第一章 行列式
二元线性方程组： ??
?=+=+222211
1211b y a x a b y a x a 22211211a a a a D =
，222121
1a b a b D =
，2
211
112b a b a D = D D x 1=
，D
D
y 2= 排列的逆
序数：
∑==
n
t i t t 1
（i t 为排列n p p p 21中大于i p 且排于i p 前的元素个数）
t 为奇数奇排列，t 为偶数偶排列，0=t 标准排列。
n 阶行列
式： nn
n n n n
ij a a a a a a a a a a D
21
22221
11211
)det(===n np p p t
a a a 2121)1(∑-
t 为列标排列的逆序数．
定理1： 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数 定理2： n 阶行列式可定义为n p p p t
n a a a D 2121)1(∑-==n np p p t
a a a 2121)1(∑-．
行列式的
性质：
1．D =D T ，D T 为D 转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变) 2．互换行列式的两行(列)，行列式变号． 记作：j i r r ?（j i c c ?）?D D -→．
推论：两行(列)完全相同的行列式等于零． 记作：j i r r =（j i c c =）?0=-=D D ．
3．行列式乘以k 等于某行(列)所有元素都乘以k ． 记作：k r kD i ?=（k c kD i ?=）．
推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面． 记作：k r kD i ÷=（k c kD i ÷=）．
4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：k r r i j ?=（k c c i j ?=）?0=D ．
5．?'+'+'+=
nn n n ni
ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a D
2121
2
222211
11211)()()(nn n n ni
n n i i nn
n n ni n n i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 212
1
2
2221
1
12112121
22221
11211
'''+
=
上式为列变换，行变换同样成立．
6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 记作：j i i kc c c +→(j i i kr r r +→)，D 不变．
注：任何n 阶行列式总能利用行运算r i +kr j 化为上(下)三角行列式．
对角行列式
n n
λλλλλλ
212
1
=，
n n n n
λλλλλλ
212
)
1(2
1
)1(0
--=
上D （下D T ）三角形行列式
nn nn
n n a a a a a a a a a D 221121
22
2111
==
若对kk
k k kk k k kk
k k b b b b c c c c a a a a D
111111111111=
设
nn
n n
ij kk k k
ij b b b b b D a a a a a D
1111211111)det()det(====，
则有D =D 1D 2．
若2n 阶行列式
n
n d
d c c b b a a D 22=
，
有D 2n =(ad-bc )n ．
余子式： n 阶行列式中把ij a 所在的第i 行和第j 列去掉后，
余下n -1阶行列式． 代数余子式：
ij j i ij M A +-=)1(
引理： n 阶行列式D 中，若第i 行所有元素除ij a 外都为零，则有ij ij A a D =．
定理3：
(代数余子式性质)
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和．
推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零．
;,,0,1j i j i D D A a n k ij kj ki ≠=∑??
?===当当δ或;
,
,0,1
j i j i D D A a n k ij jk ik ≠=∑???===当当δ其中.,,0,1j i j i ij ≠=???=当当δ 范德蒙德
行列式：
11312
1
12
23222
1321
1
111
----=n n
n n n n
n n x x x x x x x x x x x x D
＝∏-≥>≥1
)(j i n j i x x ．证明用数学归纳法． 克拉默法则：
设方程组???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2
2112
222212*********,
,
，若01111≠=nn
n n a a a a D ，则方程组有惟一解：
D
D x D D
x D D x n n ===
,,,2211 ，其中nn
j n n
j n j n n j j a a a a b b a a a a D 1,11,111,11,111++--= ),,2,1(n j =． 定理4： 若上线性方程组的系数行列式0≠D ，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则0≡D ． 定理5： 若齐次线性方程组(b n =0)的系数行列式0≠D ，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则0≡D ．
第二章 矩阵及其运算
n 阶单位矩阵(单位阵)：
??
?
?
?
??
??=100010001 E
A AE E A ==．
对角矩阵(对角阵)：
??
?
?
?
??
??=n λλλ 00000021
Λ
另可记作),,,diag(21n λλλ =Λ．
纯量阵：
??
??
?
?
?
??=λλλ
000000E λ A A E λλ=)(，A E A λλ=)(．
矩阵与矩
阵相乘：
若)(ij a =Α是一个s m ?矩阵，)(ij b =B 是一个n s ?矩阵，且AB C =，则)(ij c =C 是一个n m ?矩阵，且m i b a b a b a c sj
is j i j i ij ,,2,1(2211 =+++=;),,2,1n j =．若BA AB =，称A 与B 是可交换的．
矩阵转置： 若)(ij a =Α，则)(T
ji a =Α T T T )(B A B A +=+，T T T )(A B AB = 若T A A =，A 为对称阵
方阵的行列式： n 阶方阵A 元素构成的行列式，记A 或A det ．
方阵行列式的运算规律： 1．A A =T ； 2．A A n λλ=；
3．B A AB =，11
=-A A ．
伴随矩阵： ???
??
?
?
??=nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111
*
A
ij A 为行列式A 中对应元素的 代数余子式．
E A A A AA *
*== 逆矩阵： 若E BA AB ==，则A 可逆，且称B 为A 的逆矩阵，记B =A -1，A 的逆阵是唯一的．
定理1： 若矩阵A 可逆，则0≠A ．
定理2： 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且*
A A
A 11
=
-． 奇异矩阵： 当0=A 时，A 称为奇异矩阵．
矩阵A 可逆的充要条件：0≠A ，即矩阵A 是非奇异矩阵。
运算规律： 1．A A =--11)(；2．11
1
)
(--=
A A λ
λ；3．111)(---=A B AB ；4．T T A A )()(11--=．
矩阵A 的m 次多项式：
m m a a a a A A A E A +++= 2110)(? )()()()(A A A A ??f f =，
多项式可相乘或分解因式 1．若1-=P P ΛA ，则1
-=P P k k ΛA ， 1)()(-=P ΛP A ??．
2．),,,diag(21n λλλ =Λ（对角阵），则),,,diag(21k n k k k λλλ =Λ,
))(,),(),(diag()(21n λ?λ?λ?? =A ．
分块矩阵
的运算规
律：
加减相乘与矩阵相同。
分块对角矩阵：（其中A 以及i A 均为方阵）
??
???
??
?
?=s A 0A 0A A
2
1
，若0≠A ，则??????
?
?
?=----11
2
1
1
s A 0A 0A A 1
性质：s A A A A 21=，且),,2,1(0s i i =≠A ，则0≠A ．
若?
????
??=sr s r A A A A A 1111，
则?
???? ??=T T 1
T
1T 11T
sr s r A A A A A
行向量：
??????
? ??=?T T 2T
1m n
m αααA ， ),,,(21T in i i i a a a =α
列向量：
),,,(21n a a a =A
??????
