微分方程数值解课程设计——重调和方程的二阶边值问题的求解
学院、系：理学院数学系
专业：信息与计算科学
姓名：陈剑宇
学号： 201030470140
任课教师：黄凤辉
提交日期： 2012/12/27
总评成绩：
摘要
本次课程设计，主要讨论重调和方程二阶边值问题的求解。文章分成四部分：第一部分，介绍如何将重调和方程的二阶边值问题分解，进而用经典的五点差分格式逼近；第二部分，列出对应的MATLAB算法和流程图；第三部分，通过上述方法求解具体的问题，并分析方法的精度和收敛阶；第四部分，将方法推广应用到抛物型方程，然后分析稳定性。
关键词：重调和方程的二阶边值问题；五点差分格式；MATLAB；抛物型方程
目录
一引言 (4)
1.1 背景 (4)
1.2 问题的提出 (5)
二方法介绍 (6)
2.1 五点差分方法 (6)
2.2 二阶边值问题分解 (8)
2.2.1 当a2?4b≥0时 (8)
2.2.2 当a2?4b<0时 (9)
2.3 推广到抛物型方程 (10)
三算法程序 (11)
3.1 程序列表 (11)
3.2 算法流程图与介绍 (12)
3.2.1 重调和方程二阶边值程序 (12)
3.2.2 抛物型方程程序 (14)
四结果与分析 (16)
4.1 误差对比方法判断重调和方程算法的收敛阶 (16)
4.1.1 a2?4b≥0的误差对比方法 (16)
4.1.2 a2?4b<0的误差对比方法 (18)
4.1.3 结论 (20)
4.2 图像方法判断重调和方程算法的收敛阶 (21)
4.2.1 a2?4b≥0的图像方法 (21)
4.2.2 a2?4b<0的图像方法 (23)
4.2.3 结论 (24)
4.3 特例（大步长，高精度） (25)
4.3.1 特殊例子 (25)
4.3.2 结论 (26)
4.4 抛物型稳定性条件测试 (26)
4.4.1 验证稳定性条件 (26)
4.4.2 结论 (28)
五总结 (29)
六参考文献 (30)
一引言
1.1 背景
微分方程是构造力学等领域的数学模型的主要方法。一般来讲，无论是物体运动轨迹或是流体速度测定模型都需要用到数值方法去求解。通过对椭圆型、抛物型和双曲型方程的研究和探讨，可以和现实中许多实际问题相互挂钩，并且得到解决问题的方法。许多的数学家都致力于其中，如欧拉、柯西、贝努利、拉格朗日等人都为之做出了重要贡献。有限差分法、有限元法等等，为我们提供了求解的方法和手段。
通过对微分方程数值解的学习和研究，我们可以得到许多实际问题的求解方法。虽然大部分问题求出来的是近似解，但是只要精度够高，能满足现实中的需求，这就足以体现它的重要性。
在偏微分方程的求解问题中，Possion方程第一边值问题占据重要位置，五点差分格式等方法为我们提供了求解的方法。而在实际问题中，重调和方程的二阶边值问题也相当重要。于是，我们提出如下问题。
1.2 问题的提出
①重调和方程的二阶边值问题
212u a u bu f in u g on u g on ??-?+=Ω?
=Γ???=Γ?
（1）
其中?是Laplace 算子，Ω是二维平面上的有限区域，Γ是其光滑边界，a ，b 非负常数。 数值算列：
1. [0,][0,]ππΩ=?，(42)sin sin f a b x y =++，使问题（1）存在精确解sin sin u x y =。
2. [0,][0,]ππΩ=?，(1)(sin sin )f a b x y y x =+++，问题（1）存在精确解
u=ysinx+xsiny
分别取不同的a ，b 值计算，并且包括240a b -≥和240a b -<两种情形。 ②并将上面的方法推广应用到抛物型方程
2
120111213|14t u u a u bu f in t u g on u g on u ψ
=??+?-?+=Ω????=Γ?
