函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数的奇偶性定义：
1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．
2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
3、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；
4、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f (||)()f x f x ?=；
)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ；
5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：
奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）
偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）
奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单
调递增。）
偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a ，b]上是增函数，且有最大值M ，则f(x)在[－b ，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性
如果函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于直线?______对称．
一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的对称轴方程是?______. 两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=对称. 2、函数的周期性
函数的周期性的定义：设函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在非零常数T ，使得对任意的x ∈D 都有?________，则函数
f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
(3)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈N ＋)也一定是f (x )的周期． 若函数f (x )对定义域中任意x 满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝－
1
f x
(a ≠0)，则函数f (x )是
周期函数，它的一个周期是?________.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点
)0,2
(a
对称; 六、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查()f x -是否与()f x -、)(x f 相等，判断步骤如下： 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系)()(x f x f ±=-怎样成立？
若)()(x f x f =-成立，则为偶函数；若)()(x f x f -=-成立，则为奇函数；
若)()(x f x f ±=-成立，则为既是奇函数也是偶函数；若)()(x f x f ±=-都不成立，则为非奇非偶函数。
2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其
对称区间上的性质．
4．若T 是f (x )的一个周期，则kT (k ≠0，k ∈Z )也是f (x )的周期．
5．(1)若函数f (x )存在两条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x )是周期函数；若函数f (x )具有奇偶性，又
有一条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x )是周期函数． 6．注意函数性质的逆向应用．
（2）、图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）
（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。 （4）、性质法
（5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
1)若f (x )与g (x )都是奇函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上， f (x )＋g (x )，f (x )－g (x )都是奇函数，f (x )·g (x )与
f x
g x
为偶函数． 2)若f (x )与g (x )都是偶函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上，
f (x )＋
g (x )，f (x )－g (x )，f (x )·g (x )，
f x
g x
都是偶函数．
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若f (x )与g (x )中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上， f (x )·g (x )，
f x
g x
都为奇函数．
3．若y ＝f (x )为奇函数，且y ＝f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝0. 性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、对于F （x ）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数 若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F （x ）是奇函数 若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F （x ）是偶函数 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
案例分析：
考点一、判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）2
()[1,2]f x x x =∈- （2）32
()1
x x f x x -=-
（3）f (x) = x + x 3
+x 5
； （4）f (x) = x 2
+1；
（5）f (x) = x + 1； （6）f (x) = x 2
，x ∈[–1，3]；
（7）f (x) = 0.
变式训练
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x 3
； (2) f (x) = – x 2
；
(3) h (x) = x 3
+1； (4) k (x) =21
1
x +，x[–1，2]；
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；
； (8) k (x) =21
1
x -.
2、下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y 轴相交；②函数f (x )为奇函数的充要条件是f (0)＝0；
③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R)． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
考点二、分段函数的奇偶性
解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义． 例1、判断下列函数的奇偶性：
①()(4)(4)f x lg x lg x =++-
②2
211(0)2
()11(0)2
x x g x x x ?+>??=??--
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．
解：（1）{
()f x x x 的定义域是|4+＞0且4x -＞}0={|4x -＜x ＜}4，它具有对称性．因为
()(4)(4)()f x lg x lg x f x -=-++=，所以()f x 是偶函数，不是奇函数．
（2）当x ＞0时，－x ＜0，于是
2211
()()1(1)()22
g x x x g x -=---=-+=-
当x ＜0时，－x ＞0，于是
222111
()()11(1)()222
g x x x x g x -=-+=+=---=-
综上可知，在R －
∪R +
上，()g x 是奇函数．
例2、判断函数f (x )＝????
?
x 3
－3x 2
＋x ＞x 3＋3x 2
－
x ＜
的奇偶性．
思路点拨：分x ＞0或x ＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x ＞0时，－x ＜0，
则f(－x)＝(－x)3
＋3(－x)2
－1＝－x 3
＋3x 2
－1＝－(x 3
－3x 2
＋1)＝－f(x)． ②当x ＜0时，－x ＞0，
则f(－x)＝(－x)3
－3(－x)2
＋1＝－x 3
－3x 2
＋1 ＝－(x 3
＋3x 2
－1)＝－f(x)．
由①②知，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．
1、如果函数f (x )＝?????
x 3
－3x 2
＋1
x ＞－x 3－3x 2
＋1
x ＜
，其奇偶性怎样？
解：当x ＞0时，f (x )＝x 3
－3x 2
＋1，－x ＜0，f (－x )＝－(－x )3
－3(－x )2
＋1＝x 3
－3x 2
＋1＝f (x )． 当x ＜0时，f (x )＝－x 3
－3x 2
＋1.－x ＞0，f (－x )＝(－x )3
－3(－x )2
＋1＝－x 3
－3x 2
＋1＝f (x )． 综上可得f (－x )＝f (x ) ∴f (x )为偶函数．
考点二、利用奇偶函数图像的对称性质 由偶函数的定义可得：
偶函数的图像关于y 轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 由奇函数的定义可得：
奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个 函数是奇函数
例1、设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是
例2．如图，给出了奇函数y = f (x )的局总图象，求f (– 4).
例3．如图，给出了偶函数y = f (x )的局部图象，试比较f (1)与 f
1．奇函数y ＝
f (x )(x
∈R)的图象必过点( )
A ．(a ，f (－a ))
B ．(－a ，f (a ))
C ．(－a ，－f (a ))
D ．(a ，f (1
a
))
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a 时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a ，－f(a))．
答案：C
2．若函数y ＝f(x)是偶函数，其图象与x 轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
解析：∵偶函数图象关于y 轴对称，∴f(x)与x 轴的两个交点关于y 轴对称，若一根为x 1，则另一根必为－x 1，故f(x)＝0的所有实根之和为0. 答案：C
3．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x 2
，则f(7)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 解析：∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故选A. 答案：A
考点三、根据奇偶性求函数解析式
例3、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x 2
＋3x －1，求f(x)的解析式． 分析：由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R 上的奇函数．
解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．
∵当x <0时，－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－2x 2
＋3x ＋1. 又∵奇函数f (x )在原点的定义，f (0)＝0.
∴f (x )＝????
?
2x 2
＋3x －1 x ，
x ＝，－2x 2＋3x ＋x
1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2
－x ，则f (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[解析] 本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．f (1)＝－f (－1)＝－[2(－1)2
－(－1)]＝－3， 故选A.
2、已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3
x )，求当x ∈(－∞，0)时f (x )的解析式．
解：设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)．由已知得f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3
x )． ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝x (1－3
x )． 即f (x )＝x (1－3x )，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式为f (x )＝x (1－3
x )． 考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围 例1、已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：
（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2
(1)(1)0,f a f a -+-< 求a 的取值范围.
22
(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则22111
11111a a a a -<--?
,∴01a <<
1、设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m) 分析：利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f ”，转化为关于m 的不等式(组)． 解∵f (x )在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递减，故f (x )在[－2,2]上为减函数，又f (1－ m ) ∴???? ? －2≤1－m ≤2， －2≤m ≤2，1－m >m . 即??? ?? －1≤m ≤3， －2≤m ≤2，m <12. 解得－1≤m <1 2 . 变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x ∈[3,5]上是( ) A ．增函数且最大值是4 B ．增函数且最小值是4 C ．减函数且最大值是4 D ．减函数且最小值是4
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