第6讲对数与对数函数
基础知识整合
1．对数的定义
如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作□01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)log a(M·N)＝□02log a M＋log a N，
(2)log a
M
N
＝□03log a M－log a N，
(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．
3．对数函数的图象与性质
a>10 图 象 定义域(0，＋∞) 值域R 定点过点□04(1,0) 单调性在(0，＋∞)上是□05单调递增的 在(0，＋∞)上是□06单调递减 的 函数值 正负 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 4．反函数 指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝□07log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□ 08y ＝x 对称． 1．对数的性质(a ＞0且a ≠1) (1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN ＝N . 2．换底公式及其推论 (1)log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1， b ＞0)； (2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1 log b a ； (3)log am b n ＝n m log a b ； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．(2019·广东湛江模拟)函数f (x )＝1－ln x 的定义域是( ) A ．(0，e) B ．(0，e] C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞) 答案 B 解析 要使函数f (x )＝1－ln x 有意义，则??? 1－ln x ≥0，x >0， 解得0 2．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大 小关系为() A．a C．b 答案 A 解析因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52 3．已知a>0，a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是() 答案 B 解析若a>1，则y＝a x是增函数，y＝log a(－x)是减函数；若0 4．函数y＝lg |x|() A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 答案 B 解析显然y＝lg |x|是偶函数，又x>0时，y＝lg x是单调递增函数，所以y ＝lg |x|在(－∞，0)上单调递减，故选B． 5．函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是() A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案 D 解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2. 设t＝x2－2x－8，∵y＝ln t为增函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间． ∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D． 6．若a＝log43，则2a＋2－a＝________. 答案43 3 解析原式＝2log43＋2－log43＝3＋1 3＝43 3. 核心考向突破考向一对数的化简与求值 例1(1)化简1 2lg 32 49 －4 3lg 8＋lg 245＝________. 答案1 2 解析1 2lg 32 49 －4 3lg 8＋lg 245 ＝1 2×(5lg 2－2lg 7)－4 3× 3 2lg 2＋ 1 2(lg 5＋2lg 7)＝ 5 2lg 2－lg 7－2lg 2＋ 1 2lg 5＋lg 7 ＝1 2lg 2＋1 2lg 5＝ 1 2lg (2×5)＝ 1 2. (2)设2a＝5b＝m，且1 a ＋1 b ＝2，则m＝________. 答案10 解析因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1 a ＋1 b ＝1 log2m ＋1 log5m ＝log m2＋log m5＝log m10＝2.所以m2＝10，所以m＝10. (3)若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________. 答案2－a a＋b 解析 ∵a ＝log 147，b ＝log 145，∴a ＋b ＝log 1435.又log 1428＝log 1414 72＝2－log 147＝2－a ，∴log 3528＝log 1428log 1435＝2－a a ＋b . 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误． [即时训练] 1.lg 52＋2 3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________. 答案 3 解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 2 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 2．已知2x ＝12，log 21 3＝y ，则x ＋y 的值为________. 答案 2 解析 ∵2x ＝12，∴x ＝log 212，∴x ＋y ＝log 212＋log 21 3＝log 24＝2. 3．计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54 解析 原式＝? ????log 32＋12log 32· ? ????12log 23＋13log 23＝3 2log 32·56log 23＝54. 考向二 对数函数的图象及其应用 例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D ．故选C ． (2)若方程4x ＝log a x 在? ? ???0，12内有解，则实数a 的取值范围为________. 答案 ? ???? 0，22 解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0 ???0，12上 有交点即可，则f ? ????12≥g ? ???? 12，即2≥log a 12，则0 ????0，22. 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求 解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [即时训练] 4.函数f(x)＝log a|x|＋1(0 答案 A 解析由于函数f(x)＝log a|x|＋1(0 5．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，求a的取值范围． 解设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x 恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝log a x的下方即可，如图所示． 当0＜a＜1时，显然不成立． 当a＞1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2.∵log a2≥1， ∴1＜a≤2，即a的取值范围为(1,2]． 精准设计考向，多角度探究突破 考向三对数函数的性质及其应用 角度1比较对数值的大小 例3(1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 答案 A 解析∵a＝log3π>1,0 2log23>1 2log32，且c＝ log32＝1 2log32，∴b>c，即a>b>c，故选A． (2)若实数a，b，c满足log a2 C．c 答案 A 解析由log a2 ①1 作出函数的图象(如图所示)． 由图象可知选项A不可能成立． 比较对数值的大小的方法 [即时训练] 6.(2019·辽宁省五校联考)设a ＝2019 12020 ，b ＝log 20192020，c ＝log 20201 2019，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c 答案 D 解析 ∵a ＝20191 2020 >20190＝1,0 log 20201 2019 7．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －1 2 ，则( ) A ．x 答案 D 解析 ln π>1，log 52＝1log 25<12，z ＝e －12 ＝1e ，12<1e <1，所以y 角度2 解简单的对数不等式 例4 (1)(2019·广州模拟)设函数f (x )＝????? log 2x ，x >0， log 12 (－x )，x <0. 