? ??=mj j j a a a 21j a
??????
? ??=?T T 22T
11m m n
m m αααA Λλλλ ),,,(2211n n n a a a λλλ =A Λ
若0A A =T
， 则0A =．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换： 初等行(列)变换：1．j i r r ?(j i c c ?)；2．k r i ?(k c i ?)（0≠k ）
；3．j i kr r +(j i kc c +)． 矩阵间等价： 行等价：B A ~；列等价：B A ~；等价：B A ~．（矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ） 行阶梯型矩阵： 阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。 行最简形矩阵：竖线后非零元为1，同列其它元为0．
标准型： n
m r
????? ?
?=000E F 或r E F = 矩阵n m ?A 经初等变换总能化为标准型F ． 等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。
初等矩阵：
单位矩阵E 经一次初等变换所得矩阵E (f )（f 为变换规则）：
1．),(j i E ：j i r r ?(j i c c ?)；2．))((k i E ：k r i ?(k c i ?)（
0≠k ）；3．))((k ij E ：j i kr r +(j i c kc +)． 定理1： 矩阵A 初等行变换，初等矩阵左乘E (f )A ；初等列变换，初等矩阵右乘AE (f )． 定理2：
方阵A 可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵E 1(f )。E 2(f )，…，E l (f )，使A=E 1(f )E 2(f )…E l (f )．
推论1：方阵A 可逆?E A ~． 推论2：B A ~?存在可逆矩阵P 与Q ，使PAQ =B ． 重要性质：
方阵A 可逆，则(A ，E )～(E ，A -1)． (A ，B )～(E ，A -1B )，b x =A ，x =A -1b ?(A ，b )～(E ，x )
???
? ?????? ???=--11
~CA E C A CA Y c 或))(,(~),()()(T T T T T T T T C A E C A C A CA Y 111---?==r
矩阵的秩： 标准型F 中非零行的行数r ，记R (A )．且r +1阶子式全等于零，r 阶非零子式称A 的最高阶非零子式。 矩阵A 的k 阶子式： 取A 中k 行与k 列交叉处的k 2个元素且
不改变对应位置组成的k 阶行列式。
r c r · r · r · r
·
定义： 零矩阵的秩为0；满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。
矩阵秩的
性质：
①0≤R (A m ×n )≤min {m ，n }； ②R (A T )=R (A )； ③若B A ~，则R (A )=R (B )； ④若P 、
Q 可逆，则R (PAQ )=R (A )； ⑤max{R (A )，R (B )}≤R (A ，B )≤R (A )+R (B )，特例，当B =b 为列向量时，有R (A )≤R (A ，b )≤R (A )+1；
⑥R (A +B )≤R (A )+R (B )； ⑦R (AB )≤min{R (A )，R (B )}； ⑧若A m ×n B n ×l =0，则R (A )+R (B )≤n ．
定理4：
n 元线性方程组b x =A
（i ）无解的充分必要条件是),()(b A A R R <；
（ii ）有惟一解的充分必要条件是n R R ==),()(b A A ； （iii ）有无限多解的充分必要条件是n R R <=),()(b A A ．
线性方程组有解，称它相容；无解，就称它不相容．
定理5： 线性方程组b Ax =有解的充要条件是),()(b A A R R =．
定理6： n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是n R <)(A ． 定理7： 矩阵方程B AX =有解的充要条件是),()(B A A R R =． 定理8： 设C AB =，则)}(),(min{)(B A C R R R ≤．
定理9： 矩阵方程O X A =??l n n m 只有零解的充要条件是n R =)(A ．
第四章 向量组的线性相关性
注：列向量用黑体小写字母a 、b 、α、β等表示，行向量则用T a 、T b 、T α、T
β等表示，若无指明均当列向量．
定义：
向量b 能由向量组A 线性表示：b =λ1a 1+λ2a 2+…+λm a m (λi 为实数)或可记为Ax b =(x 为一列向量)．
n 维向量(组)：向量(组中每个向量)由n 个数组成。
向量组等价：两向量组能相互线性表示．
向量组A 线性相关：k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0（k i 不全为0)，反之线性无关。
向量组的秩：从向量组A 中可选出r 个向量线性无关，且任意r +1向量都线性相关，r 为秩，记R A ．
性质： 矩阵A 与B 行等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价；列等价，则列向量组等价． 定理1： 向量b 能由向量组A ：a 1，a 2，…，a m 线性表示的充要条件是R (A )=R (A ，b )．
定理2： 向量组B ：b 1，b 2，…，b l 能由向量组A ：a 1，a 2，…，a m 线性表示的充要条件是R (A )=R (A ，B )． 推论： 向量组A ：a 1，a 2，…，a m 与向量组B ：b 1，b 2，…，b l 等价的充要条件是R (A )=R (B )=R (A ，B )． 定理3： 若向量组B ：b 1，b 2，…，b l 能由向量组A ：a 1，a 2，…，a m 线性表示，则R (B )≤R (A )．
逆阵推广： n 维单位坐标向量组E ：e 1，e 2，…，e l 能由n 维向量组A ：a 1，a 2，…，a m 线性表示的充要条件是R (A )=n ． 定理4： 向量组A ：a 1，a 2，…，a m 线性相关的充要条件是R (A ) 定理5： ⑴设向量组A ：a 1，a 2，…，a m 与向量组B ：a 1，…，a m ，a m +1，若A 线性相关，则B 线性相关；反之， 若B 线性无关，则A 线性无关。 ⑵（n +m ）个n 维向量组成的向量组在m >0时一定线性相关。 ⑶设向量组A ：a 1，a 2，…，a m 线性无关，而向量组B ：a 1，…，a m ，b 线性相关，则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的。 定理6： 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩． 推论： 由向量组A 中部分向量组成向量组A 0，若满足A 0线性无关且A 中任一向量都能由A 0线性表示，则向量组A 0便是向量组A 的一个最大无关组． 定理7： 设n m ?矩阵A 的秩R (A )=r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩R S =n －r ． 解的结构： 方程0Ax =通解：x =k 1ξ1+k 2ξ2+…+k t ξt ；方程b Ax =通解：x =k 1ξ1+k 2ξ2+…+k t ξt +η*．ξ基础解系，t =n -r ． 向量空间： 非空，封闭（加法、数乘运算均在集合内进行）的n 维向量的集合称向量空间． 由线性无关向量组a 1，a 2，…，a r (基)所生成的r 维(维数)向量空间为：V ={x =λ1a 1+λ2a 2+…+λr a r |λ1，λ2，…λr ∈R }， λi 称为x 在基a 1，a 2，…，a r 中的坐标，若基取单位坐标向量组，则该基称自然基。 