【20132湖南长沙226题】如图,在平面直角坐标系中,直线y =-x +2与x 轴、y 轴交于点A 、B ,动点P(a ,b )在第一象限内,由点P 向x 轴、y 轴所作的垂线PM 、PN (垂足为M 、N )分别与直线AB 相交于点E 、F ,当点P(a ,b )运动时,矩形PMON 的面积为定值2. (1)求∠OAB 的度数; (2)求证:△AOF ∽△BEO ;
(3)当点E 、F 都在线段AB 上时,由三条线段AE 、EF 、BF 组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S 1,△OEF 的面积为S 2。试探究:S 1+S 2是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由。
解:(1)由y =-x +2知,
∵当x =0时,y =2 ∴B (0,2),即OB=2 ∵当y =0时,x =2 ∴A (2,0),即OA=2 ∵OA=OB ∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴∠OAB=45° (2)∵EM ∥OB
∴
BE AB
OM OA ==∵FN ∥OA
∴AF AB
ON OB
==
∴AF 2
ON
OM=2OM 2ON ∵矩形PMON 的面积为2 ∴OM 2ON=2 ∴AF 2BE=4 ∵OA 2OB=4
∴AF 2BE=OA 2OB ,即AF OA
OB BE
=
∵∠OAF=∠EBO=45° ∴△AOF ∽△BEO
(3)易证△AME 、△BNF 、△PEF 为等腰直角三角形
∵AM=EM=2-a ∴AE 2=2(2-a )2=2a 2-8a +8 ∵BN=FN=2-b ∴BF 2=2(2-b )2=2b 2-8b +8 ∵PF=PE=a +b -2
∴EF 2=2(a +b -2)2=2a 2+4ab +2b 2-8a -8b +8 ∵ab =2 ∴EF 2=2a 2+2b 2-8a -8b +16 ∵EF 2= AE 2+BF 2
∴由线段AE 、EF 、BF 组成的三角形为直角三角形,且EF 为斜边,则此三角形的外接圆面积为:
S 1=4πEF 2=4π22(a +b -2)2=2
π
(a +b -2)2
∵S 梯形OMPF =
1
2(PF+OM)2PM S △PEF =12PF 2PE ,S △OME =1
2OM 2EM
∴S 2=S 梯形OMPF -S △PEF -S △OME
=12(PF+OM)2PM -12PF 2PE -1
2OM 2EM =1
2[PF 2(PM -PE)+OM 2(PM -EM)] =1
2(PF 2EM+OM 2PE) =1
2PE 2(EM+OM) =1
2
(a +b -2)(2-a +a ) =a +b -2
∴S 1+S 2=
2
π
(a +b -2)2+(a +b -2) 设m=a +b -2,则S 1+S 2=2πm 2+m=2π(m+1
π
)2-12π
∵面积之和不可能为负数 ∴当m >-
1
π
时,S 1+S 2随m 的增大而增大 ∴当m 最小时,S 1+S 2就最小 ∵m=a +b -2=a +
2
a -
)2
2
=
a =b
时,m 最小,最小值为
-
2
∴S 1+S 2的最小值=
2
-2)2-2 = 2(3-π-2
【20132湖南株洲224题】已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,1
4
),将抛物线C1向下平移h个单位
(h>0)得到抛物线C2,一条平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A、B、C、D四点(如图),且点A、C关于y轴对称,直线AB与x轴的距离是m2(m>0)。
(1)求抛物线C1的解析式的一般形式;
(2)当m=2时,求h的值;
(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点D,求证:tan∠EDF-tan∠ECP=1 2
解:(1)由题意设抛物线C1的解析式为y=a(x-1)2
∵抛物线C1过点(0,1
4
)
∴a=1 4
∴抛物线C1的解析式的一般形式为
y=1
4
(x-1)2=
1
4
x2-
1
2
x+
1
4
(2)由题意可得,抛物线C2的解析式为y=1
4
(x-1)2-h
∵当m=2时,直线AB与x轴的距离是4 ∴直线AB的解析式为y=4
∵在抛物线C1中,当y=4时,1
4
(x-1)2=4
解得x=5或-3
∴点C的坐标为(5,4)∵点A、C关于y轴对称∴点A的坐标为(-5,4)
代入抛物线C2的解析式得4=1
4
(-5-1)2-h
∴h=5
(3)∵在抛物线C1中,当y=m2时,1
4
(x-1)2=m2
解得x=1+2m或1-2m
∴点C坐标为(1+2m,m2)∵点E坐标为(1,m2)
∴PE=m2,EC=2m
∴tan∠ECP=
2
m
2m
PE
EC
==
m
2
∵在抛物线C2中,当y=m2时,
1
4
(x-1)2-h=m2
解得x
1-
∴点A坐标为(1-
m2)
点D坐标为(
m2)
∵点A、C关于y轴对称
∴1-
∵
EF=m2+h
∴tan∠
EDF=
2
EF
DE
=
=
2
=
m+1
2
∴tan∠EDF-tan∠ECP=
m+1
2
-
m
2
=
1
2
【20132湖南郴州226题】如图,在直角梯形AOCB 中,AB ∥OC ,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O 为原点,OC 、OA 所在直线为轴建立坐标系。抛物线顶点为A ,且经过点C 。点P 在线段AO 上由A 向点O 运动,点Q 在线段OC 上由C 向点O 运动,QD ⊥OC 交BC 于点D ,OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E 。 (1)求抛物线的解析式;
(2)点E′是E 关于y 轴的对称点,点Q 运动到何处时,四边形OEAE′是菱形?
(3)点P 、Q 分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t 秒,当t 为何值时,PB ∥OD ?
解:(1)由题意知,点A (0,2)是抛物线的顶点
∴可设抛物线的解析式为y =ax 2
+2 由题意得,点C (3,0)在抛物线上 ∴9a +2=0,得a =-29
∴抛物线的解析式为y =-29
x 2+2 (2)连接EE′交y 轴于F
当四边形OEAE′是菱形时,OA 与E E′互相垂直平分,即F 是OA 的中点,其坐标为(0,1)
∴点E 的纵坐标为1 由-
29
x 2
+2=1解得x =
±2
∵点E 在第一象限 ∴点E
坐标为(
2
,1) ∴直线OE 的解析式为y
x 由题意得,点B 坐标为(1,2) 设直线BC 的解析式为y =kx +b ,则
230k b k b +=??+=? 解得1
3
k b =-??
