一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,CF=b.
(1)如图1,当a=42时,求b的值;
(2)当a=4时,在图2中画出相应的图形并求出b的值;
(3)如图3,请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.
【答案】(1)422)b=8;(3)ab=32.
【解析】
试题分析:(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=2,∠ACB=45°.
再CE=a=2∠CAE=∠AEC,从而可得∠CAF的度数,既而可得 b=AC;
(2)通过证明△ACF∽△ECA,即可得;
(3)通过证明△ACF∽△ECA,即可得.
试题解析:(1)∵正方形ABCD的边长为4,∴AC=2,∠ACB=45°.
∵CE=a=2∴∠CAE=∠AEC=45
2?
=22.5°,∴∠CAF=∠EAF-∠CAE=22.5°,
∴∠AFC=∠ACD-∠CAF=22.5°,∴∠CAF=∠AFC,∴b=AC=CF=42
(2)∵∠FAE=45°,∠ACB=45°,∴∠FAC+∠CAE=45°,∠CAE+∠AEC=45°,∴∠FAC =∠AEC.
又∵∠ACF=∠ECA=135°,∴△ACF∽△ECA,∴AC CF
EC CA
=,∴
42
442
=∴CF=
8,即b=8.(3)ab=32.
提示:由(2)知可证△ACF∽△ECA,∴∴AC CF
EC CA
=,∴
42
42
a
=,∴ab=32.
2.请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
()1探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=,BC a =,将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ,连接.CD 求证:BCD 的面积为2
1.(2
a 提示:过点D 作BC 边上的高DE ,可证ABC ≌
)BDE
()2探究2:如图2,在一般的Rt
ABC 中,90ACB ∠=,BC a =,将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ,连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积,并说明理由.
()3探究3:如图3,在等腰三角形ABC 中,AB AC =,BC a =,将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ,连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积,要有探究过程.
【答案】(1)详见解析;(2)BCD 的面积为
2
12
a ,理由详见解析;(3)BCD 的面积为
2
14a . 【解析】 【分析】
()1如图1,过点D 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点E ,由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ,就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论;
()2如图2,过点D 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点E ,由垂直的性质就可以得出
ABC ≌
BDE ,就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论;
()3如图3,过点A 作AF BC ⊥与F ,过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ,由等腰三角形
的性质可以得出1
BF BC 2
=
,由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =,由
三角形的面积公式就可以得出结论. 【详解】
()1如图1,过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ,
BED ACB 90∠∠∴==,
由旋转知,AB AD =,ABD 90∠=,
ABC DBE 90∠∠∴+=,
A ABC 90∠∠+=, A DBE ∠∠∴=, 在ABC 和BDE 中, AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
, ABC ∴≌
()BDE AAS
BC DE a ∴==,
BCD 1
S BC
DE 2=?,
2BCD 1
S a 2
∴=;
()2BCD 的面积为21a 2
,
理由:如图2,过点D 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点E ,
BED ACB 90∠∠∴==,
线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ,
AB BD ∴=,ABD 90∠=,
ABC DBE 90∠∠∴+=,
A ABC 90∠∠+=, A DBE ∠∠∴=, 在ABC 和BDE 中, AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
, ABC ∴≌
()BDE AAS ,
BC DE a ∴==,
BCD
1
S
BC DE 2=?, 2
BCD
1S
a 2
∴=
; ()3如图3,过点A 作AF BC ⊥与F ,过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ,
AFB E 90∠∠∴==,11BF BC a 22
==, FAB ABF 90∠∠∴+=,
ABD 90∠=,
ABF DBE 90∠∠∴+=,
FAB EBD ∠∠∴=,
线段BD 是由线段AB 旋转得到的,
AB BD ∴=,
在AFB 和BED 中,
AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
, AFB ∴≌
()BED AAS ,
1BF DE a 2
∴==, 2BCD
1111
S
BC DE a a a 2224
=
?=??=, BCD ∴的面积为21
a 4
.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
3.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC .点D 、E 分别在AC 、BC 边上,DC =EC ,连接DE 、AE 、BD .点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点,连接PM 、PN 、MN .
