习题七
1.设总体Ｘ服从二项分布b (n ，p ），n 已知，X 1,X 2，…,X ｎ为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.
【解】1(),(),E X np E X A X ===因此n ｐ＝X
所以p 的矩估计量 ?X
p
n
= 2.设总体X 的密度函数
ｆ（x ,θ）＝22
(),0,
0,
.x x θθθ?-<
Ｘ１,X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计.
【解】2302
20
2
2()()d ,233
x x E X x x x θ
θθ
θθθθ??=
-=-= ????
令E (X )=A １=X ,因此
3
θ
=X 所以θ的矩估计量为 ^
3.X θ=
3．设总体X 的密度函数为f (x ,θ),X 1，X ２,…，X ｎ为其样本，求θ的极大似然估计．
（1) ｆ（x ,θ）＝,0,
0,0.e x x x θθ-?≥?
(2) f （x ,θ)＝1,01,
0,.x x θθ-?<
其他
【解】（1） 似然函数1
1
1
(,)e
e e
n
i
i
i n n
x x n
n i
i i L f x θ
θθ
θθθ=---==∑=
==∏∏
1
ln ln n
i i g L n x θθ===-∑
由1
d d ln 0d d n
i i g L n x θθθ===-=∑知 1
?n
i
i n
x
θ==
∑
所以θ的极大似然估计量为1
?X
θ
=．
(２) 似然函数1
1
,01n
n
i i i L x x θ
θ
-==<<∏,i =1，２,…,n.
1
ln ln (1)ln n
i i L n x θθ==+-∏
由1
d ln ln 0d n
i i L n
x θθ==+=∏知 1
1?ln ln n
n
i
i
i i n n
x
x θ
===-=-
∑∏
所以θ的极大似然估计量为 1
?ln n
i
i n
x
θ
==-∑
【解】 0.094x =- 0.101893s =
9n =
0.094.EX x ==-
由2
2
2
2
21()()[()],()n
i i x E X D X E X E X A n
==+==∑知222
??[()]E X A σ+=，即有 ?σ=于是 ?0.101890.0966σ
=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.９4和0.９66. ５.随机变量Ｘ服从［0,θ]上的均匀分布,今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0．2,0.8,０.4,0.４,
０.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1） ()2
E X θ
=
,令()E X X =,则
?2X θ
=且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ
==?=且?2X θ=是一个无偏估计.
(２) 似然函数8
8
1
1(,)i i L f x θθ=??
== ???∏,i =１,2, (8)
显然L =L (θ)↓(θ>0),那么18
max{}i i x θ≤≤=时,L ＝L (θ)最大，
所以θ的极大似然估计值?θ
＝0.9. 因为Ｅ(?θ)=E (18
max{}i i x ≤≤)≠θ，所以?θ＝18
max{}i
i x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X １,X 2,…,X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ,D (X ）=σ2，
2
?σ
＝ｋ1
211
()n i i i X X -+=-∑,问k 为何值时2
?σ
为σ2的无偏估计． 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -１，
则 2
1()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==
于是 1
2
2
2211
?[()](1)2(1),n i
i E E k Y
k n EY n k σ
σ-===-=-∑
那么当2
2
?()E σ
σ=,即2
2
2(1)n k σσ-=时， 有 1
.2(1)
k n =
-
7.设X 1,X 2是从正态总体N （μ,σ2)中抽取的样本
112212312211311
???;;;334422
X X X X X X μ
μ
μ=+=+=+ 试证123???,,μ
μμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】(１）112122
12121?()()(),3
33333E E X X E X E X μ
μμμ??=+=+=+= ???
21213
?()()()44E E X E X μ
μ=+=， 31211
?()()(),22
E E X E X μ
μ=+= 所以123???,,μ
μμ均是μ的无偏估计量． (２) 22
22
1122145?()()(),3399D D X D X X σμσ????=+== ? ?????
22
2212135?()()(),448D D X D X σμ????
=+= ? ?????
()2
2
3121?()()(),22D D X D X σμ??
=+= ???
8．某车间生产的螺钉,其直径Ｘ~N (μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取６枚，测
得其长度（单位ｍｍ）如下：
14.７ 15.0 1４.8 １4．９ 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0．９5的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.０６,α＝1-０.９５=0.０5,
0.252
14.95, 1.96,a x u u ===,
μ的置信度为0.95的置信区间为
/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α?
±=±?= ?
.
9.总体X ～N (μ，σ２
),σ２
已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α,
且置信区间的长度不大于Ｌ?
