x ---+-+-+-===-=-+++则当，原函数为奇函数．=1a 1b =（2）由（1）知， ()()2122121212121x x x x x f x -++-+===-++++任取，设，12,R x x ∈12x x <则， ()()()()()122121212222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++因为函数在R 上是增函数，，．2x y =12x x < 12220x x ∴-<又，()()1221210x x++>，即，∴在上为减涵数．()()210f x f x ∴-<()()21f x f x <()f x (),-∞+∞20．设函数． 2()2(,)f x x ax b a b =-+∈R (1)当时，求不等式的解集；2b a =-()0f x <(2)当时，不等式对一切恒成立，求实数a 的取值范围． 4b =()0f x ≥,()0x ∈+∞【答案】(1)具体见解析 (2)a ≤【分析】(1) 把时代入，整理化简得，根据对应二次方程根的情2b a =-()0f x <(2)()0x a x a +-<况，讨论解不等式；(2) 当时，对在反解参数，得到，只需，利用基4b =()0f x ≥,()0x ∈+∞42a x x≤+min 42a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭本不等式求函数的最小值即得答案. 42x x+【详解】（1）由题意得，函数，2()2f x x ax b =-+当时，不等式为，即， 2b a =-()0f x <2220x ax a --<(2)()0x a x a +-<令，则方程的根为． (2)()0x a x a +-=12,2ax a x ==-①当时，不等式不成立，∴解集为．0a =220x <∅②当时，，∴不等式的解集为．0a >2a a >-,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭③当时，，∴不等式的解集为．a<02a a <-,2a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭综上，当时，不等式的解集为， 0a =∅当时，不等式的解集为，0a >,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，不等式的解集为；a<0,2a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭（2）当时，对一切恒成立， 4b =()0f x ≥,()0x ∈+∞即在上恒成立，2240x ax -+≥,()0x ∈+∞即在上恒成立，即．42a x x≤+,()0x ∈+∞min 42a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭又（当且仅当即“=”）．42x x +≥42=x x x =∴．a ≤21．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图2()(1)1(0)x g x a a -=++>A A ())f x x a =+像上.（1）求实数的值；a （2）解不等式；()f x a <（3）有两个不等实根时，求的取值范围.(2)22g x b +-=b 【答案】（1）；（2）；（3）. 1a ={|10}x x -<<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值；()f x a (2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集；x (3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围【详解】解：（1）函数的图像恒过定点A ，A 点的坐标为(2, 2)()g x 又因为A 点在上，则：()f x(2))2231f a a a =+=⇒+=⇒=（2）由题意知：1)x +<而在定义域上单调递增，知x ，即011x <+<10x -<<∴不等式的解集为{|10}x x -<<（3）由知：，方程有两个不等实根(2)22g x b +-=212x b -=若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示()|21|g x x =-()2h x b =由图像可知：，故b 的取值范围为 021b <<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围22．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本万元，且，由市()R x 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润（万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成()W x 本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)； 210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本700x 万元， 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩因此， 210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩所以2020年的利润（万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是()W x . 210600250,040()10000(9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号， 040x <<2()10(30)87508750W x x =--+≤30x =当时，，当且仅当，即40x ≥10000()()920092009000W x x x =-++≤-=10000x x =时取等号，100x =而，因此当时，，87509000<100x =max ()9000W x =所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.。

安徽师大附中2012～2013学年第一学期期中考查 高一英语试卷 命题人：田 麓 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

