小波方法
率参数，b 是时空参数。在实际应用中，常选取h 与h
?为在有界区间外为0或衰减较快的函数，所以小波可以实现时频的局部化。加上小波的自适应能力，可使小波在描述信号时具有变焦的能力，这就解决了傅里叶函数和傅里叶加窗函数不能满足的特性。
概括的来说小波变换就是能满足这样要求的一种变换，小波函数中存在与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗口的形状，却不改变窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频谱便渐趋高频方向，而其宽度则渐趋狭小。据此满足了信号的频度愈高，它在时空域上的分辨率愈高的要求。小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，故赢得了“数学显微镜”得美誉。
虽然从原则上讲，以往使用付里叶分析的场合现在都可采用小波分析，尤其对非平稳信号的处理，小波分析因能更好地反映其频率特性而取得更好的结果。但小波分析并不能完全取代付里叶分析，在处理渐变信号时，付里叶或加窗付里叶分析较之小波分析更为有效。二者配合才可适应任意信号的分析与处理。
二、小波方法
1、尺度函数空间
假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z ）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t)，要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t)映射在这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的不好想象。总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t)。这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是小波函数的作用了。在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用，小波函数的实现就是高频滤波器的使用。
从小波的构造和小波的算法来看，小波函数总是和尺度函数密切联系在一起的，而按照多分辨分析，小波函数的构造实际上是从构造尺度函数开始的，为此我们首先在多分辨分析的基础上研究关于尺度函数的构造。
)(2R L x ∈）（φ时如果其傅里叶变换满足如下条件，则)(x φ可以成为某一多分辨分析的尺度函数。
（1）)(ωφ连续有界，且1)0(=φ；
（2）存在常数A,B 使得∞<≤+≤<∑∈B k A z k 2)2(0πωφ;
(3) )()
2(ωφωφ是以2π为周期的周期函数。
尺度函数空间就是在尺度函数的基础上张成的空间。定义函数)(2R L t ∈）（φ为尺度函数，若其经过整数平移k 和尺度j 上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合:)2(2)(2
k t t j j jk -=--φφ称每一个尺度j 上的平移系列)(t jk φ所组成的空间j V 为尺度为j 的尺度空间z k t span V jk j ∈=,)}({φ对于任意函数j V t f ∈)(，有 )2(2
)()(2k t a t a t f j k k j jk k k -==--∑∑φφ
所以尺度函数)(t φ在不同尺度下其平移系列组成了一系列的尺度空间
z j j V ∈}{。随着尺度j 的增大，函数)(t jk φ的定义域变大，平移的间隔)2(0τj 也变大，所以它的线性组合)2(2
)()(2k t a t a t f j k k j jk k k -==--∑∑φφ不能表示函数小于该
尺度的细微变化，所以其长成的尺度空间只能表示大尺度的缓变信号。反之如果j 减小，函数)(t jk φ的定义域就变小，平移间隔)2(0τj 也变小，则它的组合式
)2(2
)()(2k t a t a t f j k k j jk k k -==--∑∑φφ
就能表示出函数的细微变化，所以其张成的尺度空间所包含的函数增多，包括小尺度信号和大尺度的缓变信号。
那么尺度函数都有什么性质呢？在介绍尺度函数的性质前我们要先介绍Poisson 公式。Poisson 公式是正交归一性在频域的表现：
（1） 设z k k t f t f ∈-),()(是一组正交归一的函数集合：
21)()()(212
1k k R
k k dt k t f k t f δδ=-=-=? 则正交归一性在频域表现为1)2(=+∑k k F πω )(ωF 是)(t f 的傅里叶变
换
（2） 设z k k k t f k t f ∈--212211);(),(是两组正交的函数集合：
0)2(*)2(=++∑πωψπωφk k k
z k k dt k t f k t f R ∈=-=?212
1,0)()(
则此正交性质的频域表示为：
z k k K F k F k ∈=++∑212
1,0)2()2(πωπω
如前所述空间实际上就是一个集合，而且该集合中的元素之间具有某些特定的联系和性质。如果这个空间中的元素都是函数，那么这个空间就是函数空间。在此处空间中的元素是尺度函数，所以就称为尺度函数空间。以下就是尺度函数空间的性质：
z k j k t t j j jk ∈-=--,),2(2)(2
φφ
同一尺度j 下的两个函数之间具有正交归一性，即 )()2()2(2
212*1k k dt k t k t j j R j -=-----?δφφ
根据Poission 公式可得1)2(2=+∑k
k πωφ 但不同尺度之间的??k j jk φφ,不具有
正交性，即
?
