2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）第一次月
考数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共计36分）
1．2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）
A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院
2．下列运算正确的是（）
A．2x?3y＝5xy B．（a2）3＝a5
C．（﹣ab）3＝﹣ab3D．（﹣2x）2＝4x2
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（）
A．110°B．70°C．90°D．30°
4．《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口
A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充
电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条中线的交点处
5．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是（）A．﹣5B．1C．5D．11
6．如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（）
A．16 cm B．20cm C．21 cm D．16或20cm
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）
A．8B．6C．4D．7
8．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）
A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来
9．比较255、344、433的大小（）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
10．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（）
A．5B．7.5C．9D．10
11．若（3x﹣m）（x﹣1）中不含x的一次项，则（）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝﹣3D．m＝3
12．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）
①（2a+b）（m+n）；
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn．
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
二.填空题[每小题3分，共计18分）
13．等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是．
14．计算：0.252019×42020＝．
15．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝．
16．如图．现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（3a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片的张数是．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，垂足为D．若∠F＝30°，BE＝4，则DE的长等于．
18．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是．
三、解答题（共计66分）
19．（6分）计算
（1）2x2yz?3xy3z2；
（2）（﹣2x3）3﹣3x3（x6﹣y2）．
20．（6分）先化简，再求值
3x?（2x2+x﹣1）+x2（﹣4x﹣3），其中x＝﹣2．
21．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C 都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
22．（8分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
23．（9分）甲乙两人共同计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣b），甲把第二个多项式中b前面的减号抄成了加号，得到的结果为6x2+16x+8；乙漏抄了第二个多项式中x的系数2，得到的结果为3x2﹣10x﹣8．（1）计算出a、b的值；
（2）求出这道整式乘法的正确结果．
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AC上，且∠DBC＝∠DCB （1）求证：AD＝CD；
（2）若∠A＝30°，DE⊥AC，交AB于E，求的值．
25．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把横纵坐标相等的点称为“梦之点”，如（﹣1，﹣1），（0，0），（，）…都是梦之点．
（1）若点P（32x+4，27x）是“梦之点”，请求出x的值；
（2）若n为正整数，点M（x4n，4）是“梦之点”，求（x3n）2﹣4（x2）5n的值；
（3）若点A（x，y）的坐标满足方程y＝3kx+s﹣1（k，s是常数），请问点A能否成为“梦之点”若能，请求出此时点A的坐标，若不能，请说明理由．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）第一次月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计36分）
1．2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）
A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列运算正确的是（）
A．2x?3y＝5xy B．（a2）3＝a5
C．（﹣ab）3＝﹣ab3D．（﹣2x）2＝4x2
【分析】用单项式乘以单项式法则计算A，用幂的乘方法则计算B，用积的乘方法则计算C、D．【解答】解：∵2x?3y＝6xy≠5xy，故选项A错误；
（a2）3＝a6≠a5，故选项B错误；
（﹣ab）3＝﹣a3b3≠﹣ab3，故选项C错误；
（﹣2x）2＝4x2，故选项D正确．
故选：D．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（）
A．110°B．70°C．90°D．30°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠B′＝110°，
故选：A．
4．《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口
A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充
电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条中线的交点处
【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
5．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是（）A．﹣5B．1C．5D．11
