第一节集合
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1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
一、必备知识
1．元素与集合
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
A
?
3.
1．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.
2．A∩A＝A，A∩?＝?.
3．A∪A＝A，A∪?＝A.
4．A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A.
5．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??U A??U B?A∩(?U B)＝?.
6．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
一、思考辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A. ()
(3){1，2，3}＝{3，2，1}．()
(4){0}＝?. ()
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)总成立．()
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ()
提示：(1)错误．A是函数y＝x2的定义域，即A＝R；B是函数y＝x2的值域，即B＝{y|y≥0}；C是抛物线y＝x2上的点组成的集合．
(2)错误．元素与集合间的关系为“∈”或“?”，a在集合A中，可用符号表示为a∈A.
(3)正确．集合中元素的无序性的体现．
(4)错误．?是空集，不含有任何元素；而{0}是含有一个元素0的单元素集合．
(5)正确．借助Venn图可知，(A∩B)?(A∪B)总是成立．
(6)错误．若A＝?，或A?B且A?C时，原题关系也成立，而集合B与C不一定相等．
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×
二、牛刀小试
1．(2014·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2} 解析：选C∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}，故选C.
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B ＝()
A．[－2，－1] B．[－1，2)
C．[－1，1] D．[1，2)
解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.
3．(2014·辽宁高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝() A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
解析：选D A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以?U(A∪B)＝{x|0 4．设A ＝{－1，1，5}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{5}，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．±1 D ．1或3 解析：选D 因为A ∩B ＝5，所以a ＋2＝5或a 2＋4＝5.当a ＋2＝5时，a ＝3；当a 2＋4＝5时，a ＝±1，又a ＝－1时，B ＝{1，5}，而此时A ∩B ＝{1，5}≠{5}，故a ＝1或3. 5．设集合A ＝{x |x 2 ＋2x －8＜0}，B ＝{x |x ＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________． 解析：阴影部分是A ∩?R B .集合A ＝{x |－4＜x ＜2}，?R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩?R B ＝{x |1≤x ＜2}． 答案：{x |1≤x ＜2} 考点一 集合的基本概念 b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 [听前试做] (1)由题意可知，集合M ＝{5，6，7，8}，因此共4个元素． (2)若集合A 中只有一个元素， 则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23 ，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98 ， 所以a 的值为0或98 . 答案：(1)B (2)D 方法规律 解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 1．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝???? ??0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝???? ??0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，即b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 2．设集合A ＝{2，3，a 2＋2a －3}，集合B ＝{|a ＋3|，2}，已知5∈A ，且5?B ，则a 的值为________． 解析：由于5∈A ，且A ＝{2，3，a 2＋2a －3}， ∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，B ＝{5，2}，不符合条件5?B ，∴a ＝2不符合题意，应舍去； 当a ＝－4时，B ＝{1，2}，符合条件5?B ，∴a ＝－4. A ．A B B ．B A C ．A ?B D ．B ?A (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________． [听前试做] (1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}， ∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B. (2)∵B ?A ， ∴①若B ＝?，则2m －1 ②若B ≠?，则?????2m －1≥m ＋1， m ＋1≥－2，2m －1≤5. 解得2≤m ≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案：(1)B (2)(－∞，3] [探究1] 在本例(2)中，若A ?B ，如何求解？ 解：若A ?B ，则? ????m ＋1≤－2，2m －1≥5，即?????m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为?. [探究2] 若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 解：∵B ?A ， ∴①当B ＝?时，即2m －1 ②当B ≠?时，?????m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5或? ????m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得?????m ≥2，m >4或? ????m ≥2，m <－12.即m >4. 综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． [探究3] 若将本例(2)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求解？ 解：①若B ＝?，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝???? ??2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2)． 方法规律 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 1．(2015·济南模拟)设集合A＝{x|1 C．{a|a≥1} D．{a|a≥2} 解析：选D由A＝{x|1 2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C有4个． 低档题，且主要有以下几个命题角度： 角度一：离散型数集间的交、并、补运算 [例3](2014·重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(?U A)∩B＝________． [听前试做]依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，?U A＝{4，6，7，9，10}，(?U A)∩B＝{7，9}． 答案：{7，9} 角度二：连续型数集间的交、并、补运算 [例4](2014·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝() A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4) [听前试做]因为|x－1|<2?－2 答案：C 角度三：已知集合的运算结果求集合 [例5]设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩?U N＝{2，4}，则N＝() A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4} [听前试做]画出Venn图，阴影部分为M∩?U N＝{2，4}，∴N＝{1，3，5}． 答案：B 角度四：已知集合的运算结果求参数 [例6]已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________． [听前试做]A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1. 