-?
+≠---?-?kk j R j dt k t k t j j δφφ)2()2(2212
以上就是小波尺度函数的性质。
另外尺度函数概念中还有尺度因子的概念，所谓尺度因子就是尺度函数中的系数。尺度函数对应图像二维小波变换中的近似子带、小波函数对应细节子带。 如果尺度函数为φ（2^a*x-i ），则尺度因子a 越大尺度函数生成的矢量空间越大，波形越小。 细节也越不明显，包含的信息也越少
2、多分辨分析
Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当.
当人的眼睛观察物体时，如果距离物体比较远，即尺度较大，则视野宽、分辨能力低，只能观察事物的概貌而看不清局部细节;若距离物体较近，即尺度较小，那么视野就窄而分辨能力高，可以观察到事物的局部细节却无法概览全貌。
因此，如果既要知道物体的整体轮廓又要看清其局部细节，就必须选择不同的距离对物体进行观察。和人类视觉机理一样，人们对事物、现象或过程的认识会因尺度选择的不同而得出不同的结论，这些结论有些可能反映了事物的本质，有些可能部分地反映，有些甚至是错误的认识。显然，仅使用单一尺度通常只能对事物进行片面的认识，结果不是只见“树木”不见“森林”，就是只见“森林”不见“树木”，很难对事物有全面、清楚的认识。只有采用不同的尺度，小尺度上看细节，大尺度上看整体，多种尺度相结合才能既见“树木”又见“森林”。 多分辨分析的思想与用照相机焦距跟景物的局部与全局的关系对应起来更容易让人理解，当放大焦距(相当于在小波函数中放大尺度因子一对应于低频时)，我们可以拍摄到景物的全局与概貌，当缩小焦距(相当于在小波函数中缩小尺度因子一对应于高频)时，我们可拍摄到景物的某些细致的局部。另一方面，在自然界和工程实践中，许多现象或过程都具有多尺度特征或多尺度
效应，同时，人们对现象或过程的观察及测量往往也是在不同尺度上进行的。因此，多尺度分析是正确认识事物和现象的重要方法之一。
由粗到细或由细到粗地在不同尺度(分辨率)上对事物进行分析称为多尺度分析，又称多分辨分析。多尺度分析最早用于计算机视觉研究领域，研究者们在划分图像的边缘和纹理时发现边缘和纹理的界限依赖于观察与分析的尺度，这激发了他们在不同的尺度下检测图像的峰变点。1987年，Mallat 将计算机视觉领域内多尺度分析的思想引入到小波分析中研究小波函数的构造及信号按小波变换的分解和重构，提出了小波多尺度分析(又称多分辨分析)的概念，统一了此前各种具体小波的构造方法。Mallat 的工作不仅使小波分析理论取得了里程碑式的发展，同时也使多尺度分析在众多领域取得了许多重要的理论和应用成果。
多分辨分析是小波分析的重要组成部分，是小波分析的重要概念之一，是小波分析应用的基本工具，是小波分析理论的核心部分，它提供了一种构造小波的统一框架，并由此衍生出函数(时间序列)分解和重构的快速算法，同时开辟了从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示的先河，即将一个函数表示为一个低频率成分与不同分辨率下的高频成分.
基于多分辨分析的预测方法具有划时代的意义，它把小波分析和时间序列分析紧密的联系起来，
在信号分析的研究中，对于缓变的信号中存在的一个短时尖峰，采用单一的分辨率进行分析显然是不合适的.因为单一的分辨率所分的时间间隔不可调整，所以那些持续时间非常短的，频率很高的脉冲的发生时刻难以检测到.对于此问题，Mallat 这样解决:首先，把由取样定理得到的带限函数空间用原信号的某个阶段代替.其次。用基于同一空间的不同尺度分析信号，所以称为多分辨分析.这个框架不仅仅对分析信号是理想的，而且实际上还可以构造小波.
