§10.4 二元函数的泰勒公式
一.高阶偏导数
二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x
z ??，
y
z ?? 仍是x 与y 的二元函数。若
他们存在关于x 和y 的偏导数，即
x
??（
x
z ??），
y
??（
x
z ??），
x
??（
y
z ??），
y
??（
y
z ??）.
称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22
个。通常将
x
??（x
z ??）记为
2
2
x
z ??或'
'xx f ),(y x .
y
??（
x z ??）记为
y x z ???2
或'
'xy f ),(y x . (混合偏导数)
x ??（y z ??）记为
x y x ???2
或'
'yx f ),(y x . (混合偏导数)
y
??（y
z ??）记为
22
y
z ??或'
'yy f ),(y x .
一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.
二元函数的n 阶偏导数至多有2n
个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号
k
k n n
y
x
z ???-或 )
(n y
x
k
k
n f -),(y x
表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.
例1 求函数332
2
3
3
++-=xy
y x y x z 的二阶偏导数.
解 x
z ??=2
3
2
63y xy y x +-，
y
z ??=xy x y x 2332
23+-.
2
2
x
z ??=y xy
663
-.
y x z ???2
=y x y x 2692
2+-.
x y z ???2
=y x y x 2692
2+-. (
y
x z ???2
=
x
y z ???2
)
22
y
z ??=x y x 263
+.
例2 证明：若u=r
1,r=2
22)()()(c z b y a x -+-+-,则
22
x
u ??+
2
2
y
u ??+
2
2
z
u ??=0.
证明 由§10.3例2，有
x
u ??=3
r
a x --
，
y
u ??=3
r
b y --
，
z
u ??=3
r
c z --
.
2
2
x
u ??=6
2
3
3)(r
x
r r
a x r
??---
(
x
r ??=
r
a x -)
=6
2
3
3)(r
r
a x r
a x r
----
=3
1r
-
+
5
3r
2
)(a x -.
同样，可得
22
y
u ??=3
1r
-
+
5
3r
2
)(b y -,
2
2
z
u ??=3
1r
-
+
5
3r
2
)(c z -
于是，
22
x
u ??+
2
2
y
u ??+
2
2
z
u ??=3
1r
-
5
3r
+
])()()[(2
22c z b y a x -+-+-
=3
3r
-
+
3
3r
=0.
由例1看到，y
x z ???2
=
x
y z ???2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求
导的顺序无关。那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢？否！例如，函数
f(x,y)= ??
???+-02
2
2
2y x y x xy ,0,,0,2
22
2=+≠+y x y x
在原点（0, 0）的两个偏导数''xy f (0,0)于'
'yx f (0,0)都存在，且
)0,0('
'xy f ≠)0,0('
'yx f
事实上，由偏导数定义，有
'
x f (0, 0)= 0
lim
→h h
f h f )
0,0()0,(-=0 'y f (0, 0)= 0
lim
→h h
f h f )
0,0(),0(-=0
'
x f ),0(y = 0
lim
→h h
y f y h f )
,0(),(-=0
lim
→h h
y
h
y h hy
2
2
22+-=y -.
'
y f (x , 0)= 0
lim
→h h
x f h x f )
0,(),(-=0
lim
→h h
h
x
h x xh
2
2
22+-=x .
'
'xy f (0, 0) =0
lim
→h h
f h f x x )
0,0(),0('
'-=0
lim
→h h h -=1-
'
'yx f (0, 0)=0
lim
→h h
f h f y y )
0,0()0,('
'-=0
lim
→h h
h =1
于是，
)0,0('
'xy f ≠)0,0('
'yx f
那么，多元函数具有什么条件，它的混合高阶偏导数与求导的顺序无关呢？有下面的定理：
定理1 若二元函数),(y x f 在点P 0(x 0,y 0)的邻域G 存在二阶混合偏导数'
'xy f ),(y x 与
'
'yx f ),(y x ，并且它们在点P 0(x 0,y 0)连续，则
''xy f ),(00y x = '
'yx f ),(00y x
证法 根据一阶、二阶偏导数的定义，有
),(00'
'y x f xy
=0
lim
→k k
y x f k y x f )
,(),(00'
00'
-+
=0
lim →k k
1h
k y x f k y h x f h )
,(),(lim
[00000
+-++→])
,(),(lim
00000
h
y x f y h x f h -+-→
=0
lim →k 0
lim
→h hk
y x f y h x f k y x f k y h x f )
,(),(),(),(00000000++-+-++
设
),(k h ?=),(),(),(),(00000000y x f y h x f k y x f k y h x f ++-+-++
从而,
),(00'
'y x f xy =0
lim →k 0
lim
→h hk
h )
k ,（?.