=? ∴直线BC 的解析式为y =-x +3 联立直线OE 、BC 的解析式解得: 点D
坐标为(277-
,6
7
) ∵QD ⊥OC
∴点Q
0) 故,当点Q
运动到(277
-,0)时,四边形OEAE′是菱形
(3)∵PB ∥OD ∴∠APB=∠AOE
∵DQ ∥OA ∴∠QDO=∠AOE ∴∠APB=∠QDO ∴Rt △PAB ∽Rt △DQO ∴
DQ OQ
AP AB
=
过点B 作BH ⊥OC 于H ,则四边形AOHB 是矩形,得BH=OA=2,OH=AB=1
∴HC=BH=2,即△BHC 为等腰直角三角形 ∴△CDQ 为等腰直角三角形 ∴DQ=CQ=3t
∵AP=2t ,OQ=OC -CQ=3-3t
∴
33321t t t -=
,得t=1
2
经检验t=1
2是分式方程的根
∴当t=1
2
s 时,PB ∥
OD
【20132湖南常德226题】已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC ,Rt △CEF ,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF ,M 是AF 的中点,连接MB 、ME 。
(1)如图1,当CB 与CE 在同一直线上时,求证:MB ∥CF ; (2)如图1,若CB=a ,CE=2a ,求BM ,ME 的长; (3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME .
E
F
C
B
A
M
N
E
C
B
A
M
图1图2
解:(1)延长BM 交EF 于N 。
∵AB ⊥CE ,EF ⊥CE ∴AB ∥EF
∵∠BAM=∠NFM ,∠ABM=∠FNM ∵M 是AF 的中点 ∴AM=FM ∴△ABM ≌△FNM ∴AB=FN ∵AB=BC ∴BC=FN ∵CE=FE ∴BE=NE
∴△BEN 是等腰直角三角形 ∴∠EBN=45° ∵∠C=45° ∴∠EBN=∠C ∴BM ∥CF
(2)由(1)得,BE=NE=CE -BC=
a
∴
∵△ABM ≌△FNM ∴BM=MN
∴
BM=
1
2
∵△BEN 是等腰直角三角形,M 是BN 的中点 ∴
ME=
1
2
BN=2a
(3)延长BM 交CF 于N ,连接BE 、NE 。
∵∠BCE=45°,∠C=45° ∴∠BCF=90°,即CF ⊥BC ∵∠ABC=90°,即AB ⊥BC ∴AB ∥CF
与(1)同理可证,△ABM ≌△FNM ∴BM=NM ,AB=FN ∵AB=BC ∴BC=FN
∵∠BCE=∠NFE=45°,CE=FE ∴△BCE ≌△NFE (SAS ) ∴BE=NE ,∠BEC=∠NEF ∵∠CEF=∠NEF+∠CEN=90° ∴∠BEN=∠BEC+∠CEN=90° ∴△BEN 是等腰直角三角形
【20132湖南益阳221题】阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A 、B 两点的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,
注:上述公式对A 、B 在平面直角坐标系中其它位置也成立。
解答下列问题:
如图2,直线l :y
=2x +2与抛物线y =2x 2交于A 、B 两点,
P 为AB 的中点,
过P 作x 轴的垂线交抛物线于点C
。
(1)求A 、B 两点的坐标及C 点的坐标;
(2)连结AB 、AC ,求证:△ABC 为直角三角形;
(3)将直线l 平移到C 点时得到直线l ′,求两直线l 与l ′的距离
解:(1)由2
222
y x y x
=+??=?可解得: 点A ,
3 点B
,3+
∵点P 为AB 的中点
∴点P 坐标为(1
2
,3)
∵
PC ⊥x 轴 ∴点C 横坐标为
12
∵当x =12
∴点C 坐标为(2,2
)
(2)∵AC 2=(
12
)2+(1
32
-
2=252-
BC 2=(12)2+(1
32
-2=252+∴AC 2+BC 2=25
∵AB 2
2
+(332=25
∴AB 2= AC 2+BC 2
∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB 是直角 (3)过点C 作CD ⊥
AB 于D ,则线段CD 的长就是两直线l 与l ′的距离。
∵△ABC 是直角三角形,且∠ACB 是直角
∵S △ACB =
12AC 2BC=1
2AB 2CD ∴CD=AC BC AB
?
由(2)得:AB=5 AC 2
2BC 2=(
252-)(252+125
4 ∴AC 2
∴215
【20132湖南张家界225题】如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a≠0)的图象过点C (0,1),顶点为Q (2,3),点D 在x 轴正半轴上,且OD=OC 。 (1)求直线CD 的解析式; (2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ,求证:△CEQ ∽△CDO ; (4)在(3)的条件下,若点P 是线段QE 上的动点,点F 是线段OD 上的动点,问:在P 点和F 点移动过程中,△PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵OD=OC ,点C (0,1)
∴点D 坐标为(1,0)
设直线CD 的解析式为y =kx +b ,则
10b k b =??+=? 解得1
1
k b =-??
=? ∴直线CD 的解析式为y =-x +1 (2)∵抛物线的顶点Q 坐标为(2,3)
∴可设抛物线解析式为y =a (x -2)2+3 ∵点C (0,1)在抛物线上
∴1=4a +3,得a =-1
(3)∵OC=OD
∴△CDO 是等腰直角三角形,∠DCO=45° ∵∠DCE=45° ∴∠OCE=90°
∴CE ∥x 轴,QH ⊥CE(QH 为抛物线对称轴) ∴点H 坐标为(2,1),点E 坐标为(4,1) ∴QH=CH=2,QH=EH=2
∴△QCH 、△EQH 为等腰直角三角形 ∴△CEQ 为等腰直角三角形 ∴△CEQ ∽△CDO
(4)存在。
作点C 关于x 轴的对称点A(0,-1),作点C 关于直线QE 的对称点B ,连接AB 交QE 于P ,交OD 于F ,连接PC 、CF 。
由对称性知,PC=PB ,FC=FA ∴C △PCF =PC+FC+PF=PB+FA+PF=AB
在QE 、OD 上任取点P ’、F ’,连P ’B 、P ’C 、F ’C 、F ’A 、P ’F ,得△P ’CF ’。
则C △P ’CF ’=P ’C+F ’C+P ’F ’=P ’B+F ’A+P ’F ’ 由两点之间线段最短可知,AB <P ’B+F ’A+P ’F ’ ∴C △PCF =AB 为△PCF
周长的最小值
过点B 作BK ⊥y 轴于
K 由(3)知,EQ ⊥CQ ,∠QCE=45°
∴点C 、
Q 、B 在同一直线上,且∠BCK=45° ∴△
BCK 是等腰直角三角形 由(3)可得, ∴
∴BK=CK=BC 2sin ∠
22
=4 ∵OC=OA=1
∴AK=CK+OC+OA=6 ∴
