不等式讲义
最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．
1.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或f(x)<－a；
(2)|f(x)| (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2.含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？ 提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|. 3.基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b 时，等号成立． a＋b 定理2：如果a、b 为正数，则≥ ab，当且仅当a＝b 时，等号成立． 2 a＋b＋c 定理3：如果a、b、c 为正数，则≥3 abc，当且仅当a＝b＝c 时， 3 等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n 个 a1＋a2＋…＋a n 正数，则a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．n 4.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d 为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当a d＝bc 时等号成立． n n n (2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则(∑i＝1 a2i )(∑i＝1 b2i )≥(∑i＝1 a i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0 时等号成立．( ) (2) 对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0 时等号成立．( ) (3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( ) (4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2 的解集为?.( ) (5)若实数x、y 适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( ) [答案] (1)×(2)√(3)√(4)√(5)√ 2．不等式|2x－1|－x<1 的解集是( ) A．{x|0 C．{x|0 [解析] 解法一：x＝1 时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A. 解法二：令f(x)＝Error!则f(x)<1 的解集为{x|0 [答案] A 3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2 的大小关系是 ( ) A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 [解析] |a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2. [答案] B 3 4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a ＋ b＋c＝1，则a＋b＋ A．1 B． C. D．2 c的最大值为( ) ＝3. [解析] ( a＋b＋c)2＝(1×a＋1× 1 b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c) 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 3 ∴( a＋b＋故a＋b＋ c)2≤3. c的最大值为 3.故应选C. [答案] C 5．若存在实数x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数a 的取值范围是．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1 的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a≤4. [答案] －2≤a≤4 考点一含绝对值的不等式的解法 解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的 根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个 区间． (3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集． (4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集． 解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号． (1)(2015·ft东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集是( ) A．(－∞，4) B．(－∞，1) 2 C．(1,4) D．(1,5) (2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax－2|<3 的解集为Error!，则a＝. [解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论． [解析] (1)当x<1 时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当1≤x≤5 时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选 A. (2)∵|ax－2|<3，∴－1 1 5 当a>0 时，－ a a 当a＝0 时，x∈R，与已知条件不符； 5 1 当a<0 时， a a [答案] (1)A (2)－3 用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3) 分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． 对点训练 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3 时，求不等式f(x)≥3 的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． [解] (1)当a＝－3 时，f(x)＝Error! 当x≤2 时，由f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2 －1－17 [ 当x≥3 时，由f(x)≥3 得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或x≥ 4}．(2)f (x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[－3,0]． 考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式 对于形如|x－a|＋|x－b|>c 或|x－a|＋|x－b| |x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1. (1)(2014·重庆卷)若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋1 ＋2 对任意实数x 恒成立，a 2 则实数a 的取值范围是． (2)不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为R，则实数k 的取值范围是． [解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题． [解析] (1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3， 1 －1＋17 ∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤. 2 4 4 即实数 a 的取值范围是 4 4 (2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2 在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>k 恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3 时，原不等式恒成立． 解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|， 17 [ 则 y ＝Error! 要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要 k <－3 即可．故 k <－3 满足题意． [答案] (1) －1－ 4 －1＋ 17 ， 4 (2)(－∞，－3)