题型7:二次函数与二次方程与二次不等式的关系
1.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
（3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判
定：
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标
为k ，则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只
有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
?-=+2121,()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??
?
??-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
例1,画出y=2x 2+3x -2与 y ＇= -2x +1的图象并解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解：
②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：
③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解：
④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：
⑤试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解： ⑥试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：
例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精
确到1米）．
解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 109
2
＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25
，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-?a ，得12518＝－a ．
因此所求函数解析式为)25
25(109125182≤≤-x x y ＋＝－．
（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245
±＝x ．
所以点D 的坐标为（24
5－，
209），点E 的坐标为（245
，209）． 所以2
2
5)245(245＝－＝
-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为
385227501.0110002
2
5≈??＝（米）．
题型8:二次函数对称轴的应用
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
??
? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b
x 2-
=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对
称轴是直线h x =.
（3）运用抛物线的对称性：设A(x 1
，y a
），B (x 2
，y b
）是抛物线上的两点，且y a
=y b
，则抛物线
的对称轴为直线12
2
x x x +=
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
例1(2010年浙江省金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程:022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x -1 ；
（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax 2
+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为
A （3，0），则由图象可知，不等式
ax 2+bx+c
＜0的解集
是 .
y
(第15题图)
O
x
1 3
x
y
O x ＝1
A
C B
答案：－1＜x ＜3 ;
题型9:二次函数与平面几何的构建与再创造
15. 如图，在△ABC 中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小．
3.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、
B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．
【关键词】二次函数
【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，则有：
???????
=--==+-123
0a
b c c b a 解得：?????-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2
－2x －3. ⑵令x 2
－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）. 设直线BC 的解析式为y ＝kx 2
＋b, 则??
?-==+303b b k ，解得?
??-==3
1b k ，所以直线解析式是y ＝x －3. 当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）.
⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直， 又直线BC 的解析式为y ＝x －3，
所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.
方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2
＝12
＋（－3－y ）2
,BC 2
＝32
＋32
；PB 2
＝22
＋y 2
由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB 为斜边，则有PC 2
＋BC 2
＝PB 2
. 所以：[12
＋（－3－y ）2
]＋[32
＋32
]＝22
＋y 2
；解得y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.
题型10: 反比例函数的应用
① 物理学中，电压一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，R
U I =
②当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3
）是体积v 的反比例函数，解析式可以表达为v
k =
ρ ③收音机刻度盘的波长l 与频率f 关系式: f
k l =
④压力F 一定时，压强P 与受力面积S 成反比例关系，即S
F P =
⑤当汽车输出功率P 一定时，汽车行驶速度v 与汽车所受的负载即阻力F 成反比例关系，F
P
v =⑥反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。
注：实际问题中一定要注意自变量x 的取值范围。
补充:题型 1:二次函数定义
例1. 若y ＝(2－m )2
3m x -是二次函数，且开口向上，则m 的值为__________．
例6.已知2
26(2)k k y k x +-=+是二次函数，且当x>0时，y 随x 的增大而增大。（1）求k 的值 （2）求顶点坐标和对称轴。 （3）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小。 练习：淘金：拓展P6 第7题 补充： 已知2
4
(2)m
m y m x +-=+是二次函数.(1)求满足条件的m 值。（2）m 为
