习题2
2.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。
2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为
36
1
，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 {}{}{}363
)2,2(),1,3(),3,1()4(,36
2)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(=
======
==P X P P X P P X P
类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,36
1)12(,362)11(====X P X P X 的概率分布为
36
118112191365613659112118136112111098765432k
p X 满足：
136
2/652636543212366)(12
2
=??+=+++++=
=∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}k
P X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a
2.2解：由于1
1
1
1
1)(1--∞
=-∞=-====
∑∑e
e a ae
k X P k k
k ，故1111-=-=--e e e a
2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：
（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。
2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有
2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k k
k k k
（1） 两人投中次数相同的概率为
∑======2
3142.0)()()(k k Y P k X P Y X P
（2） 甲比乙投中次数多的概率为
5628
.0)]
1()0()[2()0()1()()()(2
==+==+===<==>∑=Y P Y P X P Y P X P k Y P k X P Y X P k 2.4设离散随机变量X 的概率分布为 {}1
2k
P X k ==
， k=1，2，….求 （1）{}2,4,6,...P X =； （2）{}2.5P X ≥；
2.4解：（1）{
}4.015
6
15321)3()2()1(31==++==+=+==≤≤X P X P X P X P （2）{}2.0153
1521)2()1(5.25.0==+==+==< k X P ==， k=1，2，3，4，5.求 （1）{}13P X ≤≤； （2）{}0.5 2.5P X <<； 2.5解：（1）{}314/114/14 121 )2(,...6,4,21121=-======∑∑∑∞ =∞ =∞ =k k k k k k X P X P （2）25.041 2/118/12 1)()3(33 ==-==== ≥∑ ∑∞ =∞ =k k k k X P X P 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.4，当A 发生3次或3次以上时，指示灯发出信 号，求下列事件的概率. （1）进行4次独立试验，指示灯发出信号； （2）进行5次独立试验，指示灯发出信号； 2.6解：设X 为4次独立试验时事件A 发生的次数，设Y 为5次独立试验时事件A 发生的次数，则有)4.0,5(~),4.0,4(~B Y B X （1）所求概率为： 1792 .04.06.04.04)4.01(4.0)4.01(4.0)4()3()3(4 34 444 434334=+??=-+-==+==≥--C C X P X P X P （2）所求概率为： 31744 .04.06.04.056.04.010) 4.01(4.0)4.01(4.0)4.01(4.0)5()4()3()3(5 4235 555 5 4 54453533 5=+??+??=-+-+-==+=+==≥---C C C Y P Y P Y P Y P 2.7 某城市在长度为t （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾； （2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。 2.7解：（1）设X 为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X 服从参数为5.15.03=?=λ的泊松分布，所求概率为 22313.0! 05.1)0(5.15 .10≈===--e e X P （2）设Y 为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y 服从参数为25.04=?=λ的泊松分布，所求概率为 59399 .031! 12!021)] 1()0([1)1(1)2(2 2120≈-=--==+=-=≤-=≥---e e e Y P Y P Y P Y P 2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各 设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？. 2.8解：设X 为180台机器同时发生故障的台数，则)8.1()01.0,180(~P B X ≈，设需要n 个维修人员才能保证{}99.0≥≤n X P ，即01.0)1(≤+>n X P ，现在 8 .1!8.1)(-==e k k X P k ，于是1.0)(1 ==∑∞ +=n k k X P ，查表得6,71==+n n ，即6个维修人 员可满足要求。其它 2.9 某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为： 2 1000 1000, ,()1000. 0, x f x x x ?≥? =? 