=综上所述,在P 点和F 点移动过程中,△PCF 的
【20132湖南邵阳226题】如图所示,在Rt △ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=90°,点P 是△ABC 的外角∠BCN 的角平分线上一个动点,点P′是点P 关于直线BC 的对称点,连结PP′交BC 于点M ,BP′交AC 于D ,连结BP 、AP′、CP′。
(1)若四边形BPCP′为菱形,求BM 的长; (2)若△BMP′∽△ABC ,求BM 的长; (3)若△ABD 为等腰三角形,求△ABD 的面积
B
C
D M N P
P ’
B
C
D
M
N P
P ’
B
C
D
M
N P
P ’
E
图1
图2
图3
解:(1)∵四边形BPCP′为菱形
∴BM=
12BC=1
2
34=2 (2)∵△BMP′∽△ABC ,且△ABC 是等腰Rt △
∴△BMP′是等腰Rt △ ∴∠MBP ′=45° ∴∠ABP ′=45° ∴△ABD 是等腰Rt △ ∴BP ′是AC 的垂直平分线 ∴∠P ′AC=∠P ′CA
∵CP 是∠BCN 角平分线,且∠BCN=135° ∴∠PCM=67.5°
∵点P′是点P 关于直线BC 的对称点 ∴∠P ′CM=∠PCM=67.5° ∵∠ACB=45°
∴∠P ′CA=∠P ′CM -∠ACB=22.5° ∴∠P ′AC=22.5°
∴∠P ′AB=∠P ′AC+∠CAB=22.5°+45°=67.5° ∴∠AP ′B=180°-∠P ′AB -∠ABP ′=67.5° ∴∠P ′AB=∠AP ′B ∴BP ′=AB=4
∴
BM=BP ′2sin45°=4
32
(3)分如下三种情况:
① 当AD=BD 时,则△ABD 是等腰Rt △,即图2所示情况。
由(2)可得S △ABD =
12S △ABC =1221
2AB 2BC =1231
2
3434=4 ② 当AB=AD 时,如图3所示。过点D 作DE ⊥AB 于E ,则△ADE 是等腰Rt △
∴
DE=AD 2sin45°=4
3
2
∴S △ABD =
12AB 2DE=1
2
343
③ 当AD=BD 时,点D 与点C 重合,点P 、M 均与点C 重合
此时,S △ABD =S △ABC =
12AB 2BC=1
2
3434=8 综上所述,当△ABD 为等腰三角形时,△ABD
的面积为4或8或
【20132湖南娄底225题】如图,在△ABC 中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,
(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围.
A
B
C
D E
F
P Q
H
解:(1)∵四边形EFPQ 是矩形
∴EF ∥BC
∴△
AEF ∽△ABC ,△AEH ∽△ABD
∴
EF AE =,AE AD
AB AH =
(2
)∵EF=x ,BC=5,AD=4
∴
∴∴S 矩形EFPQ =EF 2DH=x (42
445
x x -+
=2
45()552x --+
∴当x =5
2
时,矩形EFPQ 的面积有最大值,最
大面积为5. (3)当EF=x =
5
2
时,AH=DH=2 ① 当0≤t <2时,重叠部分为阴影部分的多边形 由∠B=45°,易证得△EMK 是等腰直角三角形 ∴EK=EM=t ∴S △EMK =
12EK 2EM=1
2
t 2 ∵∠B=45° ∴BD=AD=4,则CD=1
易求得NR=
12AD=2,CR=12CD=12
∵EF ∥BC ∴FG FN
CR NR
=
∵FN=t ∴FG=1
4
t
∴S △FNG =12FN 2FG=1
8
t 2
∴S=S 矩形EFPQ - S △EMK - S △FNG =5-
12t 2-18t 2=5-58
t 2 ② 当2≤t ≤4时,重叠部分为阴影部分△AKG 易得△AKG ∽△ABC ∴
2
(
)ABC
S AH S AD
?= ∵S △ABC =12BC 2AD=1
2
2524=10,AD=4 ∴S=
5
8
AH 2 ∵DH=QT=t ∴AH=AD -DH=4-t ∴S=
58(4-t)2=10-5t -5
8
t 2 故,S 与t 的函数关系式为:
2
255-t t 8S=510-5t-t t 48????
???
(0≤<2)(2≤≤)
【20132湖南衡阳228题】如图,在平面直角坐标系中,已知A (8,0),B (0,6),⊙M 经过原点O 及点A 、B 。 (1)求⊙M 的半径及圆心M 的坐标;
(2)过点B 作⊙M 的切线l ,求直线l 的解析式;
(3)∠BOA 的平分线交AB 于点N ,交⊙M 于点E ,求点N 的坐标和线段OE 的长
解:(1)∵A (8,0),B (0,6)
∴OA=8,OB=6 ∴
=∵∠AOB=90° ∴AB 是⊙M 的直径 ∴⊙M 的半径为
1
2
AB=5 ∵点M 是AB 的中点 ∴点M 坐标为(4,3) (2)令直线l 与x 轴交于点C
∵BC 是⊙M 的切线 ∴BC ⊥AB ,即∠ABC=90° ∵BO ⊥AC
∴AB 2=OA 2AC(射影定理)
∴AC=21008AB OA =
=25
2
∴OC=AC -OA=
25
2-8=92
∴点C 坐标为(-9
2
,0)
设直线l 的解析式为y =kx +b ,则
9
26
k b b ?-+=??
?=? 解得k =43,b =6 ∴直线l 的解析式为y =
43
x +6 (3)过点N 作ND ⊥x 轴于D ,连接AE 。
∵OE 是∠BOA 的平分线 ∴∠DON=45°
∴OD=ND ∵ND ∥OB
∴
ND AD
OB OA
=
∴ND=34
AD
∵AD=OA -OD=OA -ND=8-ND
∴ND=
34(8-ND),得ND=24
7
∴点N 坐标为(247,24
7)
∴
ND=24
7
∵AD=43ND=327
∴
=40
7
∴BN=AB -AN=10-407=307
∵∠AEN=∠OBN ,∠ANE=∠ONB ∴△AEN ∽△OBN
∴
NE AN
BN ON
=
∴
NE=403077AN BN ON ?==
25
7
∴OE=ON+NE=24
7+25
7
【20132湖南湘西洲225题
已知A 点的坐标为A (-2,0)。
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C 的坐标,连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式; (3)试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ACQ 为等腰三角形?若不存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由
解:(1)∵点A (-2,0)在抛物线上
∴0=-1-2b +4,得b =
3
∴抛物线的对称轴方程为x =3 (2)∵当x =0时,y =4
∴点C 坐标为(0,4) ∵点A 、B 关于直线x =3对称 ∴点B 坐标为(8,0)
设直线BC 的解析式为y =kx +b ,则
480b k b =??
+=?