全卷满分100分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 第一部分 听力 (共两节，满分1分) (共5题；每小题分，满分分) 1. Why are Ted and Tyler still there？ A. They planned to stay there for another day. B. The weather had kept them there. C. They were too busy to leave yesterday. 2. What does the man take finally？A. The blue tie.B. The yellow tie.C. Both ties. 3. What is Jenny learning to use？A. A public telephone.B. A copying machine.C. A washing machine. 4. What is the total cost of the two tickets？A. 90 yuan.B. 135 yuan.C. 155 yuan. 5. What can we learn from the conversation？ A. The man will be too busy to watch the game. B. The man doesn’t like basketball. C. The man likes football very much. (共10题；每小题1分，满分10分) 听第6段材料，回答第6至7题。

6. Where did the man see Todd’s new car?A. On the way to the shop.B. In front of Todd’s house.C. In front of the man’s house. 7. Why did Todd and Cathy invite their friends to their house？ A. They wanted them to see their new car. B. They wanted to see their friends’ children. C. They wanted to show them the movies taken back from China. 听第7段材料，回答第8至10题。

安徽师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考查数学试题1. 设集合，则=（）A. （1，4）B. （1，3）C. （3，4）D.【答案】C【解析】.............. .......本题选择C选项.2. 下列函数中，与相同函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选项A中，，所以两函数的解析式不同，故两函数的图象不同。

选项B中，，所以两函数的定义域不同，故两函数的图象不同。

选项C中，，所以两函数的定义域不同，故两函数的图象不同。

选项D中，, 所以两函数的定义域、解析式都相同，故两函数的图象相同。

选D。

3. 若函数，则的值为（）A. 5B. -5C.D. 4【答案】B【解析】令本题选择B选项.4. 已知方程，下列说法正确的是（）A. 方程的解在（0，1）内B. 方程的解在（1，2）内C. 方程的解在（2，3）内D. 方程的解在（3，4）内【答案】A【解析】令则方程的解在（0，1）内.本题选择A选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5. 若函数且）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，则题中函数的解析式分别为：，其中满足题意的只有B选项.所以本题选择B选项.6. 设函数是定义在R上的函数，下列函数①②③④中是奇函数的个数（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①不能判定奇偶性，②是奇函数，③不能判定奇偶性，④是奇函数.即奇函数的个数是2个.本题选择B选项.7. 下列说法正确的为（）A. 幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点B. 均为不等于1的正实数，则C. 是偶函数D. 若，则【答案】C【解析】A中负指数幂不经过（0，0）点，所以错误；B中，这是换底公式，故错误；D中时，，故错误.本题选择C选项.8. 有一组试验数据如下表所示下列所给函数模型较适合的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.9. 已知在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可见在增，在减，已知在上单调递增，则.本题选择B选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．10. 已知奇函数在上为减函数，，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】为偶函数，又当x>0时，单调递减，单调递增，单调递增，又即本题选择D选项.点睛：对于抽象函数的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x).11. 设函数，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，本题选择A选项.12. 已知函数的零点分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图可知x1＜x2＜x3.故选B.13. 若幂函数的图像过点（4，2），则的值是_______________.【答案】【解析】设，则14. 若函数的定义域，则函数定义域是____________.【答案】[-2,6],【解析】函数的定义域，即函数定义域是[-2,6].15. 已知，，其中，若与的图象有两个不同的交点，则的取值范围是______________.【答案】(0,1),【解析】，结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围16. 已知是有序数对集合上的一个映射，正整数对在映射下的象为实数，记作，对于任意的正整数映射由下表组出：使不等式成立的的集合是____________.【答案】{1,2}【解析】绘制函数的图象如图所示，由图象可知，恒成立，由可得或.所以不等式成立的的集合是{1,2}.17. 计算下列各式的值.（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】试题分析：(1)由题意结合指数的运算法则可得所给算式的值为1；(2)由题意结合对数的运算法则可得所给算式的值为. 试题解析：（1）（2）18. 已知，，若，求的取值范围.【答案】或a>3【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况可得的取值范围是或a>3 试题解析：①若，则,此时2a>a+3,∴a>3②若，得解得综上所述，a的取值范围是或a>3.19. 解关于的不等式.【答案】①当时，②当时，【解析】试题分析：分类讨论和两种情况可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.