空间向量V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。 变换公式： 基变换公式：B =AP ；坐标变换公式：x B =P － 1x A ．P=A － 1B ，P － 1=B － 1A ，其中A 为旧基矩阵，B 为新基矩阵， x A 为旧基中的坐标列向量，x B 为新基中的坐标列向量。P=A － 1B 称为过渡矩阵． 第五章 相似矩阵及二次型 内积性质： 1.[x ，y ]=[y ，x ]； 2.[λx ，y ]=λ[y ，x ]； 3.[x +y ，z ]=[x ，z ]+[y ，z ]； 4.当x =0时，[x ，x ]=0；当x ≠0时，[x ，x ]>0． 施瓦茨不等式：[x ，y ]2≤[x ，x ][y ，y ]． n 维向量x 的长度(范数)： ． 向量长度： 性质：1.非负性：当x ≠0时，||x ||>0；当x =0时，||x ||=0；2.其次性||λx ||=|λ|||x ||；3.三角不等式||x +y ||≤||x ||+||y ||． 2 2221],[ n x x x +++== x x x 向量夹角： y x y x, ] [arccos =θ（x ≠0，y ≠0），当[x ，y ]=0时，称向量x 与y 正交；若x =0，x 与任何向量都正交。 定理1： 若n 维向量a 1，a 2，…，a r 是一组两两正交的非零向量，则a 1，a 2，…，a r 线性无关． 定义： 规范正交基：基中向量两两正交且都是单位向量；规范正交基中坐标计算公式： ． 施密特正交化 (基规范正交化)： ． ，就是一个规范正交基，，，．单位化．；；．r r r r r r r r r r r b b e b b e b b e b b b a b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a b 1 112] ,[] ,[],[],[],[],[],[],[12221111111222211112111212211===----=- ==---- 正交矩阵： n 阶矩阵A 满足A T A =E （即A － 1=A T ）． A 为正交阵的充要条件：A 的列(行)向量均是单位向量，且两两正交． 正交阵： 正交阵构成一个规范正交基。 性质：1.若A 为正交阵，则A － 1=A T 也为正交阵，且|A |=1或(-1)； 正交变换： y =Px （P 为正交阵），且||y ||=||x ||． 2.若A 和B 均为正交阵，则AB 也是正交阵． 方阵特征定义： 若Ax =λx 成立，数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量。 特征方程：|A －λE |=0；特征多项式：f (λ)=|A －λE |=(λ1-λ)(λ2-λ)…(λn -λ)，f (λ)是λ的n 次多项式。 特征性质： 设n 阶矩阵A =（a ij ）的特征值为λi ，则1．λ1+λ2+…+λn =a 11+a 22+…+a nn ；2．λ1λ2…λn =|A |． 若p i 是方阵A 的对应特征值λi 的特征向量，则k p i （k ≠0）也是对应于λi 的特征向量． 若λ是方阵A 的特征值，则：1．λk 是A k 的特征值；2．当A 可逆时，1/λ是A －1 的特征值；3．φ(λ)是φ(A ) 的特征值(其中φ(λ)=a 0+a 1λ+…+a m λm ；φ(A )=a 0E +a 1A +…+a m A m ）． 定理2： 设λ1，λ2，…，λm 是方阵A 的特征值，p 1，p 2，…，p m 是对应的特征向量，若λi 各不相等，则p i 线性无关． 定义： 若对矩阵A ，B 有，P － 1AP =B ，则称B 是A 的相似矩阵．对A 进行运算P － 1AP 称对A 进行相似变换． 定理3： 若A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同，且A 与B 的特征值亦相同． 推论：若A 与对角阵Λ相似，则λ1，λ2，…，λn 即是A 的n 个特征值． 定义： 把方阵A 对角化：P － 1AP =Λ；可求得Λ=diag((λ1，λ2，…，λn )，其中λi 为A 特征值． 定理4： n 阶矩阵A 与对角阵相似（即A 能对角化）的充要条件：A 有n 个线性无关的特征向量。 推论：若n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似。 定理5： 对称阵的特征值为实数。 定理6： 设λ1，λ2是对称阵A 的两个特征值，p 1，p 2是对应的特征向量．若λ1≠λ2，则p 1与p 2正交． 定理7： 设A 为n 阶对称阵，则必有正交阵P ，使P － 1AP =P T AP =Λ，其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元的对角阵． 推论：设A 为n 阶对称阵，λ是A 的特征方程的k 重根，则矩阵A －λE 的秩R (A －λE )=n -k ，从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量． 对称阵A 对角化的步骤： 1．求出A 的全部特征值λ1，λ2，…，λs ，它们的重数依次为k 1，k 2，…，k s (k 1+k 2+…+k s =n )． 2．分别对k i 重特征值λi ，求(A －λE )x =0的基础解系，得k i 个线性无关特征向量，把它们正交化、单位化． 3．把求出的总共n 个正交、单位向量构成正交阵P ，便有P － 1AP =P T AP =Λ，P 列向量与Λ的对角元对应． 二次型： 1．基本函数式：f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 21+a 22x 22+…+a nn x 2n +2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a n -1,n x n -1x n ． 2．∑== n j i j i ij x x a f 1 ,（1中满足ij ji a a =） ． 3．f =x T Ax ，2中记对称阵A =（a ij ），x T =（x 1，x 2，…，x n ）． 4．标准形(或法式)：f =λ1y 21+λ2y 22+…+λn y 2n ．（x =Cy 代入1） 5．规范形：f =z 21+…+z 2p －z 2p +1－…－z 2r (x =Pz 代入1，即4中λi 只取1，-1或0)． 6．f =(Cy )T ACy =y T (C T AC )y （x =Cy 代入3）． 7．f =y T Λy ，4中记Λ=diag(λ1，λ2，…，λn )，y T =（y 1，y 2，…，y n ）． 定义： 二次型与对称阵A 之间一一对应，A 叫做二次型f 的矩阵，f 叫做A 的二次型，A 的秩叫做二次型f 的秩． 设n 阶矩阵A 与B ，若有可逆矩阵C ，使B =C T AC ，则称矩阵A 与B 合同．（若A 对称则B 对称且R (A )=R (B )．） 定理8： 二次型f 总有正交变换x =Cy ，使f 化为标准形f =λ1y 21+λ2y 22+…+λn y 2n ，其中λi 是f 的矩阵A =（a ij ）的特征 值。 推论：二次型f =x T Ax (A T =A )，总有可逆变换x =Pz ，使f (Pz )为规范形． ][T i i i e a,a e ==λ f变换：已知x=Cy，C T AC=Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中λi是f的矩阵A=（a ij）的特 征值，设y=Kz，对角阵K=diag(k1，k2，…，k n)，根据二次型各种形式有 f=x T Ax=y T(C T AC)y=z T K T(C T AC)Kz=z T K TΛKz，且得x=CKz，K TΛK=diag(λ1k21， λ2k22，…，λn k2n)，且得规范形f=λ1k21z21+λ2k22z22+…+λn k2n z2n． 