《数列的函数特性》教学设计
【知识与能力目标】
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n项和与的关系；
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
【过程与方法目标】
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n项和与的关系；
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
【情感态度价值观目标】
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
【教学重点】
根据数列的递推公式写出数列的前几项
【教学难点】
理解递推公式与通项公式的关系
：一、复习引入：上节学习知识点如下
⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出
现.
◆教学目标
◆教学重难点
◆教学过程
⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中a n是数列的第n项
⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来
表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
5．数列的图像都是一群孤立的点.
6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.
7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.
8．无穷数列：项数无限的数列.
二、讲解新课：
2．若{an}的通项公式an＝3n－1，则an＋1＝3n＋2，an＋1－an＝3，an与an＋1的大小关系为an＋1＞an.
3．对于函数f(x)，若对于定义域内任意x1＜x2，总有f(x1)＜f(x2)成立，则称f(x)是单调递增函数．
4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构成一个数列．
1．数列的表示方法
(1)数列可用图像来表示，在直角坐标系中，以序号为横标，相应的项为纵标描点画图，其图像是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
(2)从函数的观点看，数列的表示方法有列表法、图像法、解析法．
2．数列的函数特性
一个数列{a n}，如果从第起，每一项都它前面的一项，即a n＋1＞a n，那么这个数列叫做。
如果从起，每一项都它前面的一项，即a n＋1＜a n，那么这个数列叫做如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做。
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
答案： C
2．数列{an}的通项公式an ＝3n2－28n ，则数列{an}各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项
答案： B
3．已知an ＋1－an －3＝0，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”) 答案： 递增
答案： an ＋1＞an 题型一：数列的图像表示
把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，…用列表法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它的增减性．
先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
解析：a n ＋1－a n ＝
c (n ＋1)b (n ＋1)＋1－cn bn ＋1＝c
(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)
＞0，
∴a n ＋1＞a n .
由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以是递增数列． [题后感悟]
(1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法，这同函数的表示方法相一致． (2)利用图像可直观判断数列的增减性．
1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性． 解析： 列表
由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…}上是递增的．
题型二：却对模糊数列的单调性
(1)求数列{an}的通项公式．
已知函数f (x )＝x －1
x
.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0.
(2)判断数列{an}的增减性．
先将条件看作：关于an 的方程，通过解方程求出an ，再用作差法或作商法判断增减性．
[解题过程](1)∵f (x )＝x －1
x ，f (a n )＝－2n .
∴a n －1
a n ＝－2n .即a n 2＋2na n －1＝0，
解得a n ＝－n ±n 2＋1，∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n .(2)方法一(作差法)：
∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)－(n 2＋1－n )＝(n ＋1)2＋1－n 2＋1－1
＝[(n ＋1)2＋1－n 2＋1][(n ＋1)2＋1＋n 2＋1](n ＋1)2＋1＋n 2＋1
－1
＝
(n ＋1)＋n
(n ＋1)2＋1＋n 2＋1
－1显然(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n .∴
(n ＋1)＋n
(n ＋1)2＋1＋n 2＋1
＜1∴a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二：(作商法)∵a n ＞0，
∴a n ＋1
a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n
＝
[(n ＋1)2＋1－(n ＋1)](n 2＋1＋n )[(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)](n 2＋1－n )(n 2＋1＋n )[(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)]＝n 2＋1＋n
(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)
＜1
∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．
[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法： (1)作差比较法
①若an ＋1－an ＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an ＋1－an ＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an ＋1－an ＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法
由n ∈N ＋，得an ＋1－an ＞0，即an ＋1＞an ， ∴数列{an}是递增数列． 题型三：求数列的最大（小）项
a n ＋1a n ＞1a n ＋1
a n
＜1a n ＋1
a n
＝1a n ＞0递增数列递减数列常数列a n ＜0
递减数列递增数列常数列
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
n 2＋1
.求证此数列为递增数列．
证明：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－
n 2
n 2＋1＝
(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)
＝2n ＋1
[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)
.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．
[规范作答] 方法一：因为an ＋1－an ＝(n ＋2)? ????1011n ＋1－(n ＋1)? ????1011n ＝? ????1011n ·
9－n 11，
当n ＜9时，an ＋1－an ＞0，即an ＋1＞an ； 当n ＝9时，an ＋1－an ＝0，即an ＋1＝an ； 当n ＞9时，an ＋1－an ＜0，即an ＋1＜an ； 所以a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项， 即a9＝a10＝1010
119
.
方法三：令an an －1≥1(n ≥2)，即n ＋1? ??
??1011n
n ? ??
??1011n －1
≥1，
整理，得n ＋1n ≥11
10，解得2≤n ≤10，
当n ＝10时取等号．
令an an ＋1≥1，即n ＋1? ????1011n n ＋2? ??
??1011n ＋1
≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011.解得n ≥9，
当n ＝9时取等号．
所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减． 所以数列{an}有最大项，最大项为第9、10项， 即a9＝a10＝1010
119
.
[题后感悟] (1)对于正项数列的单调性判断除利用作差a n ＋1－a n 来研究外，还可以利用a n ＋1
a n
与1的大小来判断．
(2)若求一数列中最大项
a n ，只需满足???
??
a n ≥a n ＋1
a n ≥a n －1
求出n
值，求最小项
a n ，只需满足???
??
a n ≤a n ＋1
a n ≤a n －1
求出n 值.
3．已知数列{an}的通项公式为an ＝n2－5n ＋4，则(1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值．
解析： (1)an ＝n2－5n ＋4＝? ????n －522－9
4
，
当n ＝2,3时，an ＜0. ∴数列中有两项是负数．
(2)∵an ＝n2－5n ＋4＝? ????n －522－9
4
，
可知对称轴方程为n ＝5
2
＝2.5.
又因n ∈N ＋，故n ＝2或3时，an 有最小值，其最小值为－2. 题型四：利用递推关系求通项公式
写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a1＝0，an ＋1＝an ＋2n －1(n ∈N ＋)；
(2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)．
根据递推公式写出前4项，再由这4项寻找规律，归纳出通项公式．
[解题过程] (1)由递推关系，得a1＝0＝02，
a2＝a1＋(2×1－1)＝1＝12，
a3＝a2＋(2×2－1)＝4＝22，
a4＝a3＋(2×3－1)＝9＝32.
观察前4项，可归纳出an＝(n－1)2.
(2)由递推关系式，得
a1＝3＝31，a2＝3a1＝9＝32，
a3＝3a2＝27＝33，a4＝3a3＝81＝34.
观察前4项，可归纳出an＝3n.
[题后感悟] 递推公式是确定数列的另一种形式，由递推公式求通项公式的基本方法是先求出数列的前几项再进行归纳．
变式训练
4．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出数列的前6项并归纳出数列的通项公式．
解析：由a1＝2，a2＝3及an＋2＝3an＋1－2an
得：a3＝3a2－2a1＝5＝22＋1
a4＝3a3－2a2＝9＝23＋1
a5＝3a4－2a3＝17＝24＋1
a6＝3a5－2a4＝33＝25＋1.
由此可归纳an＝2n－1＋1.
◆教学反思
由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑
到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了