【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α
的置信区间为/2
x u α?± ?
,
/2u α，
/2u α≤L ,得ｎ≥22/22
4()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ～N (μ，σ2）,今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg ·c ｍ－
2）：
６4 69 49 ９2 55 ９7 41 84 88 99 84 ６６ 10０ 9８ 72 ７４ 87 84 48 81 （１） 求μ的置信概率为0.９5的置信区间. (2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.
【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==
/20.0252
22/20.025
0.975
(1)(19) 2.093,
(1)(19)32.852,(19)8.907
t n t n ααχχ
χ
-==-===
(1) μ的置信度为0.９5的置信区间
/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ????-== ? ?????
(2)2
σ的置信度为0.９5的置信区间
222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.852
8.907n s n s n n ααχχ-??--??
=??= ?
?--???? 11.设总体Ｘ~f (ｘ）=(1),01;
10,
.x x θθθ?+<<>-??其中其他
Ｘ１,X ２,…,X n 是Ｘ的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量.
【解】（1)
1
10
1
()()d (1)d ,2
E X xf x x x x θθθθ+∞
+-∞
+==+=
+?
? 又
1
(),2
X E X θθ+==
+ 故
21
?1X X
θ
-=-
所以θ的矩估计量 21?.1X X
θ
-=- (2) 似然函数
1
1(1) 01(1,2,,)
()()0n
n n
i i i i i x x i n L L f x θθθ==?+<<=?===???
∏∏其他. 取对数
1
1
ln ln(1)ln (01;1),
d ln ln 0,d 1n
i
i i n
i i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑
所以θ的极大似然估计量为1
?1.ln n
i
i n
X
θ
==--∑
12.设总体X ～ｆ(ｘ)= 36(),0;
0,
.x
x x θθθ?-<
X 1,Ｘ2,…，Ｘn 为总体Ｘ的一个样本
（1） 求θ的矩估计量?θ； （2) 求?()D θ
.
【解】(1) 2
3
6()()d ()d ,2
x E X xf x x x x θ
θ
θθ+∞
-∞
=
-=
?
?
令 ,2
EX X θ
==
所以θ的矩估计量 ?2.X θ
= （2)4
?()(2)4(),D D X D X DX n
θ
===, 又
322
2
3
6()
63()d ,2010
x x E X x θ
θθθθ-===?
于是
222
2
2
3()()(),10420
D X
E X EX θθθ=-=-=,
所以
2
?().5D n
θθ
=
１3.设某种电子元件的使用寿命Ｘ的概率密度函数为
ｆ(x ,θ)= 2()2,;
0,
.x x x θθθ--?>?≤?e
其中θ(θ>0）为未知参数,又设x 1,ｘ2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值,求θ的极大似然估计
值.
【解】似然函数
1
2()1
2e 0;1,2,
,;
()0ln ln 22(),;1,2,
,,
n
i i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=?∑??≥===?
??
=--≥=∑其他.
由
d ln 20ln (),d L
n L θθ
=>↑知 那么当0
1??min{}ln ()max ln ()i
i n
x L L θθ
θθ>≤≤==时 所以θ的极大似然估计量1?min{}i
i n
x θ≤≤=
其中θ(0<θ<
1
2
)是未知参数,利用总体的如下样本值3，1,3，0,３，1,２，３,求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】
8
13?(1)()34,()4 2
8
i
i x E X E X x x x θθ
=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31
?.44
x θ
-== （2) 似然函数8
6
241
(,)4(1)(12).i
i L P x θθ
θθ==
=--∏
2
ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),
d ln 628628240,d 112(1)(12)
L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2
628240θθ-+=
得
1,272θ±=
． 由于
71
,122
> 所以θ的极大似然估计值为
7?2
θ
-=. 15．设总体X 的分布函数为
Ｆ(x ，β)=1,,
0,.x x
x β
βααα?->???≤?
其中未知参数β>1，α>0，设Ｘ1，Ｘ2,…,X n 为来自总体X 的样本
（1) 当α＝1时，求β的矩估计量； (2) 当α＝1时,求β的极大似然估计量;
（3） 当β=２时,求α的极大似然估计量． 【解】
当α=1时,1
1,1;(,)(,1,)0,
1.x x f x F x x x ββ
ββ+?≥?==??
当β＝2时， 2
132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα?≥?
==??
(１） 11
1
()d 11
E X x x x β
β
β
β
ββ
β+∞
-+∞=
=
=
--?