试题解析：由题意：①当a>1时，是增函数∴∴∴②当0<a<1时，是减函数，∴∴,又∵x>1 ∴1<x<log23.20. 若是定义在上的函数，且满足，当时，.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若，解不等式.【答案】（1）增函数,证明见解析；（2）【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由时有，即在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x的不等式组，求解不等式组可得.试题解析：（1）增函数证明：令，且，则由题意知：又∵当x>1时，∴∴∴在定义域内为增函数(2)令x=4,y=2 由题意知：∴又∵是增函数，可得∴.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|==A x y ，{}|2x B y y ==，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．(]1,2D ．(]0,2【答案】D【分析】化简集合,,A B 然后利用交集运算即可求解【详解】由y 可得220x x -≥，解得02x ≤≤，故[]0,2A =，因为{}|2,xB y y ==所以()0,B =+∞，所以A B =(]0,2， 故选：D2．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x x =，则0x <时，()f x =（ ）A ．x -B ．xC ．x -D ．x【答案】C【分析】设0x <，则0x ->，求出()f x -，再根据偶函数的性质计算可得.【详解】解：设0x <，则0x ->，所以()x f x --= 又()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，所以()f x x =-()0x <. 故选：C3．已知函数()()2211f x x a x =+-+，若对区间()2,+∞内的任意两个不等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A 【分析】由()()12120f x f x x x ->-可判断函数()f x 的单调性，然后根据二次函数的对称轴即可列式求解【详解】函数()()2211f x x a x =+-+对区间()2,+∞内的任意两个不等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 因为二次函数的对称轴为：212a x -=-， 所以2122a --≤,解得32a ≥-， 所以实数a 的取值范围是3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选：A4．函数()f x 的图象是如图所示折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为1,2，()1,0，()3,2，以下说法中正确的个数为（ ）①()()31f f =；②()1f x -的定义域为[]1,3-； ③()1f x +为偶函数；④若()f x 在[],3m 上单调递增，则m 的取值范围为[)1,3. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据图象以及题意即可求得()f x 的解析式可判断①；根据函数()f x 图象特点以及定义域即可判断②；根据函数()f x 图象特点以及()1f x +与()f x 之间的关系即可判断③；根据()f x 的单调递增区间即可判断④【详解】对于①，因为A ，B ，C 的坐标分别为1,2，()1,0，()3,2，所以()1,111,13x x f x x x -+-≤<⎧=⎨-≤≤⎩，所以()()()321f f f ==，故①正确；对于②，因为()f x 的定义域为[]1,3-，所以()1f x -的定义域为[]0,4，故②错误；对于③，因为()f x 的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，所以()1f x +为偶函数，故③正确；对于④，因为()f x 在[]1,3上单调递增，则[][],31,3m ⊆，则m 的取值范围为[)1,3，故④正确； 故选：C5．已知函数()3213521x x f x x x -=++++，若()77f -=-，则()7f =（ ）A ．17B ．12C ．7-D ．17-【答案】A【分析】由()3213521x x f x x x -=++++可得()3213521x x f x x x -=-+++是奇函数，故利用奇函数的性质即可【详解】因为()()()7372177375721f ----=-+⨯-++=-+即()()773127371212--+⨯-+=-+， 所以()()()3777372112737573751721271f ⎡⎤--+⨯++=--+⨯-++=⎢⎥++⎣=⎦， 故选：A6．若函数()4323x xf x =-⋅+的值域为[]1,7，则()f x 的定义域为（ ）A ．()[]1,12,4-B ．()[]0,12,4C ．[]2,4D ．(][],01,2-∞【答案】D【分析】先利用换元思想转化为233y t t =-+的值域问题，再利用二次函数的图象、指数不等式进行求解.【详解】设2x t =，则0t >，且2()33g t t t =-+， 由题意，得233()()24g t t =-+的值域为[]1,7，且在3(0,]2上单调递减，在3[,)2+∞上单调递增，对于A ：当()[]1,12,4x ∈-时，[]1,24,162t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，显然min 33()()124g t g ==<，即选项A 错误； 对于B ：当()[]0,12,4x ∈时，()[]1,24,16t ∈，显然min 33()()124g t g ==<，即选项B 错误；对于C ：当[]2,4x ∈时，[]4,16t ∈， 显然min ()(4)7g t g ==， 即选项C 错误； 对于D ：当(][],01,2x ∈-∞时，[](0,1]2,4t ∈，则由二次函数的性质，得： 当1t =或2t =，min ()(1)1g t g ==， 当4t =时，max ()(4)7g t g ==， 即选项D 正确. 故选：D.7．设0a b >> ，则412a a b a b+++-最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【分析】由已知可得出()()41412a a b a b a b a b a b a b++=++-+++-+-，利用基本不等式可求得该代数式的最小值.【详解】因为0a b >>，则0a b +>，0a b ->， 所以，()()41412a a b a b a b a b a b a b ++=++-+++-+-426≥+=， 当且仅当21a b a b +=⎧⎨-=⎩时，即当3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立.