其中 ? ? ? ? ? = ≠ = , 1 , 1 i i i i k λ λ λ 配方变换：1．二次型有平方项x2i，直接配方．2．二次型无平方项，有乘积项x2i x2j，取x i=y i+y j，x j=y i－y j． 定理9（惯性定理）：设有二次型f=x T Ax，它的秩为r，有两个可逆变换x=Cy及x=Pz，使f=λ1y21+λ2y22+…+λr y2r（λi≠0），及f=k1z21+k2z22+…+k r z2r（k i≠0），则λ1，λ2，…，λr中正数的个数与k1，k2，…，k r中正数的个数相等． 定义：二次型标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负则为负惯性指数． 若秩为r，正惯性指数为p，则二次型规范形便可确定为：f=z21+…+z2p－z2p+1－…－z2r． 对二次型f(x)=x T Ax（x≠0），若恒有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称对称阵A是正定的；若恒有f(x)<0，则称f为负定二次型，并称对称阵A是负定的． 定理10：二次型f=x T Ax为正的充要条件是：它的标准形的n个系数全为正，即它的正惯性指数等于n．推论：对称阵A为正定的充要条件是：A的特征值全为正． 定理11（霍尔维茨定理）：对称阵A=（a ij）为正定的充要条件是： A的各阶主子式都为正，即 11 > a，0 22 21 12 11> a a a a ，0 1 1 11 > nn n n a a a a ； 对称阵A=（a ij）为负定的充要条件是：奇数阶主子 式为负，而偶数阶主子式为正，即 )1 ( 1 1 11 > - rr r r r a a a a ，（r=1,2，…，n）． 补充：二元正定二次型c y x f= ) , (（c>0为常数）的图形是以原点为中心的椭圆．三元正定二次型c z y x f= ) , , (（c>0为常数）是一族椭球． 考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数 极限数列的极限特殊——函数的极限一般 极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势 由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率 微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分 定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法 微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理可从几何意义去加深理解 泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势 连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换 微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在 仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零 一年级下册数学教学经验总结 这学期我继续担任一年级数学教学工作。教学实践中，我发现本班大部分学生都聪明灵活，想象力丰富，上课思维活跃、发言积极，学习成绩比较理想。但也有少数几学生基础比较薄弱，作业脏乱，思考速度慢、书写速度慢、对新知的理解也比较慢。结合本班学生的实际情况，和新课标的具体要求，现将本人对这学期教学工作的一点思考总结如下： 一、夯实基础，努力减轻学生学习负担。苏霍姆林斯基说过：“只有让学生不把全部的时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能够顺利地学习。”这句话看似矛盾，其实蕴藏真理：一个学生如果大部分时间都被作业塞满，就没有了思考的时间，没有了智力活动的时间，而缺少了智力生活，学生负担过重、学业落后的可能性就越大，过重的学业负担是对孩子的智力和体力的摧残。正因为如此“减负”的警钟一直长鸣！但在小学低段教学中，计算、操作等基本技能对孩子的后期学习非常重要，如何让孩子既能熟练掌握相关技能又不会负担过重呢？ 本学期，我作了以下几点尝试：第一、向课堂40分钟要质量。每节新授课都做到“有备而来”，认真阅读教材、教参，了解教材的编排体系，编者意图，每个知识点在全套教材的地位及其与前后相关知识联系和衔接，做到高屋建瓴，胸中有沟壑。观看优秀课例，积极征求同组老师意见，根据学生的年龄特点和知 识起点，确定每节课的重难点，思考应该选择什么样的教学方式和学习方式，设计完备的教学预案。其次是努力增强教学技能，做到每堂课线索清晰、层次分明、言简意赅、深入浅出，加强师生交流，充分考虑各个层次学生的学习能力和学习需求，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；最后，每节新授课都当作公开课来上，事先准备好小黑板、作业纸等，注重营造课堂氛围，调动学生的积极性，扩大课堂容量，提高课堂教学效率，争取每节课都留有一定的时间供学生练习巩固，验证教学效果，发现问题当堂解决。 第二、及时巩固与定期复习相结合。每节课新授知识都会在当时当天及时巩固，第二天进行适当复习，一段时间后进行第二次复习，提高复习效率。本册教材除了10个课时的小单元教学，其余全是数与代数的知识，其中计算是教学的重点，为了帮助孩子提高计算速度，每节课课前花1分钟时间让学生进行100以内加减法和20以内进位加与退位减法口算题练习，通过一学期的坚持，效果显著。 第三、作业布置与批改。本学期我准备了教辅练习资料，精选练习，有针对性，有层次性地布置作业，力求使每一次练习起到最大的效果。对学生的每一次作业都认真及时地批改，并做好错题记录和分析，针对不同的错误分别采取个别辅导和集体评讲的方式及时补救，根据错题记录和分析，制定阶段复习（计划和期末复习计划。） 考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在， 2016考研数学怎么复习_考研数学各知识点复习资料 2016考研数学复习资料——向量和线性方程组部分复习建议 向量和线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节,而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。向量和线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组和向量以及其它章节的各种内在联系。 (1齐次线性方程组和向量线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解,因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况:①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量和线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。 (2齐次线性方程组的解和秩和极大无关组的联系 同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→线性相关、无关→线性方程组解的判 初中数学教师教学经验总结 九年制义务教育新课程标准在我们＃＃市已经实施了近10年，在近十年的数学教学实践中，认真执行了党的教育教学方针，努力做到让学生学到自己所需的数学，充分发挥学生自主学习的优势，提高学生的动手操作能力，促进学生合作交流，激发学生的数学兴趣，培养学生的创新意识，充分提高学生运用数学能力等各方面，这十年来，做了许多尝试，下面把我在教学中取得较成功的一些做法与同行们交流。 