求5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。 2.9解：设事件A 为元件寿命大于1500小时，则 3 2 15001000|10001000)()1500()(1500 1500 15002==-===≥==∞∞ ∞ ? ? x dx x dx x f X P A P p 设Y 为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数，则)3/1,5(~B Y ，所求概率为： 243 80929110) 3/11()3/1()2(332 522 5 =??=-==-C Y P 2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦)是一连续型随机变量，概率密度函数为： 120 (1), 01 ()0, . x x x f x -< ?其它 假设每天供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天的供电量不足的概率。若每天供电量上升到90万千瓦时，每天的供电量不足的概率是多小？ 2.10解：（1）若供电量为80万千瓦小时，则供电量不足的概率为： 0272.0)2(12)1(12)()8.0(1 8 .0328 .018 .02=+-=-==>???∞dx x x x dx x x dx x f X P （2）若供电量为90万千瓦小时，则供电量不足的概率为： 0237.0)2(12)1(12)()9.0(1 9 .0329 .01 9 .02 =+-=-==>???∞dx x x x dx x x dx x f X P 2.11设随机变量~(2,4)K U -，求方程2 2230x Kx K +++=有实根的概率. 2.11解：K 的密度函数为： ?????<<-=其他，, 0,42,61 )(x x f 则方程有实根的概率为： {}{} {} {}{}3 1 61616161)1()3(0)3(,0)1(0)3(,0)1(0)3)(1(0320)32(4443 1222= +=+=-≤+≥=≤-≤++≥-≥+=≥-+=≥--=≥+-=? ?--dx dx K P K P K K P K K P K K P K K P K K P p 2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命X （单位：小时）服从参数为0.005的指数分布， 求下列事件的概率： （1）发射管的寿命不超过100小时； （2）发射管的寿命超过300小时。 （3）一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间。 2.12解：X 的密度函数为： ?? ???≤>=-0,0,0,2001)(200/x x e x f x （1） 所求概率为 39341.01|)()100(5.0100 1000 200/≈-=-==≤--? e e dx x f X P x （2） 所求概率为 22313.0|)()300(5.1300 300200/≈=-== >-∞ ∞ -? e e dx x f X P x （3） 由于两个事件相互独立，故所求概率为 15.0]][1[)300100()100(5.15.05 .0≈--=<<<---e e e X P X P 2.13 设每人每次打电话的时间X （单位：分钟）服从参数为0.5的指数分布，求282人次 所打电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率。 2.13解：设A 为事件“打电话时间超过10分钟”，X 为打电话时间，则X 服从参数5.0=λ的指数分布，即)5.0(~Exp X ，于是 00674.0|5.0)()10()(510 10 105.05.0≈=-===>==-∞ ∞ ∞ --??e e dx e dx x f X P A P p x x 设Y 为282人中“打电话时间超过10分钟”的人次，则)9.1()282(),282(~P p P p B Y =≈。所求概率为 56625 .09.219.11) 1()0(1)1(1)2(9 .19 .19 .1=-=--≈=-=-=≤-=≥---e e e Y P Y P Y P Y P 2.14 某高校女生的收缩压X （单位：毫米汞柱）服从2(110,12)N ,求该校某名女生： （1）收缩压不超过105的概率； （2）收缩压在100至120之间的概率。 2.14解：（1）收缩压不超过105的概率为： 3372 .06628.01)42.0(1)42.0(10110105)105()105(=-=Φ-=-Φ=?? ? ??-Φ==≤F X P （2）收缩压在100至120之间的概率为： 5934 .017967.021)83.0(2)83.0()83.0(1011010010110120)100()120()120100(=-?=-Φ=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=-=≤ (170,6)N ，问车门的最低高度应为多小？ 2.15解：设车门最低高度为a ，则01.0)(≤≥a X P ，即 99.0617099.0)()(01.0)(1≥?? ? ??-Φ≥<=≤<-a a X P a F a X P 反查标准正态分布函数表得33.26/)170(≥-a ，即18498.18333.26170≈=?+≥a ，即车门最低高度为184厘米。 2.16 .20同类型产品中有2件次品，其余为正品，今从该20件产品中每次任取4次，每次只取1件，取后不放回，以X 表示4次取到正品的件数，求X 的分布律与分布函数. 2.16解：这是一个超几何分布问题，即X 的概率分布为 2,1,0,)(4 20 418 2====-k C C C k X P p k k k 即X 的分布律为 953 )0(9532 2)0(9560 )0(4 20 2 1842024182224 2034 1842014181214 204184200418020===============---C C C C C X P p C C C C C X P p C C C C C X P p X ???????? ?≥<≤<≤<=≤=2, 121,9592 10,95 60 0, 0)()(x x x x x X P x F 2.17 .