因此，322a a b a b+++-的最小值为6. 故选：C.8．设函数()21,,43,.ax x a f x x x x a -<⎧=⎨-+≥⎩若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．2,2⎡⎤-⎣⎦B ．0,2⎡⎤⎣⎦C ．()2,22,⎡⎤-⋃+∞⎣⎦D ．()0,22,⎡⎤⋃+∞⎣⎦【答案】B【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.【详解】若0a =时，()21,0,43,0.x f x x x x <⎧=⎨-+≥⎩，()()min 21f x f ∴==-；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值；若0a >时，x a <时，()1f x ax =-+单调递减，()()21f x f a a >=-，当x a ≥时，()()()2min1,0243,2a f x a a a ⎧-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()f x 有最小值，需21102a a ⎧-≥-⎨<<⎩或221432a a a a ⎧-≥-+⎨≥⎩，解得02a <≤.故选：B【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键.二、多选题9．如图，三个圆形区域分别表示集合A 、B 、C ，则（ ）A ．Ⅰ部分表示()UAB CB ．Ⅱ部分表示A BC ⋂⋂ C ．Ⅲ部分表示(){}UB A CD ．Ⅳ部分表示(){}U A BAB C【答案】ABD【分析】观察韦恩图，可判断AB 选项；在Ⅲ部分、Ⅳ部分各取一个元素，分析所取元素与集合A 、B 、C 的关系可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，由图可知，Ⅰ部分表示()UA B C ，A 对；对于B 选项，由图可知，Ⅱ部分表示A B C ⋂⋂，B 对；对于C 选项，在Ⅲ部分所表示的集合中任取一个元素x ，则x B ∈且()x A C ∉， 故Ⅲ部分表示(){}U BAC ，C 错；对于D 选项，在Ⅳ部分表示的集合中任取一个元素a ，则()∈⋂a A B 且()a A B C ∉， 所以，Ⅳ部分表示(){}U A B AB C ，D 对.故选：ABD. 10．关于函数213x y x +=-的性质描述，正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),33,-∞+∞ B ．()f x 的值域为()(),22,-∞+∞C ．()f x 的图象关于点()3,2对称D ．()f x 在定义域上是减函数【答案】ABC【分析】首先对原式分离常数，再根据函数性质即可求解. 【详解】由题可知，212(3)772333x x y x x x +-+===+---，分母不能为0，则3x ≠，A 正确；703x ≠-，2y ∴≠，即值域为()(),22,-∞+∞，B 正确；7x关于原点对称，723=+-y x 可以由7x 的图像先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则对称中心平移为()3,2，C 正确；()f x 在()(),33,-∞+∞上不符合函数单调性的定义，D 错误. 故选：ABC11．下列叙述中正确的是（ ）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 【答案】CD【分析】对于A 和B ，通过举反例即可判断；对于C ，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断；对于D ，化简11a<即可判断 【详解】解：对于A ，当0,0,0a b c ==<时，满足240b ac -≤，但此时20ax bx c ++≥不成立，故A 错误；对于B ，若a ，b ，c ∈R ，当a c >且=0b 时，推不出22ab cb >，故B 错误； 对于C ，若方程20x x a ++=有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，则121400a x x a ∆=->⎧⎨=<⎩，解得a<0，又“1a <”是“a<0”的必要不充分条件，故C 正确； 对于D ，由11a<可得1a >或a<0， 又“1a >”是“1a >或a<0”的充分不必要条件，故D 正确． 故选：CD ．12．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]5,6上是增函数B ．()()220234f f -+=C ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()0f x b -=在(),6-∞上有6个根，则1234569x x x x x x +++++= 【答案】BD【分析】作出函数()f x 的图像，根据函数()f x 为周期为3的函数，可判定A 错误；根据函数()f x 为周期为3的函数，求得()()220234f f -+=，可判定B 正确；由直线 1y kx =+恒过定点()0,1，结合()f x 的图像和函数 1y kx =+的图像有三个交点，可判定C 错误；由12,x x ，34,x x 关于直线 32x =对称，56,x x 关于直线92x =对称，可判定D 正确. 【详解】由题意，作出函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩的图像，如图所示，对于A 中，当0x ≥，若30x -<，即03x ≤<， 可得()()()223333f x x x x x =----=-+， 当0x ≥时，()f x 为周期为3的函数， 画出 ()f x 在区间(,6]-∞的函数，可知()f x 在区间[]5,6上为减函数，所以A 错误；对于B 中，因为0x ≥时，函数()f x 为周期为3的函数，又由202367431=⨯+，所以()()()20231,2462f f f =-=-+=， ()1132f =-+=， 所以()()220234f f -+=，所以B 正确； 对于C 中，直线1y kx =+恒过定点()0,1，函数()f x 的图像和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >，设y 与()f x 相切于点 ()00,x y ，则020002313k x kx x x =-+⎧⎨+=-+⎩，解得 011k x =⎧⎨=⎩， 当0k <，根据对称性可知，当()f x 与 y 相切时，1k =-，则1310k k >-⎧⎨+<⎩，即 113k -<<-，综上可得，当函数()f x 的图像和函数1y kx =+的图像有三个交点时， {}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以C 错误．