答案：－1 1 方法规律 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解； (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． 1．(2015·宁波模拟) 设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A ．{x |－3 B ．{x |－3 C ．{x |－1≤x ＜0} D ．{x |x <－3} 解析：选C 因为A ＝{x |x (x ＋3)<0}＝{x |－3 2．(2015·福州模拟)已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1，2] C ．[－1， 2 ] D ．? 解析：选B M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{y |y ＝2－x 2}＝{y |y ≤2}，所以M ∩N ＝[－1，2]，故选B. 3．(2015·龙岩模拟)已知集合A ＝{1，2，3}，B ∩A ＝{3}，B ∪A ＝{1，2，3，4，5}，则集合B 的子集的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：选C 由题意知B ＝{3，4，5}，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8. 4．(2015·郑州模拟)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A.???0，34 B.???34，43 C.????34，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选B 由题意知A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数 解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即?????4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以? ??a ≥34，a ＜43 ，即34≤a ＜43. ，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，考查考生理解、解决创新问题的能力．归纳起来常见的命题角度有： 角度一：创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题． [例7] 如果集合A 满足“若x ∈A ，则－x ∈A ”，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________． [听前试做] 由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合集合中元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}． 答案：{0，6} 角度二：创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． [例8] 对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10，3⊕7＝3＋7＝10，3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个． [听前试做] m ，n 同奇同偶时有11组：(1，11)，(2，10)，…，(11，1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)． 答案：15 角度三：创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题． [例9] 对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有 xy ∈S ”，则当?????a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．i [听前试做] ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ， ∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1. 答案：B 方法规律 解决新定义问题应注意以下几点 (1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、特值等方法解决． 设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义一个二元运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对 于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)．若对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，下列等式中不恒成立的是( ) A ．(a *b )*a ＝a B ．[a *(b *a )]*(a *b )＝a C ．b *(b *b )＝b D ．(a *b )*[b *(a *b )]＝b 解析：选A 根据题意“对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ”，则选项B 中，[a *(b *a )]*(a *b )＝b *(a *b )＝a 一定成立；选项C 中，b *(b *b )＝b 一定成立；选项D 中(a *b )*[b *(a *b )]＝(a *b )*a ＝b ，一定成立，故选A. ———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——数形结合思想 Venn 图是研究集合的工具，借助Venn 图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 3个注意点——解决集合问题应注意的问题 (1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． (2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． (3)防范空集．在解决有关A ∩B ＝?，A ?B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑?是否成立，以防漏解． [全盘巩固] 一、选择题 1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0，1} D ．{1，2} 解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0，1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}． 2．若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解析：选C 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1，1，3，故所求集合为{－1，1，3}，共含有3个元素． 3．已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 解析：选B 由M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，可求出P ＝M ∩N ＝{1，3}，所以P 的子集共有22＝4个，故选B. 4．集合A ＝{x |2 015 A ．{a |a ≥2 015} B ．{a |a ≤2 015} C ．{a |a ≥2 016} D ．{a |a ≤2 016} 解析：选C 将集合A ＝{x |2 015 因为A ∩B ＝?，所以a ≥2 016，故选C. 5．已知集合A ＝{1，2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝???? ??12，则A ∪B ＝( ) A.??????12，1，2 B.???? ??12，－1 C.??????12，1 D.???? ??12，1，－1 解析：选D 由A ∩B ＝??????12，得2a ＝12，解得a ＝－1，从而b ＝12.所以A ＝???? ??1，12，B ＝??????－1，12，则A ∪B ＝??????12，1，－1. 6．已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|y ＝ln (x －2)}，则(?R B )∩A ＝( ) A ．{x |－2≤x <1} B ．{x |－2≤x ≤2} C ．{x |1 D ．{x |x <2} 解析：选C 集合A ＝{x |1 则(?R B )∩A ＝{x |1 7．设集合U ＝{－1，1，2，3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若?U M ＝{－1，1}，则实数p 的值为( ) A ．－6 B ．－4 C ．4 D ．6 解析：选D 由已知条件可得M ＝{2，3}，则2，3是方程x 2－5x ＋p ＝0的两根，则p ＝6，故选D. 8．(2015·西安模拟)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ?(A ∩B )，则a 的取值范围为( ) A.????－32，－1 B.? ???－∞，－32 C.(－∞，－1] D.??? ?－32，＋∞ 解析：选C 因为B ?(A ∩B )，所以B ?A . ①当B ＝?时，满足B ?A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32 ； ②当B ≠?时，要使B ?A ，则?????－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5， 解得－32 ＜a ≤－1. 由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]． 二、填空题 9．(2015·济南模拟)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 015＝________． 