解得k =-1
2,b =4 ∴直线BC 的解析式为y =-
1
2
x +4 (3)△AOC ∽△COB 。理由如下:
∵OA=2,OB=8,OC=4 ∴
1
2
OA OC OC OB == ∵∠AOC=∠COB=90° ∴△AOC ∽△COB (4)存在。
① 在Rt △ACB 中,D 是AB 的中点,则AD=CD ,故当点Q 1
位于点D 处时,AQ 1
=CQ 1,△ACQ 1是等腰三角形,此时点Q 1坐标为(3,0)
② 过点C 作对称轴的垂线,垂足为E ,则AE=3
由题得=
∵AC >CE
∴以点C 为圆心,AC 长为半径画圆,该圆与对称轴有交点Q 2和Q
3,显然,△ACQ 2、△
ACQ 3是等腰三角形
∵CQ 2=CQ 3
CE=3 ∴EQ 2=EQ 3
=
∵DE=OC=4
∴DQ 2= DE+EQ 2
DQ 3=DE -EQ 3=4
∴点Q 2坐标为(3,
),点Q 2坐标为(3,4
③ 由于AD=5>
A 为圆心、AC 长为半径画圆,与对称轴没有交点,不存在点Q 。
综上所述,存在满足题述条件的点Q ,其坐标为(3,0)或3,4
【20132湖南岳阳224题】如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,顶点为F。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A、B、M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线的顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由。
解:(1)由题意知,AE=BE=5,OE=3
∴OA=AE-OE=2,OB=OE+BE=8
∴点A坐标为(-2,0),点B坐标为(8,0)
连接AC、BC
∵AB是⊙E的直径∴∠ACB=90°
∵OC⊥AB
∴OC2=OA2OB=238=16(射影定理)
∴OC=4
∴点C坐标为(0,-4)
(2)∵抛物线经过A、B两点
∴可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8)
∵抛物线过点C(0,-4)
∴-4=-16a,得a=1 4
∴抛物线解析式为y=1
4
(x+2)(x-
由题意知,抛物线的对称轴为x=3
∵当x=3时,y=1
4
252(-5)=
25
4
-
∴顶点F的坐标为(3,
25
4 -)
(3)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点M,显然,△ABM与△ABC的面积相等。
由抛物线的对称性知,点M的坐标为(6,-4)
②作点C关于x轴的对称点D(0,4),过点D 作x轴的平行线交抛物线于点M,显然,△ABM与△ABC的面积相等。
则点M的纵坐标为4
当y=4
故,所有符合条件的点M坐标为(6,
-4)或
(4)直线MF与⊙E相切。理由如下:
∵点M在第四象限∴点M坐标为(6,-4)
连接EM,连接CM交EF于点N,则点N坐标为(3,-4)
∴EN=4,FN=
9
4
,MN=3
∵
4
3
MN EN
FN MN
==,且∠MNF=∠ENM=90°∴△MNF∽△ENM
∴∠EMN=∠MFN
∵∠MFN+∠FMN=90°
∴∠EMN+∠FMN=90°,即∠EMF=90°
∴EM⊥MF
∴直线MF是⊙E的切线
【20132湖南湘潭226题】如图,在坐标系xOy 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1,0),B(0,2),抛物线
C 点。 (1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l 。当l 移动到何处时,恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分? (3)点P 是抛物线上一动点,是否存在点P ,使四边形PACB 为平行四边形?若存在,求出P 点坐标,若不存在,说明理由。
解:(1)过点C 作CD ⊥x 轴于点D
∵A (1,0),B (0,2) ∴OA=1,OB=2
∵∠BAC=90° ∴∠OAB+∠CAD=90° ∵∠OAB+∠OBA=90° ∴∠OBA=∠CAD
∵∠AOB=∠ADC=90°,AB=AC ∴△AOB ≌△CDA ∴CD=OA=1,AD=OB=2 ∴OD=OA+AD=3 ∴点C 坐标为(3,1) ∵点C 在抛物线上
∴1=
9322b +-,得b =-1
∴抛物线的解析式为1
2
x -2
(
2)∵
=∴S △ABC =
12AB 2
AC=12
5
2
由图知,当直线l 平分△ABC 面积时,直线l 应
位于点A 右侧、点D 左侧,则S △EFC =12S △ABC =5
由A 、C 坐标可得,直线AC
由B 、C 坐标可得,直线BC 设直线l
为x =m ,则
H (m ,0
),E (m F
(m 1
2
)
,其中1<
m <3
2DH=12-m)=54
整理得:(3-m)2=3
解得(舍去)或3∴当直线l 移动至x =3
△ABC 的面积分为相等的两部分 (3)存在
以点A 、B 、C 为顶点,可以作出三个平行四边形,如图所示。
过点P 作PK ⊥y 轴于K 。
易证△PBK ≌△BAO ,则BK=OA=1,PK=OB=2 ∴点P 坐标为(-2,1) ∵当x =-2时,y 1
2
2(-2)-2=1 ∴点P 在抛物线上
同理可得,点P ’坐标为(4,-1),点P ’’坐标为(2,3),这两点均不在抛物线上
故,存在满足条件的点
P ,其坐标为(-2,1)
【20132湖南永州225题】如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、
B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、
B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问m、n、l满足什么关系时,存在以P、A、
B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个
P点?三个P点?