(1)PM 与BE 的数量关系是 ,BE 与MN 的数量关系是 .
(2)将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置,判断(1)中BE 与MN 的数量关系结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)若CB =6.CE =2,在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中,当B 、E 、D 三点在一条直线上时,求MN 的长度. 【答案】(1)1
,22
PM BE BE MN ==;(2)成立,理由见解析;(3)MN =17﹣1或17+1 【解析】 【分析】
(1)如图1中,只要证明PMN 的等腰直角三角形,再利用三角形的中位线定理即可解决问题;
(2)如图2中,结论仍然成立,连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ?,推出BE AD =,DAC EBC ∠=∠,即可推出BH AD ⊥,由M 、N 、P 分别AE 、
BD 、AB 的中点,推出//PM BE ,12PM BE =
,//PN AD ,1
2
PN AD =,推出PM PN =,90MPN ∠=?,可得2
2222
BE PM MN MN ==?
=; (3)有两种情形分别求解即可. 【详解】 (1)如图1中,
∵AM =ME ,AP =PB ,
∴PM ∥BE ,1
2
PM BE =
, ∵BN =DN ,AP =PB ,
∴PN ∥AD ,1
2
PN AD =
, ∵AC =BC ,CD =CE , ∴AD =BE , ∴PM =PN , ∵∠ACB =90°, ∴AC ⊥BC ,
∴∵PM ∥BC ,PN ∥AC , ∴PM ⊥PN ,
∴△PMN 的等腰直角三角形, ∴2MN PM =,
∴1
22
MN BE =?, ∴2BE MN =
,
故答案为1
2
PM BE =
,2BE MN =. (2)如图2中,结论仍然成立.
理由:连接AD 、延长BE 交AD 于点H . ∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形, ∴CD =CE ,CA =CB ,∠ACB =∠DCE =90°, ∵∠ACB ﹣∠ACE =∠DCE ﹣∠ACE , ∴∠ACD =∠ECB , ∴△ECB ≌△DCA , ∴BE =AD ,∠DAC =∠EBC , ∵∠AHB =180°﹣(∠HAB +∠ABH ) =180°﹣(45°+∠HAC +∠ABH ) =∠180°﹣(45°+∠HBC +∠ABH ) =180°﹣90° =90°, ∴BH ⊥AD ,
∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点,
∴PM ∥BE ,12PM BE =,PN ∥AD ,1
2
PN AD =, ∴PM =PN ,∠MPN =90°,
∴2
2222
BE PM MN MN ==?
=. (3)①如图3中,作CG ⊥BD 于G ,则2CG GE DG ===,
当D 、E 、B 共线时,在Rt △BCG 中,()
2
222
6234BG BC CG =-=-
=,
∴342BE BG GE =-=-, ∴2
1712
MN BE =
=-. ②如图4中,作CG ⊥BD 于G ,则2CG GE DG ===,
当D 、E 、B 共线时,在Rt △BCG 中,()
2
222
6234BG BC CG =-=-
=
∴342BE BG GE =+=, ∴2
1712
MN BE =
=. 综上所述,MN 17﹣117. 【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾
股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
4.如图,矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C在y轴正半轴上,点B的坐标为
(4,m)(5≤m≤7),反比例函数y=16
x
(x>0)的图象交边AB于点D.
(1)用m的代数式表示BD的长;
(2)设点P在该函数图象上,且它的横坐标为m,连结PB,PD
①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S,求当m为何值时,S取到最大值;
②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在x轴上时,求m的值.
