最新初中数学函数基础知识专项训练答案
一、选择题
1．如图，2020D 次哈尔滨至幸福镇的动车需要匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间x 之间的关系用图象描述大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】 火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道
【详解】
火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；
火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；
符合上述分析过程的为：A
故选：A
【点睛】
本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化
2．如图，矩形ABCD 中，6cm AB =，3cm BC =，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C →→B →的方向在边AD ，DC ，CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ ?的面积()2
cm y 随着时间x （秒）变化的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分三种情况讨论△APQ面积的变化，进而得出△APQ的面积y（cm2）随着时间x （秒）变化的函数图象大致情况．
【详解】
解：根据题意可知：AP＝x，Q点运动路程为2x，
①当点Q在AD上运动时，
y＝1
2
AP?AQ＝
1
2
x?2x＝x2，图象为开口向上的二次函数；
②当点Q在DC上运动时，
y＝1
2
AP?DA＝
1
2
x×3＝
3
2
x，是一次函数；
③当点Q在BC上运动时，
y＝1
2
AP?BQ＝
1
2
x?（12?2x）＝?x2＋6x，为开口向下的二次函数，
结合图象可知A选项函数关系图正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是分三种情况讨论三角形APQ的面积变化．
3．如图，边长为 2 的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒 1 个单位长度的速度沿
A D C
--的路径向点 C 运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿
B C D A
---的路径向点 A运动，当点 Q 到达终点时，点P停止运动，设PQC
?的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】 分三种情况求出解析式，即可求解．
【详解】
当0≤t≤1时，即当点Q 在BC 上运动，点P 在AD 上运动时，
()2222212S t t =??-=-， ∴该图象y 随x 的增大而减小，
当1＜t≤2时，即当点Q 在CD 上运动时，点P 在AD 上运动时，
()()21222322
S t t t t =
--=-+-， ∴该图象开口向下， 当2＜t≤3，即当点Q 在AD 上运动时，点P 在DC 上运动时，
()()21424682
S t t t t =--=-+- ∴该图象开口向下，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键．
4．已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．
【详解】
解：由题意得，1
2
×2πR×l＝8π，
则R＝8
l
π
，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．
5．下列说法：①函数y=x的取值范围是6
x>；②对角线相等的四边形是矩形；③正六边形的中心角为60?；④对角线互相平分且相等的四边形是菱形；⑤计
算2|
-的结果为7：⑥相等的圆心角所对的弧相等；
理数．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正多边形和圆，无理数的定义，二次根式的加减运算，菱形的判定，矩形的判定，函数自变量的取值范围解答即可．
【详解】
解：①函数y=x的取值范围是6
x≥；故错误；
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；故错误；
③正六边形的中心角为60°；故正确；
④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；故错误；
⑤计算的结果为1；故错误；
⑥同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误；
==是无理数；故正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，无理数的定义，二次根式的加减运算，菱形的判定，矩形的判定，函数自变量的取值范围，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点P从A点出发，沿A→B→C→D运动，速度为每秒3个单位；点Q同时从A点出发，沿A→D运动，速度为每秒1个单位，则APQ
?的面积S关于时间t的函数图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据动点的运动过程分三种情况进行讨论解答即可．
【详解】
解：根据题意可知：
3AP t =，AQ t =，
当03t <<时，
2133sin sin 22
S t t A t A =??=? 0sin 1A <<
∴此函数图象是开口向上的抛物线；
当36t <<时，
133sin sin 22
S t A t A =??=? ∴此时函数图象是过一、三象限的一次函数；
当69t <<时，
2139(93)sin ()sin 222
S t t A t t A =??-=-+． ∴此时函数图象是开口向下的抛物线．
所以符号题意的图象大致为D ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点运动过程表示出函数解析式．
7．如图，在Rt ABC ?中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为( )
A ．1323