同样方法，有
),(00'
'y x f yx =0
lim →h 0
lim
→k hk
h )
k ,（?.
定理1的实质是上述两个累次极限相等，即两个累次极限可以交换次序.由此可见，证
明定理1要构造函数),(k h ?.
证明
当h 与k 充分小时，使),(00k y h x ++G ∈，从而，),(00y h x +与
),(00k y x +G ∈,设
),(k h ?=),(),(),(),(00000000y x f y h x f k y x f k y h x f ++-+-++. （1）
令),(),()(00y x f k y x f x g -+=,(1)式可改写为
),(k h ?=)()(00x g h x g -+.
函数)(x g 在以0x 和h x +0为端点的区间可导，根据微分中值定理，有
),(k h ?=h h x g x )(10'
θ+
=h y h x f k y h x f x x )],(),([010'
010'θθ+-++，101<<θ.
已知'
'xy f ),(y x 在G 存在，将h x 10θ+看作常数，再根据微分中值定理，有
),(k h ?='
'xy f hk k y h x ),(2010θθ++，10θ<，12<θ. (2)
再令),(),()(00y x f y h x f y l -+=，同样方法，有
),(k h ?='
'yx f hk k y h x ),(4030θθ++，30θ<，14<θ. (3)
于是，由（2）式和（3）式，有
''xy f ),(2010k y h x θθ++='
'yx f ),(4030k y h x θθ++.
已知'
'xy f ),(y x 与 '
'yx f ),(y x 在点),(000y x P 连续，当02
2
→+=
k
h
ρ时，有
),(00''y x f xy =),(00'
'y x f yx .
例3 证明：若,sin ,cos ),,(?ρ?ρ===y x y x f z 则
22
x
f ??+
2
2
y
f ??=
2
2
ρ
??f +
2
1ρ2
2
?
??f
+
ρ1ρ
??f
.
证明
.sin cos ??ρρρy
f x
f y y f x x f f ??+
??=
????+
????=
??
.cos sin ?ρ?ρ???y
f x f y y f x x f f ??+
??-
=????+????=??
)sin cos ()(2
2
??ρ
ρ
ρ
ρ
y
f
x
f f f ??+
????=
????=??
.sin
cos sin cos sin cos
2
2
2
2
2
2
2
2
??????y
f x
y f y
x f x f ??+
???+
???+
??=
)cos sin ()(
2
2
?ρ?ρ?
?
?
?
y
f x
f f f ??+
??-
??=
????=??
.
sin cos cos sin cos cos sin sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2?ρ?ρ??ρ?ρ??ρ?ρy
f y
f x
y f x
f y
x f x
f ??-
??+
???-
??-
???-
??=
于是，
ρ
ρ?
ρ
ρ
??+
??+
??f
f
f 112
2
2
22
-+??+
+??=
)cos
(sin
)sin
(cos
2
2
2
2
2
2
2
2
????y
f x
f
ρ
?ρ
?ρ
?ρ
?sin cos sin cos y
f x
f y
f x f ??+
??+
??-
??
.2
2
22
y
f x
f ??+
??=
即
.112
2
2
2
2
2
2
2
2
?
ρ?
ρ
ρ
??+
??+
??=
??+
??f
f
f y
f x
f
定理1的结果可推广到n 元函数的高价混合偏导数上去.例如，三元函数),,(z y x f 关于z y x ,,的三阶混合偏导数共有六个：
.,
,
,
,
,
3
3
3
3
3
3
x
y z f
y x z f
y z x f
x z y f
z x y f
z y x f
????????????????????????