??=Γ?=??（）（）（）
（）
数值算列，{(,,):(,)[0,][0,],[0,]x y t x y t T ππΩ=∈?∈，
(52)sin sin e t f a b x y =++???，使问题（11）-（14）存在精确解sin sin e t
u x y =??。
二 方法介绍
由于区域的不同，会导致算法格式的变化，所以这里为了说明更简单，我们固定区域为矩形区域。其他的一些区域，可由矩形区域变化而来，或者进一步讨论即可得到差分格式，我们这里不再讨论。
2.1 五点差分方法
考虑矩形区域Ω={0 Lu ≡qu y u p y x u p x +????+????-)]()([ =f,其中(x,y) ∈Ω ① 第一边值问题。假设矩形区域Ω网格剖分均匀：h1=a/M ，h2=b/N 。于是网域包含(M-1)*(N-1)个内点，且均为正则内点。 设（i ，j ）∈Ω，并且u(x,y)充分光滑，则沿着x 和y 方向分别用中心差商代替导数有 )()1 1(11 1] [][][][)]([2 ,1,,2 1 ,,1,2 1h u u p u u p x u p x h h h j i j i j i j i j i j i ij O +-- -=--++???? ② )()2 2(21 2] [][][][)]([2 1 ,,2 1 ,,1,2 1,h u u p u u p y u p y h h h j i j i j i j i j i j i ij O +-- -=-- ++???? ③ 这里][u ij 表示u(x i ,y i )。 而qu 和右端项f 直接有 qu ≡][u q ij ij ④， f=] [f ij ⑤ 于是方程①在方程的(i,j)点被表示为： )(21][] [2 2 h h u L Lu ij h ij +O += 当我们略去截断误差)(,u R j i =)(212 2h h +O ，就可以得到五点差分格式： ][][2 ][1 ] [)(1 )(1 2 2u q u p h u p h u L ij ij ij y ij y ij x ij x ij h +- - =δδδδ ⑥ 其中 ) ()()(] [][][] [][,1,,2 1,,1,2 1u u p u u p u p j i j i j i j i j i j i ij x ij x --++-- -=δδ)()((] [][][] [][1 ,,2 1,,1 ,2 1,u u p u u p u p j i j i j i j i j i j i ij y ij y -- ++ -- -=δδ 由方程⑥我们可以看到，点(i ，j)与相邻的四个点（i-1,j ）、（i+1,j ）、（i,j+1）、（i,j-1）都有关系，于是称之为五点差分格式。 图一 五点差分格式(i,j)关系点图 现在我们再进一步简化问题，令p(x,y)=1,q(x,y)=0时，方程①变为Poisson 方程 Lu ≡),(2222y x f y u x u =??-??- ⑦ 而我们的五点差分格式⑥也相应地变为 f j i j i j i j i j i j i U h h U U h U U h ,,2 21,1,2,1,12)22 12()(21)(11=+-+-+- -+-+ ⑧ 又由于我们题目中的求解域刚好是个正方形，所以我们可以把步长h1=h2=h ，用正方形网格剖分区域后，五点差分格式⑧简化为 f j i j i j i j i j i j i U U U U U h ,,1,1,,1,12 )4(1 =-+++- -+-+ ⑨ 方程⑨就是我们问题中所运用到的最简化五点差分格式。下面的二阶边值问题和推广到抛物型方程都需要利用到它。 2.2 二阶边值问题分解 重调和方程的二阶边值问题 212u a u bu f in u g on u g on ??-?+=Ω? =Γ???=Γ? （1） 其中?是Laplace 算子，Ω是二维平面上的有限区域，Γ是其光滑边界，a ，b 非负常数。 虽然直接利用差商逼近导数的方法可以得到相应的差分格式，但由于涉及的离散点数较多，从而边界点处的计算较为困难。于是，我们采用另一种方法，适当地将其分解成两个Possion 方程求解。 我们使用两种完全不同的方法去逼近问题（1），而具体运用哪一种方法与a 2?4b 有关。当a 2?4b ≥0，我们立刻可以把问题（1）分解成两个二阶方程，然后运用五点差分格式进行求解。而当a 2?4b<0时，我们提出了一种方法，把问题（1）简化为顺序迭代二阶方程，然后逐步求解。而这个方法的收敛性也已经被实验证明。 2.2.1 当a 2?4b ≥0时 令1 (2 a μ=+，那么边值问题（1）可转化为下列两个边值问题 211v bv f in v g g on μμ?-=Ω?? ?=-Γ?? （2） 1 1 u u v in u g on μ??-=Ω???=Γ ? （3） Dirichlet 边值问题（2）及（3）可以用有限元法或者有限差分法求解，而程序中用的是五点差分格式逼近，从而求出问题（1）的数值解。 2.2.2 当a 2?4b<0时 令 u v bu ??=?? =-? （4） 那么边值问题（1）可转化为下列两个边值问题 2v av f in v g on ??-=+Ω?? =Γ? （5） 1 u v in u g on ?=Ω?? =Γ ? （6） 其中函数,,u v ?未知且满足关联式（4），所以（5）很难求解，但是若?已知，那么（5）和（6）就是易求解的Poisson 问题。下面我们采用迭代法计算：先估计?，再求解Poisson 问题（5）和（6）得v ,u 。 1.给定(0)?，如 (0)0?= in Ω （7） 2.已知()k ?，求解两个Poisson 问题 ()()() ()2 k k k k v av f in v g on ???-=+Ω??=Γ?? （8） ()() ()1 k k k u v in u g on ??=Ω??=Γ ?? （9） 3.计算新的迭代值 (1)k ?+ u k k k b ) () () 1()1(ωω? ? --=+ in Ω （10） 其中ω为迭代参数。 