满足如下几条性质的函数称为多分辨分析（MRA ）。设z j j V ∈}{是)(2R L 的一串闭子空间序列，
（1） 单调性： ......2101V V V V ???-;
（2） 稠密性：)(2R L V j j =+∞
-∞= ; （3） 伸缩性：若Z j V x f V x f j j ∈∈?∈+,)2()(1;
（4） Riesa 基的存在性:存在0)(V x ∈φ使}:)({z k k x ∈-φ是0V 的Riesz 基，
称)(x φ是尺度函数。这里的Z 表示整数全体。
若将4改成正交基的存在性：存在0V x ∈）（φ使}:)({Z k k x ∈-φ是0V 的标准正交基，则称)(x φ为正交尺度函数。相应的多分辨分析为正交多分辨分析。
多分辨分析是构造小波基的基本框架，也是信号在小波基下进行分解和重构的基本理论保证，在小波的发展中起着非常重要的作用。利用多分辨分析，可以将一个复杂函数分解成几个简单函数进行分别讨论，这时函数由一个近似粗糙部
分和一系列细节部分组成，其中粗糙部分对应于信号的低频成分，细节部分对应于信号的高频成分，与Fourier 分析不同的是这里的高频成分是分层的，是在不同分辨率下逐步产生的。由多分辨子空间的Riesz 基导入尺度基，又由尺度基产生小波基，这些形成了构造小波基的框架，而在此之前，要构造一个小波是非常困难的。在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器产生了对应关系，这种对应关系最终导致函数分解和重构的快速算法的实现。
小波函数可提供)(2R L 的多分辨分析，因此，利用小波函数可把函数表示成不同分辨率近似，从而为求解偏微分方程分层解析提供了有效工具，即使在解梯度变化较大的区域，也可以进行局部细化而不必对整个问题进行重新剖分。
3、小波空间
小波函数构成小波空间。多分辨分析的一系列的尺度空间函数是在不同尺度下组成的，即一个多分辨分析z j V j ∈}{对应一个尺度函数。由多分辨分析概念中的单调性性质知道z j V j ∈}{相互包含，不具有正交性，所以它们的基)(t jk φ在不同尺度上不具有正交性，所以z k j j V ∈,}{不能作为)(2R L 空间的正交基。
由泛函空间中的正交分解理论有⊥-⊕=j j j V V V 1，其中⊥j V 表示该空间中所有元素与j V 中的任意元素均正交。我们将⊥j V 记为j W ，即为j V 的正交补空间。根据 ∞-∞
==j j V R L )(2及j j j W V V ⊕=-1，我们可得：j j W R L t ⊕∞
-∞==)()(2? 上式表明，)(2R L 是由无穷个正交补空间的直和构成的，而)(2R L 的正交基就是把直和的子空间的正交集合合并起来得到的。所以)(2R L 空间的标准正交基为：
z k j k t j j ∈---,),2(22ψ
二进正交小波的函数的形式为：
z n k n t t k k
n k ∈-=--,),2(2)(2,ψψ， 可见与式z k j k t j j ∈---,),2(22
ψ的形式是完全一样的，这正是从多分辨理论导出的二进正交小波函数。所以我们称ψ为小波函数，相应的j W 是尺度为j 的小波空间。同时小波空间是两个相邻尺度空间的差，即1--=j j j V V W ，它表示相邻尺度空间的投影之间的细小差别即为函数)(t f 在相应尺度小波空间上的投影，所以
我们又称小波空间为细节空间。
在Poission 公式基础上可得到小波函数的性质为：
)2(2)(2
k t t j j
jk -=--ψψ对所有的z k j ∈,都是相互正交的： k k j j k j jk dt t t ''''='?,)(*)(δψψ同样由于Poission 公式可得1)2(2
=+∑k k πωψ
而且在同一尺度下，因为j j V W ⊥，所以小波函数)(t jk ψ和尺度函数)(t k j 'φ之间是正交的，即：0)(*)(=''?dt t t k j jk φψ
由Poission 公式可得
0)2(*)2(=++∑πωψπωφk k k
三、小波的快速算法
快速正交小波变换是Mallat 算法的来源，其它的算法可以说都是它的推广。 Mallat 提出快速滤波器组算法，用于计算优先分辨率下测量的信号的正交小波系数，它不断的将每一逼近分解成较粗糙的逼近与小波系数之和。另一方面由小波系数所做的重构可以恢复原来的近似信号。
因为z n n j ∈}{,φ和z n n j ∈}{,ψ是j V 和j W 的规范正交基，在这两个空间的投影可以刻画为??=n j j f n a ,,][φ和??=n j j f n d ,,][ψ记][][n x n x -=并记
???+==12,02],[][p p
n p x n x 如果如果
则小波分解可由下式表示
]2[*][]2[][1p h a n a p n h p a j j
n j =-=
∑+∞-∞
=+ （3.1） ]2[*][]2[][1p g a
n a p n g p d j j n j =-=
∑+∞-∞=+ （3.2） 小波重构
][]2[][]2[][11n d n p g n a n p h p a n j j n j ∑∑+∞-∞=+++∞-∞=-+-=
（3.3）
对以上三式证明如下：先证第一式，任意j j p j V V ?∈++11，φ可在j V 的正交基z n n j ∈}{,φ下分解：n j n
n j j p j ,,1,1,φφφφ∑??=++ 做变量代换p t t j 22-='-有
]