袋中有同类型的小球5只，编号分别为1,2,3,4,5，今在袋中任取小球3只，，以X 表示3总小球的最小号码，求随机变量X 的分布律与分布函数. 2.17解：X 的所有可能取值为1，2，3，其概率分布为 ,103 )2(, 10 6 )1(35 233524== ====C C X P C C X P ,10 11)3(3 5== =C X P X 的分布函数为： ???????? ?≥<≤<≤<=≤=3, 132,109 21,10 6 1, 0)()(x x x x x X P x F 2.18.设连续型随机变量X 的分布函数为 0,1,()ln ,11,x F x x x e x e ? =≤ （1）求{}2,P X < {}03,P X <<{}2 2.5.P X <≤. （2）求X 的密度函数. 2.18解：(1) 因为X 是连续型随机变量，故 22314 .025.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(, 101)0()3()30()30(, 69315.02ln )2()2()2(≈=-=-=≤<=-=-=≤<=<<≈==≤= ?????<<=?? ???≥<≤<==其他，,0, 1,1,0,1,1,1, 0)(')(e x x e x e x x x x F x f 2.18.设连续型随机变量X 的分布函数为 2 2 ,0()0, 0x a be x F x x - ??+≥=?? ）求P X << 2.19解：（1）由于a x F F x ==+∞=+∞ →)(lim )(1，得1=a ，又由于)(x F 在0=x 点右连续， 可得b a x F F x +===+→)(lim )0(00 ，即得1,0-==+b b a （2）X 的密度函数为 ?????<≥==-0, 0, 0,)(')(2/2 x x xe x F x f x （3）因为X 是连续型随机变量，故 25.04 1 412111)4ln ()16ln ()16ln 4ln (4 1ln 2 1ln 24ln 2 16ln ==-= -=???? ??---=-=<<-- e e e e F F X P 2.20. 求型随机变量Y 的概率分布: (1) 2)2(π-=X Y , (2) )2(π-=X COS Y . 2.20解：（ 于是即得2)2(π-=X Y 的分布律： (2) 由X 于是即得)2(π-=X COS Y 的分布律： 2.21.设型随机变量的分布函数为 0,x 1 0.3,11 ()0.8,121, 2 x F x x x <-??-≤ ≤? （1）求X 的概率分布（2）求y x =X 的概率分布。 2.21解：（ （2）||X X 的概率分布为： 2.22.设随机变量~(0,1)X N ，求下列随机变量Y 的概率密度函数： 2(1)Y 21;(2)Y ;(3)X X e Y X -=-==，求1Y X =-的密度函数. 2.22解：X 的密度函数和分布函数分别为： 2 2 21)()(x X e x x f - = =π φ，)()()(x X P x x F X ≤=Φ=， 且有)()()(')('x f x x x F X X ==Φ=φ （1）12-=X Y 的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 ?? ? ??+Φ=??? ??+≤=≤-=≤=2121)12()()(y y X P y X P y Y P y F Y ， 因此Y 的密度函数为 ??????+-=??? ? ????? ??+-=?? ? ??+=??? ??+??? ??+Φ== 8)1(exp 2212121exp 21212121'2121')()(22y y y y y dy y dF y f Y Y ππφ （2）X e Y -=的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 ?? ? >-≥≤=≤=≤=-0 ),ln (0,0)()()(y y X P y y e P y Y P y F X Y ， 当0>y 时 ) (ln ) ln (1)ln (1)ln (1)ln ()(y y y X P y X P y X P y F Y Φ=-Φ-=-≤-=-<-=-≥= 于是Y 的密度函数为 ?? ??? >??????-≤=???? ?>≤=?? ? >≤==0,2)(ln exp 21 ,0,00 ),(ln 1,0,00, )')(ln (ln , 0,0)(')(2y y y y y y y y y y y y y F y f Y Y πφφ （3）2 X Y =的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 ???>-Φ≤=??? >-Φ-Φ≤=?? ? >≤≤≤=≤=≤=. 0,1)(2,0,00),()(,0,00 ,(,0,0)()()(2y y y y y y y y y X y P y y X P y Y P y F Y ， 于是Y 的密度函数为 ?? ??? >??????-≤=????? >≤=?? ? >≤==0 ,2exp 21,0,00),(1,0,00, )')((2,0,0)(')(y y y y y y y y y y y y y F y f Y Y πφφ 2.2 3.设随机变量~U(0,)X π，求下列随机变量Y 的概率密度函数： (1)Y 2ln ;(2)Y cos ;(3)sin .X X Y X ===，求1Y X =-的密度函数. 2.23解：X 的密度函数和分布函数分别为： ?? ?<<=其他，, 0, 0,/1)(ππx x f X ，)()(x X P x F X ≤=， 且有)()('x f x F X X = （1）X Y ln 2=的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 ??? ? ??=???? ??≤=≤=≤=22)ln 2()()(y X y Y e F e X P y X P y Y P y F ， 因此Y 的密度函数为 ?????<=?????=?????<<=???? ??=???? ?????? ??