解析：因为M ＝N ，所以?????n ＝1，log 2n ＝m 或?????n ＝m ，log 2n ＝1，即?????n ＝1，m ＝0或? ????n ＝2，m ＝2.故(m －n )2 015＝－1或0. 答案：－1或0 10．(2015·昆明模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝???? ??y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________． 解析：解不等式x 2－9x <0可得0 7，8}，又4y ∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1，2，4，所以B ＝{1，2，4}，所以A ∩B ＝B ，A ∩B 中元素的个数为3. 答案：3 11．(2015·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ?B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]，因为A ?B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 12．设A 、B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ?A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝________________． 解析：由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}．所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，所以A ×B ＝[0，1]∪(2，＋∞)． 答案：[0，1]∪(2，＋∞) [冲击名校] 1．已知集合A ＝???? ??x |3x ≥1，x ∈N ，B ＝{x |log 2(x ＋1)≤1，x ∈N }，S ?A ，S ∩B ≠?，则集合S 的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．8 解析：选C 法一：从0开始逐一验证自然数可知A ＝{1，2，3}，B ＝{0，1}，要使S ?A ，S ∩B ≠?，S 中必含有元素1，可能有元素2，3，所以S 有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个． 法二：A ＝??????x |3x ≥1，x ∈N ＝??????x |1－3x ≤0，x ∈N ＝???? ??x |x －3x ≤0，x ∈N ＝{x |0 2．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a A ．(a ，d )∪(b ，c ) B ．(c ，a ]∪[b ，d ) C ．(a ，c ]∪[d ，b ) D ．(c ，a )∪(d ，b ) 解析：选C ∵a ＋b ＝c ＋d ，ab ∴M ∪N ＝(a ，b )，M ∩N ＝(c ，d )， ∴M ⊕N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，故选C. 3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0，3]，则实数m 的值为________； (2)若A ??R B ，则实数m 的取值范围为________． 解析：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴? ????m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2. (2)由(1)知：?R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∵A ??R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3. 因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m ＜－3}． 答案：(1)2 (2)(－∞，－3)∪(5，＋∞) 4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3 解析：由已知得A ＝{x |x <－1或x >3}， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4.∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7. 答案：－7 5．设集合S n ＝{1，2，3，…，n }，若X ?S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________． 解析：∵S 4＝{1，2，3，4}，∴X ＝?，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1，3}，其容量分别为1，3，3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7. 答案：7 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲下载 1．理解命题的概念． 2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 一、必备知识 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 3． 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A B ，则p 是q 的既不充分又不必要条件． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2>1”是命题．( ) (2)“cos x ＝3”是命题．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)如果把四种命题中的逆命题作为原命题，则其否命题是它的逆否命题．( ) (5)否命题就是命题的否定．( ) (6)若p 是q 的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件．( ) 提示：(1)错误．无法判断x 2>1的真假． (2)正确．cos x ＝3是假命题． (3)正确．由于原命题与其逆否命题为等价命题；原命题的逆命题与原命题的否命题也为等价命题，故四种命题中正确的个数不可能为奇数，只能为0或2或4. (4)正确．由四种命题间的关系可知． (5)错误．否命题既否定原命题的条件又否定原命题的结论，而命题的否定只否定原命题的结论． (6)正确．“p ?q ，q p ”的等价命题是“q ?p ，p q ”，故p 是q 的必要不充分条件． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√ 二、牛刀小试 1．(2014·安徽高考)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B ln(x ＋1)<0?0 2．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ” B ．“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ” C ．“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列” D ．“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列” 解析：选D 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 3．命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( ) q ? A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac ＞0”，为真命题，则它的否命题也为真． 4．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 3 ”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” (2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 [听前试做] (1)依题意得原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”． (2)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”． 答案：(1)B (2)C [探究1] 写出本例(1)中命题的否命题和逆否命题，并判断其真假性． 解：否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．假命题． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数．真命题． [探究2] 写出本例(2)中命题的否命题和逆命题，并判断其真假性． 解：否命题：若x ，y 不都是偶数，则x ＋y 不是偶数．假命题． 逆命题：若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数．假命题． 方法规律 判断四种命题间关系的方法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． (2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用． 1．命题“若a 3>b 3，则a >b ”的否命题是( ) A ．若a 3>b 3，则a ≤b B ．若a 3≤b 3，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 3>b 3 D ．若a ≤b ，则a 3≤b 3 解析：选B “若a 3>b 3，则a >b ”的否命题是：若a 3≤b 3，则a ≤b . 2．命题“已知c >0，若a >b ，则ac >bc ”的逆命题是________． 解析：逆命题为：已知c >0，若ac >bc ，则a >b . [例2] (1)(2014·陕西高考)原命题为“若a n ＋a n ＋12