八年级数学导学稿
第二章图形的轴对称
等腰三角形（第2课时）
树一中学编写
学习目标：
1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的性质
2、能灵活运用等腰三角形的性质解决一些实际问题
3、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。
重点：等腰三角形的性质
难点：利用等腰三角形的性质计算或证明。
教学过程：
【温故知新】
1、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是。
2、等腰三角形的、、重合（也称三线合一）。
3、等边三角形的每个内角都等于，有条对称轴。
【创设情境】
自学课本P
56——P
61
，解答下列问题：
已知一个等腰三角形的底边和底边上的高分别为a和h，你能做出一个这样的等腰三角形吗？
【交流展示】
尺规作等腰三角形
已知一个等腰三角形的底边和腰，你能作出这个三角形吗？如果已知底边和底边上的高呢？
等边三角形的性质（小组合作，教师点拨）
1、等边三角形与等腰三角形有什么关系？
2、等边三角形是轴对称图形吗？为什么？有几条对称轴？你能画出来吗？
3、等边三角形的内角具有什么性质？你能验证你的结论吗？
结论：
【巩固提升】
1、已知：线段a，s（s>2a），
求作：等腰三角形ABC，使底边BC=a，周长=s。
2、如图，C，D是∠AOB到∠AOB两边的距离
3、如图，在△ABC 中，AB=AC,E 在CA
EF 与BC 的位置关系，并说明理由。
【巩固提升】
1、 等腰三角形的两边长分别是6cm 、3cm ，则该等腰三角形的周长是（ ）
A 、 9 cm
B 、12 cm
C 、 12 cm 或15 cm
D 、15 cm
2、 等腰三角形的一个角为30o，则它的底角为（ ）
A 、 30o
B 、75o
C 、30o或75o
D 、15o
3、如图，在，求∠B 、∠BAC 的度数。
【课堂小结】【达标检测】
1、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）。
A 、40° 40°
B 、80°20°
C 、50°50°
D 、 50° 50°或 80°20 °
2、如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°,BD 、CE 且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ A 、6 个 B 、7个 C 、8 个 D 、
3为 。 C
12.3.1 《等腰三角形》教学设计 教材：义务教育课程标准新人教版实验教科书 八年级上册第49~51页 授课教师：西宁市第九中学张生秀
12.3.1 等腰三角形教学设计 授课教师：西宁市第九中学李新汉 教材：义务教育课程标准新人教版实验教科书 八年级上册第49~51页 【教学目标】 新课程改革中要求教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，确定本节课的教学目标如下： （1）知识技能目标 1、理解并掌握等腰三角形的性质； 2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算。 （2）能力目标 1、通过等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识与技能解决 问题的能力，发展应用意识。 （3）情感目标 1、感受图形中的动态美、和谐美、对称美； 2、感受合作交流带来的成功感，树立自信心. 【教学重点】 等腰三角形的性质及应用。 【教学难点】 等腰三角形的性质2证明及应用。 【教具准备】 圆规、剪刀、直尺、矩形宽纸条、投影仪、刻度尺。 【教学方法与手段】 1、教学方法： （1）、根据本节课设置了两个猜想论证的特点，我采用了教具直观演示教学法，探索发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法。 （2）、最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己通过动手操作、观察交流，在活动中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。 2、教学手段： 借助多媒体辅助教学，通过有动感的画面，提高学生学习数学的兴趣，在直观的演示过程中主动愉快的获取新知识，提高教学效率。 3、学法指导： 根据思考并解决等腰三角形的问题，引导学生积极思考问题，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出性质，培养学生学习的主动性和积极性。 【教学过程】
“等腰三角形”第一课时教学设计 【教学目标】 1.知识与能力 会画等腰三角形、会通过剪纸得等腰三角形，理解等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的性质解决相应的数学问题． 2.过程与方法 在探索等腰三角形的性质的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观 培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯． 【教学重点】 探索等腰三角形的性质，能够利用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．【教学难点】 等腰三角形性质的证明和应用． 【教学方法】 创设情境－主体探究－合作交流－应用提高． 【教学工具】 长方形的纸片、三角板、圆规。 【教学过程】 一、创设情境，引出课题 1、同学们会画等腰三角形吗 （学生操着，教师查看。） 2、找学生代表展示自己的作品 （可能有：①先画两条相等的边，再画另一条边。②先画一边，再用圆规画出另外两条相等的边。） 3、教师在黑板上分别用两种方法画出等腰三角形。顺便复习：腰、底边、顶角、底角。 4、剪纸得等腰三角形（教师带学生一起操着）
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到了一个什么图形 二、引导观察，猜想性质 提问1：活动中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗 提问2：对称轴在哪里沿着对称轴对折有哪些重合的线段和角 提问3：从上表中你能猜想等腰三角形具有什么性质吗 （引导学生归纳出等腰三角形的性质） 性质1 等腰三角形的两个底角相等（ 简写成“等边对等角” ）； 性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 提问4：等边三角形什么性质（进一步引导学生归纳出等腰三角形的性质） 性质3：等边三角形的三个内角相等，每个内角等于600. 三、引导推理，论证性质 1、提问：据我们一直来的方法，先观察，猜想性质，然后用几何知识论证 性质，那么要证明一个命题的第一步是什么（引导学生分析性质（1）的题设和 结论，画出图形，写出已知和求证） 2、提问：证明两个角相等，我们一般用什么方法。（引导学生观察折纸 添加辅助线，构造两个全等三角形） D C B A