==其他，， ， 其他，，，〈〈其他，0ln 2,2100,21, 0,0,/12 121')(')(2 2222 2222ππππππy e e e e e e f e e e f y F y f y y y y y y X y y y X Y Y （2）X Y cos =的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 () ) (arccos )(arccos )()()(y F F X y P y coxX P y Y P y F X X Y -=≤≤=≤=≤=ππ 于是Y 的密度函数为 ?? ??? <<--=??? ??<<-=---=-==其他，其他，,0,11,11,0,arccos 0,1111) (arccos )')(arccos (arccos )(')(222 y y y y y y f y y f y F y f X X Y Y πππ （3）X Y sin =的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 () ) arcsin ()()0()(arcsin arcsin ()arcsin 0)(sin )()(y F F F y F X y P y X P y X P y Y P y F X X X X Y --+-=≤≤-+≤≤=≤=≤=ππππ 于是Y 的密度函数为 ?? ??? <<-=?????<<-=?? ? ?? <<-+?????<<-=?? ??? <-<-+?????<<-=--+ -= ---==其他，其他，其他，其他，其他，其他，,0,10,12,0,arcsin 0,12,0,arcsin 0,11,0,arcsin 0,11,0,arcsin 0,11,0,arcsin 0,11) arcsin (11)(arcsin 11)' arccos )(arccos ()')(arcsin (arcsin )(')(2222222 2 y y y y y y y y y y y y y f y y f y y y f y y f y F y f X X X X Y Y πππππππππππππππ 第二章综合练习 1. 填空题 （1）． 已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 k P 0.1 0.2 0.4 p 则：p = 0.3 。 （2）．设X 的分布函数为???≤>-=-0 001)(x x e x F x ，，，则=≤}2{X P ； =>}3{X P ；X 的概率分布=)(x f 。 （3）.设X 的概率分布为?????≤≤=其它 ，，02021 )(x x f ，则=<}1{X P ；=≥}2{X P 。 （4）．设随机变量X 的概率密度为????? ≤ =其它， ，02cos )(πx x A x f ，则：系数A = ； }2 0{π < （5）.设随机变量X 的概率分布为 则23 2 += X Y 的分布律为 ，X 的分布函数)(x F 为 。 （6）.设随机变量X 的概率分布为! )(K A K X P K λ==， ,2,1=K ，0>λ，则常数 =A 。 (7)若随机变量X 的概率密度为???≤>=-0 00 )(x x e x f x λλ，则当=C 时，有 2 1 )(= ≥C X P 。 (8).设随机变量X 的概率密度为? ??<<=其他 010x 2)(x x f ，对X 进行三次独立重复观察， 用Y 表示事件)2 1 (≤ X 出现的次数，则==)2(Y P 。 (9).设连续型随机变量X 的分布函数为?? ? ? ? ? ??? >≤≤<=.2 ,1,20 ,sin ,0 ,0)(ππx x x A x x F 则A= ，=<)6 |(|π X P 。 2.选择题 （1）设随机变量X 的概率密度为)(x f ，且)()(x f x f =-，F(x)是X 的分布函数，则对任意实数a 有（ ） A ．dx x f a F a ? - =-0 )(1)( B. dx x f a F a ?-= -0 )(21 )( C ．)()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F （2）下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ） A. 211 )(x x F += B. x x F arctan 1 21)(π += C. ?????≤>-=-.0 ,0; 0 ),1(21)(x x e x F x D. dt t f x F x ? ∞ -= )()(，其中1)(=?+∞ ∞ -dt t f 。 （3）设1X ，2X 是随机变量，它们的分布函数分别为)(1x F ，)(2x F ，为使 )()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给出的各组数中应取 （ ） A ． 53= a ，52-= b B. 32=a ，32=b C ． 2 1-=a ，23=b D. 21=a ，23 =b 4．设随机变量X 的密度函数为? ??<<=其它,01 0,4)(3x x x f ，则使)()(a X P a X P <=>成 立的常数=a （ ） 。 ()A 4 2 1 ()B 4 2 () C 21 () D 42 1 1- 5.设X 的概率分布为f x Ax x ()=< ?，， 其它010，则}21 { (A ) 43 (B ) 31 (C ) 41 (D ) 2 1 6．设X 和Y 均服从正态分布X N Y N ~()~()μμ，，，452 2 ，记 p P X 14=<-{}μ，p P Y 25=≥+{}μ，则（ ） ()A 对任何实数μ都有p p 12= ()B 对任何实数μ都有p p 12< ()C 仅对μ的个别值有p p 12= ()D 对任何实数μ都有p p 12> 计算题 （1）一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件，第i 个零件不合格的概率为 )3,2,1(1 1 =+= i i p i ，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布律。 （2）设随机变量X 的概率密度为? ??