假设12[0,][0,]l l Ω=?, 空间步长1122/,/h l N h l M ==,最优参数121 ,1() b c c ω=++ 其中12112211,2() 2() c c a a ββββ= = ++， 2222121 212222********* 4444sin sin ,cos cos .2222h h h h h l h l h l h l ππππββ= +=+ 方法具有二阶精度。 2.3 推广到抛物型方程 现在将上面的方法推广应用到抛物型方程 2 120111213|14t u u a u bu f in t u g on u g on u ψ =??+?-?+=Ω????=Γ? ??=Γ?=??（）（）（）（） 将方程（11）时间离散得 121111n n n n n n u u u a u bu f τ +++++-+?-?+= 2111111()n n n n n u a u b u f u ττ ++++??-?++=+ 1 2111n n n n u a u bu f ++++??-?+= （15） 其中1 b b τ =+ ，1 1 1 n n n f f u τ ++=+ 。 得到（15）之后，我们可以发现它与问题（1）类似，于是我们可以运用上面的方法求解。从底层算起，然后计算下一个时间层，如此下去，知道计算完全部的时间层。 三算法程序 3.1 程序列表 表一第一、二题相关的程序列表 表二第三题相关的程序列表 表三试验列表 3.2 算法流程图与介绍 3.2.1 重调和方程二阶边值程序 图二重调和方程二阶边值程序图 计算公式参考2.2.2的方法介绍，上面就是算法的流程图。 对应第一题、第二题和附加例子的程序。首先输入a,b,h到相应地题目，如main1(a,b,h)就是运算第一题。然后进行条件a2?4b的判断，当≥0时，进入算法1（Fivepoints1）；否则，进入算法2（Fivepoints2）。 当a2?4b≥0，即算法1中，先对公式（2）进行五点差分算法，构造矩阵A1和右边项G1，得到（2）的解v。然后对公式（3）进行五点差分算法，构造矩阵A2和右边项G2（其中G2需要通过v的计算得到）。最后得到公式（3）的解u，这也是我们需要求的近似解。 当a2?4b<0，即算法2中，类似地对公式（5）进行五点差分算法，构造矩阵A1和右边项G1。但是由于右边项G1与?有关，无法直接得到，所以我们运用迭代的方?=，然后得到G1，然后计算出公式（5）的解v。再根据公式（6）进法。先令(0)0 行五点差分，得到（6）的解u。计算到这里，还要计算?)1(（与u和(0)?有关），假若||?)1(-(0)?||满足精度要求，则认为u是近似解；否则把?)1(带入G1，重新计算，直至达到精度要求。 下面给出?的迭代算法：（其中Qu1就是?)1(+k，Qu2就是(1)k?+） Qu1=zeros(M-1,N-1); %令Qu为0，然后开始迭代%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [U,Qu2]=Iteration(g1,Qu1,A1,a1,x1,x2,y1,y2,x,y,h,ma,b,M,N,l); k=1; %迭代次数 while (norm(Qu2-Qu1)>1.0e-6)&&(k<1000) %使精度达到要求，并且迭代次数小于1000 Qu1=Qu2; [U,Qu2]=Iteration(g1,Qu1,A1,a1,x1,x2,y1,y2,x,y,h,ma,b,M,N,l); k=k+1; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.2.2 抛物型方程程序 图三抛物型方程程序图 计算公式参考2.2.3的方法介绍，上面就是算法的流程图。 由于算法和3.2.1大部分相同，所以这里主要介绍时间层的迭代问题。 输入main4(a,b,h,t)就会进入程序。算法开始会根据t来决定时间层一共有多少层，设定完毕后，就进入第一层的计算。之后就如同3.2.1计算，不过特别的是，右端项G1与上一层的近似解u有关系（当计算第一层时，G1可由初值得到）。 得到第一层的解u1之后，令floor=floor+1，进入第二层的计算。如此迭代下去，得到全部层数的近似解。下面给出时间层的迭代算法： %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if a*a-4*b<0 for floor=1:L %表示第几层 T1=floor*t; %时间平面参数 Gu2=reFivepoints2(x1,x2,y1,y2,T1,a,b,h,t,Gu1); Gu1=Gu2; Co=Correct1(x1,x2,y1,y2,h,T1); %第几层的精确解 str2=sprintf('层数为:%d',floor); disp(str2) Testerr(Gu1,Co,M,N); %计算floor层的误差 end else for floor=1:L %表示第几层 T1=floor*t; %时间平面参数 Gu2=reFivepoints1(x1,x2,y1,y2,T1,a,b,h,t,Gu1); Gu1=Gu2; Co=Correct1(x1,x2,y1,y2,h,T1); %第几层的精确解 str2=sprintf('层数为:%d',floor); disp(str2) Testerr(Gu1,Co,M,N); end end 四结果与分析 4.1 误差对比方法判断重调和方程算法的收敛阶 由其他科学家的研究中，我们可以知道文章中两种逼近重调和方程的方法收敛阶O。现在，我们来证明这个结论的正确性。因为方法收敛阶均为()h2O，所均为()h2 以我们可以令a,b相同，h1=2*h2。假如输入h1的误差是输入h2的误差的四倍，那 么就验证了我们想法。 不过这种判断方法有个相当不利的地方，就是需要步长足够小，这样才能使计算 出来的数据较为精确。由于一般家用电脑把网格点取成60*60就已经要计算相当长的 时间，所以这里只有把别有的结果展示出来。 由于有两种方法，一种a2?4b≥0，另外一种a2?4b<0，我们分开讨论。 