最短路径问题探究
——学会思考提升自我
一、教材分析与学情分析
1．教材分析
（1）教学内容
《最短路径问题探究》是北师大版八年级上第一章《勾股定理》学习后，为让学生能灵活的使用勾股定理解决最短路径问题而设置的一节专题课．
本班模仿水平强，对新知事物满怀探求的欲望．同时他们也具备了一定的学习水平，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移水平不强，自主探究水平较差，不善于思考。所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，协助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课
（2）地位和作用
本节课是在学习了勾股定理的基础上，引导学生探究如何使用勾股定理解决最短路径问题。它既是勾股定理知识使用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与水平转化上起到桥梁作用．
2．学情分析
（1）已有基础知识与生活经验分析
我班学生基础好，自觉性较强，学习努力，但来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提升学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提升学习水平的目的．
（2）学生起点水平分析
八（上）的学生，已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理水平，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和水平还有待增强，思维缺乏灵活性．
二、教学目标：
依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标：
●知识与技能目标
1、结合具体实例，能灵活的使用勾股定理、线段公理解决实际问题
2、初步学会思考，逐步提升思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题
●方法与过程目标
1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．
2、经历使用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维水平、推理水平和有条理的表达水平
●情感与态度目标
1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯
2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．
3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育三、教学重、难点分析
●教学重点：
1、使用勾股定理、线段公理解决实际问题．
2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．
●教学难点：
1、勾股定理、线段公理的灵活使用和提升，
2、提升思维的有效性．
●突出重点、突破难点的方法与策略：
（1）突出重点的方法：
通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点
（2）突破难点的方法：
充分使用多媒体教学手段，展开小组讨论、动手实践、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点．
勾股定理、线段公理的灵活使用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来协助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点．
以达到突破难点的目的
四、教学方法的选择与应用
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中理解到良好学习方法的重要性．
教师的教法突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；
学生的学法突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．
五、教学准备：
多媒体课件，三角板，直尺
六、教学过程：
（一）让学生观看一组动画，并谈谈看了动画之后自己的感想，引入课题
（二）例题教学
立体图形中最短路径问题探究
例1、如图边长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程是多少厘米？
设计说明：在解答简单问题时，人的思路是清晰的，合乎逻辑且有效的，所以通过本题让学生体会研究问题的方法，从而掌握方法并能使用到较难题目中去．
思维拓展一、如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少厘米？
B A
设计说明：通过本变式练习，培养学生思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提升学习效率，减轻学习负担
从上面例题及拓展1中，你能找出求几何体表面上相对两点的最短路程的规律吗？引导学生思考，并归纳出重要结论：
知道长方体的长a 、宽b 、高c ，且a b c <<，则长方体表面上相对两点A 、B 之间的