对于D 中，又由函数()y f x b =-在(),6-∞上有6 个零点()1,2,3,4,5,6i x i =， 故直线y b =与()y f x =在 (),6-∞上由6个交点， 不妨设1,1,2,3,4,5i i x x i +<=， 由图像可知12,x x 关于直线32x =对称， 34,x x 关于直线32x =对称， 56,x x 关于直线92x =对称，所以613392229222ii x==-⨯+⨯+⨯=∑，所以D 正确.故选：BD.【点睛】利用函数的图像求解方程的根的个数问题的策略：1、利用函数的图像研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图像来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与 x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图像的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.三、填空题13．已知幂函数()2233m my m m x -=-+图象不过原点，则实数m 的值为______．【答案】1【分析】由幂函数的系数为1，列方程求出实数m 的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案． 【详解】令2331m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，0y x =图象不过原点，成立； 当2m =时，2yx 图象过原点，不成立；故实数m 的值为1， 故选：114．若命题“x ∃∈R ，240x ax a +-<”为假命题，则实数a 的取值集合为______． 【答案】[]16,0-【分析】根据题意，将条件进行等价转化为对2R,40x x ax a ∀∈+-≥恒成立，进而转化为二次函数与x 轴没有交点的问题，利用判别式即可求解.【详解】因为命题“x ∃∈R ，240x ax a +-<”为假命题，所以对2R,40x x ax a ∀∈+-≥恒成立，也即对应的二次函数与x 轴没有交点，所以2=4(4)0a a ∆-⨯-≤，解得：160a -≤≤， 故答案为：[]16,0-.15．已知x ，y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则x y +的最小值为______．【答案】3【分析】由已知条件得出302xy x -=+，计算得出()32232x y x x +=++-+，利用基本不等式可求得x y +的最小值，利用等号成立的条件可求得对应的x 、y 值. 【详解】230x y xy ++=，302xy x -∴=+， 由于x 、y 是正数，则0x >且3002xx ->+，可得030x <<，()()3223032321232222x x x y x x x x x x x x -+-+=+=+=+-=++-++++33≥=，当且仅当21x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，所以，x y +的最小值为3.故答案为: 3 16．已知函数()22x x f x -+，则不等式()()12f x f x +<的解集为______．【答案】(](),21,-∞-⋃+∞【分析】先求出()f x 的定义域，证明()f x 是偶函数，当1x ≥时，证明()f x 是增函数，根据题意列出不等式即可得到答案 【详解】由()22x x f x -=+可得10x -≥，解得1x ≥或1x ≤-，故()f x 的定义域为{|1x x ≥或}1x ≤-， 又()()22x x f x f x --=+=，所以()f x 是偶函数，当1x≥时，y =设22x t =≥，所以122,2x xy t t t -=+=+≥，设任意的12,t t ∈[)2,+∞，且12t t >，所以()()1212211212121212111t t t t t t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为任意的12,t t ∈[)2,+∞，且12t t >，所以120,t t -> 1210t t ->， 所以()()12121212121110t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫+-+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即121211t t t t +>+， 所以1y t t =+在[)2,+∞上是单调递增函数，所以22x x y -=+在[)1,+∞上是单调递增函数， 故()f x 在[)1,+∞上单调递增，因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(],1-∞-上单调递减， 由()()12f x f x +<可得121121x x x x ⎧+<⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得2x ≤-或1x >，故答案为：(](),21,-∞-⋃+∞四、解答题17．化简求值：(1))()46030.25121648202249-⎛⎫ ⎪⎝⎭+-⨯--；(2)43lg8+【答案】(1)100(2)1【分析】（1）根据有理数指数幂及根式的运算性质即可求解；（2）根据对数运算性质及指数幂的运算即可求解.【详解】（1）原式13411366343244723242142727211004⨯⨯⨯+=⨯+-⨯--=⨯+---=， （2）原式()(2423332lg lg 2lg lg lg16lg 24549=-+=-+⎝⎭ 3224549lg lg10116⨯===. 18．已知集合{}{}222|2240,,|430,A x x x x R B x x ax a x R =--<<∈=-+∈.(1)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(]{}[),406,-∞-+∞；（2）4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】先求出集合A .（1）就B =∅和B ≠∅分类讨论，再根据集合关系得到两个集合中范围的端点满足的不等式，其解即为实数a 的取值范围.（2）就B =∅和B ≠∅分类讨论，再根据B A ⊆得到两个集合中范围的端点满足的不等式，其解即为实数a 的取值范围.【详解】()4,6A =-，()(){}|30B x x a x a --<=.（1）若0a =，则B =∅，符合；若0a >，则(),3B a a =，因为A B ⋂=∅，故6a ≥；若a<0，则()3,B a a =，因为A B ⋂=∅，故4a ≤-；所以A B ⋂=∅时，实数a 的取值范围为(]{}[),406,-∞-+∞.（2）因为A B A ⋃=，B A ⊆.