解:(1)存在。
假设存在点P,使△PAB∽△PCD
∵∠B=∠C=90°
∴PB PD
AB CD
=或
PB CD
AB PD
=
设PB=x,则PD=10-x
若PB PD
AB CD
=,则4 x =9(10-x),得x =
90
13
若PB CD
AB PD
=,则x (10-x)=36
即x 2-10 x +36=0
∵Δ<0,方程无实数解
∴此时不存在点P
故,在BD上存在1个P点,使△PAB∽△PCD,
BP的长为90 13
(2)存在2个点P。
设PB=x,则PD=12-x
与(1)同理
若PB PD
AB CD
=,则4 x =9(12-x),得x =
108
13
若PB CD
AB PD
=,则x (12-x)=36
即x 2-12 x +36=0,解得x=6
故,在BD上存在2个P点,使△PAB∽△PCD,
BP的长为6或108 13
(3)存在3个点P。
设PB=x,则PD=15-x
与(1)同理
若
PB PD
AB CD
=,则4 x =9(15-x),得x =
135
13若
PB CD
AB PD
=,则x (15-x)=36
即x 2-15 x +36=0,解得x=3或12
故,在BD上存在3个P点,使△PAB∽△PCD,BP的长为3或12或
135
13
(4)设PB=x,则PD=l-x
与(1)同理
若
PB PD
AB CD
=,则n x =m(l-x),得x=
ml
m n
+若
PB CD
AB PD
=,则x (l-x)=mn,即x 2-l x +mn=0 ∵Δ=l2-4mn
∴当l2<4mn时,方程无实数解,不存在P点
当l2=4mn时,方程有两个相等实数解,存在1个P点
当l2>4mn时,方程有两个不相等的实数解,存在两个P点
综上所述,当l2<4mn时,存在1个P点,使△PAB∽△PCD;当l2=4mn时,存在2个P点,△PAB ∽△PCD;当l2>4mn时,存在3个P点,△PAB∽△PCD。
A
B
C
D
P
【20132湖南怀化224题】已知函数y =kx 2-2x +
3
2
(k 是常数) (1)若该函数的图像与x 轴只有一个交点,求k 的值;
(2)若点M (1,k )在某反比例函数的图像上,要使该反比例函数和二次函数y =kx 2-2x +3
2
都是y 随x 的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围; (3)设抛物线y =kx 2-2x +
3
2
与x 轴交于A (x 1,0)、B (x 2,0)两点,且x 1<x 2,x 12+x 22=1,在y 轴上,是否存在点P ,使△ABP 是直角三角形?若存在,求出点P 及△ABP 的面积;若不存在,请说明理由。
解:(1)∵函数的图像与x 轴只有一个交点
∴方程kx 2-2x +
3
2=0有两个相等的实数根 ∴Δ=4-42k 232=0,得k =2
3
(2)∵过点M (1,k )的反比例函数,y 随x 的增大而增大
∴反比例函数图象位于第二、四象限 ∴k <0
由y =kx 2
-2x +32=k (x -1k )2-1k +3
2
知:
∵当k <0时,抛物线开口向下
∴当x <1
k
时,y 随x 的增大而增大
故,k 应满足的条件是k <0,x 的取值范围是x <
1k
(3)存在。
由kx 2-2x +
32=0得,x 1+x 2=2k ,x 1x 2=3
2k
∵x 12+x 22=1 ∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=
24k -3
k
=1 即k 2+3k -4=0,解得k =1或-4 ∵抛物线与x 轴有两个交点 ∴Δ=4-42k 232>0,得k <23
∴k =-4 ∴x 1+x 2=12-,x 1x 2=38
- ∵x 1<x 2
∴x 1<0<x 2
以AB 为直径画圆,与y 轴交于点P 、P ’,则△ABP 、△ABP ’为直角三角形
∵∠ABP=90°,PO ⊥AB ∴OP 2=OA 2OB(射影定理) ∵OA=-x 1,OB= x 2 ∴OP 2=- x 1x 2=
3
8
∴
OP=
4
∴点P 坐标为(0
,
4)或(0,
-4
)
∵AB= x 2- x 1
∴S △ABP =
12AB 2OP=1
2
22
24
=16
译林五年级上期末测试卷 听力部分(30分) 一、听句子,选出所听到的单词或词组。(听两遍)(每题1分,共5分)( ) 1. A. swim B. swimming C. swing D. swings ( ) 2. A. word B. world C. worker D. work ( ) 3. A. chickens B. kitchen C. chicken D. change ( ) 4. A. here B. hair C. head D. hill ( ) 5. A. a lot of horses B. a lot of houses C. lots of houses D. lots of horses 二、听问句,选出合适的答句。(听两遍)(每题2分,共10分) ( ) 1. A. It’s a circle. B. It’s a rectang le. C. It’s a diamond. D. It’s a star. ( ) 2. A. They are doing their homework. B. They are in the cinema. C. They are doing housework. D. They are very happy. ( ) 3. A. There are three. B. I have three. C. She has three. D. I can see three. ( ) 4. A. There are some fruit. B. There’s a hill. C. They’re dogs. D. It’s near the bag. ( ) 5. A. I am skiing. B. I like skiing. C. I’d like to ski. D. We can ski. 三、听录音,判断所听内容是否与图意相符,用√和×表示。(听两遍) (每题1分,共8分) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 四、听录音,填入所缺单词。(听两遍)(每格1分,共7分) Look, Jack is __________ a picture. It is a _________. There are many _________. You can see two triangles. They are its __________. There are ________circles in it. The _________one is its head. The small ones are its _________ and eyes. How lovely! 笔试部分(70分) 一、按要求写词。(每题1分,共9分) aren’t (同音词) _________ children (单数) _________ I’ll (完整形式)_________ us (主格)_________ he (宾格) ________ my parents (名词所有格) _________
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想:
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图,四边形ABCD是平行四边形,ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点,点F是直线CD上的点,连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点,连接MW则MN的最小值为() 2.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足:①点A到直线1的距离为2;②直线1与一条对角线平行;③直线1与菱形ABCD的边有交点,则符合题意的直线1的条数为() 3?如图,在四边形ABCD 中,AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上,则使得APBD的面积为3的点P的个数为() -√3 (第2(第3
4?如图,点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点,过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为( ) A. √T3-2 5?如图,等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。()上的一个动点,ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线,两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点,连接O C, ()D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为( ) 6.如图,在矩形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 在AD 边上,点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是( ) 7.如图,OP 的半径为1,且点P 的坐标为(3, 2),点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点,且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为( ) √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B (第5 (第6 (第7(第8
2020年湖南省中考数学模拟试题含答案 温馨提示: 1.本试卷包括试题卷和答题卡.考生作答时,选择题和非选择题均须作答在答题卡上,在本试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题. 2.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 3.本试卷满分150分,考试时间120分钟.本试卷共三道大题,26个小题.如有缺页,考生须声明. 一、选择题(本大题共10个小题,每小题只有一个正确选项,请将正确选项填涂到答题卡 上.每小题4分,共40分) 1.如果a 与2017互为倒数,那么a 是( ) A . -2017 B . 2017 C . 20171- D . 2017 1 2.下列图形中,是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) A . 6 33a a a =+ B . 33=-a a C . 5 23)(a a = D . 3 2a a a =?