若它们在点),,(z y x 都连续，则它们相等.若二元函数),(y x f 所有的高阶混合偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有两个，二阶偏导数只有三个)('
''
'yx xy f f =，三阶偏导数只有四个.一般情况，n 阶偏导数只有1+n 个.
二. 二元函数的泰勒公式
一元函数的泰勒公式能够推广到多元函数上来.关于多元函数泰勒公式的作用和意义与一元函数泰勒公式相同，不再重述.为书写简便，只讨论二元函数的泰勒公式.讨论二元函数泰勒公式的方法是作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.
为了将二元函数),(y x f 在点),(k b h a Q ++的函数值),(k b h a f ++在点),(b a P 展成泰勒公式，作辅助函数
),,()(kt b ht a f t ++=? ,10≤≤t
即
.10,,),,()(≤≤+=+==t kt b y ht a x y x f t ?
显然，).,()1(,1);,()0(,0k b h a f t b a f t ++====??于是，函数),(k b h a f ++在点),(b a P 展成的泰勒公式就是一元函数)(t ?在点0=t 的泰勒公式（即麦克劳林公式）在
1=t 的值.
定理 2 若二元函数),(y x f 在点),(b a P 的领域G 存在1+n 阶连续的偏导数，则
,),(G k b h a Q ∈++?有 ),(k b h a f ++
++??+??+
??+??+
= ),()(!
21),()(!
11),(2
b a f y
k
x
h
b a f y
k
x
h
b a f
,10),,()
()!
1(1),()
(!
11
<<++??+??++
??+??+θθθk b h a f y
k
x h
n b a f y
k
x
h
n n n
（4）
其中符号),()(
)(
b a f y
x
l
i
????表示偏导数
l
i
i y
x f
???
+1在),(b a P 的值，
).,(),()
(0
b a f y
x k
h C
b a f y
k
x
h
i
m i
m i
m i m
i i m
m
--=???
=
??+??∑
(4)式称为二元函数),(y x f 在点),(b a P 的泰勒公式.
证明 设.10),,()(≤≤++=t kt b ht a f t ?由已知条件，函数)(t ?在区间]1,0[存在
1+n 阶连续导数.从而，可将函数)(t ?展成麦克劳林公式，即
.10,)!
1()
(!
)
0(!
2)0(!
1)0()0()(1
)
1()
(2
'
''
<<++
+
++
+
=++θθ?
?
????n n n
n t
n t t
n t
t t
特别地，当1=t 时，有
.10,)!
1()
(!
)
0(!
2)0(!
1)0()0()1()
1()
('
''
<<++
+
++
+
=+θθ?
?
????n n n n
).,()0(),,()1(b a f k b h a f =++=??
求),(,),(),()
1('
''
t t t n +?
?? 即求复合函数
kt b y ht a x y x f +=+=,),,( 的高级导数.由复合函数微分法则，有
y
f k
x
f h
dt dy y f dt
dx x f t ??+??=??+
??=
)('
?
).,()(kt b ht a f y
k x
h ++??+??=
'
'
''')()]([)(y
f k
x
f h
t t ??+??==??
2
2
2
2
2
2
2
2
y
f k
x y f hk
y x f hk
x
f h
??+???+???+??=
22
2
2
2
22
2y f k
y x f
hk
x f h
??+???+??= (根据定理1)
),()2(2
22
2
2
22
kt b ht a f y
k
y
x hk
x
h
++??
+???
+??
=
).,()
(2
kt b ht a f y
k
x
h
++??+??=
同法可得，).,()
()()
(kt b ht a f y
k
x
h
t m
m ++??+??=?
令0=t ，有 .,,2,1),,()
()0()
(n m b a f y
k
x h
m
m =??+??=?
).,()
()(1
)
1(k b h a f y
k
x
h
n n θθθ?
++??+??
=++
将上述结果代入)1(?的展开式中，就得到二元函数),(y x f 在点),(b a P 的泰勒公式： ),(k b h a f ++
++??+??+??+??+= ),()(!