思维拓展二、如图是一个由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，试问在A 处的蚂蚁要吃到放
在B 处的食物，最短需要爬行的路程是多长？若事物
在C 处或者是D 处呢？ 设计说明：使用上面归纳总结出来的结论解决问
题，让学生体验积极思考、归纳总结的乐趣和成功感，感受快乐，同时也训练学生的变式思维水平
平面图形中最短路径问题探究
例2、一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，点A 、B 到河边的距离分别是70m 和50m ，且C D 的距离为50m ，天黑前，牧童要从A 处到河边让马饮水，然后再回家，请问牧童该怎样走路程才最短？
设计说明：回顾复习线段公理，并能使用线段
公理和勾股定理解决实际问题
引导学生提出一个使用该原理解决的问题，引
发思考，实行思维水平培养
思维拓展三：
小明的爸爸很喜欢设计，有一天他突发奇想：要在河边修个茶楼，在公路边修个候车室，而且每天他都要从家里先到茶楼去烧开水，然后给候车室的人送茶水，再回到家里。但他又不想多走路，你能帮小明的爸爸设计出修建方案吗？
设计说明：
（1）协助学生灵活使用对称原理解决实际问题，
（2）将实际问题抽象为数学模型，是解决实际问题的关键 （3）再次引导学生提问，提升思维的层次
思维拓展四：
B C A ●
● ● D ●
河边
A 、
B 两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥，要使这两村之间的行程最短，桥应修在何处？你能帮他们设计出来吗？
设计说明：思维变式训练，提升学生的思维层次，
让学生学会思考，学会提问
（三）归纳提升 引导学生从知识、方法、数学思想方面实行归纳总结：
1、解决上述问题使用了什么知识？（知识）
2、在解决问题的过程中使用了什么方法？（方法）
3、使用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？（数学思想）
（四）课堂小结
知识方法思想归纳：
1、立体图形上两点的最短路径问题，可通过展开，利用线段公理和勾股定理解决．
2、平面图形上不在同一直线上的最短路径问题，能够通过平移、对称等方法，将其转移到同一直线上来，利用两点之间，线段最短以及勾股定理等知识来解决．
3、以上都体现了化归的数学思想
思维方法归纳：
1、 学会反思回顾、归纳总结
2、 学会并善于提问，提升思维层次
3、 学会变式思考，活跃思维
4、 学会联想，使用熟悉知识解决新问题
5、 学会对比，举一反三
（五）作业布置
1、请你提出一个使用两点之间线段最短、勾股定理知识，使用对称来解决的问题，并解答．
2、，自己找一道适合的题目，使用本节研究问题的方法实行研究．
七、板书设计：
八
九、教学设计说明：
爱迪生说：“不下定决心培养思维习惯的人，便失去了生活中的最大乐趣”．同样，在学习中不懂得思考的学生，一定学的非常辛苦．
真正聪明的人是更理性地掌握思考的方法，而不但仅是感性的使用．聪明人是因为懂得思维的方法才变得聪明，而不是因为聪明才懂得学习．要让学生轻松快乐地取得成绩，我们必须要提升课堂效率，让学生学会思考，掌握思考方法．
从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提升学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功．这个节课，主要采用的是引导——探究——发现的教学模式．所以设计这节课时我考虑到以下几个方面：
1、设计“引导—探究—发现”模式的理由
在解答简单问题时，人们的思路往往是清晰、合乎逻辑且有效的，但在解答复杂问题时，往往无从下手，思维混乱.
我班学生基础知识掌握较好，但思维缺乏灵活性，被动性较强，所以想通过勾股定理、线段公理这类大家非常熟悉的知识的使用，引导他们去探究，去发现，去体会思考.从而把在简单问题中获取的经验和研究问题的方法使用到复杂问题的解决中去，以达到“教”是为了“不教”的目的
2、思考方法设计
通过例题教学，引导学生学会从知识、方法、数学思想等方面实行归纳总结
通过例题变式，让学生体会变式思考，反思回顾
通过引导学生提问，让学生学会思考，善于提问，提升思维层次
通过结论方法的归纳提升，让学生感受思考的快乐，体验学习的乐趣
3、思考中辅以多种形式突破难点
勾股定理、线段公理的灵活使用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升来协助学生理解知识的应用和方法的提升.以达到突破难点的目的
4、重视引导知识和方法的归纳总结
没有归纳总结，就没有提升。我在教学中针对我班学生不善于或者不愿意动脑思考，归纳总结的特点，在教学中特别重视引导积极思考，善于提问，特别重视从知识、方法、数学思想等方面实行归纳，以达到解一题以解决一类问题的目的。
5、重视数学知识的生活化、情景化．
在这节课的教学过程中，我从学生的实际出发，引导他们学知识、用知识，会思考，会归纳，给学生提供一个展示所学的舞台．培养学生应用数学知识解决实际问题的水平，感受良好学习方法的重要性，激发学生持续学习的动力．让学生感受学习的快乐
6、对课堂教学难度的预测
估计教学中可能因为要引导思考，指导思考的方法，留给学生充足的时间实行思考和探究，完成教学任务时间比较紧张，但为了培养学生的思维水平，探究问题的水平和良好的思维习惯，即使不是一堂很完整的课，我觉得也值．
以上教案，有不妥之处，还望专家们批评指正．