一、备课 实际上，这十年多来什么样的学生都教过。尖子生、落后生、问题学生等等，面对不同年级，不同程度的学生，备课时也应该采取不同的备法。因材施教、因人施教，这在备课时都应有体现。比如说，我在＃＃2年所担任的二个班的数学课，一个是稍优秀的班级，另一个是落后生的班级，怎样备课才能适应不同层次班级的教学，这是一个问题。我的主要做法是，低层次班的学生智力略低，基础太差，应该从基础抓起，重点提高学生对数学的兴趣，进度还不是十分重要的因素。学生一旦对数学产生兴趣，就会千方百计，想尽办法学习数学。因为兴趣是最好的老师。只是简单地采取了这样的方法，所教低层次的数学成绩在当年中考也比平时进步了许多，有一部分人的分数超过100分，作为落后生，这已是十分难得。而略高层次的另一个班(不是全年级最好的学生，只是第二层次)，学生对数学已有兴趣，心中也十分渴望升学，学习的动力已经具备，不应再为增添动力发愁，那么备课时的重点是如何让学生把基础知识牢记，基本方法掌握得好，课堂中多增加一些有挑战性的训练题，开发学生的智力，培养学生的创新意识。通过这样有目的的备课、上课，结果在当年中考中，数学优秀人数达到26人(当时没分A+、A等)，与本年级第一层次班优秀人数一样(按各科总分前面的在第一层次，之后再到第二层次)。甚至第二层次班还产生一名玉林高中学生，这在民安初中是开创性的，另外有三名学生考上北高。当时我既是该班数学任课教师，又是班主任，亲自见证了奇迹。因为之前的层次分法已有，但第二层次连北高生也没有过，更难以想象有玉高生了。当年(＃＃2年)中考民安初中考上玉高6名，北高23名。 二、课外辅导 也许所有教过毕业班的老师，无一例外地要对学生进行课外辅导，更 数学教育教学经验总结 ----xxx 为了适应教育改革与发展的新形势，构建面向21世纪小学数学教学的新体系，我们对小学数学课堂教学进行了深入的分析研究，发现大部分课堂教学还没有跳出传统的教学模式，不适应“创新型”人才的培养和全面落实素质教育。为了彻底改变这样的状况，我们以创新精神为指导，设计一个从教学评价、教材运用、组织形式、教学方法、师生关系、练习与作业设计、教学手段、备课方法、教学管理等全方位系统改革小学数学教学的方案。下面重点就教学评价、教材运用、组织形式和学方法几个方面的探究，粗略介绍一些不成熟的做法，与老师们共同研究。 一、激发兴趣，培养良好的习惯。 兴趣是最好的老师，只有让学生有了兴趣，才能激发学习的积极性，有人研究过，如果一个人对本职工作有兴趣，工作的积极性就高，就能发挥出他的全部才能百分之八十到百分之九十；如果一个人对工作没有兴趣，工作积极性就低，只能发挥他全部才能的百分之二十到百分之三十。在古今中外的著名学者能够取得成绩和对人类做出重大贡献，就是因为在青年时期对学习和他们所从事的事业有强烈的爱好，这种兴趣和爱好形成一股强有力的力量。推动着他们在自己的研究领域里辛勤耕耘，并取得辉煌的成绩。因此，我们要激发学生学习 的兴趣。在有学习兴趣的基础上，我注重培养学生的学习习惯，我鼓励学生养成独立完成作业的习惯，针对部分学生作业懒散，我通过同桌和小组之间的作业完成情况，让他们形成竞争，不做学习的懒人，对激发学习的兴趣取得了较好效果 二、提高自身素质，有良好的师德表现。 俗话说“没有金刚钻，不揽瓷器活”，要做一名优秀的老师，首先要做到的就是提升自我的业务素质，为此，我们应当做到： 1、钻研教材，在新课程新课标下认真备课，上课，“要给学生一碗水，教师要有一桶水”，这样才能教好课，高质量完成教学任务； 2 转变教育理念，从以往应试教育转为素质教育。培养学生的综合能力，注重学生全面的发展； 3、以身示范，以情感人，德高为师，身正为范。我们要求学生不能怎样，自己就先要做到。教育过程中，不体罚或变相体罚学生，要以情感人，让学生认识到自己的错误并改正不再犯，这一过程需一定的方法，我作为一名新教师，尚未摸索到较好的方法，在以后的教育教学过程中，我将努力积累经验，并积极听组内老教师的课，学习他们的教育教学方法，摸索出适合自己的教育教学方式。 4、不断提高自身的教学教研能力，努力提高教学质量。我能积极参加各种教研活动，如集体备课，校内外听课，教学教研活动，不断提高课堂教学的操作调控能力，语言表达能力。我追求课堂讲解的清晰化，条理化，准确化，条理化，情感化，生动化；努力做到知识线索清晰，层次分明，教学言简意赅，深入浅出。我深知学生的积极 1：数列极限 手册P13 1.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0. 1.02：已知0x lim ()x f x A ->=，则()f x A α=+，0 x lim 0x α->= 1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶， ()==奇偶奇奇，（奇）偶，偶偶偶 1.2：f(x)为周期函数，0x =(t)dt x F f ?（），不一定是周期函数，但是f （x ）如果是奇函数，这个就成立了。且为奇函 数时候。00(t)dt (t)dt x x f f -=?? 1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P3 1.305：奇函数的原函数一定是偶函数。 1.31：()lim ()n f x g x ->∞ =，一般把g （x ）给分段 1.4：证明连续：00->0 lim[f(x +)-f(x )]x x ?? 1.5： 22sin(1)(1)sin[(1)]n n n n ππ+=-+-这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。 1.6： xlny=xln （y-1+1),于是等价无穷小于x （y-1）前提是y 趋近于1 1.7：20f(x)-g(x),0....o x 37 式出现可以对二者使用迈克劳林，然后消去相同项，注意不能消去（）文登P 1.8：测试函数： （1）x 大于0,为1，小于0为-1 （有界不收敛） （2）x=sinn ，y=1/n （x 发散，y 收敛，无穷大时xy=0） （3）x （n ）在n 为奇数时为n ，为偶数时为0，y （n ）反过来，xy 都是无界，但是xy=0 1.9：文登P26.1.55 P23.1.49 1.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。 1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。注意在x0的左右两个领域内，0x x -正负不一，而决定 0()()f x f x -的正负， 模拟卷1.1 1.93：对于一阶导数的方程，由一阶导数方程的24b ac -<0知道一阶导数恒大于0或者恒小于0，知原函数恒增或恒减 模拟卷1.4 1.94：不连续点求导用极限求 模拟卷3.9 2：收敛数列三性质（唯一性，有界性，保号性）手册P14 3：函数极限 手册P15 小学数学教学经验总结 时光如梭，眨眼间我登上讲台已经有六年多了，这些年的教学里有苦也有甜。我之所以能在教学上取得一些微不足道的成绩，离不开各位领导的重视和培养；离不开同事们的帮助和支持；更离不开同学们的信任和好学。这么多年来，我只是为我的学生做着该做的一切,感觉并没有什么“经验”，有的只是自己尽职尽责的工作态度，有的只是自己严格而又灵活的教学方法，当然要想取得好成绩，这和平时心血的付出是成正比的。如何才能使学生对数学感兴趣？如何才能使学生学好数学？这是今天我要和大家探讨的问题，下面我就谈谈自己在教学实践中的一些想法和感悟，权当与老师们探讨和交流。 一、激发兴趣，培养良好的习惯。 兴趣是最好的老师，只有让学生有了兴趣，才能激发学习的积极性，有人研究过，如果一个人对本职工作有兴趣，工作的积极性就高，就能发挥出他的全部才能百分之八十到百分之九十；如果一个人对工作没有兴趣，工作积极性就低，只能发挥他全部才能的百分之二十到百分之三十。在古今中外的著名学者能够取得成绩和对人类做出重大贡献，就是因为在青年时期对学习和他们所从事的事业有强烈的爱好，这种兴趣和爱好形成一股强有力的力量。