21),()(!
11),(2
b a f y
k x
h b a f y
k x
h b a f
.10),,()
()!
1(1),()
(!
11
<<++??+??++
??+??+θθθk b h a f y
k
x
h
n b a f y
k
x
h
n n n
在泰勒公式(4)中，令,0,0==b a 就得到二元函数),(y x f 的麦克劳林公式（将h 与k 分别用x 与y 表示）：
),(y x f
++??+??+
??+??+
= )0,0()
(!
21)0,0()(!
11)0,0(2
f y
y
x
x
f y
y
x x
f
.10),,()
()!
1(1)0,0()
(!
11
<
??
+??+θθθy x f y
y
x
x
n f y
y
x
x
n n n
（5）
在泰勒公式(4)中，当0=n 时，有
k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),('
'
θθθθ++++++=++ 或
.10,),(),(),(),('
'
<<+++++=-++θθθθθk k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x （6）
（6）式是二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个.θ
在泰勒公式（4）中，当1=n 时，有
++=-++k b a f h b a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),('
'
++++++hk k b h a f h k b h a f xy xx ),(2),([2
1
'
'2
'
'θθθθ
.10],),(2
''<<++θθθk k b h a f yy （7） 例4 将二元函数y
x e y x f +=),(展成麦克劳林公式.
解 函数y
x e
y x f +=),(在2
R 存在任意阶连续偏导数，且
,1)0,0(,
=???
=???
+++f y
x e
y
x f
l
m
l m y
x l
m
l m
m 与l 是任意非负整数.由公式（5），有
.10,)
()!
1(1)(!
1)(!
21)(1)
(1
2
<<+++
++
+++
++=+++θθy x n n
y
x e
y x n y x n y x y x e
不难看到，将y
x e
+中的y x +当作一个变量，用一元函数的麦克劳林公式得到的结果与
上述结果是一致的.
不难将上述二元函数的泰勒公式推广到n 元函数上去.例如，若三元函数),,(z y x f 在原点)0,0,0(的领域G 存在1+n 阶连续偏导数，则,),,(G z y x ∈?三元函数),,(z y x f 的麦克劳林公式为
++??+??+??+
= )0,0,0()(!11)0,0,0(),,(f z
z
y
y
x
x
f z y x f
.
10),,,()
()!
1(1)0,0,0()
(!11
<
??+??+??+θθθθz y x f z
z
y
y
x
x
n f z z
y
y
x
x
n n n
例5 当z y x ,,都很小时，将超越函数
z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(),,(-++= 近似表为z y x ,,的多项式.
解 将三元函数),,(z y x f 展成麦克劳林公式（到二阶偏导数），有
++++≈)0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0(),,('
'
'
z y x zf yf xf f z y x f
+++)0,0,0()0,0,0()0,0,0([!
21'
'2''2''2zz yy xx f z f y f x
)].0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(2''''''zx
yz
xy
zxf
yzf
xyf
++
.0)0,0,0(=f
.0]
cos cos sin )sin([)0,0,0()
0,0,0('
=+++-=z y x z y x f x
同样.0)0,0,0(,0)0,0,0('
'==z y f f
.0]
cos cos cos )cos([)0,0,0()
0,0,0('
'=+++-=z y x z y x f xx
同样.0)0,0,0(,0)0,0,0('
'''==zz yy f f
.1]
cos sin sin )cos([)0,0,0()
0,0,0('
-=-++-=z y x z y x f xy
同样.1)0,0,0(,1)0,0,0('
'''-=-=zx yz f f
于是，),(),,(zx yz xy z y x f ++-≈
即).(cos cos cos )cos(zx yz xy z y x z y x ++-≈-++
三、二元函数的极值
在实际问题中，不仅需要一元函数的极值，而且还需要多元函数的极值。本段讨论二元函数的极值，其结果可以推广到n 元函数上去.
定义
设二元函数),(y x f 在点),(b a P 的领域G 有定义.若G k b h a ∈++?),(，有
),(),(b a f k b h a f ≤++ )),,(),((b a f k b h a f ≥++
则称),(b a P 是函数),(y x f 的极大点（极小点）. 极大点（极小点）的函数值),(b a f 称为函数),(y x f 的极大值（极小值）. 极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.