2[)2(),2
(21)2(2
(21)22(2122(21
**111,,1p n h p n t t dt p n t t dt n t p t j j j j j j n j p j -=?+-?=+-=--=????
∞+∞-++∞+∞-++φφφφφφφφ 从而 ∑-=+n n j p j p n h ,,1]2[φφ 用f 和该等式两边的向量做内积，即可证
得第一式。同样，因为 n j n
n j p j p j ,,,1,1φφψψ∑??=++故有分解：
n j n
n j p j p j ,,,1,φφψψ∑??=+
也用t 代替p j 22-- 得出
]2[)2(2
(21,,1p n g p n t t n j j -=?+-?=??+φψφψ 所以有 ∑-=+n
n j j p n g p ,1]2[,φψ
两边与f 做内积，即可得到第二式
由于1+j W 是1+j V 在j V 中的正交补，两组基z n n j ∈+}{,1ψ和z n n j ∈+}{,1φ之并是j V 的一组基，从而任意p j ,φ可在此基下分解：
∑∑++++??+??=n n
n j n j p j n j n j p j p j ,1,1,,1,1,,ψψφφφφφ
把上面结果带进来，即得
∑∑++-+-=n n
n j n j p j n p g n p h ,1,1,]2[]2[ψφφ
等式两边同时对f 坐内积，即得证第三式。
图示为Mallat 小波分解与重构快速滤波器组算法
复杂性:设h 和g 有k 个非零系数，令L a 是长度为L N -=2的信号，通过适当的边界计算或延拓，每个j a 和j d 有j -2个采样值，由j a 计算1+j a 和1+j d
要k j -2次加法和乘法，可以计算]}[{,J a J j L j d <<最多要2kN 次加法和乘法，由1+j a 和1+j d 重构j a 也要k j -2次加法和乘法，因此由小波恢复原信号L a 最多也只需要2kN 次加法和乘法。
和没有用Mallat 算法进行运算之前相比大大减少了计算量，简化了运算程序。虽然几个这样的运算对计算机来说这种差别不是很大，但是对于一个完整的程序结果就会有很大不同，而且这也使程序本身简化了很多，有助于程序的编写。
四、小波分析的应用
在本人的学科中目前所涉及到的有关小波的应用就是用小波分析来处理信号与图像方面。其中最有代表性的就是对于有奇异性的信号的处理。函数在某点处间断或某阶导数不连续，称函数在该处有奇异性，该点位奇异点。利用小波变换具有时域局部化的性能，可以对函数或信号的奇异性进行分析，并确定奇异点的位置与奇异性的大小。这是很有实际意义的，在采集被控物体在运行中所发生的信号时，当被监控物体突然跳动，产生断裂，发生故障或发生特殊变化时，采样信号就会发生突变，对检测到的突变信号进行分析处理就能对系统的故障进行定位、分析、判断和控制，从而减少事故的发生。
在高电压与绝缘技术中小波的应用绝大部分是处理脉冲信号。这涉及到信号的正则性。正则性一般用来刻画函数的奇异性或光滑程度。因此必须对函数的正则给予精确的量化，通常我们用Lipschitz 指数α来衡量函数的正则性。Lipschitz 指数α满足如下的条件（1）函数)(t f 在点0t 具有点态的（或局部的）Lipschitz 指数)0(≥αα，如果存在0>k 和一个][α=n 次多项式)(0t P t 使得
α
0)()(,0t t K t P t f R t t -≤-∈? （2）函数)(t f 在区间],[b a 上具有一致Lipschitz 指数)0(≥αα，如果对于],[0b a t ∈?，都具有点态Lipschitz 指数α，其中常数K 与0t 无关。从这两条可以
看出Lipschitz 指数描述了函数)(t f 与多项式的近似程度。当)(t f 在R 上具有一致的Lipschitz 指数α，则称)(t f 属于αC 类函数。为了简便起见把Lipschitz 指数α记为α-L ，f 的正则性称为Lipschitz 正则性。对小波基要求有一定的正则性主要是为了由小波系数重构信号时具有稳定性。
利用Lipschitz 指数α的概念，可以对常见的奇异点用L 指数来度量。为此需要引入函数)(t f 与它的原函数)(t F 在0t 点处的L 指数的关系：若)(t f 的原函数
)(t F 在0t 处的Lipschitz 指数为)0(1<+αα，则)(t f 在0t 处的L 指数为α。
对于斜坡形式或折线函数，设0t 是奇异点，显然有0,)()(00>≤-+c h c t f h t f 此时，函数在0t 处的L 指数1=α。对于阶跃函数，设0t 是阶跃点，则有0,)()(0
00>≤-+c h c t f h t f 显然，函数在0t 处的L 指数为0=α。对于)(t δ函数的奇异性度量，利用函数)(t f 与它的原函数)(t F 在0t 点处的L 指数的关系，由
于δ函数的原函数是单位阶跃函数 ???≤>=0
,00,1)(t t t u 即 dt
t du h t u h t u t h )()()(lim )(0=-+=→δ 因此由函数)(t f 与它的原函数)(t F 在0t 点处的L 指数的关系可推知δ函数在奇异点处的L 指数1-=α。下图显示了三种函数的奇异点及奇异点处的L 指数。
（4.1）三种特殊函数及其奇异点处的L 指数
由以上讨论可知，函数的点态Lipschitz 指数α可以刻画函数在奇异点处的突变程度。α越大，函数在该点光滑程度越高，奇异性越小；而α越小，函数在该点处突变程度越大。
奇异点在信号和图像处理中称为边缘点或突变点，它包含了信号的重要特征。一般用小波变换来处理。S.Mallat 将函数的局部奇异特性与小波变换后的模局部极大值联系起来。通过小波变换后的模极大值在不同尺度上的衰减速度来衡
量信号的局部奇异性。设小波具有如下性质：)(t ψ是实函数且连续，
具有衰减性： )0(,)1()(2>+≤--εψεt K t ，)()(2R L t f ∈在区间I 上是一致Lipschitz 指数)1(≤<-αεα，则存在常数0>c ，使得对I b a ∈?,，其小波变换满足