推动着他们在自己的研究领域里辛勤耕耘，并取得辉煌的成绩。因此，我们要激发学生学习的兴趣。在有学习兴趣的基础上，我注重培养学生的学习习惯，我鼓励学生养成独立完成作业的习惯，针对部分学生作业懒散，我通过同桌和小组之间的作业完成情况，让他们形成竞争，不做学习的懒人， 对激发学习的兴趣取得了较好效果 二、爱心教育 把关心热爱学生放在第一位，有了这种心境，师生之间处于一种和谐的状态，许多事情便迎刃而解。我的学生，无论成绩好坏，我都一视同仁。对性格孤僻的学生，更是要特别多的给以热情帮助，使出他们恢复自信，走出自我评价的误区。我坚信：只有当学生接受了你这个人，才可以做好老师，你才可以做好教学。孩子们是有感情的，只要你真心爱他们，他们就会爱你，听你的课，学你所教的东西。当然了，爱他们不光只是有爱，还得学习怎样去爱他们，也就是说得想着法子给他们带来轻松愉快的学习，让他们在轻松愉快中去掌握他该掌握的东西。为了爱，我常和他们一起玩；为了爱,我会读描写小学生的心理和他们的喜好的校园书籍；为了爱，我会换位思考，努力去想他们所想，解他们所需。尤其对于后进生，更是要高度关注，我一贯重视与后进生的交流，只有加强对后进生的沟通，才能做一名好老师，而沟通，离不开教师的情感桥梁。老师与后进生思想上的共鸣要借助爱的力量，情感才能通过。只有爱学生，把他们当成朋友，他们才能向你敞开心扉，向你倾吐心里话，教育才会成功。 三、提高自身素质，有良好的师德表现。 俗话说“没有金刚钻，不揽瓷器活”，要做一名优秀的老师，首先要做到的就是提升自我的业务素质，为此，我们应当做到： 1、钻研教材，在新课程新课标下认真备课，上课，“要给学生一碗水，教师要有一桶水”，这样才能教好课，高质量完成教学任务； 2019考研数学三知识点总结 考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 科目大纲章节知识点题型 高等数学函数、极限、 连续 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限 函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型 一元函数微 分学 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连 续的关系 函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格 朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其应用 一元函数积 分学 积分上限的函数及其导数变限积分求导问题 定积分的应用用定积分计算几何量 多元函数微 积分学 隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们 之间的因果关系 函数在一点处极限的存在性，连续 性，偏导数的存在性，全微分存在 性与偏导数的连续性的讨论与它们 之间的因果关系 二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用 无穷级数 级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级 数的比较判别法、比值判别法和根式判别 法，交错级数的莱布尼茨判别法 数项级数敛散性的判别 常微分方程 一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的 简单应用 用微分方程解决一些应用问题 线性行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式 代数 矩阵 矩阵的运算求矩阵高次幂等 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题 向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判 别法 向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示 线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通 解 矩阵的特征值和特征向 量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为 相似对角阵的方法 有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题 二次型 二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵 概率论与数理统计随机事件和 概率 概率的加、减、乘公式事件概率的计算 随机变量及 其分布 常见随机变量的分布及应用常见分布的逆问题 多维随机变 量及其分布 两个随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布随机变量的独立性和不相关性随机变量的独立性 随机变量 的数字特征 随机变量的数学期望、方差、标准差及其性 质，常用分布的数字特征 有关数学期望与方差的计算 大数定律和 中心极限定 理 大数定理用大数定理估计、计算概率 数理统计的 基本概念 常用统计量的性质求统计量的数字特征 参数估计点估计、似然估计点估计与似然估计的应用 数学教学工作总结及反思 使学生能保持良好的心境，始终以一种轻松、愉快的心情去积极主动的参与学习。 数学教学工作总结及反思范文一：一学期即将过去，可以说紧张忙碌而收获多多。本学期，我认真执行学校教育教学工作计划，转变思想，从各方面严格要求自己，积极向老教师请教，结合本校的实际条件和学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。为使今后的工作取得更大的进步，现对本学期教学工作作出总结，希望能发扬优点，克服不足，总结检验教训，继往开来，以促进教训工作更上一层楼。 一、为人师表，从师德做起。 本学期我继续以学校的两条高压线和师德规范为准绳严格要求自己。认真贯彻学校的各项规章制度，本学期我通过电话、短信、家长会等形式与家长沟通，进行友好交往，对家长提出必要的要求，并介绍一些教育孩子的方法、经验，不仅沟通信息还增进了情感的交流。和家长的关系相处融洽。孩子进步了，家长也来向我致谢。我对孩子的一片爱心不仅赢得了孩子对我的爱，也赢得了家长的信任、鼓励和支持。 对于学生，在工作中用爱的方式去教育、启发学生，尊重学生，把学生当作与自己地位平等的人来看待，当学生 犯错误时，或学习不用心时，耐心教导对学生动之以情，晓之以理，激发他们的自尊心，上进的勇气。这样调动了学生进取的积极性。使其形成良好的学风。因此我所带的两个班的孩子学习数学的积极性都很高。我还配合班主任组织各种集体活动，积极参加学校组织的各项活动，丰富了学生的课内外生活，使学生的个性得到充分、自由、全面、自主、健康的发展。 另外,当同事们有困难时尽自己的全力帮助他们因此和同事相处和睦。 二、教学为主，认真钻研。 本学期我担任一年级三班和二年级三班的数学教学工作，为了提高我自身的专业素质，我在教学方面认真钻研努力学习，主要从以下几方面做起。 1、认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到有备而来，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。 2、向武老师学习增强上课技能，提高教学质量，使讲解清晰化，条理化，准确化，条理化，准确化，情感化， 2 0 19 考研数学三知识点总结 考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 知识点口诀，掌握解题技巧 1、函数概念五要素，定义关系最核心 分段函数分段点，左右运算要先行。 变限积分是函数，遇到之后先求导。 奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。 