【答案】(1)BD=m﹣4(2)①m=7时,S取到最大值②m=5
【解析】
【分析】
(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标,即可得出结论;
(2)①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S=﹣1
2
(m﹣8)2+24,即可
得出结论;②利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标,即可得出结论.【详解】
解:(1)∵四边形OABC是矩形,
∴AB⊥x轴上,
∵点B(4,m),
∴点D的横坐标为4,
∵点D在反比例函数y=16
x
上,
∴D(4,4),
∴BD=m﹣4;
(2)①如图1,∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),
∴S矩形OABC=4m,
由(1)知,D(4,4),
∴S△PBD=1
2(m﹣4)(m﹣4)=
1
2
(m﹣4)2,
∴S=S矩形OABC﹣S△PBD=4m﹣1
2(m﹣4)2=﹣
1
2
(m﹣8)2+24,
∴抛物线的对称轴为m=8,
∵a<0,5≤m≤7,
∴m=7时,S取到最大值;
②如图2,过点P作PF⊥x轴于F,过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G,
∴∠DGP=∠PFE=90°,
∴∠DPG+∠PDG=90°,
由旋转知,PD=PE,∠DPE=90°,
∴∠DPG+∠EPF=90°,
∴∠PDG=∠EPF,
∴△PDG≌△EPF(AAS),
∴DG=PF,
∵DG=AF=m﹣4,
∴P(m,m﹣4),
∵点P在反比例函数y=16
x
,
∴m(m﹣4)=16,
∴m=2+25或m=2﹣25(舍).
【点睛】
此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,矩形的性质,三角形的面积公式,全等三角形的判定,构造出全等三角形是解本题的关键.
5.如图l,在AABC中,∠ACB=90°,点P为ΔABC内一点.
(1)连接PB,PC,将ABCP沿射线CA方向平移,得到ΔDAE,点B,C,P的对应点分别为点D、A、E,连接CE.
①依题意,请在图2中补全图形;②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长
(2)如图3,以点A为旋转中心,将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接PA、PB、PC,当AC=3,AB=6时,根据此图求PA+PB+PC的最小值.
【答案】(1)①补图见解析;②;(2)
【解析】
(1)①连接PB、PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B、C、P的对应点分别为点D、A、E,连接CE,据此画图即可;②连接BD、CD,构造矩形ACBD和
Rt△CDE,根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算,即可求得CE的长;
(2)以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接BN,根据△PAM、△ABN都是等边三角形,可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线,PA+PB+PC的值最小,此时△CBN是直角三角形,利用勾股定理即可解决问题.
解:(1)①补全图形如图所示;
②如图,连接BD、CD
∵△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,
∴BC∥AD且BC=AD,
∵∠ACB=90°,
∴四边形BCAD是矩形,∴CD=AB=6,
∵BP=3,∴DE=BP=3,
∵BP⊥CE,BP∥DE,∴DE⊥CE,
∴在Rt△DCE中,;
(2)证明:如图所示,
当C、P、M、N四点共线时,PA+PB+PC最小
由旋转可得,△AMN≌△APB,
∴PB=MN
易得△APM、△ABN都是等边三角形,
∴PA=PM
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,
∴BN=AB=6,∠BNA=60°,∠PAM=60°
∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°,
∴∠CBN=90°
在Rt△ABC中,易得
∴在Rt△BCN中,
“点睛”本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形,依据图形的性质进行计算求解.
6.已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM 上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.
(1)如图1,猜想:△CDE的形状是三角形.
(2)请证明(1)中的猜想
(3)设OD=m,
①当6<m<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.
②是否存在m的值,使△DEB是直角三角形,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)等边;(2)详见解析;(3)3;②当m=2或14时,以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)由旋转的性质猜想结论;
(2)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;
(3)①当6<m<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;
②存在,分四种情况讨论:a)当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形;
b)当0≤m<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m;
c)当6<m<10时,此时不存在;
d)当m>10时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到m=14.
【详解】
(1)等边;
(2)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE 是等边三角形.
(3)①存在,当6<t<10时,由旋转的性质得:BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等边三角形,∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD3,∴△BDE的最小周长=CD3;
②存在,分四种情况讨论:
a)∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意;
b)当0≤m<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等边三角形,∴∠DEB=60°,∴∠CEB=30°.
∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°.
∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴m=2;
c)当6<m<10时,由∠DBE=120°>90°,∴此时不存在;
d)当m>10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,而∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴只能∠BDE=90°,从而∠BCD=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14,∴m=14.