21
),)((+≤αca b a W f （4.1）
反之，若对于某个)1(≤<-αεα，)(2R L f ∈的小波变换满足（4.1），则f 在I 上具有一致Lipschitz 指数α。若0t 是)(t f 的奇异点，则),)((b a W f 在0t b =处取极大值，即此时式（4.1）等号成立。
在二进小波变换情形下，式（4.1）变成
)21(2
),2)((+?≤a j j c b W f （4.2） 在信号和图像处理中，常常使用卷积型小波变换。为此，引入卷积型小波变换的
概念：设)()(),(2R L t t f ∈ψ，记 0),(1)(>=s s
t s t s ψψ （4.3）
则称
dt s t b t f s b f b s Wf s ?+∞∞--==)()(1)(*),)((ψψ （4.4） 为)(t f 的卷积型小波变换，也成为)(t f 的小波变换。记)()(t t -=-ψψ，则内积型小波变换与式（4.4）之间的关系为
))((*,b s f f s s ψψ=- （4.5） 在（4.1）满足的变换中，如果将)(t f 的小波变换理解成卷积型小波变换，则式（4.1）和（4.2）就变成
αcs b s W f ≤),)(( （4.6）
及 αj j c b Wf 2),2)((≤ （4.7）
式（4.1）（4.2）表明，若2
1->α，则小波变换模极大值随着尺度j 的增大而增大；若2
1-<α，则小波变换模极大值随着尺度的增大反而减小。这种情况表明，该信号比不连续信号更加奇异，这正是噪声对应的情况。例如Gauss 白噪声，它是几乎处处奇异的且是广义随机分布的，具有负的Lipschitz 指数
)0(2
1>?--=εεα。
上述情况说明，可以利用小波变换模的极大值随尺度变换的情况来推断信号的奇异点类型。例如，由式（4.7）可知，当尺度j 增大而小波变换模反而减小，则可推断信号在奇异点处的L 指数0<α；相反情况下，0>α。当j 变化时而小波变换的模值不变，则有0=α。据此。还可以将信号与噪声加以区别。
下面就介绍一下小波的去噪方法。
实际中观测到的信号通常都是非平稳信号，且有白噪声。
)()()(t s t x t f += （4.8）
式中)(t x 为原始信号，)(t s 为Gauss 白噪声。从观测信号)(t f 中直接把原始信号)(t x 提取出来是非常困难的，必须借助变换方法作为工具，而小波理论为信号的去噪提供了理想的方法。
常用的去噪方法有三种：一种是模极大值去噪法。基于模极大值原理的方法，信号和白噪声在小波变换下模极大值随尺度呈现不同的规律，即信号的小波变换模极大值随尺度增加而增加或不变，而白噪声的模极大值随尺度增加反而减小。根据信号和白噪声在不同尺度的小波变换下表现的不同特性，使我们可以把它们进行区分。第二种是相关性去噪方法。基本原理是利用信号的小波系数在尺度上有较强的相关性，而噪声的小波系数在尺度间却没有明显的相关性的特点，由此来区分信号与噪声以达到去噪的目的。第三种是阈值去噪法。基本思想是，在对含噪声信号)(t f 作小波分解后的各层系数中，对大于和小于某一阈值的小波系数分别进行处理，然后再利用处理后得到的小波系数重构原信号，达到去噪的目的。在电力高压系统中用到的最多的就是这种阈值去噪法，以下是对这种方法进行详细地叙述。
设k j ,ω是观测信号)(t f 的小波系数，记为ω。)(ωη表示阈值处理后的系数。η也称阈值函数，表示对ω的模大于或小于阈值T 的不同处理结果。在阈值去噪方法中，有两个基本问题，一个是阈值函数的选取，一个是对阈值的具体估计。
1. 关于阈值函数的选取：常用的阈值函数有
（1）硬阈值函数，图（4.1）（a ）
?????<≥=T
T ωωωωη,0,)( (4.9)
(2)软阈值函数，图（4.1）（b ） ?????<≥-=T
T
sign T ωωωωωη,0),()()( （4.10）
图（4.1）硬阈值函数（a ）和软阈值函数(b)
这两种阈值函数在实际中经常使用，也取得了较好的效果。但是方法本身存在着一些缺点。例如，硬阈值函数方法在T =ω,)(ωη不连续，用)(ωη重构信号时会产生振荡；软阈值函数方法得到的)(ωη虽然连续性好，但在T >ω时，)(ωη与ω存在着恒定偏差，直接影响重构信号的性质。为了克服这些缺点，对此法进行了改进。并构造出了一些效果较好的阈值函数。例如：[1]由多项式插值法构造
?????<<≤≥=1212 ,0),()( , )(T T T P sign T ω
ωωωωωωη (4.11) 式中，)(ωP 为插值多项式，可取一次，二次或三次多项式。其插值条件分别为
???????='=='=?????='==???=1
)(T P T )P (T
0)(T P 0)P (T , 1)(T P T )P (T 0)P (T , )(0)(2221122
2121T P T P 式（4.11）表示的阈值函数，克服了硬阈值函数在点T 处不连续，软阈值函数在ω较大时，)(ωη与ω总有一定偏差的缺点，因而使得去噪效果比较理想。但是它将要估计两个阈值1T 和2T ，实现起来比较困难。
[2]由软、硬阈值折中法构造
10 ,
0 T ),-()()(≤≤?????<≥=λωωλωωωηT T sign (4.12) )(ωη的图形如图（4.3）示。当0=λ和1时，式（4.12）就成为硬阈值函数和软阈值函数。当10<<λ时，)(ωη的值介于软、硬阈值函数得出的值之间，因而这种阈值函数去噪效果很好。它使得)(ωη的值更接近于原始信号)(t x 的小波
变换的值。使用中还可以调整λ的大小，以获得更好的去噪效果。
图（4.3） 2. 阈值的估计
对阈值的具体估计也是一个关键问题。如果阈值太小，达不到去噪效果；相反如果阈值太大，信号的一些重要特性又将被滤掉，重构信号时就会引起偏差。阈值估计一般都比较复杂，这里只叙述一种较简单的估计结果：在下式中N T lg 2σ= ，σ是噪声的标准方差，N 是信号的长度。