单调增加与减少，先算导数正与负。 正反函数连续用，最后只留原变量。 一步不行接力棒，最终处理见分晓。 极限为零无穷 小，乘有限仍无穷小。 幂指函数最复杂，指数对数一起上。 、待定极限七类型，分层处理洛必达。 、数列极限洛必达，必须转化连续型。 、数列极限逢绝境，转化积分见光明。 、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。 、 n 项相加先合并，不行估计上下界。 、变量替换第一宝，由繁化简常找它。 、递推数列求极限，单调有界要先证， 两边极限一 起上，方程之中把值找。 、函数为零要论证，介值定理定乾坤。 、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 、可导可微互等价，它们都比连续强。 、有理函数要运算，最简分式要先行。 、高次三角要运算，降次处理先开路。 、导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23 、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24、导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。 25、寻找En无约束，柯西拉氏先后上。 26、寻找En有约束，两个区间用拉氏。 27、端点、驻点、非导点，函数值中定最值。 28、凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。 29、数字不等式难证，函数不等式先行。 30、第一换元经常用，微分公式要背透。 31、第二换元去根号，规范模式可依靠。 32、分部积分难变易，弄清u、v是关键。 33、变限积分双变量，先求偏导后求导。 34、定积分化重积分，广阔天地有作为。 35、微分方程要规范，变换，求导，函数反。 36、多元复合求偏导，锁链公式不可忘。 37、多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 38、多重积分的计算，累次积分是关键。 39、交换积分的顺序，先要化为重积分。 40、无穷级数不神秘，部分和后求极限。 41、正项级数判别法，比较、比值和根值。 42、幕级数求和有招，公式、等比、列方程。 2019考研数学各科核心考点梳理 高三数学教学工作总结6篇 数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高三数学教学 工作总结 ，希望对大家有帮助！ 高三数学教学工作总结1 转眼间半年过去了。在这段时间里，我担任高三9班、10班数学任课教师。不管在工作中的哪一方面，我都尽职尽责，认真做好工作中的每一件事。现在，我从以下几个方面对我这段时期的工作进行总结： 一、倾心教育，为人师表 身为教师，为人师表，我深深认识到“教书育人”、“文以载道”的艰巨性。始终具有明确的政治目标，崇高的品德修养，坚持党的四项基本原则，坚持党的教育方针，认真贯彻教书育人的思想。 在工作中，具有高度的责任心，严谨的工作作风和良好的思想素养，热爱、关心、尊重、全体学生，平等对待每一位学生。 对学生的教育能够动之以情，晓之以理，帮助学生树立正确的人生观、科学的世界观。每天坚持早到晚归，严格按照学校的要求做好各项工作；甘于奉献，从不计较个人得失，绝对做到个人利益服从集体利益。在学生的心目中，具有较高的威信和较好的教师形象。 二、精心施教，形成特色 （一）教学工作 在教学方面，能准确把握教学大纲和教材，制定合理的教学目标，虚心向其他教师学习，把各种教学方法有机地结合起来，充分发挥教师的主导作用，以学生为主体，力求教学由简到繁、由易到难、深入浅出、通俗易懂，并注重提高教学技巧，讲究教学艺术，教学语言生动，学生学得轻松，老师教得自然，逐渐形成自己的风格。 作为一名普通的教学工作者，我能够严格要求自己，始终以一丝不苟的工作态度，切实抓好教学工作中的各个环节，特别是备、辅、考三个环节，花了不少功夫，进行了深入研究 与探讨；备――备教材、备学生、备重点、备难点、备课堂教学中的各种突发因素；辅――辅优生、辅差生、重点辅“边缘”学生；考――不超纲、不离本。 教学过程中，我经常主动找学生谈心，了解学生的学习情况，根据学生的具体情况，及时调整教学计划和状态，改进教学方法，自始至终以培养学生的思维能力，提高学生分析、解决问题的能力为宗旨，根据学生的个性差异，因材施教，使学生的个性、特长顺利发展，知识水平明显得到提高。 （二）做好后进生转化工作 作为教师，应该明白任何学生都会同时存在优点和缺点两方面，对优生的优点是显而易见的，对后进生则易于发现其缺点，尤其是在学习上后进的学生，往往得不到老师的肯定， 而后进生转化成功与否，直接影响着全班学生的整体成绩。所以，半年来，我一直注重从 以下几方面抓好后进生转化工作： 1、用发展的观点看学生。 应当纵向地看到：后进生的今天比他的昨天好，即使不然，也应相信他的明天会比今天好。 2、因势利导，化消极因素为积极因素。 首先，帮助后进生找到优、缺点，以发扬优点，克服缺点。其次，以平常的心态对待：后进生也是孩子，厌恶、责骂只能适得其反，他们应该享有同其它学生同样的平等和民主，也应该在稍有一点进步时得到老师的肯定。 三、潜心钻研，完善自我 作为一名教师，我深刻地体会到：要想给学生一碗水，自己得先有一桶水、一缸水……我 经常听校内、外老师的课，虚心向他们学习，取其所长补己之短；积极参加各项教师培训，并通过各种途径不断学习新的教育理论和信息技术，并将其与工作实际相结合，不断提高 自己的业务水平，努力使自己成为一名学习型和研究型的教师。 高三数学教学工作总结2 本学期我任教高三17，18班的两个班的文科数学课，17班是一个实验班，学生基础比较好，学习自觉性比较高，有良好的思维习惯。18班是一个普通班，基础差，不能坚持长 时间学习，学习自觉性比较差。回顾一学期的教学工作，我们有成功的经验，也发现了不足之处。下面就我上学期的具体做法谈谈自己的一点看法，总结如下： 一、研读 2021考研数学各章节备考基础知识点盘点 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存 在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 5、定积分的计算 6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力) 7、变限积分(求导) 8、广义积分(收敛性的判断、计算) 第五章空间解析几何(数一) 1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积) 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系 数学教学工作总结 数学教学工作总结 一学期即将过去,可以说紧张忙碌而收获多多。总体看,全体数学教师认真执行学校教育教学工作计划,转变思想,积极探索,改革教学,在继续推进我校“自主——创新”课堂教学模式的同时,把新课程标准的新思想、新理念和数学课堂教学的新思路、新设想结合起来,转变思想,积极探索,改革教学,收到很好的效果。 一、课程标准走进教师的心,进入课堂 我们怎样教数学,《国家数学课程标准》对数学的教学内容,教学方式,教学评估教育价值观等多方面都提出了许多新的要求。无疑我们每位数学教师身置其中去迎接这种挑战,是我们每位教师必须重新思考的问题。开学初组织攻关教师和教研组长参加处组织的新课程标准及新教材培训学习,并参加处研究性学习培训。在各年级组织认真学习的基础上全体数学教师集中由黄丽娜陈艳红两位教师二次分学段培训,鲜明的理念,全新的框架,明晰的目标,有效的学习对新课程标准的基本理念,设计思路,课程目标,内容标准及课程实施建议有更深的了解,本学期各年级在新课程标准的指导教育教学改革跃上了一个新的台阶。 二、课堂教学,师生之间学生之间交往互动,共同发展。 