5.3.2 函数的极值与导数
基础练
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值
B ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值
C ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值
D ．当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =
2．函数3()3f x x x =-的极小值是（ ）
A ．4
B ．2
C ．-4
D ．-2
3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极小值，则导函数()f x '的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．函数1y x =-的极小值点是（ ）
A ．0
B ．1
C ．()0,1
D ．不存在的
5．函数()ln f x x x =-的极大值点为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．(1,-1)
D ．(-1,1)
6．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则函数()y f x =的极小值点的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
7．若函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，则a =________.
8．函数3()12f x x x =-的极小值点为___________．
9．已知函数f (x )=x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x =－1时有极值0，则m ＋n =________.
三、解答题
10．函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-．
（1）求实数a 的值；
（2）求()f x 的单调区间和极值．
参考答案
1．【答案】D
【解析】不妨设函数3()f x x =则可排除ABC
由导数求极值的方法知当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =
故选D
2．【答案】D
【解析】因为3
()3f x x x =-，
所以()()2()33311f x x x x '=-=+- 令()0f x '=，解得1x =或1x =-，可得1x >或1x <-时()0f x '>，当11x -<<时()0f x '<， 所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增，()1,1-上单调递减；
故函数在1x =处取得极小值，()()12f x f ==-极小值
故选D
3．【答案】B
【解析】因为函数()f x 在1x =处取得极小值，
所以只需导函数f x 在1x =的左侧小于零，在右侧大于零即可，由图可知只有选项B 符合题意
故选B 4．【答案】B
【解析】由极小值的定义知，在1附近点的函数值都比1处的函数值大，
故1是函数1y x =-的极小值点.
故选B
5．【答案】A
【解析】函数定义域为(0,)+∞，11()1x f x x x
-='-=
， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 递增，
当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，
∴1x =时，()f x 取得极大值，极大值点为1．
故选A ．
6．【答案】B
【解析】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，
知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，
所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增，
在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减，
所以x a =时，函数取得极大值，x b =时，函数取得极小值．
则函数()y f x =的极小值点的个数为1．
故选B
7．【答案】3
【解析】由题意，函数32()4f x x ax =-+-，可得2
()32f x x ax '=-+，
因为2x =是函数()f x 的极值点，可得()20f '=，
所以34220a -?+?=，解得3a =.
故填3.
8．【答案】2
【解析】因为3()12f x x x =-，所以()()2'()312322f x x x x =-=+-，令'()0f x =，得122,2x x ==-， 所以当(),2x ∈-∞-时，()'0f
x >，()f x 在(),2-∞-上单调递增； 当()2,2x ∈-时，()'0f x <，()f x 在()2,2-上单调递减；
当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()2,+∞上单调递增；
所以()f x 在2x =时取得极小值，
故填2.
9．【答案】11
【解析】()()3222336f x x mx nx m f x x mx n =+++∴'=++，
依题意可得()()210130 10360f m n m f m n ?-?-+-+????'--+???
＝＝＝＝，联立可得29m n =??=?或1?3m n =??=?； 当1,3m n ==时函数()32
331f x x x x =+++， ()()2
2363310f x x x x '=++=+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 无极值，所以1,3m n ==舍去；所以2,9m n ==，所以+11m n =.
故填11.
10．【答案】（1）3；（2）增区间为()2,e +∞，减区间为()20,e ．极小值21e -，无极大值．
【解析】（1）函数()ln 1f x x x ax =-+的导数为()ln 1f x x a '=+-，
在点(1,(1))A f 处的切线斜率为12k a =-=，
(1)2f '∴=-，即12a -=-，3a ∴=；
（2）由（1）得，()ln 2,(0,)f x x x '=-∈+∞，
令()0f x '>，得2x e >，令()0f x '<，得20x e <<，
即()f x 的增区间为()2,e +∞，减区间为()
20,e ． 在2x e =处取得极小值21e -，无极大值．