若f (a )>f (－a )，则 实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C 解析 由题意可得??? a >0， log 2a >－log 2a 或? ??? ? a <0， log 12 (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1 (2)(2019·西安模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ? ?? ?? 13＝0，则不等式f (log 18 x )>0的解集为________. 答案 ? ????0，12∪(2，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ? ????13＝0，得f ? ?? ?? －13＝0. ∴f (log 18 x )>0?log 18 x <－13或log 18 x >13?x >2或0 ??0，12∪(2，＋∞)． 解对数不等式的类型及方法 (1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定 ， 需 分 a >1 与 0 两 种 情 况 讨 论． (2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． [即时训练] 8.(2019·福建厦门模拟)设函数f (x )＝??? 21－ x ，x ≤1， 1－log 2x ，x >1， 则满足 f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[0,2] C ．[1，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D 解析 当x ≤1时，由21－x ≤2得1－x ≤1，∴0≤x ≤1. 当x >1时，由1－log 2x ≤2得x ≥1 2，∴x >1. 综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选D ． 9．若函数f (x )＝????? ? ????12x －3，x ≤2， log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[2，＋∞)，则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1，2] 解析 当x ≤2时，f (x )≥? ????122－3 ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)；当x >2且a >1 时，f (x )>log a 2，即函数的值域为(log a 2，＋∞)，由(log a 2，＋∞)?[2，＋∞)，得log a 2≥2，解得12且0 考向四 与对数有关的复合函数问题 例5 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值． 解 (1)依题意得??? x ＋2>0， 4－x >0，解得－2 ∴f (x )的定义域为(－2,4)． (2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]， 令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9. 若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9， ∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2 ＝1 5<1(舍去)， 若0 3. 综上，a ＝1 3. 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． [即时训练] 10.(2019·济南模拟)若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 A 解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为直线x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有??? g (1)>0，a ≥1，即??? 2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．故选A ． 11．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成 立，则实数a 的取值范围是________. 答案 ? ? ? ??1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1 3. 当01在区间[1,2]上恒成立， 得f (x )min ＝log a (8－a )>1，得8－2a <0，a >4.a 不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是? ? ? ??1，83. 课时作业 1．(2019·四川泸州一诊)2lg 2－lg 1 25的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 2lg 2－lg 125＝lg ? ???? 22÷125＝lg 100＝2，故选B ． 2．函数f (x )＝ln (x ＋3) 1－2 x 的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0] C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3,0) 答案 A 解析 因为f (x )＝ln (x ＋3) 1－2x ，所以要使函数f (x )有意义，需使??? x ＋3>0， 1－2x >0，即－3 3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x ) ＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12 x D ．2x －2 答案 A 解析 由题意知f (x )＝log a x (x >0)．∵f (2)＝1， ∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 4．已知函数f (x )＝log 12 x ，x ∈?????? 14，22，则f (x )的值域是( ) A ．?????? 12，2 B ．?????? －12，2 C ．[0,2] D ．??? ? ??0，12 答案 A 解析 函数f (x )＝log 12 x ，x ∈??????14，22是减函数，所以函数的最小值为f ? ????22＝ log 12 22＝1 2，函数的最大值为f ? ????14＝log 12 14＝2.所以函数f (x )的值域为???? ?? 12，2.故选A ． 5．若x log 23＝1，则3x ＋3－x ＝( ) A ．5 3 B ．5 2 C ．32 D ．23 答案 B 解析 因为x log 23＝1，所以log 23x ＝1，所以3x ＝2,3－x ＝1 2，所以3x ＋3－x ＝2＋12＝5 2.故选B ． 6．(2019·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b B ．a ＝b >c C ．a D ．a >b >c 答案 B 解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此，a ＝b ，而log 233>log 22＝1，log 32 7．(2020·北京东城区综合练习)已知函数f (x )＝??? 2x ，x ≥4， f (x ＋1)，x <4，则f (2＋lo g 23) 的值为( ) A ．24 B ．16 C ．12 D ．8 答案 A 解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ． 8．函数y ＝log 13 |x ＋3|的单调递增区间为( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) 答案 B 解析 因为函数y ＝log 13 x 为减函数，y ＝|x ＋3|在(－∞，－3)上是减函数，所 以函数y ＝log 13 |x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3)． 9．(2019·合肥模拟)若log a 2 3<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．? ? ? ??0，23 B ．? ????23，＋∞ C ．? ???? 23，1∪(1，＋∞) D ．? ? ? ??0，23∪(1，＋∞) 答案 D 解析 因为log a 23<1，所以log a 2 3 则应满足23>a >0.所以a 的取值范围是? ? ? ??0，23∪(1，＋∞)．故选D ． 10．(2019·安阳模拟)函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0且a ≠1)在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞) 答案 B 解析 设u ＝6－ax ，由题意得该函数是减函数，且u >0在[0,2]上恒成立，∴??? a >1， 6－2a >0， ∴1 3时，8x B ．? ???? 33，1 C ．(1，3) D ．[3，3) 答案 B 解析 当0 3时，1<8x ≤2，要使8x 0 0 3恒成立，∴????? 0 a 2>13 ，解得3