B ．43
C ．45511
D ．1453
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象和图形的对应关系即可求出CD 的长，从而求出AD 和AC ，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP ⊥AB 时AP 的长，然后证出△APC ∽△ACB ，列出比例式即可求出AB ，最后用勾股定理即可求出BC ．
【详解】
解：∵动点P 从点D 出发，线段CP 的长度为y ，运动时间为x 的，根据图象可知，当x =0时，y=2
∴CD=2 ∵点D 为AC 边中点， ∴AD=CD=2，CA=2CD=4
由图象可知，当运动时间x=()211s +时，y 最小，即CP 最小
根据垂线段最短
∴此时CP ⊥AB ，如下图所示，此时点P 运动的路程DA ＋AP=()()
1211211?+=+
所以此时AP=(21111AD -=∵∠A=∠A ，∠APC=∠ACB=90°
∴△APC ∽△ACB
∴
AP AC AC AB = 114AB
= 解得：AB=1111
在Rt △ABC 中，22455AB AC -=
故选C ．
【点睛】
此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
8．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12
MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
设a ＝
12
BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12
BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝
12（BM·DM?CN·EN ）＝
()()221tan tan 22
2x a x a tan x a ααα????-?=??--， ∵2
a tan α?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
9．如图，矩形ABCD 中，P 为CD 中点，点Q 为AB 上的动点（不与,A B 重合）．过Q 作QM PA ⊥于M ，QN PB ⊥于N ．设AQ 的长度为x ，QM 与QN 的长度和为y ．则能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形面积得出S △PAB =
12PE?AB ；S △PAB =S △PQB +S △PAQ =12QN?PB+12PA?MQ ，进而得出y=PE AB PB
?，即可得出答案． 【详解】
解：连接PQ ，作PE ⊥AB 垂足为E ，
∵过Q 作QM ⊥PA 于M ，QN ⊥PB 于N ，
∴S △PAB =12PE?AB ； S △PAB =S △PQB +S △PAQ =
12QN?PB+12
PA?MQ ， ∵矩形ABCD 中，P 为CD 中点，
∴PA=PB ，
∵QM 与QN 的长度和为y ， ∴S △PAB =S △PQB +S △PAQ =
12QN?PB+12PA?MQ=12PB （QM+QN ）=12PB?y ， ∴S △PAB =
12PE?AB=12PB?y ， ∴y=PE AB PB
?， ∵PE=AD ，
∴PE ，AB ，PB 都为定值，
∴y 的值为定值，符合要求的图形为D ，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，三角形的面积，动点函数的图象，根据已知得出y=
PE AB PB
?，再利用PE=AD ，PB ，AB ，PB 都为定值是解题关键．
10．如图1，在扇形OAB 中，60O ∠=?，点P 从点O 出发，沿O A B →→以1/cm s 的速度匀速运动到点B ，图2是点P 运动过程中，OBP V 的面积()2y cm
随时间()x s 变
化的图象，则a ，b 的值分别为（ ） 图1图2
A ．4,43π
B ．4,443π+
C ．222π
3
D．22,
22 22
3
π
+
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数图像中的（a，43）可知OB=OA=a，S△AOB=43，由此可求得a的值，再利用弧长公式进而求得b的值即可．
【详解】
解：由图像可知，当点P到达点A时，OB=OA=a，S△AOB=43，
过点A作AD⊥OB交OB于点D，
则∠AOD=90°，
∴在Rt△AOD中，sin∠AOD=AD AO
，
∵∠AOB=60°，
∴sin60°=
3 AD AD
AO a
=，
∴3
，
∵S△AOB=3
∴13
43 2
a
?=
∴a=4（舍负），
∴弧AB的长为：6044
1803
ππ
??
=，
∴
4
4
3
b
π
=+．
故选：B．
【点睛】
本题是动点函数图象问题，考查了扇形弧长、解直角三角形等相关知识，解答时注意数形结合思想的应用．
11．小亮的奶奶出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，奶奶看了10分钟
报纸后，用了15分钟返回家，下面图中的哪一幅能表示奶奶离家的时间与距离之间的关系（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图像的横坐标确定时间，纵坐标确定离家距离，然后进行判断即可解答．
【详解】
解： 0分钟到报亭离家的距离随时间的增加而增加，看报10分钟，离家的距离不变；15分钟回家离家的距离岁时间的增加而减少，故D符合题意．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了函数图像的应用，根据图像确定出时间与离家距离的关系是解答本题的关键．
12．如图甲，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°动点P从点C出发沿线段CD向点D运动.到达点D即停止，若E、F分别是AP、BP的中点，设CP=x,△PEF的面积为y，且y与x 之间的函数关系的图象如图乙所示，则线段AB长为（）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理，得到S△PEF=1
4
S△ABP，由图像可以看出当x为最大值CD=4时，
S△PEF=2，可求出AD=4，当x为0时，S△PEF=3，可求出BC=6；过点A作AG⊥BC于点G，根据勾股定理即可得解.
