三角函数定义及其三角函数公式汇总
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切
值
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
A
90
B
90
∠
-
?
=
∠
?
=
∠
+
∠
得
由B
A
对
边
邻边
C
A
90
B
90
∠
-
?
=
∠
?
=
∠
+
∠
得
由B
A
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：
①边的关系：2
22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注
意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角水平线
视线
视线俯角
:i h l
=h
l
α
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h
i l
=。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h
i l
α=
=。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
三角函数公式汇总
1
⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2
α=3602R n ?π
⒉正弦定理：
A a
sin =B b sin =C
c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos
c 2
=a 2
+b 2
-2ab C cos bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
⒋S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =
R
abc
4=2R 2A sin B sin C sin
=A
C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1
c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系：
⑴商的关系：①θtg =x
y =
θ
θ
cos sin =θθsec sin ? ②θθθθθcsc cos sin cos ?==
=y x ctg ③θθθtg r
y
?==
cos sin ④
θθθ
θcsc cos 1sec ?===
tg x r ⑤
θθθctg r
x
?==
sin cos ⑥
θθθ
θsec sin 1csc ?===
ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg
⑷)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a （其中辅助角?与点（a,b ）在同一象限，且a
b
tg =?）
⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T=
ω
π2, 频率f=T
1, 相位?ω+?x ，初相?
⒎五点作图法：令?ω+x 依次为ππ
ππ
2,2
3,
,2
0 求出x 与y ， 依点()y x ,作图
⒏诱导公试
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把
α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限
⒐和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ?±=
± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±
⑤γ
βγαβαγ
βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ?-?-?-??-++=
++1)( 其中当A+B+C=π时,有:
i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ??=++ ii).12
22222=++C
tg B tg C tg A tg B tg A tg ⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θ
θ
θθθ212cos sin 22sin tg tg +=
= ②θ
θ
θθθθθ222
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=
③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2
θθ+=
⒒三倍角公式：
①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+?-?=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+?-?=+-=
③)60()60(31332
3θθθθ
θ
θθ+?-?=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2
θ
所在的象限确定） ①2cos 12
sin θθ
-±
= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θ
θ+±=
④2cos 12
cos 2
θθ
+=
⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2
cos 2cos 12θ
θ=+ ⑦2
sin
2
cos )2
sin 2
(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θ
θ
θθθθθ
sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
-=+=+-±
=tg
⒔积化和差公式：
[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=
[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1
sin sin
⒕和差化积公式： ①2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ ②2
sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2
sin 2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-
⒖反三角函数：
⒗最简单的三角方程
三角公式汇总2
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，
正弦：r y =αsin 余弦：r x
=αcos 正切：x
y
=αtan 余切：y x =αcot
正割：x
r
=
αsec 余割：y
r =
αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．
线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）
⑵
απ
+2
、
απ
-2
、
απ+23、απ-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）
四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=-
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=
+
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=
-
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α
α
α2
tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示。 七、和差化积公式
2
cos
2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ …⑴ 2
sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- …⑵ 2
cos
2cos
2cos cos βαβ
αβα-+=+ …⑶ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=- …⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
2sin 2cos 2cos 2sin
22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=??
?
??-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=?
??
??--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
2sin 2sin 2cos 2cos
22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=???
??-++= 2sin 2sin 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=?
??
??--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
? [])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
? [])cos()cos(2
1
cos cos βαβαβα-++=
? [])cos()cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-
=? 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式
)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （）
其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
?，2
2cos b a a +=
?，a
b =
?tan 。 十、正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ?外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 2222?-+=
B ac c a b cos 2222?-+=
C ab b a c cos 2222?-+=
十二、三角形的面积公式 高底??=?2
1ABC S
B ca A bc
C ab S ABC sin 2
1sin 21sin 21===?（两边一夹角）
R
abc
S ABC 4=
?（R 为ABC ?外接圆半径） r c
b a S ABC ?++=
?2
（r 为ABC ?内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=?…海仑公式（其中
c
b a p ++=
）
x
α
x