2017年7月襄阳市普通高中调研统一考试
高二数学（理工类）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知复数z 满足1i
z i i
++=
（i 为虚数单位），则z = A. 12i -+ B. 12i -- C. 12i + D.12i -
2. .双曲线()22
2104
x y a a -
=>的一个焦点与抛物线245y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 A. 14y x =±
B. 1
2
y x =± C. 2y x =± D.4y x =± 3. 一动圆与定圆()2
2:21F x y ++=相外切，且与直线:1l x =相切，则动圆圆心的轨迹方程为
A. 2
4y x = B. 2
2y x = C. 2
4y x =- D. 2
8y x =- 4.下列说法错误的是
A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”
B.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
C.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
D.若命题:,p x R ?∈使得210x x ++<，则:,p x R ??∈都有210x x ++≥
5. 直线l 与椭圆22
:184
x y C +=相交于A,B 两点，若直线l 的方程为210x y -+=，则线段AB 的中点坐标是 A. 1
1,32??--
??? B. 11,33??- ??? C. ()1,1 D. 11,33??
- ???
6.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统
计，得到统计数据如下表：（单位：万元）
由上表可得回归直线方程为??10.2y
x a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为
A. 111.2
B. 108.8
C. 101.2
D.118.2
7.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
参照上表，得到的结论是
A. 有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
8. 双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为23曲线C 的焦距等于
A. 422 D. 2
9. 已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()1220f x f x ++->的解集是 A. 1,3?
?-∞- ??? B. 1,3??-+∞ ???
C. ()3,+∞
D. (),3-∞
10.抛物线2
:12C y x =的准线与轴交于点P ，A 是抛物线C 上的一点，F 是抛物线C 的焦点，若2AP =，则点A 的横坐标为 A. 4 B. 3 C. 2 D.2311.已知()2
168ln 2
f x x x x =
-+在[],1m m +上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 A. ()1,2 B. ()3,4 C. (][)1,23,4U D. ()()1,23,4U 12. 关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列说法错误的是 A. 2x =是()f x 的最小值点
B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点
C. 存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D.对任意两个不相等的正实数12,x x ，若()()12f x f x =，则124x x +> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线3ln 2y x x =++在点P 处的切线方程为410x y --=，则点P 的坐标为 .
14.若椭圆22
164
x y +=的两个焦点为12,F F ，P 是椭圆上的一点，若12PF PF ⊥，则12PF F ?
的面积为 .
15.已知函数()32693,0
ln ,0
x x x x f x a x x ?+++≤=?>?在[]2,2-上的最小值为-1，则实数a 的取值
范围为 .
16. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式1
111x +
+
+L
中“L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程()1
10x x x
+=>求得152x +=，类似上述过程，3232++=L . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 已知()3
2
2
2.f x x ax a x =+-+
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间.
18.（本题满分12分）
已知命题()2
1
:,2102
p x R x m x ?∈+-+≤，命题:q “曲线222:128x y C m m +
=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线22
:
11
x y C m t m t +=---表示双曲线” （1）若“p q ∧”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围.
19.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
,AC BD 相交于点O ，2AB BC ==异面直线DB 与1D C 所
10
（1）求此长方体的体积；
（2）求截面1D AC 和底面ABCD 所成锐二面角的余弦值；
（3）在棱1BB 上找一点P ，使得DP ⊥平面1D AC .
20.（本题满分12分）已知ABC ?的两个顶点,A B 的坐标分别为()()0,1,0,1-，且边
,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0.m m ≠
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 的曲线类型；
（2）当1
2
m =-时，过点()1,0F 的直线l 交曲线E 于M,N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q （,M Q 不重合），求证：直线MQ 与x 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标.
21.（本题满分12分）
记{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，如{max =，已知
(){}()22221max 1,2ln ,max ln ,24.2f x x x g x x x x a x a a ???
?=-=+-+-++?? ?????
（1）设()()()21312h x f x x x ?
?=--- ??
?，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；
（2）试探究是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得()3
42
g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成
立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.
22.（本题满分10分）
已知双曲线2
2:14
x C y -=，P 是C 上的任意一点. （1）求证：点P 到C 的两条渐近线的距离之积是一个常数； （2）设点A 的坐标为()5,0，求PA 的最小值.
