长春宽城区2018-2019学年高中数学三角函数单元测试题
数学（理） 2018.7
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是()
A．B．C．D．π
2．三角函数f(x)=sin+cos 2x的振幅和最小正周期分别是()
A．B．,πC．D．,π
3．函数f(x)=sin2+cos2-1是()
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
4．函数f(x)=-cos2的单调增区间是()
A．,k∈Z
B．,k∈Z
C．,k∈Z
D．,k∈Z
5．函数f(x)=1-2sin2的最小正周期为()
A．2πB．πC．D．4π
6．函数f(x)=-|sin 2x|在上零点的个数为()
A．2B．4C．5D．6
7．若函数y=cos(ω>0)的图象上相邻的两个最小值点都在抛物线y=-x2上,则ω的值等于()
A．2B．C．1D．
8．已知=-5,则tan α的值为()
A．-2B．2C．D．-
9．已知ω>0,|φ|<,若x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的最值点,将y=f(x)
的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()
A．y=g(x)是奇函数
B．y=g(x)的图象关于点对称
C．y=g(x)的图象关于直线x=对称
D．y=g(x)的周期为π
10．如图,函数f(x)=Asin(2x+φ)的图象过点(0,),则f(x)的图象()
A．关于直线x=对称
B．关于点对称
C．关于直线x=-对称
D．关于点对称
11．将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数() A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
12．已知tan x=sin,则sin x=()
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数f(x)=2sin x+b cos x在x=处取得最大值,则f(x)在上的最小值等于_____.
14．若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,且函数y=f(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____.
15．关于下列命题:
①若α,β是第一象限角,且α>β,则sin α>sin β;
②函数y=sin是偶函数;
③函数y=sin的一个对称中心是;
④函数y=5sin上是增函数,写出所有正确命题的序号:_____.
16．设f(θ)=,则f=_____.
三、解答题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．已知函数f(x)=4sin cos x+.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.
18．已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.
19．已知向量a=(cos ωx,1),b=,函数f(x)=a·b,且f(x)图象的一条对称轴为x=.
(1)求f的值;
(2)若f,f,且α,β∈,求cos(α-β)的值.
20．已知函数f(x)=A sin
(A>0,ω>0)的最小值为-2,其图象相邻两个对称中心之间的距离为.
(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)若f,求f的值.
21．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)≤φ<的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f,求sin的值.
22．已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.求y=g(x)在区间[0,10π]上零点的个数.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数图像确定单调区间，即得结果.【详解】
∵f(x)=cos x-sin x
=cos,
(方法1)作图如图所示.
易知a max=π.
(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知
x∈,∴a max=π.
选C
【点睛】
本题考查正弦函数单调性，考查基本分析求解能力.
2．D
【解析】
【分析】
先根据两角差正弦公式展开，再根据配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求振幅与周期.
【详解】
f(x)=sin+cos 2x=sin cos 2x-cos sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=-sin,振幅为
,周期为T==π.
选D
【点睛】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
3．A
【解析】
【分析】
先根据二倍角余弦公式以及诱导公式化简，再根据正弦函数性质求周期.
【详解】
f(x)=sin2+cos2-1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期T==π,且函数是奇函数.
选A
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、正弦函数性质，考查基本求解能力.
4．C
【解析】
【分析】
先根据二倍角余弦公式以及诱导公式化简，再根据正弦函数性质求单调增区间.
【详解】
∵f(x)==-cos=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,
∴增区间为,k∈Z.
选C
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、正弦函数性质，考查基本求解能力.
5．A
【解析】
【分析】
先根据二倍角余弦公式化简,再根据余弦函数性质求周期.
【详解】
f(x)=1-2sin2=cos x,于是最小正周期为2π.
选A
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、余弦函数性质，考查基本求解能力.
