圆锥曲线与方程测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,－2), 则k 的值为( )
A ． 1
B ． －1
C ．
D ．
2.双曲线
822
2=-y x 的实轴长是( ) A ．2
B ． 22
C ． 4
D ．42
3.抛物线28y x =的焦点到准线的距离为( )
A ． 1
B ． 2
C ． 4
D ． 8
4．与椭圆x 2
4
＋y 2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A ．x 24－y 2＝1
B ．x 22－y 2＝1
C ．x 23－y 23＝1
D ．x 2－y
2
2
＝1
5．已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是
??
?
??4,27A ，则PM PA +的最小值是( ) A ．2
7
B ． 4
C ． 2
9
D ． 5
6．已知双曲线22
19x y m
-
=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．3
4y x =±
B ．4
3
y x =±
C
．y x = D
．y x = 7．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．如果直线AF
的斜率为||PF =( ) A
．B ．8
C
．D ．16
8．双曲线14
2
22=-y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，P 是双曲线上一点，1PF 的中点在
y 轴上，线段2PF 的长为3
4
，则该双曲线的离心率为( )
A ．2
3
B ．
2
13 C ．
3
13 D ．
3
13 9．如果椭圆
19
362
2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x
D ．082=-+y x
10．P 是椭圆14
52
2=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于( )
A ．
3
316 B ．)32(4- C ．)32(16+ D ． 16
11．（理科）点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A ． (x －2)2＋(y ＋1)2＝4
B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
C ． (x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 11．（文科）设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a
a PF PF ，
则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段
12.过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两
渐近线于M 、N 两点，则PN PM ?的值为( ) A ． 2
a
B ．2
b
C ． ab 2
D ． 2
2b a +
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9＝1的焦点相同，那么双
曲线的焦点坐标为____________；渐近线方程为____________．
14.（理科）直线y=x+3与曲线1492=-x
x y 的公共点的个数是 .
14．（文科）直线2y x =-与抛物线28y x =相交于B A ,两点，则AB =____________ 15（理科）点(3,0)M -，点(3,0)N ，动点P 满足10PM PN =-，则点P 的轨迹方程是____________
15.（文科）点M 到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，则点M 的轨迹方程为
16．方程
22
141
x y k k +=--表示的曲线为C ，给出下列四个命题： (1）曲线C 不可能是圆；
(2）若14k <<，则曲线C 为椭圆；
(3）若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；
(4）若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则5
1.2
k <<
其中正确的命题是____________ (填上正确命题的序号) ．
二、填空题（每题5分，共20分）
13、 14、
15、 16、 三解答题（17题10分18、19、20、21、22题12分共70分）
17．已知双曲线的渐近线方程为x y 2
1
±=，两顶点之间的距离为4，求此双曲线的
标准方程。
18.中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且
13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
19.已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A （4，m ）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.
20.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
（1） 求椭圆C 的标准方程
（2） 若直线L ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以
AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线L 过定点，并求出该定点的坐标。
21．已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上椭圆的离心率3
3
=e ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切. ⑴求该椭圆的标准方程；
⑵设椭圆的左，右焦点分别是1F 和2F ，直线21F l 过且与x 轴垂直，动直线y l 与2轴垂直，12l l 交于点P ，求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.
22．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点(1,2)M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程.
（2）已知动直线过点(,
)P 30，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l 被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理
由．
ACCBCB BDDBDA
13【答案】(±4,0) 3x ±y ＝0 14【理答案】3 文答案16
15【理答案】22
12516x y += 文答案y 2 =16x
16【答案】（3）（4）
三、解答题
17. 2222
y 114416
x x y -=-=或 18解：设椭圆的方程为1212
212=+b y a x ，双曲线得方程为122
2
222=-b y a x ，半焦距c ＝13
由已知得：a 1－a 2＝4
7:3:2
1=a c a c ，解得：a 1＝7，a 2＝3 所以：b 12
＝36，b 22
＝4，所以两条曲线的方程分别为：
1364922=+y x ，14
92
2=-y x 19.1.不妨设抛物线方程为y2=2px
则A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而准线方程为x=-p/2 则4+p/2=6 p=4 y2=8x
2.联立直线与抛物线的方程，可得 (kx-2)2=8x k2x2+4-4kx=8x k2x2-(4k+8)x+4=0
若设A(x1,y1)B(x2,y2) 则x1,x2为方程的解，
则x1+x2=-[-(4k+8)]/k2=(4k+8)/k2
而AB 中点的横坐标应为(x1+x2)/2=(2k+4)/k2=2
则k2-k-2=0, (k+1)(k-2)=0 k=-1,k=2
而当k=-1时，原方程的△=0，不符题意，舍去 所以k=2 20.1）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，则3+1=2a ，a=2，3-1=2c ，c=1，b2=4-1=3，椭圆C 的标准方程：x2/4+y2/3=1；
（2）y=kx+m 与椭圆C 相交于A.B 两点，解得：x1+x2=-8km/(3+4k2)，x1x2=(4m2-12)/(3+4k2)，(x1-x2)=48(4k2-m2+3)，y1+y2=6m/(3+4k2)，y1y2=(3m2-12k2)/(3+4k2)，(y1-y2)=48k2(4k2-m2+3)/(3+4k2)，AB2=48[4(k2)2+7k2-m2-m2k2+3]/(3+4k2)，AB 中点到椭圆C 的右顶点距离为AB 的一半，则[4km/(3+4k2)+2]2+9m2/(3+4k2)2=12[4(k2)2+7k2-m2-m2k2+3]/(3+4k2)，4k2-16km+7m2=0，(2k-7m)(2k-m)=0，m=2k/7或m=2k ，直线L ：y=k(x+2/7)或y=k(x+2)，定点为(-2/7,0)或(-2,0)，∵点(-2,0)为椭圆C 的左顶点，∴点(-2,0)舍去，直线L 过定点(-2/7,0)。
21【答案】⑴依题意设所求椭圆方程为33
)0(12222又它的离心率为>>=+b a b
y a x
得：
2222323
3
b a a b a =?=- ① 又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切. 即原点到直线2+=x y 的距离为b ，所以,2=
b 代入①中得3=a
所以，所求椭圆方程为12
32
2=+y x . ⑵由2,3==
b a 得1F 、2F 点的坐标分别为)0,1(-，)0,1(，
设M 点的坐标为),(y x ，由题意：P 点坐标为),1(y ，因为线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点为M ，
所以x y x y x MP MF 4|1|)1(||||2
221-=?-=++?=
故线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程是x y 42-=， 该轨迹是以1
F 为焦点的抛物线.
22.解：（1）设抛物线方程为220y px p ，将1,2M 代入方程得2p ，所以抛物线方程为2
4y x ，则抛物线的焦点坐标为.
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F F ()()121,0,1,0,所以. 对于椭圆，a
MF MF ()（）2
22
2
12
2112112222,所以a 12，
a ()22
1
2322，所以2
2
2
222b a c ，所以椭圆方程为
22
1322
222
.
对于双曲线，12
222
2a MF MF ，所以21a
，2
322a
，
所以2
2
2
222b c
a
2
2
1322222
.
（2）设AP 的中点为C ，l 的方程为x a ，以AP 为直径的圆交l 于,D E 两点，DE 的中点为.H 令11,,A x y 则1
1
3,
22
x y C
，所以DC
AP x y ()22111
1
32
2
，x CH
a
x a ()11
3
1
2322，
所以DH
DC
CH
x y x a
a x a a [()()2
2
2
2
22211
1
1
1
13]23
23.44
当2a 时，2
46
2DH 为定值，所以222DE
DH
为定值，此时l 的方程
为2x .