若0a =，则B =∅，符合；若0a >，则(),3B a a =，因为B A ⊆，故036a <≤即02a <≤；若a<0，则()3,B a a =，因为B A ⊆，故430a -≤<即403a -≤<； 所以A B A ⋃=时，实数a 的取值范围为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式时，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.19．已知函数()33x x f x m -=+⋅为偶函数()m ∈R ．(1)求m 的值；(2)若对任意x ∈R ，()()230f x kf x -+>恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1m =； (2)52k k ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据偶函数可得()()f x f x -=，代入即可求解；（2）化简不等式可得()()23323330x x x x k --+--++>，令332x x t -=+≥，可转化成1k t t<+恒成立，令()1,2g t t t t=+≥，求()g t 的最小值即可得到答案 【详解】（1）方法一：∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴3333x x x x m m --+⋅=+⋅，∴()3333x x x x m ---=-，∴1m =；方法二：∵()f x 为偶函数，且定义域为R ，∴()()11f f -=即11113333m m --+⋅=+⋅，∴1m =，经检验知：()33x x f x -=+为偶函数；（2）由()()230f x kf x -+>可得()22333330x x x x k --+-++>，所以()()23323330x x x x k --+--++>，令332x x t -=+≥=，当且仅当33x x -=即0x =时，取等号，则2t ≥，所以不等式可转化成210t kt -+>，则1k t t<+， 令()1,2g t t t t=+≥， 设任意的12,t t ∈[)2,+∞，且12t t >，所以()()()()121221121212121t t t t t t t t t g t g t t t t ---=-+-=， 因为任意的12,t t ∈[)2,+∞，且12t t >，所以120,t t ->1210t t ->，所以()()()()1212121210t t t t t t g t g t ---=>，即()()12g t g t >，所以()g t 在[)2,+∞上是单调递增函数，∴()()min 522g t g ==，∴52k <， 所以实数k 的取值范围52k k ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 20．已知函数()f x 对任意的x ，R y ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，()1f x >．(1)用定义法证明()f x 为R 上的增函数；(2)解不等式111x f a x ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭>-，R a ∈． 【答案】(1)证明见解析(2)当0a =时，不等式的解集为()1,+∞；当0a >时，不等式的解集为()1,11,a ⎛⎫ -∞-⋃⎪⎝⎭+∞； 当 a<0时，不等式的解集为11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）用定义法证明函数单调性，先在定义域上任取1x ，2x ，且12x x <，结合条件构造12()()f x f x -，利用21()1f x x ->来确定12()()f x f x -的符号，得到函数的单调性；（2）由条件得到(0)1f =，利用函数的单调性，将不等式转化为101x a x +->-，转化为整式不等式后，分类讨论后解含参数的一元二次不等式.【详解】（1）证明：任取1x ，2x R ∈，且12x x < ()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+()()()12111f x f x x f x =--+-⎡⎤⎣⎦()211f x x =--∵12x x <，∴210x x ->，∴()211f x x ->，∴()2110f x x --<即()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <∴()f x 为R 上的增函数（2）令0x y ==，则()()()00001f f f +=+-，所以()01f =， 所以原不等式化为()101x f a f x ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭，∵()f x 为R 上的增函数 ∴101x a x +->-，即()101ax a x -->-， 即()()110x ax a ---⎤⎣⎦>⎡， ①若0a =，10x ->，1x >；②若0a >，111a >-，1x >或11x a <-； ③若a<0，111a <-，111x a<<-. 综上，当0a =时，不等式的解集为()1,+∞；当0a >时，不等式的解集为()1,11,a ⎛⎫ -∞-⋃⎪⎝⎭+∞； 当a<0时，不等式的解集为11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 21．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称x 为()f x 的“稳定点”．若函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦． (1)求证：A B ⊆；(2)若R b ∀∈，函数()21f x x bx c =+++总存在不动点，求实数c 的取值范围；(3)若()21f x ax =-，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析； (2){}1c c ≤- (3)13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论即可；（2）问题转化成()2110x b x c +-++=有解，利用判别式即可而得到答案；（3）由A ≠∅可得21ax x -=有实根，14a ∴≥-，又A B ⊆，所以()2211a ax x --=，即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=.