15.3 等腰三角形第2课时 教学目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理. 2.能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点 等腰三角形的判定定理的运用. 教学难点 正确区分等腰三角形的判定与性质. 能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系. 教学过程： 一、复习等腰三角形的性质 二、新授： I.提出问题，创设情境 出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B 点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度． 学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”． II.引入新课 1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB=AC吗？ 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？ 2．引导学生根据图形，写出已知、求证． 3.小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)． 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．
4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据． III.例题与练习 例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形． 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ， ∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习 1．已知：如图，AB=AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形． 证明：∵DE ∥AC ， ∴∠C=∠DEB ． ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ． ∴∠B=∠DEB ． 21 E D A B
12.3等腰三角形（第三课时） ◆随堂检测 1一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________. 2.如图 ，已知线段AB ，分别以A B 、为圆心，大于1 2AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、 Q ，连结CQ 与AB 相交于点D ，连结AC ，BC ．那么：（1）∠ ADC =________度； （2）当线段460AB ACB =∠=，°时，ACD ∠= ______度，周长= 3 如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，BD=8，则AC=__________. 4已知，如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于F ，交AB 于E ．求 证：FC BF 2 1= ． ◆课下作业 1.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________. 2.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD . 4.如图，已知P 、Q 是△ ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠ BAC 的度数． C B D A Q D C A B E
5.（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三 角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. ●体验中考 1．如图所示，ABC △是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使C E C D =， （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM EM =． 2.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和 正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°． 恒成立的有____________（把你认为正确的序号都填上） A C D A B C E D O P Q
第1课时等腰三角形的有关概念 知识要点基础练 知识点1全等三角形 1.(成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC 2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是SSS. 知识点2等腰三角形的性质 3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D) A.15 cm B.15 cm或16 cm C.17 cm D.16 cm或17 cm 4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为(D) A.30° B.75° C.75°或105° D.30°或75° 知识点3等腰三角形三线合一 5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C) A.5
B.6 C.8 D.10 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=4. 综合能力提升练 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B'的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是(D) A.是边BB'上的中线 B.是边BB'上的高 C.是∠BAB'的平分线 D.以上三种性质都有 8.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是(B) A.20° B.30° C.35° D.40° 9.若实数m,n满足等式|m-4|+-=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两边的边长,则△ABC的周长是 (B) A.22 B.20 C.16 D.20或16
第一章三角形的证明 1. 等腰三角形（二） 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。 二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下： 1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观要求 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 4．教学重、难点 重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论． 三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：随堂练习及时巩固；第六环节：探讨收获课时小结。 第一环节：提出问题，引入新课 活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。 第二环节：自主探究 活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。 活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