<<=其他 010x 2)(x x f ，现对X 进行n 次独立重复 观测，以n V 表示观测值不大于0.1的次数，求n V 的概率分布。 （3）设随机变量]5,2[~U X ，对X 进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率。 （4）设测量的随机误差)40,20(~2 N X ，试求在三次重复测量中，至少有一次误差的绝对值不大于30的概率。 （5）设连续型随机变量X 的分布密度为?? ???<<-=其他 011- 1)(2 x x k x f ， ① 确定常数k ； ② 求X 落在??? ? ?- 21,21内的概率。 （6）设连续型随机变量X 的分布密度为??? ? ?????≥<≤<=.2 ,0,20 ,41 ,0 ,21)(x x x e x f x ，试求X 的分布函数)(x F 。 （7）设连续型随机变量X 的分布密度为 ?? ? ?? ≤>+=0 00 1) (2)(2x x x x f X π， 求 ① 3 X Y =的分布密度； ② X Y ln =的分布密度。 综合练习答案 填空题 (1).0.3 ，(2).2 3 ,01,,()0,0 x e x e e f x x ---?->-=?≤?, (3). 1,12, (4).11 ,22 (5). ????? ? ???≥++<≤+<≤<=., 4 1 2141,2,21 41,20,41,0,0)(ππππ x x x x x F (6).λ λ ---=e e A 1,(7).2ln 1λ=C ,(8).649)2(==Y P ,(9)..A=1；21)6|(|=<πX P 选择题 . （1）B ；（2）B ；（3）A ，4.A, 5.C, 6.B 3. （1）X 的分布律为 （2）n V 的概率分布为k n k k n n C k V P -==)99.0()01.0()(，n k ,,1,0 = （3） 27 20 （4）约为0.87 （5） ① π 1 = k ；② 3 1 （6）??? ? ?? ???≥<≤+<=.2 ,1,20 ,421,0 ,21)(x x x x e x F x （7） ① ?? ??? ≤>?+?=0 00 1)(32)(3232y y y y y f Y π ② ) 1(2)(2+=y y Y e e y f π，+∞<<∞-y 、 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 概率论习题库 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 A ．)()(A P B A P =? B ．()()P AB P A = C ．()()|P B A P B = D ．()()()P B A P B P A -=- 2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}-P X μσ<= A ．增大 B ．不变 C ．减少 D ．增减不定 3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则 Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 4．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项 不是统计量的是 Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 2 3 i 2 i 1X σ =∑ Ｄ．1X μ- 5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是 A.}{00成立接受H H P B.}{11成立接受H H P C.}{10成立接受H H P D.}{01成立接受H H P 1．A 2.B 3.A 4.C 5.D 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且A B ?，则下面正确的等式是： (A))()()(A P B P A B P -=-； (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5 P X Y ≥≥=,2{0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15 ; (B) 25 ; (C) 35 ; (D) 45 4. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则 不是总体期望μ的无偏估计量的是 (A) X ; (B) 1n i i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +- 5. 设总体X ~()2,N μσ，其中2σ已知, μ未知, 123, ,X X X 为其样本， 下 列各项中不是统计量的是 概率论与数理统计课后习题答案 第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 35 35 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律； （2） X 的分 布函数并作图； (3) — 133{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 31331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35 C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 （2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x 2010~2011第一学期《概率论与数理统计》答案 经管类本科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．对于事件B A ,，下列命题正确的是( D ) )(A 如果B A ,互不相容，则B A ,也互不相容 )(B 如果B A ?，则B A ? )(C 如果B A ?，则B A ? )(D 如果B A ,对立，则B A ,也对立 2．