单级倒立摆的模糊控制
摘要：随着被控对象的日趋复杂,控制性能的要求不断提高,传统控制理论对解决复杂系统无能为力。该文将人工智能中的模糊控制引入倒立单摆控制系统,以提高控制要求,改善控制精度。通过仿真实验表明这种控制思路是可行的,效果良好。倒立单摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技
和机器人学等诸多领域。本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究倒立摆的控制系统仿真问题。仿真的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好的稳定性。主要研究工作如下：使用了牛顿力学和Lagrange方程对倒立摆进行数学建模，推导出倒立摆系统传递函数和状态空间方程。介绍了如何利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。进行倒立单摆系统的控制器设计与仿真。通过MATLAB的Simulink 实现倒立摆模糊控制系统的仿真。
关键词：倒立单摆模糊控制Simulink仿真MATLAB
1、背景分析
1.1 倒立摆系统的意义
倒立摆系统是一个复杂的非线性系统。形式上倒立摆系统可以分为直线型、环型和平面型,按照摆杆的数量可以分为一级、二级、三级倒立摆系统。
倒立摆控制是一个经典的控制平衡问题。作为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，一直是控制理论与应用的热点问题，不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途，因此倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。他们不断从研究倒立摆控制方法中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。由于它的行为与火箭以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
1.2 倒立单摆系统的控制方法
自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：
（1）倒立摆系统的稳定控制的研究
（2）倒立摆系统的自起摆控制研究
这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类：
(1)线性理论控制方法
将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。这类方法对一、二级的倒立摆(线性化后误差较小、模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三、四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显了。
（2）预测控制和变结构控制方法
由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性系统的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调实模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上，仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。
(3)智能控制方法
在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。利用神经网络的自适应能力、并行处理和高度鲁棒性，采用神经网络方法设计的控制系统将具有更快的速度、更强的
适应能力和更强的鲁棒性。
2、倒立单摆的建模
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一
系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用
数学手段建立起系统的输入和输出之间的关系。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2—1所示。
各参数符号含义如下：
M 小车质量 单位：Kg ；
m 摆杆质量 单位：kg
b 小车摩擦系数 单位：N/m/sec
1摆杆转动轴心到杆质心的长度 单位：m
I 摆杆惯量 单位：kg
F 加在小车上的力 单位：N
x 小车位置单位：kg
ψ摆杆与垂直向上方向的央角（ψ=θ-Π） 单位：rad
θ摆杆与垂直向下方向的央角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 单位：rad
图2—2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和助小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。矢量定义如图2-2所示，图示方向为矢量正方向。
倒立摆的数学模型分析：
根据图2-2所示的倒立摆系统简图，设计和分析其模糊控制器。下面给出了该系统的微分方程（Kailaith ，1980；Craig ，1986）