本学期我们每位数学教师都是课堂教学的实践者,为保证新课程标准的落实,我们把课堂教学作为有利于学生主动探索的数学学习环境,把学生在获得知识和技能的同时,在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想,把数学教学看成是师生之间学生之间交往互动,共同发展的过程,组织了第六届同组共研一课活动,在教研组长的带领下,紧扣新课程标准,和我校“自主——创新”的教学模式。在有限的时间吃透教材,分工撰写教案,以组讨论定搞,每个人根据本班学生情况说课、主讲、自评;积极利用各种教学资源,创造性地使用教材公开轮讲,反复听评,从研、讲、听、评中推敲完善出精彩的案例。五年级教研组《循环小数》一课成功的展示,收到良好的效果得到领导和老师的肯定。实践表明,这种分合协作的备课方式,既照顾到各班实际情况,又有利于教师之间的优势互补,从而整体提高备课水平,课前精心备课,撰写教案,实施以后趁记忆犹新,回顾、反思写下自己执教时的切身体会或疏漏,记下学生学习中的闪光点或困惑,是教师最宝贵的第一手资料,教学经验的积累和教训的吸取,对今后改进课堂教学和提高教师的教学水评是十分有用。近三年的改革收获？多,课前准备不流于形式,变成一种实实在在的研究,教师的群体智慧得到充分发挥,课后的反思为以后的教学积累了许多有益的经验与启示,十一月中旬我们举办了为期一周第六届教学节,七位教师分别代表各组讲了课,三节评为优质课,这次公开教学,呈现开放性,突破原有学科教学的封闭状态,把学生置于一种开放、主动、多元的学习环境和学习态势中。六年纪《圆的周长》的设计给学生提供自主探索的契机,学生通过量、饶、滚找出周长和直径的倍数关系,用计数器把测量的周长和直径的倍数关系算出,填写报告单,观察数据发现倍数关系,由“是——也是——还是——总是”最后概括为圆的周长总是直径的三倍多一些。”较强的数学思想方法得于渗透。学生在观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理的过程中,周长公式的形成、获得、应用了然于心。提倡自主性“学生是教学活动的主体,教师成为教学活动的组织者、指导者、与参与者。”这一观念的确立,灌输的市场就大大削弱。四年纪《乘法的简算》一组连乘计算题计算,学生发现了交换因数的位置,积不变的规律,然后观察数字特征,变序、加括号达到简算。设计无论是问题的提出,还是已有数据处理、数学结论的获得等环节,都体现学生自主探索、研究。突出过程性,注重学习结果,更注重学习过程以及学生在学习过程中的感受和体验。五年纪《相遇应用题》以研究两个物体的运动情况,老师导演,学生表演,设计了从“相距——缩短——交叉——相背”两物体之间的距离变化情况,感受相向运动中,随着时间的推移, 一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛; 2019考研数学三知识点总结考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 知识点口诀，掌握解题技巧。 1、函数概念五要素，定义关系最核心。 2、分段函数分段点，左右运算要先行。 3、变限积分是函数，遇到之后先求导。 4、奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。 5、单调增加与减少，先算导数正与负。 6、正反函数连续用，最后只留原变量。 7、一步不行接力棒，最终处理见分晓。 8、极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。 9、幂指函数最复杂，指数对数一起上。 10、待定极限七类型，分层处理洛必达。 11、数列极限洛必达，必须转化连续型。 12、数列极限逢绝境，转化积分见光明。 13、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。 14、n项相加先合并，不行估计上下界。 15、变量替换第一宝，由繁化简常找它。 16、递推数列求极限，单调有界要先证， 两边极限一起上，方程之中把值找。 17、函数为零要论证，介值定理定乾坤。 18、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 19、可导可微互等价，它们都比连续强。 20、有理函数要运算，最简分式要先行。 21、高次三角要运算，降次处理先开路。 22、导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 24、导数函数合(组合)为零，辅助函数用罗尔。 25、寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。 26、寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。 27、端点、驻点、非导点，函数值中定最值。 28、凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。 29、数字不等式难证，函数不等式先行。 30、第一换元经常用，微分公式要背透。 31、第二换元去根号，规范模式可依靠。 32、分部积分难变易，弄清u、v是关键。 33、变限积分双变量，先求偏导后求导。 34、定积分化重积分，广阔天地有作为。 35、微分方程要规范，变换，求导，函数反。 36、多元复合求偏导，锁链公式不可忘。 37、多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 38、多重积分的计算，累次积分是关键。 39、交换积分的顺序，先要化为重积分。 40、无穷级数不神秘，部分和后求极限。 41、正项级数判别法，比较、比值和根值。 42、幂级数求和有招，公式、等比、列方程。 小学数学教学工作经验总结5篇 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 下面是小编收集整理的范本，欢迎您借鉴参考阅读和下载，侵删。您的努力学习是为了更美好的未来！ 小学数学教学工作经验总结篇1 在我的意识里，一直认为自己是一名普通而平凡的教师，没有显赫的战功，没有骄人的业绩，只是在***小学这块沃土上默默地耕耘着。如果说有什么追求或目标的话，那就是努力要求自己能成为一名学生喜爱、家长尊重、同事信任、领导放心的“好教师”。基于对自身的这种定位，一直以来，我坚持以“勤学、善思、求实”为指南，认真、务实地走过每一天。因此，今天用文字记录下来的也不是什么个人总结，而是自己工作这段时间以来的一些想法与做法。 一、完善自身建设，提高师德修养。“爱校、爱生”是我多年来坚持的信念。而“对每一个学生负责”，并与学生建立良好的师生情感，更是我作为教师的基本准则。我用自己的实际行动去感染他们、影响他们，让他们不仅学会知识，更学会做人。对学校的各项活动，我都倾尽全力，尽我所能。我刚到咱们***小学时学校要求我接三年级两个班的数学，教了一年之后，学校要求我重新再接两个三年级班，一班和三班。刚刚和这两个班的学生建立起了感情，和两个班的班主任工作配合的也很融洽，没想到一年之后，学校又要求我改教三班和四班，由于种种原因，当时四班的数学成绩是全年级最差的，当时我心里非常不情愿，但是我也深深懂得“个人服从集体”“哪里需要我就到哪里”的道理。因此，我二话没说，就尽我所能进行教学，而四班的数学成绩也由年级最后一名逐步提高，在上学期南市区的调研考试中获得了南市区第二名的好成绩。 二、不断努力奋进，提升业务水平。过去的五年，是我在小学数学教坛上不断探索，摸爬滚打的五年，同时也是我不断进步的五年。在一次次听课和培训研讨中，我发现了自己的不足，找到了自身发展的方向。因此，我经常向其他教师请教教学上的问题，多次积极参加市、区、学校组织的现场教研活动、培训等，利用现代网络技术参加远程教育培训，每学期都认真完成上级领导分配的各项任务;及时归纳总结培训学到的知识。结合自身的情况，我努力探索，大胆尝试，逐步摸索出一套适合自己的教学方法和思路。考研数学知识点总结(不看后悔)
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