何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点。这时当 x 为何值时， y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
补充:题型 2:二次函数中常数的意义
2:
补充:题型 6:次函数中有关最大值问题 1、自变量x 取全体实数时二次函数的最值 例1：求二次函数322
+-=x x y 的最小值。 2、自变量x 在一定范围内取值时求二次函数的最值
例2：分别在写列范围内求函数322
--=x x y 的最大值或最小值。 （1）0 3、最大值的应用 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k （x+0）+b ， 二次函数的解析式写成y=a （x+h ）2 +k 的形式， 则用下面后的口诀： “左右平移在括号,上下平移在末稍, 左加右减须牢记,上加下减错不了”。 二次函数图像与性质口诀: 二次方程零换y ，二次函数便出现。全体实数定义域， 图像叫做抛物线。 二次函数抛物线，图象对称是关键；两边单调正相反, 增减特性可看图。 线轴交点叫顶点，顶点坐标最重要, 横标即为对称轴, 纵标函数最值现。 开口、大小由a 断,c 与y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；△的符号最简便，x 轴上数交点.一般、顶点、交点式，不同表达能互换。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。 反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数双曲线，待定只需一个点，k 为正,图在一、三(象)限；k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别增;线越长越近轴,永远与轴不沾边.图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线. 26．(2008年漳州市)(满分14分)如图，二次函数y =ax 2 －5ax ＋4a (a ≠0)的图象与x 轴交于Ａ、B 两点(A 在 B 的左侧)，与y 轴交于点 C ，点C 关于抛物线对称轴的对称点为 D ，连结BD ． (1)求A 、Ｂ两点的坐标； (2)若AD ⊥BC ，垂足为P ，求二次函数的表达式； (3)在(2)的条件下，若直线x =m 把△ABD 的面积分为1∶2的两部分，求m 的值． 26．解：(1) ∵抛物线与x轴交于A、B两点∴ax2－5ax＋4a＝0……………………………………………1分 ∵a≠0 ∴x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4……………3分 ∴A(1,0)，B(4，0)…………………………………4分 (2)(方法一)连结AC、CD，由对称性知：四边形ABDC 是等腰梯形 ∴∠CAB＝∠DBA 在△ABC与△BAD中，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA ∴△ABC≌△BAD ∴∠1＝∠2……6分 ∵AD⊥BC ∴∠1＝∠2＝45° ∵∠BOC＝90° ∴∠OCB＝∠1＝45° ∴OC＝OB＝4 ∴C(0，4)…………………8分 把C(0，4)的坐标代入y=ax2－5ax＋4a得4a＝4 ∴a＝1 ∴二次函数的表达式为y=x2－5x＋4………10分 (方法二) ∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D ∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上∴PA＝PB………………………………………………6分∵AD⊥BC ∴∠1＝∠2＝45° ∵∠BOC＝90° ∴∠OCB＝∠1＝45° ∴OC＝OB＝4 ∴C(0，4)……………………8分 把C(0，4)的坐标代入y＝ax2－5ax＋4a得 4a＝4 ∴a＝1 ∴二次函数的表达式为y=x2－5x＋4…………10分 (3)(方法一)S△ABD＝1 2 ×3×4＝6 设直线x＝m与AD、AB分别交于M、N，则AN＝m－1由(2)得∠1＝45°，∠2＝ 90°∴MN＝AN＝m－1 ∴S△AMN＝1 2 (m－1)2…11分 当S△AMN＝1 3S△ABD时，1 2 (m－1)2＝1 3 ×6 （第26题）（第26题图1） 解得m ＝3(负值舍去)……………………………12分 当S △AMN ＝ 23S △ABD 时，12(m －1)2 ＝23 ×6 解得m ＝ 1(负值舍去)……………………13分 过B 作BE ⊥AB 交AD 于E ，则S △ABE ＝4．5，23 S △ABD =4，∵4．5＞4 ∴点N 在线段AB 上 ∴m ＜4 综上所述，m 的值为3或 1………………14分 (方法二) S △ABD ＝12 ×3×4＝6 设直线x ＝m 与AD 、AB 分别交于M 、N 由(2)得∠1＝45°，∠2＝90° ∴MN ＝AN ∴S △AMN ＝12AN ·MN ＝12 AN 2………………11分 当S △AMN ＝13 S △ABD 时，12 AN 2 ＝2，解得AN ＝2． ∴ON ＝3即m =3………………………………12分 当S △AMN ＝ 23S △ABD 时，12AN 2＝4，解得AN ＝∴ON ＝ 1即m ＝1………………13分 过B 作BE ⊥AB 交AD 于E ，则S △ABE ＝4．5， 23 S △ABD ＝4，∵4．5＞4 ∴点N 在线段AB 上 ∴m ＜4 综上所述，m 的值为3或 1………………14分 (注：没有判断直线x ＝m 与x 轴交点在线段AB 上扣1分) 26、黔东南州2009年（12分）已知二次函数22 -++=a ax x y 。 （1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。 （2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。 （3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2 13 3，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。 26题、解（1）因为△=04)2()2(422>+-=--a a a 所以不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。…………（2分） （2）设x 1、x 2是022 =-++=a ax x y 的两个根，则a x x -=+21，221-=?a x x ，因两交点的距离是13，所以13)(||22121=-= -x x x x 。…………（4分） 即：13)(2 21=-x x 变形为：134)(21221=?-+x x x x ……………………………………（5分） 所以：13)2(4)(2 =---a a 整理得：0)1)(5(=+-a a 解方程得：15-=或a 又因为：a<0 所以：a=－1 所以：此二次函数的解析式为32 --=x x y …………………………（6分） （3）设点P 的坐标为),(0y x o ，因为函数图象与x 轴的两个交点间的距离等于13，所以：AB=13……………………………………………………………………（8分） 所以：S △PAB = 2 13||210=?y AB 所以： 2 132||130=y 即：3||0=y ，则30±=y …………………………………（10分） 当30=y 时，332 0=--o x x ，即0)2)(3(0=+-o x x 解此方程得：0x =－2或3 当30-=y 时，3320-=--o x x ，即0)1(0=-o x x 解此方程得：0x =0或1……………………………………（11分） 综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。…（12分） 第19页
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