2017年7月襄阳市普通高中调研统一测试
高二数学(理工类)参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一．选择题：CCDBD AABCB DC
二．填空题：13．(1，3) 14．4 15．1
0ln 2
a -<≤ 16．3 三．解答题：
17．(Ⅰ)解：当a = 1时，3
2
2
()2f x x x x =+-+，∴2
()321f x x x '=+- 2分 ∴切线斜率为(1)4k f '==
又f (1) = 3，∴切点坐标为(1，3)
4分 ∴所求切线方程为34(1)y x -=-，即410x y --= 6分
(Ⅱ)解：2
2
()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+- 由()0f x '=，得 =－a 或3
a x = 8分
∵a > 0，∴
3
a
a >- ∴当x a <-或3a x >时，()0f x '>，当3
a
a x -<<时，()0f x '<
10
分
因此，函数f ()的单调递减区间为()3a
a -，，单调递增区间为()a -∞-，和()3
a +∞，． 12
分
18．(Ⅰ)解：若p 为真，则21
(1)4202
m ?=--??≥ 1分 解得：m ≤－1或m ≥3
2分 若q 为真，则228
280m m m ?>+?+>?
3分 解得：－4 < m < －2或m > 4 4分 若“p 且q ”是真命题，则43
424m m m m -??
-<<->?
或或≤≥
6分
解得：42m -<<-或m > 4
∴m 的取值范围是{ m |42m -<<-或m > 4}
7分 (Ⅱ)解：若s 为真，则()(1)0m t m t ---<，即t < m < t + 1 8分
∵由q 是s 的必要不充分条件
∴{|1}{|424}m t m t m m m <<+-<<->或ü 9分 即4
12t t -??
+-?
≥≤或t ≥4
11分
解得：43t --≤≤或t ≥4
∴t 的取值范围是{ t |43t --≤≤或t ≥4} 12
分 19．方法一
(Ⅰ)解：以DA uuu r 、DC u u u u r 、1DD u u u u u r
为轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D －y 则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)， D 1(0，0，h )
3分
∴(220)DB =u u u u r ，，，1(02)D C h =-u u u u r ，，
1cos DB D C <>=
u u u u r u u u u r ，
=h = 4 故V = 2×2×4 = 16
4分
(Ⅱ)解：易知1DD u u u u r
是平面ABCD 的一个法向量 1(220)(204)AC AD =-=-u u u u r u u u u r ，，，，，
设平面D 1AC 的法向量为m = (，y ，)
则10(220)()0(204)()00
AC x y z x y z AD ??=-?=?????-?=?=???u u u u r u u u u r ，，，，，，，，m m ，即020x y x z -=??-=?
令 = 1，则 = y = 2
平面D 1AC 的法向量为m = (2，2，1)
6分
1(004)(221)1cos 433DD ?<>==?u u u u r ，，，，，m
∴所求二面角的余弦值为1
3．
8分
(Ⅲ)解：设P (2，2，)，则(22)DP z =u u u u r
，
， 若PD ⊥平面D 1AC ，则(220)(22)0(204)(22)0z z -?=??