4.1.1 a2?4b≥0的误差对比方法 当运行程序test1.m之后，就可以得到如下表格。 表四第一题，b=0、0.25、0.5的误差表格 分析：从表四最后两列可以看出，网格点较小的两次比较（E1/E2）结果接近4.40，而网格点较大的两次比较（E2/E3）结果接近4.20。这说明网格点越小，结果会更加靠近4.00 。 表五 第二题，b=0、0.25、0.5的误差表格 分析：从表四和表五我们可以看到误差虽然和a,b有关系，但是影响误差最大的因素还是步长。当步长减小为一半，误差可以变为1/4。这说明要有高精度的结果，要求步长足够小。 由于表中E1/E2约为4.40，E2/E3约为4.20，和我们的目标结果4.00相比，显然不太理想。这是由于步长太小，使算法的其他影响因素过大，导致结果产生偏差。但是如同前文所说的，当网格点过多，家用电脑计算速度无法达到要求。所以在a2?4b<0的方法中，将会引用其他论文中计算的结果。 4.1.2 a2?4b<0的误差对比方法 下面给出其他论文中计算出来的结果。当然也可以运行文件中的test2.m程序，可是由于步长过大，不建议使用，所以不再列出，但读者可以自己测试一下。 表六第一题，a=0、0.5、1的误差表格 分析：从表六可以看出计算结果与目标结果相当接近。 表七第二题，a=0、0.5、1的误差表格 分析：从表六、表七可以看到E1/E2和E2/E3确实在4.00附近变动，这证明了我们O是正确的。而且还可以看到，1.当a，b固定的时候，迭代次猜想方法收敛阶为()h2 数k与我们的网格点数无关，说明步长对迭代次数k无影响；2.当a和网格点数固定， 即a、h固定时，b越大，迭代次数k也越大。 4.1.3 结论 从4.1的讨论当中我们可以知道一下几个结论： 目录 引言 (1) 1预备知识 (2) 定义1.1（奇异Sturm-Liouville边值问题的正解） (2) 引理1.1.1 (2) 定义1.2（凸集的概念) (3) 定义1.3锥的定义 (3) 定义1.4（全连续算子的概念） (3) 1.5 （常微分边值问题的定义） (4) 定义1.6混合单调算子得定义） (4) 2 常微分方程边值问题正解得存在性 (5) 2.1 奇异Sturm-Liouville常微分边值问题的正解存在在 (5) 子 (8) 2.2 一类二阶边值问题的存在性 (9) 3一类混合单调算子应用 (11) 3.1一类混合单调算子的存在唯一性?........................ 错误!未定义书签。 3.2 求常微分边值问题的例题 (13) 结束语 (15) 参考文献 (15) 致 (16) 常微分方程边值问题与不动点定 （数学与统计学院 11级数学与应用数学2班）指导教师：攀峰 引言 从历史上看在有了微积分这个概念以后，紧接着出现了常微分方程。发展初期是属于“求通解”得时代，当人们从初期的热潮中结束要从维尔证明了卡帝方程中是一定不会存在一般性的初等解的时候开始的，并且柯西紧接着又提出了初值问题，常微分方程开始从重视“求通解”转向重视“求定解”的历史时代。 大学我们都学习了常微分方程这门学科，如果要研究它的定解问题，我们首先就会知道是常微分方程的初值问题。然而，在科学技术、生产实际问题中，我们还是提出了另一类定解问题-边值问题。对于常微分方程边值问题，伟大的科学家最早在解决二阶线性微分方程时，提出了分离变量法。[]1.在牛顿时期，科学家们已经提出过常微分的边值问题，牛顿也对常微分边值问题进行过研究，并且在1666年10月牛顿已经在这个领域取得了很大的成就，但是由于种种原因当时并没有整理成论文，所以没有及时出版。但在1687年他终于把在常微分方程上研究的成果发表了，虽然不是在数学著作中，却是他的一本力学著作中（《自然哲学的数学原理》）。 在微积分刚创立时期，雅克.伯努利来自瑞士的科学家提出了远著文明的问题-悬链线问题，紧着的地二年著名数学家莱布尼兹就给出了正确的解答，通过对绳子上个点受力分析，建立了以下方程 这个方程满足的定解条件是y（a）=α；y(b)=β.这是一个典型的常微分方程的边值问题。从这开始，常微分边值问题已经是科学家研究微分方程是不可或缺的工具，我就简单列举几个例子：（比如种族的生态系统；梁的非线性震动）等。对于怎么研究它， 第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=< 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。 通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程拉普拉斯方程为：Δ u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 求解偏微分方程的边值问题 本实验学习使用MATLAB 的图形用户命令pdetool 来求解偏微分方程的边值问题。这个工具是用有限元方法来求解的，而且采用三角元。我们用个例题来说明它的用法。 一、MATLAB 支持的偏微分方程类型 考虑平面有界区域D 上的二阶椭圆型PDE 边值问题： ()c u u f α-??+=g (1.1) 其中 (1) , (2) a,f D c x y ?????=? ????? 是上的已知函数(3)是标量或22的函数方阵 未知函数为(,) (,)u x y x y D ∈。它的边界条件分为三类： （1）Direchlet 条件： hu f = (1.2) （2）Neumann 条件： ()n c u qu g ?+=g (1.3) （3）混合边界条件：在边界D ?上部分为Direchlet 条件，另外部分为Neumann 条件。 其中,,,,h r q g c 是定义在边界D ?的已知函数，另外c 也可以是一个2*2的函数矩阵，n 是沿边界的外法线的单位向量。 在使用pdetool 时要向它提供这些已知参数。 二、例题 例题1 用pdetool 求解 22D 1 D: 10u x y u ??-?=+≤??=?? (1.4) 解：首先在MATLAB 的工作命令行中键入pdetool ，按回牟键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口，选Genenic Scalar模式． ( l ）画区域圆 单击椭圆工具按钮，大致在（0，0）位置单击鼠标右键，拖拉鼠标到适当位置松开。