4.人类的遗传物质是DNA,DNA是一个很长的链,最短的22号染色体与长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示为( ) A.3×107 B.30×104 C.0.3×107 D .0.3×10 8 5.如图,过反比例函数)0(>= x x k y 的图像上一点A 作 AB ⊥x 轴于点B ,连接AO ,若S △AOB =2,则k 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 6.下列命题:①若a<1,则(a﹣1) a a --=-111 ;②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形;③9的算术平方根是3;④如果方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a<1.其中正确的命题个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,AB ∥ CD,DE⊥ CE,∠ 1=34°,则 ∠ DCE的度数为( ) A.34° B.54° C.66° D.56° (第7题图) (第9题图) 8.一种饮料有两种包装,5大盒、4小盒共装148瓶,2大盒、5小盒共装100瓶,大盒与小盒每盒各装多少瓶?设大盒装x瓶,小盒装y瓶,则可列方程组( ) A. B. C. D . 9.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B .若OA =2,∠P =60°,则?AB 的长为( )
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点P (4,1)在函数f (x )=log a (x -b ) (b >0)的图象上,则ab 的最大值是 . 解:由题意知,log a (4-b )=1,即a +b =4,且a >0,a ≠1,b >0,从而ab ≤(a +b )24=4, 当a =b =2时,ab 的最大值是4. 2.函数f (x )=3sin(2x -π4)在x =43π 24 处的值是 . 解:2x -π4=43π12-π4=40π12=10π3=2π+4π3,所以f (43π24)=3sin 4π3=-3 2. 3.若不等式|ax +1|≤3的解集为{x |-2≤x ≤1},则实数a 的值是 . 解:设函数f (x )=|ax +1|,则f (-2)= f (1)=3,故a =2. 4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 . 解:有两类情况:同为白球的概率是3×1025×25=30625,同为红球的概率是7×625×25=42 625 ,所求的 概率是72 625 . 5.在平面直角坐标系xOy 中,设焦距为2c 的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与椭圆x 2b 2+y 2 c 2=1有相同 的离心率e ,则e 的值是 . 解:若c >b ,则c 2a 2=c 2-b 2c 2,得a =b ,矛盾,因此c <b ,且有c 2a 2=b 2-c 2 b 2,解得e =-1+52 . 6.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点.记四棱锥E -ABCD 的体积为V 1,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2,则V 1 V 2的值是 . (第6题图) A 1
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法: ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________. 二、精讲精练 1. (2011吉林)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,CE ⊥AD 于点E , AD =8cm ,BC =4cm ,AB =5cm .从初始时刻开始,动点P ,Q 分别从点A ,B 同时出发,运动速度均为1cm/s ,动点P 沿A -B -C -E 方向运动,到点E 停止;动点Q 沿B -C -E -D 方向运动,到点D 停止,设运动时间为x s ,△P AQ 的面积为y cm 2,(这里规定:线段是面积为0的三角形)解答下列问题: (1) 当x =2s 时,y =_____ cm 2;当x =9 2 s 时,y =_______ cm 2. (2)当5 ≤ x ≤ 14时,求y 与x 之间的函数关系式. (3)当动点P 在线段BC 上运动时,求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值. (4)直接写出在整个..运动过程中,使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值.
中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的,集中体现知识的综合性和方法的综合性,多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题:是给定直角坐标系和几何图形,先求函数的解析式,再进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。 几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式,求函数的自变量的取值范围,最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形,四边形是平行四边形、菱形、梯形等,或探索两个三角形满足什么条件相似等,或探究线段之间的数量、位置关系等,或探索面积之间满足一定关系时求x的值等,或直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置(极端位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能:中考压轴题大多是以坐标系为桥梁,运用数形结合思想,通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体,列(解)方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知,由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面。因此,可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧: 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确,防止“捡芝麻丢西瓜”。所以,在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停止,回头认真检查前面的题,尽量要保证选择、填空万无一失,前面的解答题尽可能的检查一遍。
2017年长沙市初中毕业学业水平考试 数学试卷 一、选择题: 1.下列实数中,为有理数的是( ) A .3 B .π C .32 D .1 2.下列计算正确的是( ) A .532=+ B .222a a a =+ C .xy x y x +=+)1( D .632)(mn mn = 3.据国家旅游局统计,2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次,数据82600000用科学记数法表示为( ) A .610826.0? B .71026.8? C .6106.82? D .81026.8? 4.在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 5.一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形一定是( ) A .锐角三角形 B .之直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 6.下列说法正确的是( ) A .检测某批次灯泡的使用寿命,适宜用全面调查 B .可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 C .数据3,5,4,1,2-的中位数是4 D .“367人中有2人同月同日生”为必然事件 7.某几何体的三视图如图所示,因此几何体是( ) A .长方形 B .圆柱 C .球 D .正三棱柱 8.抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是( ) A .)4,3( B .)4,3(- C .)4,3(- D .)4,2( 9.如图,已知直线b a //,直线c 分别与b a ,相交,01101=∠,则2∠的度数为( )
A .060 B .070 C .080 D .0110 10.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6,则这个菱形的周长为( ) A .cm 5 B .cm 10 C .cm 14 D .cm 20 11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为( ) A .24里 B .12里 C .6里 D .3里 12.如图,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点D C ,重合),折痕交AD 于点E ,交BC 于点F ,边AB 折叠后与边BC 交于点G ,设正方形ABCD 的周长为m ,CHG ?的周长为n ,则m n 的值为( ) A .22 B .21 C .21 5- D .随H 点位置的变化而变化 二、填空题 13.分解因式:=++2422a a . 14.方程组???=-=+331y x y x 的解是 . 15.如图,AB 为⊙O 的直径,弦AB CD ⊥于点E ,已知1,6==EB CD ,则⊙O 的半径为 .
