填空题满分练(8)
1.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈Z }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈N }，则集合A ∩B ＝________. 答案 {(1,2)}
解析 由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ＋1，
y ＝2x ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，
∴集合A ∩B ＝{(1,2)}.
2.设复数z ＝21－i ，则下列命题中正确的是________.(填序号)
①|z |＝2； ②z ＝1－i ；
③在复平面上对应的点在第一象限； ④虚部为2. 答案 ①②③
解析 由z ＝21－i ＝2(1＋i )
(1－i )(1＋i )＝1＋i ，知①②③正确.
3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y≤0，
x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________.
答案 7
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，
易知目标函数z ＝x ＋2y 中的值随直线x ＋2y ＝0向上平移而增大， 当过点C (1,3)时，z 取得最大值z max ＝1＋2×3＝7.
4.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为________. 答案 8
解析 ∵a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )， ∴c ＝4(a ＋b )ab
，
∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4(a ＋b )ab ＝a ＋b ＋4b ＋4a ≥2
a×4
a ＋2b×4
b
＝8， 当且仅当a ＝2，b ＝2时取等号， ∴a ＋b ＋c 的最小值为8.
5.某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是________.
答案 4
解析 第一次循环得S ＝0＋20
＝1，k ＝1； 第二次循环得S ＝1＋21
＝3，k ＝2； 第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3； 第四次循环得S ＝11＋211＝2 059，k ＝4， 但此时S 不满足条件S ＜100，输出k ＝4.
6.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )，且f (4)＝5，则f (2018)的值为________. 答案 5
解析 由f (x ＋6)＝f (x )，知函数f (x )为周期函数，且周期T ＝6， 则f (2 018)＝f (6×337－4)＝f (－4)， 又函数f (x )为R 上的偶函数， 所以f (2 018)＝f (－4)＝f (4)＝5.
7.已知m ，n 为直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①⎩
⎪⎨
⎪⎧
m⊥α，
m⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪
⎧
m ⊂α，n ⊂β，
α∥β
⇒m ∥n ；③⎩⎪⎨
⎪⎧
m⊥α，
m⊥β
⇒α∥β，其中的正确命题为________.(填序号)
答案 ③
解析 关于①，也会有n ⊂α的结论，因此不正确；关于②，也会有m ，n 异面的可能，因此不正确；容易验证③是正确的，故填③.
8.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0).将f (x )的图象向左平移π
3个单位长度后所得的函数为偶函
数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是________.(填序号)
①函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3上有最小值； ②函数f (x )的一条对称轴为x ＝π
12
；
③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增； ④函数f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0. 答案 ③
解析 设将f (x )的图象向左平移π
3个单位长度后得到g (x )，
则g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，
因为g (x )为偶函数，且－π<φ<0， 则
2π3＋φ＝π2，即φ＝－π
6
， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.
分别验证四个说法，只有③正确. 9.设x 1，x 2，x 3均为实数，且1
e x -＝log 2(x 1＋1)，2
e
x -＝log 3x 2，3
e
x -＝log 2x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系
是________. 答案 x 1解析 在同一平面直角坐标系中，
分别作出函数y ＝e －x
，y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象， 由图可知x 110.已知椭圆E ：x2a2＋y2b2
＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0).圆C ：(x －c )2＋y 2
＝1上所有点都在椭圆E 的内部，
过椭圆上任一点M 作圆C 的两条切线，A ，B 为切点，若∠AMB ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2，则椭圆C 的离心率为________. 答案 3－2 2
解析 如图可知，当且仅当点M 为椭圆的左顶点时，∠AMB 最小， 即∠AM 1B ＝π
3
，
在Rt△AM 1C 中，AC ＝1，∠AM 1C ＝30°， 则M 1C ＝a ＋c ＝2，
同理，当点M 为椭圆的右顶点时，∠AMB 最大， 可得M 2C ＝a －c ＝2， 解得a ＝2＋22，c ＝2－2
2，
离心率e ＝c
a
＝3－2 2.
11.已知数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n (n ＋1)2
(n ∈N *
)
解析 ∵a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公差为1的等差数列， ∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝n (n ＋1)
2，
又∵a 1＝1满足上式， ∴a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *
).
12.在三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________.