为了保证所绘制的圆是标准的单位园，在所绘园上双击，打开 Object Dialog 对话框，精确地输入 常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooting Method （shooting.m ） %打靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b,n]=shooting(fun,x0,xn,eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+rand; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1); x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (norm(c1-xn)>=eps & norm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x1=x2; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1) x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题： ()()??? ????==- =010004822y y y dx y d 解：将其转化为常微分方程组的初值问题 ()????? ? ?????==-==t dx dy y y y dx dy y dx dy x 0011221 048 命令： x0=[0:0.1:10]; y0=32*((cos(5)-1)/sin(5)*sin(x0/2)-cos(x0/2)+1); 真实解 plot(x0,y0,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1)) 第十一章 常微分方程边值问题的数值解法 工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法. 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)(a y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ? ? ?=-'=-'101 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a . 常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法. 11.2 打靶法 对于二阶非线性边值问题 ()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1) 打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列： ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2） 引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使： ()()β==∞ →b y v b w k k ,lim ， （11.2.3） 其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解． 首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图 ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4） 如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β． 为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定： 0),(=-βv b w ． （11.2.5） 由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列 ),)(()),((111----- =k k k k v b dv dw v b w v v β，此处),(),)(( 11--=k k v b dv dw v b dv dw ， （11.2.6） 同时要求求得),)(( 1-k v b dv dw ，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。 ，，，),(),(),(),(1210-??k v b w v b w v b w v b w 假如我们如下改写初值问题（11.2.2），使其强调解对x 和v 的依赖性 ()()v v a w v a w b x a v x w v x w x f w ='=≤≤'=''),(,),(),,(,，，，α，（11.2.7） 保留初始记号以显式与x 的微分相关．既然要求当k v v =时),)((v b dv dw 的值，那么我们需要求出表达式（11.2.7）关于v 的偏导数．过程如下： )),(),,(,(),(v x w v x w x v f v x v w '??=?''? ),()),(),,(,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f v x v x w v x w x x f ??'??+??'??= ) ,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f ?'?''??+ 又因为x 跟v 相互独立，所以当b x a ≤≤上式如下； 拉普拉斯方程和泊松方程 摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。 