()()()t u m dt d ml +=+-τθθsin lg 222 （1）
这里m 是摆杆的质量，l 是摆长，θ是从垂直方向上的顺时针偏转角，τ=u （t ）为作用于杆的逆时针扭矩【u （t ）是控制作用】,t 是时间，g 是重力加速度常数。
假设dt d x x θθ==21,为状态变量，有等式（1）给出的非线性系统的的状态空间表达式为 21x dt x d =
()()()
()t u ml x l g dt x d 2121sin -= 众所周知，当偏转角θ很小时，有sin （θ）=θ，这里所测得θ用弧度表示。由此式可将状态空间表达式线性化，并得
21x dt x d =
()()()
22121t u ml x g x d -= 若所测1x 用度表示，2x 用每秒度表示，当取l=g 和m=()2180g π时，线性离散时间状态空间表达式可用矩阵查分方程表式
()()()k x k x k x 2111+=+
()()()()k u k x k x k x -+=+2121
在此问题中，设上述两变量的论域为 221≤≤-x 和s rad x s rad 552≤≤-,则设计步骤为
第1步。首先，对1x 在其论域上建立三个隶属度函数，即如图 1所示的正值（P ）、零（Z ）和负值（N ）。然后，对2x 在其论域上亦建立3个隶属度函数，即图2所示的正值（P ）、零（Z ）和负值（N ）。
x的分区
图2-3 输入
1
图2-4输入2x的分区
第2步。为划分控制空间（输出），对()k u在其论域上建立5个隶属度函数，()24
24≤
-k
u，如图3（注意，图上划分为7段，但此问题中只用了5段）。
≤
图2-5输出u的分区
第3步。用表1所示的3*3规则表的格式建立9条规则（即使我们可能不需
要这么多）。本系统中为使倒立摆系统稳定，将用到θ和dt d θ。表中的输出即为控制作用u(t)。
表1模糊控制规则表
第4步。我们可用表1中规则导出该控制问题的模型。并用图解法来推导模糊运算。假设初始条件为
() 101=x 和 ()s rad x 402-=
然后，我们在上例中取离散步长30≤≤k ，并用矩阵差分方程式导出模型的四部循环式。模型的每步循环式都会引出两个输入变量的隶属度函数，规则表产生控制作用u(k)的隶属度函数。我们将用重心法对控制作用的隶属度函数进行精确化，用递归差分方程解得新的1x 和2x 值为开始，并作为下一步递归差分方程式的输入条件。
分别为1x 和2x 的初始条件。从模糊规则表（表1）有
If(1x =P)and(2x =Z),then(u=P)
If(1x =P)and(2x =N),then(u=Z)
If(1x =Z)and(2x =Z),then(u=Z)
If(1x =Z)and(2x =N),then(u=N)
表示了控制变量u 的截尾模糊结果的并。利用重心法精确化计算后的控制值为u=-2。
在已知u=-2控制下，系统的状态变为
()()()3001211-=+=x x x
()()()()10001212-=-+=u x x x
依次类推，可以计算出下一步的控制输出u(1)。模糊控制器能够满足倒立摆的运动控制。
3、模糊控制器的建立
3.1 在MTALAB 中的fuzzy 控制器的建立与封装
在命令窗口中输入：fuzzy 。在模糊控制编辑器中可进行控制器的相关设置，然后回车可得出如下图所示：
图3-1 模糊控制器设置界面
然后对其各个变量进行设置其步骤如下图3-2：
对输入变量X1进行设置如下图3-3所示：
变量X2的设置如下图3-4所示：
输出量的设置图3-5所示：
模糊规则控制表的设置如下图3-6所示：
设置出来的效果图如图3-7(a),(b),(c)所示：
（a）
（b）
（c)
3.2 在MATLAB中的搭建仿真图：
图3-8 单级倒立摆在MTALAB中simulink仿真的框架图主要的状态空间模块的参数设置如下：
4、仿真结果以及分析
通过（fuzzy)模糊控制模块，可以和包含模糊控制器的fis文件联系起来，还可以随时改变输入输出论域，隶属度函数以及模糊规则。仿真结果如下图：图4-1和图4-2。
图4-1
分析如下：从图4-1仿真图中可以看出，仿真虽然有个波动，但最终趋于稳定，这对模糊控制器来说是不合适的，说明仿真参数可能没有设置合适，但是本人水平有限，没有找到原因，但大致猜想，曲线应该最波动的。
图4-2
分析如下：从图4-2仿真图中可以看出，仿真最终是不稳定的，这对模糊控制器来说是不合适的，说明仿真参数可能没有设置合适，但是本人水平有限，没有找到原因，但大致猜想，曲线应该最按正弦波脉动的。
5、小结
从仿真理论来看，采用Mamdani模糊控制，可以获得良好的控制精度和响应速度。但本次仿真并不成功，没有得到需要的仿真结果，这是因为参数设置不正确，没有设置出有效的使倒立摆振动的参数值，在以后的学习生活中，需要更加具有恒心和毅力。调试是个很繁琐的过程，但只要坚持到底，最终还是可以调出正确的可靠的参数，实现仿真的意义。
本次仿真主要完成了两个任务:一是在Matlab7.0的Simulink环境下建立了倒立摆系统的仿真模块，并采用位置模糊控制器控制的方法建立了一级倒立摆系统；二是对一级倒立摆系统进行了模糊控制的仿真试验，主要分析了模糊控制器的各个参数对仿真的影响，从而筛选出一组比较适合的参数，通过仿真实现对一级倒立摆的稳定控制。
6、参考文献
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