河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.3.1函数的单调性与导数学
案 新人教A 版选修1-1
【学习目标】
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【重点难点】 导数与函数的单调性关系 【学习内容】 一、课前准备
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.
复习2： 'C = ；()'n x = ；
(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数
342+-=x x y 的图像
()y f x =的导数.从函数
来观察其关系：
在区间（2，∞+）内，切
线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函
数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；
在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即
/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.
新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--； （3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+.
y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率
f ′(x )
(2，+∞) (－∞，2)
3
2
1
f x () = x 2-4?x ()+3
x
O
y B A
反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：
探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？
※ 典型例题
例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>；
当4x >，或1x <时，()0f x '<；
当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.
'图象的大致形状.
变式：函数()
f x
=的图象如图所示，试画出导函数()
y f x
例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）2
()24
=-+；
f x x x
.
（2）()x
=-
f x e x
练2. 求证：函数32
=-+在(0,2)内是减函数.
()267
f x x x
三、总结提升 ※ 学习小结
用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求函数f (x )的导数()f x '.
③令()0f x '=，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间
注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
※ 知识拓展
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向
下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函
数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在
(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.
课后作业 1. 若
32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）
A ．240b ac -<
B ．230b ac -<
C ．240b ac ->
D ．230b ac ->
2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．3(,)22ππ
B ．(,2)ππ
C ．35(,)22
ππ
D ．(2,3)ππ
3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()0f x = D ．不能确定
4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是
5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
6.求出下列函数的单调区间： （1）32()f x x x x =+-；
（2）()cos ,(0,)2
f x x x x π
=+∈.
（3）3()3f x x x =-；
7.已知汽车在笔直的公路上行驶：
（1）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点. （2）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？