在实际中，T 的估计应该是自适应的，即应该考虑到信号的相对平稳性和信噪比的大小。对于平稳性较差的信号。T 值应选的小一些，相反情况下T 值应取得较大一些。对于同一信号，信噪比大时，噪声功率小，则T 值取得小一些。
阈值去噪方法是比较好用的一种方法，用来处理信号能得到比较好的结果。
五 总结
在学科分类如此精细化的今天傅里叶分析的特征已经不能满足要求，人们急需寻找一种能随着信号的变化而自适应的分析方法，小波分析方法应运而生。为人们解决了这个难题。它能随着信号的改变自动的改变取样间距和取样数，成为对各种复杂信号分析的分析的一个有力工具。它是泛函分析、Fourier 分析、样条分析、调和分析、数值分析的最完美结晶。在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子物理和众多非线性科学等领域，它被认为是近年来在工具和方法上的重大突破。
具体到高电压与绝缘技术这门学科，用小波分析来进行噪声处理是很重要的一种应用。基于小波本身的优良特性，在去噪方面的效果非常的完美。但是小波在某些方面还是有些不够完善，科学家们预言小波分析的真正高潮还没有到来，小波分析还面临很多分析和挑战。社会需要最能推动科学的发展，小波分析就是一门现在社会发展很急需的科学，相信在不久的将来小波分析必能达到一个更加辉煌的时期。
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
小波变换 一、小波变换的基本原理及性质 1、小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A 、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B 、在有限时间范围内平均值为0。 2、小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。 小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足 3、信号的信息表示 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）。 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT 。 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法 ) ()(ωψ??x ∞ <=?∞ ∞-ωω ωψ?d C 2 ) (0 )()0(==?∞ ∞ -dx x ?ψ
平稳信号 非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号。 信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义。 时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析。 4、为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT 方法，与STFT 方法比较具有更为明显的优势。 ) ,,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n t t t x x x f t t t x x x f [][][] ??? ????∞<-=====?+∞ ∞-)(),()()(),()()(21 22121t x E t t R t x t x E t t R m dx x xf t x E x x x ττ时间幅度 小波变换 时间 尺度
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
1.Cwt :一维连续小波变换 格式：coefs=cwt(s,scales,'wavename') coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot') scales:尺度向量，可以为离散值，表示为[a1,a2,a3……]，也可为连续值，表示为[amin:step:amax] 2.dwt:单尺度一维离散小波变换 格式：[ca,cd]=dwt(x,'wavename') [ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d) 先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。[lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d) 3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换 4.wfilters 格式：[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname') [f1,f2]=wfilters('wname','type') type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器) 5.dwtmode 离散小波变换模式 格式：dwtmode dwtmode('mode') mode:zdp补零模式，sym对称延拓模式，spd平滑模式 6.wavedec多尺度一维小波分解 格式：[c,l]=wavedec(x,n,'wname') [c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d)