课标要求 江苏南京29中致远校区殷发金 从“课程内容”的要求看,本专题涉及如下条目: 结合实例理解电功。 例2 电流通过电炉丝,电流做了功,将电能转化成了内能 课标解读 江苏南京29中致远校区殷发金 本条目涉及课程标准中一级主题“能量”中“能量、能量的转化和转移”、“电磁能”的内容。“能量”是课程标准中科学内容的三大主题之一。本条目课程内容涉及认知性目标。具体说明如下: “结合实例理解电功”。“理解”属于认知性目标行为动词,从行为动词层次水平看,理解属于认知性目标中的“理解”层次水平。具体而言,对电功的理解包括以下几个方面:一是初步了解电功和电能,二是电功的单位及计量,三是电功大小的计算及应用。对于电功和电能的初步认识,由于功的概念是比较抽象的,学生要认识功,必须经历一个较长的过程,认识到功和能间是有关的。电流做功的过程就是把电能转化为其它形式能的过程,所以消耗电能和电流做功两种说法是一样的。对于能量的概念在初中阶段并不需要严密的定义,而是把它放在能源的背景下,结合实例来认识电能的。现代生活与电的联系非常密切,学生对电学知识也有一定的了解。结合生活中的实际例子就是生活中常见的,如电灯、电动机、电热器等,它们在工作时都是在把电能转化为其它形式的能,认识到电流做功的过程就是把电能转化为其它形式能的过程。在实际生活中利用电能表来计量用电器消耗的电能,了解电能表的上的一些参数,会利用电能表测量一段时间内用电器消耗的电能,读数是这段时间前后的电能表读数的差值。电能表读数的单位是“千瓦时”,生活中也称为“度”,物理学中电能的常用单位是“焦耳”,它们之间的换算关系是1度=1千瓦时=3.6×106焦。通过介绍1kWh 电的作用,对节约用电有进一步的认识,了解节约用电的一些措施。电流做功的多少跟电流的大小、电压的高低和通电时间的长短都有关系。加在用电器上的电压越高、通过电流越大、通电时间越长,电流做功越多,它们之间只要知道这个定性的关系,并不要求通过实验探究要研究这几个量对电功的影响。电功大小的计算可以利用公式W=UIt,会结合欧姆定律进行简单计算。 “活动建议”中,提出了学读家用电能表,通过电能表计算电费。主要是掌握利用电能表测用电器消耗的电能的方法,培养学生节约用电的意识。活动中还可以读一些电费缴费单,了解电能表是如何测一个月内家用电器消耗的电能的,计算电费。学会一些节约用电的小知识,如用电器在待机时也要消耗电能,不能仅用遥控器关用电器,要拔掉电源等。 调查当地近年来人均使用电能的变化,讨论它与当地经济发展的关系。电能在现代工农业生产、科学实验及人民生活等各领域中都有极为广泛的应用,国民经济的发展对能源需求也越来越大,经常增长的同时伴随着对电能需求的急剧增长,“电荒”问题也凸现出来。随着生活水平的提高,家庭中越来越多的用电器对电能的需求也在逐渐增大。经济增长、生活水平的提高对电能的依赖程度越来越大,很难想象现代人没有电的日子。所以在经济增长的同时要注意节约电能,实现可持续发展。 重难点突破 江苏南京29中致远校区殷发金 一、教学内容分析 本节电能和电功的知识是建立在日常生活基础上的,通过日常生活中交电费的依据,知道家用电器消耗的是电能。从能量转化的角度来认识电能和电功,它是前面力做功及能量转
资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编(1) 2a的解为正数,且使关于的分式方程y的不等(2017重庆)若数a使关于x1.4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y,则符合条件的所有整数a的和为()式组 2???????0y?2a? A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程,由它的解为正数,求得a的取值范围. 2a 4??x?11?x去分母,得2-a=4(x-1) 去括号,移项,得4x=6-a 6?a 1,得x=系数化为46?a6?a≠1,解得a且a≠2;6?,且,∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组,判断出a的取值范围. y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①,得y;2???a;解不等式②,得y ∵不等式组的解集为y,∴a;2??2??③由a且a≠2和a,可推断出a的取值范围,且a≠2,符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为-2、-1、0、1、3、4、5,这些整数的和为10,故选A.2.(2017内蒙古赤峰)正整数x、y满足(2x-5)(2y-5)=25,则x+y等于()A.18或10 B.18 C.10 D.26 【答案】A, 【解析】本题考查了分解质因数,有理数的乘法法则和多项式的乘法,能列出满足条件的等式是解题的关键. 由两数积为正,则这两数同号.∵25=5×5=(-5)×(-5)=1×25=(-1)×(-25)只供学习与交流. 资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足(2x-5)(2y-5)=25, ∴2x-5=5,2y-5=5或2x-5=1,2y-5=25 解各x=5,y=5或x=3,y=15. ∴x+y=10或x+y=18. 故选A. x?a?0?3.(2017广西百色)关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解,则正数a?2x?3a?0?的最小值是() 2 D..1 B.2 CA. 3 3B. 【答案】3a3a<x≤a,因为该解集中至少5个整数解,所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5,解得a≥2 a≥.大5,即?2111122=n-m-2,则-的值等于(4.(2017四川眉山)已知m+n )44mn1D.- 1 C.B0 .-A.1 4C 【答案】11112222,m+1)n+(-1)m=0,从而=-2即1)1)由题意,【解析】得(m+m++(n-n +=0,(24421111 =-1.=n2,所以-=-2nm2-端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙.(2017聊城)5之前的函数关系式如图所示,下列两队与时间500米的赛道上,所划行的路程(min)my()x 说法错误的是()到达终点.乙队比甲队提前A0.25min 时,此时落后甲队.当乙队划行B110m15m
普通初中学业水平考试 数学能力测试 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.四个实数1,0,3,3-中,最大的是( ) A .1 B .0 C .3 D .3- 2.将不等式组? ??<≥+10 2x x 的解集在数轴上表示,正确的是( ) A . B . C . D . 3.图1所示的几何体的俯视图是( ) A . B .
C . D . 4.一组数据由4个数组成,其中3个数分别为2,3,4,且这组数据的平均数为4,则这组数据的中位数为( ) A .7 B .4 C . 5.3 D .3 5.同时满足二元一次方程9=-y x 和134=+y x 的x ,y 的值为( ) A .?? ?-==54y x B .???=-=5 4 y x C .???=-=32y x D .? ??-==63y x 6.下列因式分解正确的是( ) A .))(()()(b a b a b a b b a a +-=--- B .2 2 2 )3(9b a b a -=- C .2 2 2 )2(44b a b ab a +=++ D .)(2b a a a ab a -=+- 7.一次函数b kx y +=的图象如图2所示,则下列结论正确的是( ) A .0 B .1-=b C .y 随x 的增大而减小 D .当2>x 时,0<+b kx 8.如图3,ABCD ?的对角线AC ,BD 交于点O ,若6=AC ,8=BD ,则AB 的长可能是( ) A .10 B .8 C .7 D .6 9.如图4,在ABC ?中,AC 的垂直平分线交AB 于点D ,DC 平分ACB ∠,若 50=∠A ,则B ∠的度数为( ) A . 25 B . 30 C . 35 D . 40 10.如图5,在矩形ABCD 中,E 是CD 上的一点,ABE ?是等边三角形,AC 交BE 于点F ,则下列结论不成立的是( ) 一、函数与几何综合的压轴题 1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,此时AD 与BC 相交 于E ′点,如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=,∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上 图① 图② 方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上 (2)设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),C (1,-3) E (0,-2)三点,得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 (3)(本小题给出三种方法,供参考) 由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同(1)可得: 1E F E F AB DC ''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ,∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理:S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. (2004广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直 湖南省中考数学优秀毕业生选拔试题 (含答案) 时量:100分钟 满分:120分 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 复评人 亲爱的同学:你好!今天是展示你的才能的时候了,请你仔细审题,认真答题,发挥自己的正常水平,轻松一点,相信自己的实力。 一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共计30分.每小题只有一个正确答案,请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选 项 1.下列运算正确的是( ). A .22a a a ?= B .333()ab a b = C .538 ()a a = D .623a a a ÷= 2.已知2017632-===z y x ,则2017+++z y x 是( ). A 、正数 B 、零 C 、负数 D 、无法确定 3.