12.3.1 等腰三角形教学设计(第一课时) 【学习目标】 1.知识与能力 了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题。 2.过程与方法 通过对性质的探究活动和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观 通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。 【学习重点】
等腰三角形的性质的探索及应用。 【学习难点】 等腰三角形三线合一的性质的理解、证明及其应用。 【学习过程】 一、创设情境 1.出示人字型屋顶的图片（55页），提问：屋顶被设计成了哪种几何图形？ 2.小学我们已经初步认识了等腰三角形，这节课我们来具体研究等腰三角形的性质。 二、操作探究 1.动手操作 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？
学生课前动手操作，剪出图形，课上从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC。 学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角。 找出手中图形的腰、底边、顶角、底角（△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角。）
2.探究问题 （1）刚才剪出的等腰三角形ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 学生思考、回顾剪纸过程，动手把等腰三角形ABC沿折痕对折，容易回答出⊿ABC是轴对称图形，折痕AD所在的直线是它的对称轴 （2）把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： （3）从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？说一说你的猜想。
一、情境导入 我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？ 二、合作探究 探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，求证：DE ∥BC . 证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB .又因为CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°，所以∠ABE ＝∠ACD ，所以∠ABC －∠ABE ＝∠ACB －∠ACD ，所以∠EBC ＝∠DCB .在△BEC 与△CDB 中，???? ?∠BEC ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，所以△BEC ≌△CDB ，所以BD ＝CE ，所以AB －BD ＝AC － CE ，即AD ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED .又因为∠A 是△ADE 和△ABC 的顶角，所以∠ADE ＝∠ABC ， 所以DE ∥BC . 方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 探究点二：等边三角形的相关性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE .若∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数． 解析：因为△ABC 三个内角为60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC 的度数，因为BE ＝DE ，所以得到∠EBC ＝∠D ，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥ BC ，垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，由题意证△BDM ≌△EDM 即可．
等腰三角形教案（第二课时） 一、内容和内容解析 1、内容 等腰三角形的判定。 2、内容解析 本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形判定。 二、教学目标 1、知识与技能 （1）探索等腰三角形判定定理． （2）理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．（3）了解等腰三角形的尺规作图. 2、过程与方法 （1）探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； （2）通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。 3、情感态度价值观目标： （1）学生通过积极参与分析，体验到学习知识的乐趣，思考的魅
力，增强应用数学的意识。 （2）经历运用等腰三角形的性质和等腰三角形判定定理解决问题的过程，体会数学的应用价值，提高运用知识和解决问题的能力。 三、教学重点与难点 1、重点：理解和运用等腰三角形的判定定理； 2、难点：等腰三角形判定的利用作中线的证明方法。 四、教学方法和教学手段 1、教学方法：师生问答探究教学法数形结合法 2、教学手段：多媒体教学（PPT）、圆规直尺作图分析 五、教学过程 （一）、教学流程设计。 1、复习旧知，回顾思考: 通过对等腰三角形性质的复习提出问题，引发学生思考； 2、讨论分析，论证性质: 通过探索，归纳等腰三角形的判定并予以证明； 3、课堂练习，师演生学：在解题过程中加深对判定的理解，学会判定的运用及等腰三角形的画法； 4、梳理反思，布置作业：回顾反思，从知识、方法、情感态度等方面谈收获。
等腰三角形第二课时 教学目标 （一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理. （二）能力训练要求探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. （三）情感与价值观要求通过对等腰三角形判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解. 从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力. 教学重点等腰三角形的判定定理及其应用. 教学难点探索等腰三角形的判定定理. 教学过程 I.提出问题，创设情境 [师] 上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢? [ 生甲] 等腰三角形的两底角相等. [ 生乙] 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. [ 师] 同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?这就是我们这节课要研究的问题. n.导入新课