7.appcoef 提取一维小波变换低频系数 格式：A=appcoef(c,l,'wavename',N) A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度，可省略例： loadleleccum; s=leleccum(1:2000) subplot(421) plot(s); title('原始信号') [c,l]=wavedec(s,3,'db1'); ca1=appcoef(c,l,'db1',1); subplot(445) plot(ca1); ylabel('ca1'); ca2=appcoef(c,l,'db1',2); subplot(4,8,17) plot(ca2); ylabel('ca2'); 8.detcoef 提取一维小波变换高频系数 格式：d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数 d=detcoef(c,l,) 最后一尺度的高频系数 例：
小波分析的发展历程 一、小波分析 1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。 （1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。 （2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。 （3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。 1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。 1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。 1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。 1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。 1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。 1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。 1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。 1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。 1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。 1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。它标志着第一代小波的开始？ （1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。 （2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。 （3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。 1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。 Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。 1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。 1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。 1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。 1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。 （1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。 （2）优点：具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
“小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。
如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式： 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
2.1小波分析中的通用函数 1 biorfilt双正交小波滤波器组 2 centfrg计算小波中心频率 3 dyaddown二元取样 4 dyadup二元插值 5 wavefun小波函数和尺度函数 6 wavefun2二维小波函数和尺度函数 7 intwave积分小波函数fai 8 orthfilt正交小波滤波器组 9 qmf镜像二次滤波器（QMF） 10 scal2frg频率尺度函数 11 wfilters小波滤波器 12 wavemngr小波管理 13 waveinfo显示小波函数的信息 14 wmaxlev计算小波分解的最大尺度 15 deblankl把字符串变成无空格的小写字符串 16 errargn检查函数参数目录 17 errargt检查函数的参数类型 18 num2mstr最大精度地把数字转化成为字符串 19 wcodemat对矩阵进行量化编码 20 wcommon寻找公共元素 21 wkeep提取向量或矩阵中的一部分 22 wrev向量逆序 23 wextend向量或矩阵的延拓 24 wtbxmngr小波工具箱管理器 25 nstdfft非标准一维快速傅里叶变换（FFT） 26 instdfft非标准一维快速逆傅里叶变换 27 std计算标准差 2.2小波函数 1 biorwavf双正交样条小波滤波器 2 cgauwavf复Gaussian小波 3 cmorwavf复Morlet小波 4 coifwavf Coiflet小波滤波器 