关键词：分离变量电磁场拉普拉斯 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出，如 果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-V高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系， , 式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界面上的内法 线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物 理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷 ，叫做诺埃曼边界条件。 静电场的唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布)(x ，在V 内电势满足泊松方程 或拉普拉斯方程,在V 的边界S 上给定电势 ,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数 ,则V 内场（静电场）唯一确定。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。 各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任 何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI 制中，静磁场满足的方程为 ,式中j 为传导电流密度。第一式表明静磁 场可引入磁矢势r)描述： 。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程 为 。 选用库仑规范，，则得磁矢势A 满足泊松方程 ，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo =1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上 式简化为拉普拉斯方程 。 常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooti ng Method (shoot in g.m ) % 丁靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b ,n]=shooti ng(fu n, xO,x n, eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+ra nd; [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x0]'); c0=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x1]'); c1=b(le ngth(b),1); x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (no rm(c1-x n)>=eps & no rm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x 仁x2; [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x0]'); cO=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x1]'); c1= b(le ngth(b),1) x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题: y 10 0 解：将其转化为常微分方程组的初值问题 命令: xO=[O:O.1:1O]; y0=32*((cos(5)-1)/si n( 5)*si n(x0/2)-cos(x0/2)+1); plot(xO,yO,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1)) dy i dx y 2 dy 2 dx y i 0 y 4 y o dy dx X0 真实解 30 ' 12^4567^9 10 拉普拉斯方程和泊松方程 摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。 关键词：分离变量 电磁场 拉普拉斯 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k 除以它们到任意观察点P 的距离r k ，并且把这些商加在一起，其总和 m k r k n k=1 = V x ，y ，z 即P 点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P 点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ?2V ?x +?2V ?y +?2V ?z =0，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出， 如果观察点P 在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为?2V ?x 2 + ?2V ?y 2 + ?2V ?z 2 =?4πρ， 叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-?V 高斯定理微分式??E =ρ/εr ε0，即可导出静电场的泊松方程：?2V ?x 2+?2V ?y 2+?2V ?z 2=?2V =?ρ/εr ε0 式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo =8.854×10-12 法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程?2V =0 。 