[ 师] 同学们看下面的问题并讨论： [ 生甲] 应该能同时赶到出事地点. 因为两艘救生船的速度相同，同时出发，? 在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB 所以两船能同时赶到出事地点 [生乙]我认为能同时赶到0点的位置很重要，也就是A如果不等于B，? 那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点. [ 师] 现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，? 那么它们所对的边有什么关系? [ 生丙] 我想它们所对的边应该相等. [ 师] 为什么它们所对的边相等呢?同学们思考一下，给出一个简单的证明. [ 生丁] 我是运用三角形全等来证明的. [例1]已知：在厶ABC中，C（如图）. 求证：AB=AC. 证明：作BAC的平分线AD. 在厶BAD和厶CAD中 △BAD^A CAD(AAS). AB=AC. [ 师] 太好了. 从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果 有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形. 这个结论也回答了我们一开始提出的问题. 也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形. 等腰三角形的判定定理：如果一
课时课题：第一章第一节等腰三角形第3课时 教学目标： 1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性. 2.初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题. 3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 教学重点与难点： 重点：等腰三角形的判定定理的证明. 难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题. 教法与学法指导： 本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式.教师在教学过程中起到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法.本节课关注了问题的变式与拓广，引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力. 课前准备：多媒体课件 教学过程： 第一环节回顾旧知复习导入 师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质。 生1：等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”。 生2：“三线合一”。 生3：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。
师：非常好！同学们概括的很全面。那么对于等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？ 生：题设：等腰三角形。结论：两底角相等。 师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 生：完全成立，可以证明出来。 设计意图：设计成问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。 第二环节 合作探究 展示交流 师：以前我们通过改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．比如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们来一起证明一下这个结论。请同学们画出图形，写出已知、求证。 学生活动：在练习本上画图，写出已知、求证，完成证明命题的前两步。找一个同学黑板板书。 生：已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ， 求证：AB=AC ， 师：同学们完成的很好，下面怎样来完成证明过程哪？（停顿一下，给学生思考时间。）同学们回想一下，我们是怎样证明“等边对等角的”? 生1：作辅助线构造两个全等的三角形，使AB 与AC 成为对应边就可以了。 生2：由前面定理的证明的方法，通过作BC 的中线，或作∠A 的平分线，或作BC 上的高，都可以把△ABC 分成两个全等的三角形。 C B A
12.3 等腰三角形 教学目标 1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论 2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点 等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点 正确区分等腰三角形的判定与性质 能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系 教学过程： 一、复习等腰三角形的性质 二、新授： I提出问题，创设情境 出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度． 学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”． II引入新课 1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？ 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？ 2．引导学生根据图形，写出已知、求证．
2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理” (板书定理名称)． 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”． 4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据． III例题与练习 1．如图2 其中△ABC是等腰三角形的是 [ ] 2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______ (根据什么？)． ②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)． ③若已知∠A＝36°，∠C＝72°， BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______． ④若已知 AD＝4cm，则BC______cm． 3．以问题形式引出推论l______． 4．以问题形式引出推论2______． 例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形． 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DEBC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？ (2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？ IV课堂小结