5 dbaux Daubechies小波滤波器 6 dbwavf Daubechies小波滤波器 7 fbspwavf频率分布B-Spline小波 8 gauswavf Gaussian小波 9 mexihat墨西哥小帽函数 10 meyer meyer小波11 meyeraux meyer小波辅助函数 12 morlet Morlet小波 13 rbiowavf反双正交样条小波滤波器 14 shanwavf 复shannon小波 15 symaux计算Symlet小波滤波器 16 symwavf Symlets小波滤波器 2.3一维连续小波变换 1 cwt一维连续小波变换 2 pat2cwav从一个原始图样中构建一个小波函数 2.4一维离散小波变换 1 dwt但尺度一维离散小波变换 2 dwtmode离散小波变换拓展模式 3 idwt单尺度一位离散小波逆变换 4 wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数） 5 appcoef提取一维小波变换低频系数 6 detcoef提取一维小波变换高频系数 7 waverec多尺度一维小波重构 8 upwlex单尺度一维小波分解的重构 9 wrcoef对一维小波系数进行单支重构 10 upcoef一维系数的直接小波重构 11 wenergy显示小波或小波包分解的能量 2.5二维离散小波变换 1 dwt2单尺度二维离散小波变换 2 idwt2单尺度逆二维离散小波变换 3 wavedec2多尺度二维小波分解（二维分辨率分析函数） 4 waverec2多尺度二维小波重构 5 appcoef2提取二维小波分解低频系数 6 detcoef2提取二维小波分解高频系数 7 upwlev2二维小波分解的单尺度重构 8 wrcoef2对二维小波系数进行单支重构 9 upcoef二维小波分解的直接重构 2.6离散平稳小波变换 1 swt一维离散平稳小波变换 2 iswt一维离散平稳小波逆变换 3 swt2二维离散平稳小波变换 4 iswt2二维离散平稳小波逆变换
第一篇：小波分析发展历史简述 1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。 1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。 1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。 1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。 1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。 1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。 1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。 1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。 1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。 1991年，Alpert用多项式构造了第一个多小波。Geronimo等利用分形插值函数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。 1992年，Bamberger和Smith提出无冗余且能完全重构的方向滤波器（Directional Filter Banks，DFB，也即2D-DFB），DFB能有效地对二维信号进行方向分解。具有不可分性，把DFB从二维扩展多维，至今没有完美的实现方法。 1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。 1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。 1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用
与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-1 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形
Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑 区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有
一、小波分析基本原理： 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。 注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介 （仅谈大体印象，还待继续研读）： １、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序 功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。 说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序） 源码类型：fortran程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 ３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份 功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。 说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。