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点可得m﹣1＝﹣3，2﹣n＝5，再解即可．
【解答】解：由题意得：m﹣1＝﹣3，2﹣n＝5，
解得：m＝﹣2，n＝﹣3，
则m+n＝﹣2﹣3＝﹣5，
故选：A．
6．如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（）
A．16 cm B．20cm C．21 cm D．16或20cm
【分析】腰长为8cm和4cm两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可．
【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；
当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故选：B．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）
A．8B．6C．4D．7
【分析】根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）
A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来
【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离．
【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
9．比较255、344、433的大小（）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．【解答】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
10．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（）
A．5B．7.5C．9D．10
【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到AB?OE+AC?OF＝15，根据等腰三角形的性质即可求得OE+OF的值．
【解答】解：连接AO，如图，
∵AB＝AC＝6，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB?OE+AC?OF＝15，
∵AB＝AC，
∴AB（OE+OF）＝15，
∴OE+OF＝5．
故选：A．
11．若（3x﹣m）（x﹣1）中不含x的一次项，则（）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝﹣3D．m＝3
【分析】直接利用多项式乘以多项式计算进而得出一次项系数为零，即可得出答案．
【解答】解：（3x﹣m）（x﹣1）
＝3x2﹣3x﹣mx+m
＝3x2﹣（3+m）x+m，
∵（3x﹣m）（x﹣1）中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：C．
12．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）
①（2a+b）（m+n）；
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn．
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长×总宽，也可表示成各矩形的面积和，【解答】解：表示该长方形面积的多项式
①（2a+b）（m+n）正确；
②2a（m+n）+b（m+n）正确；
③m（2a+b）+n（2a+b）正确；
④2am+2an+bm+bn正确．
故选：D．
二.填空题[每小题3分，共计18分）
13．等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是80°和20°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：因为等腰三角形的一个底角的度数为80°，
所以另外两个内角的度数分别是80°，20°，
故答案为：80°，20°．
14．计算：0.252019×42020＝4．
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：0.252019×42020
＝0.252019×42019×4
＝（0.25×4）2019×4
＝12019×4
＝4．
故答案为：4．
15．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝2．
【分析】将ab＝a+b+1代入原式＝ab﹣a﹣b+1合并即可得．
【解答】解：当ab＝a+b+1时，
原式＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+1﹣a﹣b+1
＝2，
故答案为：2．
16．如图．现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（3a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片的张数是11．
【分析】按照长方形面积公式计算所拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可得解．
【解答】解：∵（a+3b）（3a+2b）＝3a2+11ab+6b2，
∵一张C类卡片的面积为ab，
∴需要C类卡片11张．
故答案为：11．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，垂足为D．若∠F＝30°，BE＝4，则DE的长等于2．
【分析】先利用三角形内角和证明∠A＝∠F＝30°，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，所以∠EBA＝∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求DE的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，FD⊥AB，
而∠AED＝∠CEF，
∴∠A＝∠F＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∴DE＝BE＝×4＝2．
故答案为2．
18．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，
若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是34°或53.5°或100°或134°．
【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣73°）＝53.5°．
故答案为：34°或53.5°或100°或134°．
三、解答题（共计66分）
19．（6分）计算
（1）2x2yz?3xy3z2；
（2）（﹣2x3）3﹣3x3（x6﹣y2）．
【分析】（1）直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）2x2yz?3xy3z2
＝6x3y4z3；
（2）（﹣2x3）3﹣3x3（x6﹣y2）
＝﹣8x9﹣3x9+3x3y2
＝﹣11x9+3x3y2．
20．（6分）先化简，再求值
3x?（2x2+x﹣1）+x2（﹣4x﹣3），其中x＝﹣2．
【分析】先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：3x?（2x2+x﹣1）+x2（﹣4x﹣3）