再由题中条件，即可得出结果【详解】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立，若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦，即t B ∈，从而A B ⊆，故A B ⊆成立；（2）原问题转化为R b ∀∈，()f x x =有解，∴21x bx c x +++=即()2110x b x c +-++=，则()()21410b c ∆=--+≥即()()2411c b +≤-恒成立，∴()()2min 4110c b +≤-=，∴1c ≤-，所以实数c 的取值范围为{}1c c ≤-；（3）A 中的元素是方程()f x x =即210ax x --=的实根，由A ≠∅，知0a =或0Δ140a a ≠⎧⎨=+≥⎩,解得14a ≥-， B 中元素是方程()2211a ax x --=即3422210a x a x x a --+-=的实根，由A B ⊆知方程含有一个因式21ax x --，即方程可化为：()()222110ax x a x ax a --+-+=， 若A B =，则方程2210a x ax a +-+=①要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=②的根， 若①没有实根，当0a =时，方程为10=，不成立，故此时没有实数根；当0a ≠时，()22410a a a ∆=--<，解得34a <，此时34a <且0a ≠； 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有22a x ax a =+，代入①有210ax +=， 由此解得12x a =-，再代入②得111042a a+-=，解得34a =， 综上，a 的取值范围为13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

宿州市十三校2012-2013学年度第一学期期中考试高一数学试题命题人：刘小宇 审核人：苗宗瑞一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则()()U U C A C B U =A.{0}B.{0,1}C. {0,1,4}D.{0,1,2,3,4}2. 若实数a b 、满足：集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1,a b M ，{}0,a N =，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中的像仍为x ，则a b +等于A ．－1B ．0C ．1D ．±13. 与函数y x =有相同图像的一个函数是 A.2y x = B.log a x y a =其中0,1a a >≠ C.2x y x= D.log x a y a =其中0,1a a >≠ 4. 函数111y x =+-的图像是A．B. C.D.5. 函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-6. 函数f (x )的递增区间是 (－2，3)，则函数y =f (x ＋5)的递增区间是 A. (3，8) B. (－7，－2) C. (－2，3)D. (0，5) 7. 函数x y a =在[0,1]上的最大值为2, 则a = A. 12 B.2 C. 4 D. 148. 方程x x -=3log 3的解所在区间是A.（0,2）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）9．已知2-<m ，点()1,1y m -，()2,y m ，()3,1y m +都在二次函数x x y 22-=的图像上，则A .321y y y << B. 2y <1y <3y C. 1y <3y <2y D. 3y <2y <1y10. 已知(3),1()log ,1.a a x a x f x x x --⎧⎪=⎨≥⎪⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是A .(1，+∞) B. (-∞,3) C. (1,3) D. [32，3) 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.幂函数()f x 的图像过点(4,2)，则()f x 的解析式是_____________.12.集合{}26,y N y x x N ∈=-+∈的非空真子集的个数为_____________.13．设0.90.48-1.54,b=8,c=()a =12，则a b c 、、三数从小到大排列依次为_____． 14. 设1232,2()log (1) 2.x e x f x x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，,((2))f f 则的值为_______. 15. 以下说法正确的是 .①在同一坐标系中，函数x y 2=的图像与函数x y )21(=的图像关于y 轴对称； ②函数11(1)x y a a +=+>的图像过定点(1,2)-； ③函数1()f x x=在区间(,0)(0,)-∞+∞U 上单调递减； ④若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则()()0f m f n ⋅<；⑤ 方程4123log =x 的解是91=x . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

安徽师大附中2013-2014学年第二学期期中考查高 一 数 学 试 题一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1、在A B C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且bc a c b 3222=-+，则A 等于 ( )A ． 30B ． 60C ． 120D ． 1502、在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 ( )A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或43 3、在ABC ∆中，角A ,B 均为锐角，且B A sin cos >，则ABC ∆的形状是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 4、已知A 、B 、C 为平面上不共线的三点，若向量AB )1,1(=，)1,1(-=，且·AC 2=，则·BC 等于 ( )A ．－2B ．2C ． 0D ． 2或－25、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则2a 等于（ ） A ．4B ．2C ．1D ．－26、在数列{}n a 中，21-=a ，nnn a a a -+=+111，则2012a 等于 ( ) A ．－2B ．31-C ．21D ．3 7、一个各项均为正数的等比数列，其任何一项都等于它后面两项之和，则其公比是 ( )A ．251-- B ．251+- C ．251+ D ．251--或251+-8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝100a ＋101a ，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则200S 等于 ( ) A ．100B ．101C ．