哪些点可能是函数),(y x f 的极值点呢？即),(b a P 是函数),(y x f 的极值点的必要条
件是什么呢？有下面定理：
定理3 若二元函数),(y x f 在点),(b a P 存在两个偏导数，且),(b a P 是函数)
,(y x f 的极值点，则
0),('
=b a f x 与 0),('
=b a f y .
证明 已知),(b a P 是函数),(y x f 的极值点，即a x =是一元函数),(b x f 的极值点.
根据一元函数的极值的必要条件，a 是一元函数),(b x f 的稳定点，即 0),('
=b a f x 同法可证，0),('
=b a f y .
方程组
?????==0
),(,
0),('
'y x f y x f y x 的解（坐标平面上某些点）称为函数),(y x f 的稳定点.
定理3指出，二元可微函数),(y x f 的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极
值点.例如，函数（双曲抛物面）
.),(2
2
y x y x f -=
,2),('
x y x f x = .2),('
y y x f y -=
显然，点)0,0(是函数2
2),(y
x y x f -=的稳定点.但是点)0,0(并不是函数
2
2
),(y x y x f -=的极值点.事实上，在点)0,0(的任意邻域，总存在着点)0)(0,(≠x x ，使 0)0,0()0,(2
=>=f x
x f ;也总存在点)0)(0,(≠y y ，使0)0,0()0,(2
=<=f y
y f ，所以
点)0,0(不是极值点.
那么什么样的稳定点才是极值点呢？即),(b a P 是函数),(y x f 的极值点的充分条件是
什么呢？
定理4 设二元函数),(y x f 有稳定点),(b a P ，且在点),(b a P 的邻域G 存在二阶连续
偏导数.令
).,(),,(),,('
''
''
'b a f C b a f B b a f A yy xy xx ===
.2
AC B -=?
1)若0A (或0>C )，),(b a P 是函数),(y x f 的极小点； ⅱ)0?，),(b a P 不是函数),(y x f 的极值点. 证明 已知),(b a P 是函数),(y x f 的稳定点，有
0),('
=b a f x 与 .0),('
=b a f y
当h 与k 充分小时，讨论),(),(b a f k b h a f -++的符号.由泰勒公式（7），有（已
知0),(),('
'==b a f b a f y x ）
),(),(b a f k b h a f -++
.
10],),(),(2),([2
12
''''2
''<<++++++++=
θθθθθθθk k b h a f hk k b h a f h
k b h a f yy xy xx
又已知二阶偏导数在点),(b a P 连续，当0→h 与0→k 时，有
.0,),(),('
''
'→+=+=++αααθθA b a f k b h a f xx xx
.0,),(),('
'''→+=+=++βββθθB b a f k b h a f xy xy .0,),(),('
''
'→+=+=++γγγθθC b a f k b h a f yy yy
于是，
),(),(b a f k b h a f -++
),2(2
1)2(2
12
2
2
2
k hk h
Ck
Bhk Ah
γβα+++
++=
其中2
2
2k hk h γβα++比2
ρ是高阶无穷小)(2
2
k h
+=ρ.因此，当h 与k 充分小
时，),(),(b a f k b h a f -++的符号由2
2
2Ck Bhk Ah
++的符号决定.因为h 与k 不能同
时为零,不妨设0≠k (当0=k 时，0≠h ，可得相同的结论).
].)(
2)(
[22
2
2
2
C k
h B k
h A k Ck
Bhk Ah
++=++
令
t k
h =，则),(),(b a f k b h a f -++的符号由
C Bt At
D ++=22
的符号决定.由一元二次方程根的判别式,有
1) 若判别式02
<-=?AC B ,对任意实数t ,D 与A (或C )有相同的符号,即
),(b a P 是函数),(y x f 极值点:
ⅰ)0>A (或0>C ),有0),(),(>-++b a f k b h a f ,即),(b a P 是函数),(y x f 的极小点;