＝6x3+3x2﹣3x﹣4x3﹣3x2
＝2x3﹣3x，
当x＝﹣2时，原式＝2×（﹣2）3﹣3×（﹣2）＝﹣16+6＝﹣10．
21．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C 都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．（8分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD＝∠DCB+∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
23．（9分）甲乙两人共同计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣b），甲把第二个多项式中b前面的减号抄成了加号，得到的结果为6x2+16x+8；乙漏抄了第二个多项式中x的系数2，得到的结果为3x2﹣10x﹣8．（1）计算出a、b的值；
（2）求出这道整式乘法的正确结果．
【分析】（1）先按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值即可；
（2）把a，b的值代入原式，再根据多项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）甲的算式：（3x+a）（2x+b）＝6x2+（3b+2a）x+ab＝6x2+16x+8，
对应的系数相等，3b+2a＝16，ab＝8，
乙的算式：（3x+a）（x﹣b）＝3x2+（﹣3b+a）x﹣ab＝3x2﹣10x﹣8，
对应的系数相等，﹣3b+a＝﹣10，ab＝8，
∴，
解得：；
（2）根据（1）可得正确的式子：（3x+2）（2x﹣4）＝6x2﹣8x﹣8．
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AC上，且∠DBC＝∠DCB （1）求证：AD＝CD；
（2）若∠A＝30°，DE⊥AC，交AB于E，求的值．
【分析】（1）直接利用直角三角形的性质结合互余两角的关系得出∠A＝∠ABD，进而得出答案；
（2）直接利用直角三角形的性质表示出AB，AE，BC，AC的长进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠DBC＝∠DCB，∠C+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠A＝∠ABD，BD＝DC，
∴AD＝BD，
则AD＝CD；
（2）解：∵∠A＝30°，DE⊥AC，
∴设DE＝x，则AE＝2x，
故AD＝x，则DC＝x，
可得BC＝x，
则AB＝3x，
故BE＝x，
则＝＝．
25．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把横纵坐标相等的点称为“梦之点”，如（﹣1，﹣1），（0，0），（，）…都是梦之点．
（1）若点P（32x+4，27x）是“梦之点”，请求出x的值；
（2）若n为正整数，点M（x4n，4）是“梦之点”，求（x3n）2﹣4（x2）5n的值；
（3）若点A（x，y）的坐标满足方程y＝3kx+s﹣1（k，s是常数），请问点A能否成为“梦之点”若能，请求出此时点A的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义列出方程32x+4＝27x，求出x的值即可；
（2）根据“梦之点”的定义得到（x2n）2＝4，再把要求的式子变形为（x2n）3﹣4（x2n）5，最后整体代入求值即可；
（3）假设函数y＝3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x＝3kx+s﹣2，整理得（3k﹣1）x＝1﹣s，再分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意得：32x+4＝27x，
∴32x+4＝33x，
∴2x+4＝3x，
解得，x＝4；
（2）∵点M（x4n，4）是“梦之点”，
∴x4n＝4，即（x2n）2＝4，
∵n是正整数，
∴2n是偶数，
∴x2n＝2，
∴（x3n）2﹣4（x2）5n
＝（x2n）3﹣4（x2n）5，
＝23﹣4×25
＝8﹣128
＝﹣120；
（3）假设函数y＝3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），
则有y＝3kx+s﹣1，
整理，得（3k﹣1）x＝1﹣s，
当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x＝；
∴A（，）；
当3k﹣1＝0，1﹣s＝0，即k＝，s＝1时，x有无穷多解；
当3k﹣1＝0，1﹣s≠0，即k＝，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为A（，）；当k＝，s＝1时，“梦之点”有无数个；当k＝，s≠1时，不存在“梦之点”．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范
围；若不变，求出它的长度．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后得出△AOB是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出∠ABD＝22.5°，根据等腰三角形三线合一的性质OM⊥AB，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OND＝67.5°，∠ODB＝67.5°，利用等角对等边得到ON＝OD；
（2）延长AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC＝2AE，再证△OAC≌△OBD得到BD＝AE，从而得到BD＝2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足为H，利用角角边定理可以证明△OBP与△HPF全等，根据全等三角形对应边相等可得FH＝OP、PH＝OB＝4，再证AH＝FH，∠F AH＝∠OAG＝45°，OG＝OA＝4t．
【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，
∴a＝b＝4t，
当x＝0时，y＝4t，
当y＝0时，﹣x+4t＝0，
解得x＝4t，
∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA＝45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，
∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠OND＝∠ODB，
∴ON＝OD（等角对等边）；
（2）答：BD＝2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△ABE≌△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴AC＝2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE＝90°，
又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC＝∠OBD，
在△OAC与△OBD中，，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD＝AC，
∴BD＝2AE；
（3）OG的长不变，且OG＝4．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH＝90°，
∵∠BPF＝90°，