6．C
【解析】
【分析】
在同一坐标系内画出两个函数y1=与y2=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数．
【详解】
在同一直角坐标系中分别画出函数y1=与y2=|sin 2x|的图象，
结合图象可知两个函数的图象在上有5个交点，
故原函数有5个零点．
故选C．
【点睛】
判断函数零点的个数时，可转化为判断函数和函数的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用．
7．B
【解析】
【分析】
根据函数图象上相邻的两个最小点在抛物线上可得两个最小值点的坐标，代入抛物线的解析式可得ω=．
【详解】
由题意得，函数的周期为．
∵抛物线关于y轴对称，
∴函数y=cos(ω>0)的图象上相邻的两个最小值点只能是和，
∴ω2=2，
又，
∴ω=．
故选B．
【点睛】
本题实质上考查函数的周期性和对称性，考查理解运用能力，解题的关键是认真分析题意，善于将问题进行转化．
8．D
【解析】
【分析】
将条件中的分子、分母同时除以cos α，化成的形式后再求出即可．
【详解】
由题意可知cos α≠0，
∴，
解得．
故选B．
【点睛】
对于含有sin α，cos α的齐次式的求值问题，往往采用分子、分母同时除以后化为关于tan α的式子，然后再根据整体代换的方法求解．
9．B
【解析】
【分析】
由相邻的两个最值点可求得函数的周期，进而得到ω=1，于是得到．再根据
最值求得，根据平移求得，结合各选项可得结论．
【详解】
由已知得，
所以ω=1，
∴f(x)=cos(x+φ)．
又当时函数取得最值，
∴，
∴，
又|φ|<，
∴，
∴，
∴g(x)=cos x．
∴函数的图象关于点对称．
故选B．
【点睛】
对函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)来讲，如果求函数f(x)图象的的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求出x的值即可；如果求函数f(x)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)，求出x的值即可．
10．B
【解析】
【分析】
根据图象求得A=2，再根据图象过点求得，于是可得函数的解析式，进而根据解析式可判断函数的对称性．
【详解】
由图象可知A=2，
又因为图象过点(0,)，
所以2sin φ=，
又，
所以φ=，
因此f(x)=2sin．
而，故f(x)的图象关于点对称．
故选B．
【点睛】
解题时要注意函数的对称性与函数最值间的关系，对于函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)来说，在图象的对称轴处取得最大值或最小值，且函数图象的对称中心的横坐标为函数的零点，利用这些结论可较容易的解题，提高解题的速度．
11．A
【解析】
【分析】
先求出平移后的函数的解析式，然后再进行判断可得结果．
【详解】
将函数y=sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
．
对于A，当时，，函数单调递增，满足条件，所以A正确．
对于B，当时，，函数单调递增，不满足条件，所以B不正确．
对于C，当时，，函数单调递减，不满足条件，所以C不正确．
对于D，当时，，函数不单调，不满足条件，所以D不正确．
故选A．
【点睛】
求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝A sin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．
12．B
【解析】
【分析】
由条件得，整理可得关于的二次方程，解方程可得所求．
【详解】
由已知得，
即，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查同角三角函数关系式的运用及三角函数值的有界性，解题时转化为二次方程求解是解题的关键．
13．2
【解析】
【分析】
根据三角函数有界性得3+，解得b，再根据配角公式化成基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最值.
【详解】
依题意有f=2sin +b cos ,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sin x+2cos
x=4sin,由于x∈,所以x+,故最小值等于4sin =2.
【点睛】
本题考查正弦函数最值，考查基本求解能力.
14．
【解析】
【分析】
先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件，解得φ的值.
【详解】
因为f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以y=f sin,则有φ++kπ,因此
φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=.
【点睛】
本题考查正弦函数对称性，考查基本分析求解能力.
15．②③
【解析】
【分析】
结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
【详解】
对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为
，
当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；
对于④，函数，当时，，所以函数
在区间上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【点睛】
本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．
16．
【解析】
【分析】
先化简给出的函数的解析式，然后根据诱导公式求出函数值即可．
【详解】
∵f(θ)===
===
==cos θ-1，
∴f cos cos cos．
【点睛】
本题考查三角函数式的化简，解题时要熟练运用因式分解的相关公式和相关的三角函数关系式，其中正确应用公式是解题的关键．
17．(1)T=π,递增区间为(k∈Z).(2) m∈[,2),-.
【解析】
【分析】
(1)先根据两角差正弦公式展开，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间; (2)根据正弦函数图像确定有两解的m条件，并根据对称性确定x1+x2值，即得tan(x1+x2)的值.
【详解】
(1)f(x)=4sin cos x+
=4cos x+=2sin x cos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x
=2sin.
∴函数f(x)的周期为T=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,
得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).
∴f(x)的递增区间为(k∈Z).
(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,
且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.
【点睛】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
18．(1)x∈R x≠,k∈Z,(2)α=.
【解析】
【分析】
(1)根据正切函数性质求定义域与最小正周期; (2)代入，根据两角和正切公式以及二倍角余弦
公式化简等式为sin 2α=.再根据角范围求结果.
【详解】
(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,
所以f(x)的定义域为x∈R x≠,k∈Z.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos 2α,得tan=2cos 2α,
即=2(cos2α-sin2α),
整理得=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
因为α∈,所以sin α+cos α≠0.
因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.
由α∈,得2α∈,所以2α=,即α=.
【点睛】
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
19．(1) -1 (2) .
【解析】
【分析】
(1)先根据向量数量积坐标表示得函数解析式，再二倍角公式以及配角公式化简得基本三角
函数，根据正弦函数对称轴得，最后代入求f的值; (2) 先代入化简得sin α=,sin β=.根据同角三角函数关系得cos α,cos β，最后利用两角差余弦公式求结果.
【详解】
(1)∵向量a=(cos ωx,1),b=
=((sin ωx+cos ωx),-1),
∴函数f(x)=a·b=2cos ωx(sin ωx+cos ωx)-1=2sin ωx cos ωx+2cos2ωx-1=sin 2ωx+cos
2ωx=sin.
∵f(x)图象的一条对称轴为x=,
∴2ω×+kπ(k∈Z).
又≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin,
∴f sin=-cos =-1.
(2)∵f,f,
∴sin α=,sin β=.
∵α,β∈,∴cos α=,cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
【点睛】
向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.
20．(1)T=,对称轴方程为x=(k∈Z).(2)-.
【解析】
【分析】
(1)根据最值得A，根据对称中心得周期，解得ω，再根据正弦函数性质求对称轴，(2)先化
简条件得sin θ=-, f=-2cos 2θ，再根据二倍角余弦公式求结果.
【详解】
(1)因为函数f(x)的最小值为-2,所以A=2.
由图象相邻两个对称中心之间的距离为,得最小正周期T=,所以,即ω=2,于是f(x)=2sin.由4x-=kπ+,得x=(k∈Z),故其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).