如图,在△ABC 中,AB=AC ,M ,N 分别是AB ,AC 的中点,D ,E 为BC 上的点,连结DN ,EM .若AB=13cm ,BC=10cm ,DE=5cm ,则图中阴影部分面积为( )cm 2 A . 25 B. 35 C. 30 D. 42 D E M A B C N (第3题)(第4题) 4.如图,在平面直角坐标系中,直线y=22 33 x- 与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F,已知OA=3,OC=4,则△CEF的面积是() A.3 B.12 C.6 D. 4 3 5.对于数据:1,7,5,5,3,4,3.下列说法中错误的是() A.这组数据的平均数是4 B.这组数据的众数是5和3 C.这组数据的中位数是4 D.这组数据的方差是22 6.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b =0有一个非零根b,则a+b的值为() A.1 B.-1 C.0 D.一2 7.如图,边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?到正 方形AB C D ''',图中阴影部分的面积为() A.3 3 6+B.3 3C. 3 1-D.3 3 9- 8.下列图形中阴影部分的面积相等的是() A.②③ B.③④ C.①② D.①④ 9.已知m x= 5,n y= 5,则y x3 2 5+等于( ) A、n3 m 2+ B、2 2n m+ C、mn 6 D、3 2n m 10.当时,2 3 = - - + bx x a 成立,则22 a b -=( ) A、0 B、1 C、35.25 D、35.75 二、填空题(本大题有8小题,每小题3分,共24分) 11.日本在侵华战争中,杀害中国军民3500万人,3500万人用科学计数法表示 为人。 C D B' D C' 中考易错题数学组卷02 一.选择题(共8小题) 1.如图,反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C.若△ABC的面积是4,则这个反比例函数的解析式为() A.B.C.D. 2.一辆汽车的油箱中现有汽油60升,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:升)随行驶里程x(单位:千米)的增加而减少,若这辆汽车平均耗油0.2升/千米,则y与x函数关系用图象表示大致是() A.B.C.D. 3.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为() A.4πB.4πC.8πD.8π 4.若关于x的方程x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则直线y=kx+3必不经过() A.第三象限B.第四象限C.第一、二象限D.第三、四象限 5.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④ CB平分∠DCE,则以上结论正确的是() A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④ 6.如图,反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A,B,过点A作y轴的平行线与过点B作x 轴的平行线相交于点C,则△ABC的面积为() A.8B.6C.4D.2 7.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交DC 于F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是() A.B. C.D. 8.如图,一次函数的图象上有两点A、B,A点的横坐标为2,B点的横坐标为 a(0<a<4且a≠2),过点A、B分别作x的垂线,垂足为C、D,△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2,则S1、S2的大小关系是() A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.无法确定 二.填空题(共4小题) 9.如果⊙O半径为5cm,弦AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,那么AB与CD之间的距离是_________cm. 10.已知⊙O1和⊙O2相切,且圆心距为10cm,若⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为 _________cm. 11.已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C 的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△O DP 是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为_________. 12.如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N=_________;若M、N分别是AD、BC边的上距DC 最近的n等分点(n≥2,且n为整数),则A′N=_________(用含有n的式子表示). 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上; (2) 假如有一抛物线通过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,如今AD 与BC 相交于E ′点, 如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法,供参考〕 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=,∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上 方法二:由D 〔1,0〕,A 〔-2,-6〕,得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B 〔-2,0〕,C 〔1,-3〕,得BC 直线方程:y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0,-2〕,即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2,-6〕,C 〔1,-3〕 E 〔0,-2〕三点,得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法,供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得:1E F E F AB DC ''+=得:E ′F =2 图① 2019年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题(每小题4分,共40分;每小題的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上) 1.(4分)下列实数中,哪个数是负数() A.0B.3C.D.﹣1 2.(4分)单项式﹣5ab的系数是() A.5B.﹣5C.2D.﹣2 3.(4分)怀化位于湖南西南部,区域面积约为27600平方公里,将27600用科学记数法表示为() A.27.6×103B.2.76×103C.2.76×104D.2.76×105 4.(4分)抽样调查某班10名同学身高(单位:厘米)如下:160,152,165,152,160,160,170,160,165,159.则这组数据的众数是() A.152B.160C.165D.170 5.(4分)与30°的角互为余角的角的度数是() A.30°B.60°C.70°D.90° 6.(4分)一元一次方程x﹣2=0的解是() A.x=2B.x=﹣2C.x=0D.x=1 7.(4分)怀化是一个多民族聚居的地区,民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.B. C.D. 8.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=() A.30°B.45°C.60°D.90° 9.(4分)一元二次方程x2+2x+1=0的解是() A.x1=1,x2=﹣1B.x1=x2=1C.x1=x2=﹣1D.x1=﹣1,x2=2 10.(4分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只, 实验题18分强化练(一) (对应学生用书第160页) (建议用时:10分钟) 1.(8分)如图1所示是三个涉及纸带和打点计时器的实验装置图. 图1 (1)如图1三个实验装置中,摩擦力对实验结果没有影响的是________(选 “A”或“B”或“C”). A.甲B.乙C.丙 (2)若某同学实验时所用的电源如图2甲所示,则打点计时器应选图2乙中的 ________(选“A”或“B”). 甲乙 图2 (3)如果操作都正确,则通过装置________(选填“甲”、“乙”或者“丙”) 可打出图3中的纸带________(选填“①”或者“②”) 图3 【解析】(1)在匀变速直线运动的实验中,受到的拉力恒定,摩擦力也恒定,那么物体受到的合力恒定,对实验没有影响,在研究功和速度的关系的实验中,每次实验时受到的拉力加倍,但是摩擦力不加倍,对实验会产生影响,在研究加速度与力、质量的关系的实验中,改变车的拉力时,摩擦力不变,对实验的计算会产生影响,所以没有影响的是A. (2)由于电源是学生电源,电磁打点计时器的电压为4~6 V,所以要选择电磁 打点计时器,故选B; (3)分析纸带可以得到,纸带①中两点间的距离逐渐增大,说明是加速运动, 可能是甲图、也可能是丙图的实验结果.纸带②中后面两点间的距离相等,说明是匀速运动,实验纸带②应该是研究功和速度的关系的实验中得到的,即乙.所以通过装置乙可以得到纸带②. 【答案】(1)A(2)B(3)乙② 2.(10分)(1)某同学用多用电表的欧姆挡来测量电压表的内阻,如图4甲所示.先将选择开关旋至倍率“×100”挡,红、黑表笔短接调零后进行测量,红表笔应接电压表的________接线柱(选填“+”或“-”),测量结果如图乙所示,电压表的电阻为________Ω. 甲乙 图4 (2)该同学要测量一节干电池的电动势和内阻,有以下器材可供选择: A.电流表(0~0.6 A~3 A) B.电压表(0~3 V) C.滑动变阻器R(0~15 Ω,5 A) D.滑动变阻器R′(0~50 Ω,1 A) E.定值电阻R0为1 Ω F.开关S及导线若干南昌中考数学压轴题大集合
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