15.3 等腰三角形 (第4课)-教案 合肥48中滨湖校区章苏珍 一、教学背景 1．教材分析 《等腰三角形》是沪科版八年级上册第15章第3节的内容，是安排在学生学习了轴对称以及全等三角形的判定的基础上进行学习的.本节课则是放在等腰三角形及等边三角形的性质和判定都已学习的基础上，由等边三角形的三线合一推导出在直角三角形中，30°锐角所对的直角边是斜边的一半，学生在旧知的学习巩固中发现新知，符合知识的生成过程，培养了学生的探究创新能力，同时让学生更容易接受和掌握新知。既对前面知识进行深化和应用，又激发了学生探究知识的兴趣，让学生在今后的学习中主动探究，勇于创新。 2．学情分析 学生在前面知识的学习中，已经对一些图形的性质及相互关系进行了大量的探索，在探索的同时，也经历了推理的过程，初步具备了有条理地思考及表达能力和一定的推理能力，树立了初步的推理意识。本节课结合学生熟知的三角板和已学知识进行进一步的探究，是学生很容易进入和接受的知识内容。 二、教学目标 1．探究有一个锐角等于30°的直角三角形的性质，并能运用这一性质解决问题； 2．经历对有一个锐角等于30°的直角三角形的性质的探索过程，培养学生的自主探究能力； 3．学会从不同的角度思考问题，养成严谨的科学态度，同时培养学生勇于开拓创新的精神。 三、教学重难点 重点：有一个锐角等于30°的直角三角形的特殊性质； 难点：有一个锐角等于30°的直角三角形的性质的应用。 四、教学过程 （一）知识回顾 等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定
（二）温故知新 1．这是两位同学的三角板，用这两块全等的三角板能拼成一个等边三角形吗?同样的一个等边三角形能被分成两个全等的直角三角形吗?这个直角三角形的两个锐角的度数分别是多少?你还能有其他的发现吗? 2．已知：如图，在等边△ABD中，AC⊥BD。 （1）求出∠BAC的度数； （2）求证：BC=1 2 AB （3）观察△ABC，你能得出什么结论吗？ （三）探究新知 由上面的知识探究发现如下定理。 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 B C A ∵在Rt△ABC，∠A=30° ∴BC=1 2 AB
第3课时等腰三角形的判定 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用． 4．培养学生的逆向思维能力． 重点 掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 难点 理解和掌握反证法的证明方法． 一、复习导入 问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2：我们是如何证明上述定理的？ 问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？ 二、探究新知 1．等腰三角形的判定定理 师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流． 处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法． 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC ， ∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ， ∴△ABD≌△ACD (AAS)． ∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)． 证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD, ∴△ABD≌△ACD (AAS) . ∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)． (教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．)
师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的． 引导学生归纳等腰三角形的判定定理： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 简述为：等角对等边． 2．反证法 课件出示： 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论． 师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示) 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 师：你能理解他的推理过程吗？ 师出示“反证法”的定义： 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 三、举例分析 例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ， ∴△ABD≌△DCA. ∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)． ∴AE＝DE(等角对等边)． ∴△AED是等腰三角形． 例2 (课件出示教材第9页例3) 处理方法：学生独立完成，教师点评． 四、练习巩固 1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( ) A．钝角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形( ) A．6个B．5个C．4个D．3个 ,第2题图) ,第3题图)
7.3 二元一次方程组的应用（2）学案 【学习目标】 1.能够正确运用等腰三角形的性质及判定定理证明一些相等关系； 2.能够掌握等腰三角形中常用的辅助线； 3.进一步发展推理能力 【学习重难点】 重点:能证明等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角的平分线相等 难点:运用等腰三角形有关性质定理进行相关题目的证明 【学习过程】 一、复习回顾 .______,70,)1(=∠=∠=C B AC AB 若 ()._____,5,2==∠=∠AC AB C B 若 ().___,40___,, 3,,3=∠=∠==⊥=BAD BAC CD BD BC AD AC AB 则若则若已知 二、探就新知 探一探：在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.你能发现其中的一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗？ 证一证： 例 证明:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,BD,CE 是△ABC 角平分线. 练一练： 1. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC 中AB=AC, BD,CE 是△ABC 两腰上的中线. 求证:BD=CE. 2.证明:等腰三角形两腰上的高相等. 已知:如图,在△ABC 中AB=AC,BD,CE 是△ABC 两腰上的高 求证:BD=CE.