设B A ,为随机事件，且()()0, 1P B P A B >=，则必有( A ) ()()()A P A B P A ?= ()()()B P A B P B ?= ()()()C P A B P A ?> ()()()D P A B P B ?> 3．若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则=≤≤)(b X a P （ B ） )()()(a F b F A - )()()()(a X P a F b F B =+- )()()()(a X P a F b F C =-- )()()() (b X P a F b F D =+- 4．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1,8(~B Y ，且X ，Y 相互独立， 则=--)43(Y X D （ C ） 13)(-A 15)(B 19)(C 23)(D 5. 总体2 ~(,)X N μσ， 123,,X X X 为取自总体X 的简单随机样本，在以下总体均值μ的四个无偏估计量中，最有效的是（ D ） 1123111 ()236 A X X X μ∧=++ 21311()22 B X X μ∧=+ 3123131()555C X X X μ∧ =++ 4123111 ()424 D X X X μ∧=++ 6. 设12,, ,n X X X ()2n ≥为来自总体()0,1N 的简单随机样本，2S 为样本方差，则下面结论正 确的是（ A ） 第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ，B ，C 都发生； （4） A ，B ，C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C 不都发生； （7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生. 3. 指出下列等式命题是否成立，并说明理由. （1） A ∪B =（AB ）∪B ； （2） A B =A ∪B ； （3）B A ∩C =B A C ； （4） （AB ）（AB ）=?； （5） 若A ?B ，则A =AB ； （6） 若AB =?，且C ?A ，则BC =? (7) 若A ?B ，则B ?A ； (8) 若B ?A ,则A ∪B =A . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7,求： （1） 在什么条件下P （AB ）取到最大值？ （2） 在什么条件下P （AB ）取到最小值？ 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是 For personal use only in study and research; not for commercial use 《概率论》第二章 练习答案 螂 一、填空题: "2x 莁 1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿 1 的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________ 2 P(X J)「￡xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 P —F (3)2 螃 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0 莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）= 选择题 1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（B ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ?，则A 与C 也独立. 2．设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ B ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ 3. 设 ,则下列结论成立的是（? D ） （A ） 事件A 和B 互不相容； （B ） 事件A 和B 互相对立； （C ） 事件A 和B 互不独立； （D ） 事件A 和B 互相独立。 4.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。 A. 2242 B. 24 1 2C C C. 24! 2P D. !4!2 5.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射 击次数为3的概率是（ C ）。 A. 34 3）（ B. 41432?）（ C. 43412?）（ D. 2 24 4 1C ）（ 6.设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ A ）。 A. q p )1(- B. pq C. q D.p 7．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ A ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. 8. 设随机变量X 的概率密度为 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ A ） （A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b == （C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == 9. 设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（ D ） （A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.概率论与数理统计第四版第二章习题答案
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