综上所述:当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
7.在正方形ABCD中,连接BD.
(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.
(2)如图1,在(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.
①依题意补全图1;
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.
(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF 分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)
【答案】(1)45°;(2)①补图见解析;②BM、DN和MN之间的数量关系是
BM2+MD2=MN2,证明见解析;(3)答案见解析.
【解析】
(1)利用等腰直角三角形的性质即可;
(2)依题意画出如图1所示的图形,根据性质和正方形的性质,判断线段的关系,再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可;
(3)利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,判断出EF=EG,再利用(2)证明即可.解:(1)∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠ABD=∠ADB=45°,
∵AE⊥BD,∴∠ABE=∠BAE=45°,
(2)①依题意补全图形,如图1所示,
②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,
将△AND绕点D顺时针旋转90°,得到△AFB,
∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,
∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,∴∠ADB=∠ABD=45°,
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,
在Rt△BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2,
∵旋转△ANE得到AB1E1,∴∠E1AB1=45°,∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,
∵∠BAF=DAN,∴∠BAB1+∠BAF=45°,∴∠FAM=45°,∴∠FAM=∠E1AB1,
∵AM=AM,AF=AN,∴△AFM≌△ANM,∴FM=MN,
∵FB2+BM2=FM2,∴DN2+BM2=MN2,
(3)如图2,
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴DF=GB,
∵正方形ABCD的周长为4AB,△CEF周长为EF+EC+CF,
∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,∴4AB=2(EF+EC+CF),∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,∴EF=DF+BE,
∵DF=GB,∴EF=GB+BE=GE,由旋转得到AD=AG=AB,
∵AM=AM,∴△AEG≌△AEF,∠EAG=∠EAF=45°,和(2)的②一样,得到
DN2+BM2=MN2.
“点睛”此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质,三角形的全等,判断出(△AFN≌△ANM,得到FM=MM),是解题的关键.
8.在△ABC中,AB=AC,∠A=300,将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,再将线段BD平移到EF,使点E在AB上,点F在AC上.
(1)如图1,直接写出∠ABD和∠CFE的度数;
(2)在图1中证明:AE=CF;
(3)如图2,连接CE,判断△CEF的形状并加以证明.
【答案】(1)15°,45°;(2)证明见解析;(3)△CEF是等腰直角三角形,证明见解析.【解析】
试题分析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数,由旋转的性质得到∠DBC的度数,从而得到∠ABD的度数;根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数.
(2)连接CD、DF,证明△BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而AB∥FD,证明△AEF≌△FCD即可得AE=CF.
(3)过点E作EG⊥CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.
(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=300,∴∠ABC=750.
∵将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,即∠DBC=600.∴∠ABD= 15°.
∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°.
(2)如图,连接CD、DF.
∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,∴BD=BC,∠CBD=600.∴△BCD是等边三角形.
∴CD=BD.
∵线段BD平移到EF,∴EF∥BD,EF=BD.
∴四边形BDFE是平行四边形,EF= CD.
∵AB=AC,∠A=300,∴∠ABC=∠ACB=750.∴∠ABD=∠ACD=15°.
∵四边形BDFE是平行四边形,∴AB∥FD.∴∠A=∠CFD.
∴△AEF≌△FCD(AAS).
∴AE=CF.
(3)△CEF是等腰直角三角形,证明如下:
如图,过点E作EG⊥CF于G,
∵∠CFE =45°,∴∠FEG=45°.∴EG=FG.
∵∠A=300,∠AGE=90°,∴.
∵AE=CF,∴.∴.∴G为CF的中点.∴EG为CF的垂直平分线.
∴EF=EC.
∴∠CEF=∠FEG=90°.
∴△CEF是等腰直角三角形.
考点:1.旋转和平移问题;2.等腰三角形的性质;3.三角形外角性质;4.等边三角形的判定和性质;5.平行四边形的判定和性质;6.全等三角形的判定和性质;7.含30度直角三角形的性质;8.垂直平分线的判定和性质;9.等腰直角三角形的判定.