在各分区的公共界面上，V 满足边值关系V i =V j ， ε0εri ?V ?n i ?ε0εrj ?V ?n j =??, 调和函数harmonic function 定义： 在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。 调和函数-----数学物理方程 如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数. 满足拉普拉斯方程 在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程 若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。 更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r 拉普拉斯方程1 拉普拉斯方程2 形如上式右端的积分称作泊松积分。 设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。 由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数?(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取?(x,y)的值，即拉普拉斯方程， 在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。 对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。 二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│ 二阶常微分方程边值问题的数值解法 摘要 求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础． 对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab 程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析． 关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解 The Numerical Solutions of Second-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value Problems ABSTRACT The numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning. 调和函数的基本性质 众所周知,调和函数的理论在数学和物理的众多分支中有重要的应用.本 文在整理已有文献的基础之上,归纳总结了调和函数的一些基本性质.主要包 括:调和函数的均值定理和最大值原理,刘维尔定理,关于调和函数的Harnack 不 等式,欧氏n R 空间中球内Dirichlet 问题的解及其应用,以及上半空间1 n R ++上边 值为 )(n p R L 函数的调和函数的特征刻画. 关键词:调和函数,均值定理，最大值原理,Dirichlet 问题,Poisson 积分 第一章引言 所谓调和函数, 就是满足拉普拉斯方程的函数. 关于调和函数的理论和研究是 数学中一个经典而一直备受关注的热点课题之一. 众所周知, 调和函数在现代数学的众多分支, 如偏微分方程, 数学物理, 位势论和调和分析等, 有着重要的理论意义和应用价值. 此外, 调和函数的理论也在物理学的许多领域有着重要的应用; 例如,在热传导问题, 流体流动问题和静电场问题等问题的解决中, 调和函数发挥了重要的作用.调和函数的相关理论发展到今天, 其结果非常丰富且比较成熟(例如, 参见专著[5]). 同时, 调和函数的理论在数学和其他学科的一些领域中有着非常重要的应用; 例如, 调和函数在现代偏微分方程和调和分析等数学分支中有重要的应用(参见专著[6, 7, 8]). 本文在已有研究工作的基础之上, 通过收集调和函数理论的相关文献资料, 对文献进行整理, 归纳总结了调和函数的基本性质及一些应用. 在整理文献的过程中, 本文主要参考了文献[1, 2, 4]中关于调和函数函数的内容. 具体地, 本论文的主要内容包括: ? 均值定理; ? 最大值原理; ? 刘维尔定理; ? 关于调和函数的Harnack 不等式; ? 欧氏空间R n 中球内Dirichlet 问题的解及其应用; ? 1++n R 上边值为L p (R n ) 函数的调和函数的特征刻画. Matlab 求解常微分方程边值问题的方法：bvp4c 函数 常微分方程的边值问题，即boundary value problems ，简称BVP 问题，是指表达形式为 (,)((),())0'=??=?y f x y g y a y b 或(,,)((),(),)0'=??=? y f x y p g y a y b p 的方程组（p 是未知参数），在MA TLAB 中使用积分器bvp4c 来求解。 [命令函数] bvp4c [调用格式] sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2,…) sol 为一结构体，sol.x 、sol.y 、sol.yp 分别是所选择的网格点及其对应的y(x)与y'(x)数值; bvp4c 为带边值条件常微分方程积分器的函数命令；odefun 为描述微分方程组的函数文件；bcfun 为计算边界条件g(f(a),f(b),p)=0的函数文件；solinit 为一结构体，solinit.x 与solinit.y 分别是初始网格的有序节点与初始估计值，边界值条件分别对应a=solinit.x(l)和b=solinit.x(end)； options 为bvpset 命令设定的可选函数，可采用系统默认值；p1, p2…为未知参数。 例 求常微分方程0''+=y y 在(0)2=y 与(4)2=-y 时的数值解。 [解题过程] 仍使用常用方法改变方程的形式： 令1=y y ，21'=y y ，则原方程等价于标准形式的方程组1221 ?'=??'=-??y y y y ； 将其写为函数文件twoode.m ； 同时写出边界条件函数对应文件twobc.m ； 分别使用结构solinit 和命令bvp4c 确定y-x 的关系； 作出y-x 的关系曲线图。 [算例代码] solinit =bvpinit(linspace(0,4,5),[1 0]); % linspace(0,4,5)为初始网格，[1,0]为初始估计值 sol=bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); % twoode 与twobc 分别为微分方程与边界条件的函数，solinit 为结构 x=linspace(0,4); %确定x 范围 y=deval(sol,x); %确定y 范围 plot(x,y(1,:)); %画出y-x 的图形 %定义twoode 函数（下述代码另存为工作目录下的twoode.m 文件） function dydx= twoode(x,y) %微分方程函数的定义 dydx =[y(2) -abs(y(1))]; %定义twobc 函数（下述代码另存为工作目录下的twobc.m 文件） function res= twobc(ya,yb); %边界条件函数的定义 res=[ya(1);yb(1)+2]; 拉普拉斯方程 求助编辑百科名片 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 目录 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 编辑本段拉普拉斯方程（Laplace equation） 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。 拉普拉斯方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 编辑本段二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数+ h(x,y)对y的二阶偏导数= 0 解析函数 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z= x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z）= u(x,y) + iv(x ,y) u 对x的偏导数= v 对y 的偏导数，u 对y 的偏导数= - （v 对x 的偏导数）上述方程继续求导就得到 所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。 泊松方程和拉普拉斯方程 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： ， 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系， ， 式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 常微分方程论文 题目：常微分方程边值问题的数值解法 组长：数学132文洲 组员：数学131王琦 数学132姚瑶 信息132郭斌 院（系）：理学院 指导教师：岳宗敏 时间：2015年6月9日 常微分方程边值问题的数值解法 摘要：作为一类定解问题，补充条件由以自变量取某些值时，未知函数及其导数的值而定，称其为边值条件。许多物理和数学问题都归结为边值问题。本文介绍边值问题的待定常数法和格林函数。 关键词：边值问题 待定常数法 格林函数 Abstract: as a kind of definite solution problems, the supplementary conditions by took the certain values in the independent variable, the value of the unknown function and its derivative, referred to as boundary value conditions. Many physical and mathematical problems boil down to boundary value problems. In this paper, the boundary value problem of the method of undetermined constants and green's function. Keywords: boundary value problem Method of undetermined constants Green's function 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)a (y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ?? ?=-'=-'1 01 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a .常微分方程边值问题与不动点定论文
常微分方程边值问题的数值解法
拉普拉斯方程
偏微分方程边值问题的数值解法论文
常微分方程组(边值)
第十一章 常微分方程边值问题的数值解法汇总
泊松方程和拉普拉斯方程
常微分方程组(边值)
泊松方程和拉普拉斯方程
调和函数
(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文
调和函数的基本性质
Matlab求解常微分方程边值问题的方法
拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程
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