三、学以致用 例2 已知：如图，点D，E在ΔABC的边BC上，AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE. 四、随堂练习 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC,且∠1= ∠2。 求证：AB=AC 五、当堂达标 1.已知：如图，D是△ABC内一点，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，且DB=DC，求证：AB=AC. 2.已知：如图，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E ，求证：BE=CE.
10.3等腰三角形（3） 2．等腰三角形的识别 教学目的 1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。 2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。 重点、难点 重点：让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。 难点：一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。 教学过程 一、复习引入 等腰三角形具有哪些性质? 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。 二、新课 对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。 我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗? 为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作： 1．在半透明纸上画一个线段BC。 2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。 3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。 问题1：AB与AC是否重合? 问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述? 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。 也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。 例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗? 等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。 问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗? 问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形? 三、练习巩固 练习l、2、3。 四、小结 这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。 五、作业 1．习题第5题。
等腰三角形 一、学生知识状况分析 在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。 二、教学任务分析 本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。为此，确定本节课的教学目标： 1．知识目标 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30o角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。 2．能力目标 ①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． ②经历实际操作，探索含有30o角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； ③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。 3．情感与价值观要求
①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点 ①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 4．教学难点 ①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. ②引导学生全面、周到地思考问题. 三、教学过程分析 学具准备：两个带30度角的三角板。 本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。 第一环节：提问问题，引入新课 活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。 活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。 活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？ 下面是实际教学中的部分师生活动实况：
12.3等腰三角形第一课时教学设计 学习目的：1. 了解概念2. 掌握性质3. 简单运用 要 点：1. 等腰三角形的相关概念（定义、腰、底边、底角、顶角）2. 等腰三角形的性质：① 对称性 ②“等边对等角” ③“三线合一”3. 等腰三角形的应用4. 涉及到的思想及方法 ① 转化 ② 方程 ③ 分类讨论 ④ 几何证明辅助线的添设方法重难点 重点：等腰三角形的性质 难点：等腰三角的性质的证明及灵活运用学 情： 学生在小学已学习了等腰三角形的形状、两边相等、简单画法；初中学习了一般三角形的相关知识及计算、三角形全等的证明、轴对称的性质及作图、一元一次方程及二元一次方程组的解法的基础上来学习的。等腰三角形的性质揭示了同一个三角形的边、角关系，与等腰三角形的判定定理互为逆定理，它为我们提供了证明两条线段相等、两角相等的新方法，为以后的学习提供了新的证明和计算依据，是解题论证的必备知识，因此，本节内容承上启下、至关重要，是全章的重点之一。而初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。需要用强烈的荣誉感、成功感来激发学习热情，目前已初步形成合作交流、勇于探索、敢于置疑的良好学风，学生间相互评价、相互学习、相互竞争的学习氛围较浓。学 具 长方形白纸（一张）、自制等腰三角形 教 程 活动一 构置悬念，创设情景 【问题一】翻看本书目录，本章是有关轴对称的知识内容的，而把等腰三角形列入其中学习，为什么？ 【问题1】一般三角形具有哪些性质？（对称性，边、角、线的关系，面积，周长等） 【问题2】等腰三角形除具一般三角形的性质之外，还具有哪些特殊的性质？ （说明：问题1提示学生怎样读书，看其所处的位置，且要敢于质疑、挑战，明确平面图形探究方面；又为下文埋下伏笔。问题2、3激趣，给学生留下悬念） 活动二 目标导向，自然引入 本节课我们一起研究——等腰三角形。 板书课题 12.3等腰三角形 首先明确目标 1. 了解概念2. 掌握性质3. 简单运用（说明：目的是让学生明确本节的要求，以便学有方向，增强学习的动力，教师引入不脱 节） 活动三 动手操作，形成概念【问题1】把准备好的长方形纸片如图12.1.1 沿虚线对折，并撕去一角，打开，