200D ．2019、在数列{}n a 中，已知对任意13,321-=++++∈*n n a a a a N n ，则2232221na a a a ++++ 等于 ( )．A ．2)13(-nB ．)19(21-nC ．19-nD ．()1341-n10、已知、是单位向量，0=⋅，若向量1=--的最大值为 ( )A ．12-B ．2C ．12+D ．22+二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11、若=)8,2(，=)2,7(-，则31= . 12、在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23=，则角C ＝________.13、已知数列{}n a 中，1,273==a a ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 为等差数列，则11a ＝ .14、如图，在ABC ∆中，DB AD =，EC AE =，CD 与BE交于F ，设AB ＝，AC ＝，AF y x +=，则()y x ,为 .15、 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.①总存在某内角α，使21cos ≥α；②若A B B A sin sin >，则A B >； ③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ④若2=++c b a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <.三、解答题(本大题共6个大题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、（8分）设(,1)a x =，(2,1)b =-． (1) 若⊥，求x 的值；(2）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围.17、（8,34==61)2()32(=+⋅-.(1)求与的夹角θ； (2)若b t a t c)1(-+=,且0=⋅c b ,求t .18、（8分）设递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知31a =,4a 是3a 和7a 的等比中项.（l ）求数列{}n a 的通项公式； （2）若252412-+=n a b n n ，求数列{}n b 的前100项和100T .19、（8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边长，,2,3==b a0)cos(21=++C B ，（1）求A 的值； （2）求边BC 上的高.20、（8分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别是c b a ,,.(1)若3,2π==C c ，且ABC ∆的面积为3，求b a ,的值；(2)若A A B C 2sin )sin(sin =-+，试判断ABC ∆的形状．21、（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为14，且731,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T ； (2)记为数列{}n n b a 的前n 项和为n K ，设nnn n K T S c =，求证：)(1*+∈>N n c c n n .高一数学参考答案一．选择题1-5 ADCBA 6-10 DBABC 二．填空题11. (-3,-2) 12. 60 13. 2114. ⎪⎭⎫⎝⎛31,31 15.①④⑤ 三．解答题16.(1)由012=-x ，解得21=x （4分） （2）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π， 所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．（8分）17.解 (1)(2a -3b )·(2a +b )=61,解得a ·b =-6∴cos θ=a ·b |a ||b |=－64×3=-12,------又0≤θ≤π,∴θ=2π3 （4分）(2) 0915)1())1((2=+-=-+⋅=-+⋅=⋅t b t b a t b t a t b c b53=∴t 25108)5253(22=+=b a c ,536=∴c （8分）18.解:(1)在递增等差数列{}n a 中,设公差为0>d , ⎩⎨⎧=⨯=137324a a a a ⎩⎨⎧=++⨯=+⇒12)6(1)3(1121d a d a d a 解得 ⎩⎨⎧=-=231d a522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n , （4分）(2) )111(41)1(41+-=+=n n n n b n ，10125)10111(41=-=∴n T . （8分）19.解:（1）由1＋2cos(B ＋C)＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cosA ＝0，cosA ＝12，sinA ＝32，故A=3π. (4分）（2）由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝22.由b ＜a 知B ＜A ，所以B 不是最大角，B ＜π2，从而cosB ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知 sinC ＝sin(A ＋B)＝22×(32＋12). 设边BC 上的高为h ，则有h ＝bsinC ＝3＋12.（8分） 20.解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3， ∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. （4分）(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ， ∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．（8分）21.解析：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2，b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.（4分）(2)因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，② ①－②，得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n－1)2n ＋1， c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2＞0， 所以c n ＋1＞c n (n ∈N *)．（10分）。