【详解】
解：∵E、F分别为AP、BP的中点，
∴EF∥AB，EF=1
2 AB，
∴S△PEF=1
4
S△ABP，
根据图像可以看出x的最大值为4，∴CD=4，
∵当P在D点时，△PEF的面积为2，∴S△ABP=2×4=8，即S△ABD=8，
∴AD=2
4
ABD
S
V=
28
4
?
=4，
当点P在C点时，S△PEF=3，
∴S△ABP=3×4=12，即S△ABC=12，
∴BC=2
4
ABC
S
V=
212
4
?
=6，
过点A作AG⊥BC于点G，
∴∠AGC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=90°，
∴∠ADC=180°-90°=90°，
∴四边形AGCD是矩形，
∴CG=AD=4，AG=CD=4，
∴BG=BC-CG=6-4=2，
∴22
42
+5
故选C.
【点睛】
本题主要考查了动点的函数问题，三角形中位线定理，勾股定理.
13．如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意，设小正方形运动速度为v，
由于v分为三个阶段，
①小正方形向右未完成穿入大正方形，
=?-?=-≤．
S vt vt vt
2214(1)
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，
S=?-?=，
22113
③小正方形穿出大正方形，
=?-?-=+≤，
S vt vt vt
22(11)3(1)
∴符合变化趋势的是A和C，但C中面积减小太多不符合实际情况，
∴只有A中的符合实际情况．
故选A．
14．“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横t表示离家的时间，下面与上述诗意大致相吻合的图象是()
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先正确理解小诗的含义，然后再根据时间与离家的距离关系找出函数图象．
【详解】
解：同辞家门赴车站，父亲和孩子的函数图象在一开始的时候应该一样，
别时叮咛语千万，时间在加长，路程不变，
学子满载信心去，学子离家越来越远，
老父怀抱希望还，父亲回家离家越来越近，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．
15．2019年，中国少年岑小林在第六届上海国际交互绳大赛上，破“30秒内单脚单摇轮换跳次数最多”吉尼斯世界纪录！实践证明1分钟跳绳的最佳状态是前20秒频率匀速增加，最后10秒冲刺，中间频率保持不变，则跳绳频率（次/秒）与时间（秒）之间的关系可以用下列哪幅图来近似地刻画（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据前20秒频率匀速增加，最后10秒冲刺，中间频率保持不变判断图象即可．
【详解】
:秒频率保持不变，排除选项A和D，再根据最后10秒冲解：根据题意可知，中间2050
刺，频率是增加的，排除选项B，因此，选项C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数的实际应用，理解题意是解此题的关键．
16．如图所示,边长分别为1和2的两个正方形靠在一起,其中一边在同一水平线上.大正方形保持不动,小正方形沿该水平线自左向右匀速运动,设运动时间为t,大正方形内去掉小正方形重叠部分后的面积为s,那么s与t的大致图象应为( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【解析】
根据题意，设小正方形运动的速度为v，分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt，
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，
③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，
分析选项可得，D符合，
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．
m s和17．甲、乙两人在一条长为600m的笔直道路上均匀地跑步，速度分别为4/
m s，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一6/
人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是（）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，在经过25秒，乙追上甲，则相距是0千米，相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是100秒，则相遇以后两人之间的最大距离是150米，据此即可作出判断．
【详解】
甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，经过50÷（6?4）=25秒，乙追上甲，则相距是0千米，故A、 B错误；
相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是600÷6=100秒，故B.、D错误；
相遇以后两人之间的最大距离是：2×(100?25)=150米．
故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的图象，理解函数图象上点的坐标的实际意义，掌握行程问题中的基本数量关系：速度×时间=距离，是解题的关键．
18．如图，点P是?ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△BAP的面积的变化趋势．
【详解】
通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△BAP的面积大于0；当点P在AD边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大；当P在DC 边上运动时，由同底等高的三角形面积不变，△BAP面积保持不变；当点P带CB边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小；
故选D．
【点睛】
本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律．
19．某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的（）
A．a=20
B．b=4
C．若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产45件．
D．人乙一天生产40（件），则他获得薪金140元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象可以求得a、b的值，从而可以判断选项A和B是否正确，根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意和图象可得，
a＝60÷3＝20，故选项A正确，
b＝（140?60）÷（40?20）＝80÷20＝4，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：20＋18060
203050
4
-
=+=（件），故选
项C错误；
由图象可知，工人乙一天生产40（件），他获得的薪金为：140元，故选项D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．函数
1
x-
中，自变量x的取值范围是（）
A．x≠1B．x＞0 C．x≥1D．x＞1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
由题意得，x-1≥0且x-1≠0，
解得x＞1．
故选D．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．