令()E X X =,于是?,1X
X β
=- 所以β的矩估计量?.1
X
X β
=- （2） 似然函数
(1)11
1
1
,1,(1,2,,);
()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n n
i i i i i n i i n
i i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====???
>=? ?===???
??
=-+=-=∏∏
∑∑其他
所以β的极大似然估计量1
?.ln n
i
i n
x
β
==∑
（3） 似然函数
23
1
12,,(1,2,,);
(,)0,.n n
i n
n i i i i x i n L f x x ααα==?≥=????
==? ?
?????
∏
∏其他
显然(),L L α=↑
那么当1?min{}i i n
x α
≤≤=时,0
?()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1?min{}i i n
x α
≤≤=． 16.从正态总体Ｘ~Ｎ(3.４，6２
）中抽取容量为n 的样本,如果其样本均值位于区间（1.4,5.４）
内的概率不小于０.95，问n 至少应取多大？
2/2
()d z
t z t ?-=?
【解】26~ 3.4,
X N n ??
??
?,则~(0,1),X Z N = {1.4 5.4}3
3210.95
33
3Z P X P P Z ΦΦΦ
<<<<=?=-<
=-=-≥- ? ???????
于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.
17. 设总体X 的概率密度为
ｆ(x ，θ）＝,01,1,
12,0,.
x x θθ<
-≤
其他 其中θ是未知参数(0＜θ＜1），X 1,X 2，…,Ｘn 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x １,x 2,…,x n 中小于１的个数.求: （1) θ的矩估计；
（２) θ的最大似然估计. 解 （１) 由于
12
1
(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞
-∞
=
=+?
??-
133
(1)222
θθθ=+-=-. 令
32X θ-=,解得3
2
X θ=-， 所以参数θ的矩估计为
3
2
X θ=-.
(2) 似然函数为
1
()(;)(1)n
N n N i i L f x θθθθ-===-∏，
取对数，得
ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--
两边对θ求导，得
d ln ().d 1L N n N
θθθθ
-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 N
n
θ=，
所以θ的最大似然估计为
N
n
θ=
. 1８.设12,,
,n X X X 是总体2(,)N μσ的简单随机样本.记
222
211111,(),.1n n i i
i i X X S X X T X S n n n
====-=--∑∑ （1)证明T 是2
μ的无偏估计量； (2)当0,1μσ==时,求Ｄ(T ）.
分析 根据无偏估计的定义求E(T ）即可证明（1）．(2)可用方差的计算公式或统计量的
分布的定义和性质求解. 证(1）因为
2222
22
2
2
2
2
11
()()1
()E T E X S E X ES n n
E X DX ES n
n
n
σσμμ=-=-=+-=+
-
= 所以T 是2
μ的无偏估计量.
解(２) 解法1 当0,1μσ==时，有
222222
2222
22221
()()
1111[(1)](1)11121222(1)(1).(1)1(1)
D T D X S n DX DS D D n S n n n n n n n n n n n n =-=+=+--=+-=+=--- 解法2 22
()()()D T E T E T =- 22()0
()1E T E S σ===
4
22
24
221()()()()()()D T E T E X E X E S E S n n
==-+
其中422
2()()()E X D X E X =+
22222
2222[()()]1[()]1132()D D X E X D D X n n n n
=++=
+=+=
4
2
2
2
()()()E S D S E S =+
22
2
2
11[(1)](1)
2(1)11(1)1
D n S n n n n n =+
---+=+=--
22321112()11(1)
n D T n n n n n n n +∴=
-??+?=--
1９.设总体X 的概率密度为
1
,
0,21
(,),1,2(1)0x f x x θθθθθ?<
其他.
其中参数θ(０＜θ<1)未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.
（１）求参数θ的矩估计量θ∧
；
（2)判断2
4X 是否为2
θ的无偏估计量,并说明理由.
分析 利用矩估计原理 11u A ∧
=可求出θ的矩估计量,再求2(4)E X 判断2
4X 是否为2θ
的无偏估计量. 解 (1) ()(;)E X xf x dx θ+∞
-∞
=
?
10
1.22(1)42
x x dx dx θ
θθθθ=
+=+-?
?
令 2
()X E X =，即142X θ=+，得θ的矩估计量为1
2.2
X θ∧=-
(2)因为 22
2(4)44[()]E X EX DX EX ==+
221114[()()]
42
41
()4
D X n D X n θθθ=++=+++
又 ()0,0,D X θ≥>
所以 22(4)E X θ>,即 2
2(4),E X θ≠
因此 2
4X 不是2
θ的无偏估计量.