-?=?，
，，，，
，，，
10
分
解得 = 1
∴当BP = 1时，PD ⊥平面D 1AC ． 12
分
方法二
(Ⅰ)解：连结A 1B ，则A 1B ∥D 1C ，∴∠A 1DB 是异面直线DB 与D 1C 所成的角 2分
设DD 1 = h
，则由余弦定理得：2
2
2
4(4)2h h +=++-? 解得：h = 4，∴故V = 2×2×4 = 16
4分
(Ⅱ)解：连结D 1O
∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD
又D 1D ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，∴AC ⊥D 1D 5分 因此AC ⊥平面BDD 1，而D 1O 在平面BDD 1内，∴AC ⊥D 1O 6分 ∴∠D 1OD 是所求二面角的平面角
7分
111cos 3
OD
D OD D O
∠=
==
． 8分
(Ⅲ)解：∵AC ⊥平面D 1DB ，∴AC ⊥PD 要PD ⊥平面D 1AC ，只需PD ⊥D 1O 10
分
这时，△D 1DO ∽△DBP
1PB =
?=
∴当BP = 1时，PD ⊥平面D 1AC ． 12
分
20．(Ⅰ)解：设C (，y )，由已知
11y y m x x
+-?=，即22
1(0)mx y x -+=≠ 2分
当1m <-时，轨迹E 表示焦点在y 轴，且除去(0，1)，(0，)两点的椭圆；
当1m =-时，轨迹E 表示以点(0，0)为圆心，以1为半径，且除去(0，1)，(0，1-)两点的圆； 当10m -<<，轨迹E 表示焦点在轴，且除去(0，1)，(0，1-)两点的椭圆； 当m > 0时，轨迹E 表示焦点在y 轴，且除去(0，1)，(0，1-)两点的双曲线． 5分
(Ⅱ)证：设M (1，y 1)，N (2，y 2)，Q (2，－y 2) (1·2≠0)．
当1
2
m =-时，轨迹E 的方程为221(0)2x y x +=≠
依题意可知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为1x ty =+
联立22
1
12
x ty x y =+???+=??，整理得(t 2 + 2)y 2
+ 2ty －1 = 0 7分
所以121222
21
22
t y y y y t t --+==++， 8分
又因为M 、Q 不重合，则1≠2，且y 1≠－y 2 故直线MQ 的方程为12
1112
()y y y y x x x x +-=
--
9分
令y = 0，得212112112
11121212
2
1
2()()22111222
t y x x ty y y ty y t x x ty t y y y y y y t -?
--+=+
=+++=
+=-++++ 11
分
故直线MQ 与轴的交点为定点，且定点坐标为(2，0)． 12
分
21．(Ⅰ)解：设2
()12ln F x x x =--，则22(1)(1)()2(0)x x F x x x x x
+-'=-=> 由
2(1)(1)
0(0)x x x x
+-=>得： = 1
∴当 > 1时，()0F x '>，函数F ()递增；当0 < < 1时，()0F x '<，函数F ()递减
∴min ()(1)0F x F ==，即F ()≥0，∴2
12ln x x -≥ 因此2
()1f x x =-
2分
∴2221111()13()(1)(1)(3)222h x x x x x x x =----=--+- 由h () = 0得：2
(1)(6111)0x x x --+=
∴1231(01](01]x x x =，，，， ∴h () = 0在(0，1]上有两个根，即h ()在(0，1]上零点的个数为2． 4分
(Ⅱ)解：假设存在实数(2)a ∈-+∞，，使得3
()42
g x x a <
+对(2)x a ∈++∞，
恒成立，则 2223ln 4213()24422x x x a x a x a a x a ?+<+???-+-++<+?即21ln 42(2)()0x x a x x a ?-?对(2)x a ∈++∞，恒成立 5分
(1)若1
ln 42
x x a -<对(2)x a ∈++∞，恒成立
设1()ln 2H x x x =- ，则112()(0)22x
H x x x x
-'=-=>
易知，当0 < < 2时，()0H x '>，函数H () 递增 当 > 2时，()0H x '<，函数H () 递减
∴max ()(2)ln 21H x H ==-
6分
当022a <+<，即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 21
4
a -> ∵a < 0，∴ln 21
(
0)4
a -∈， 7分
当22a +≥ ，即a ≥0时，H ()在(2)a ++∞，上递减 ∴1
()(2)ln(2)12
H x H a a a <+=+-- 令1
()ln(2)12
G a a a =+-
-，则11()0222(2)a G a a a -'=
-=++≤ ∴()(0)ln 21G a G =-≤
∴(2)()ln 210H a G a +=-<≤
∴a ≥0合题意.
故ln 214a ->
时，1
ln 42
x x a -<对(2)x a ∈++∞，恒成立． 9分
(2)若2
(2)()0x x a +->对(2)x a ∈++∞，恒成立
∵242x a +>+>，∴等价2
0x a ->对(2)x a ∈++∞，恒成立 故2
2a a +≥，解得：12a -≤≤ 11分
由(1)、(2)得：ln 21
24
a -<≤ 12
分
22．(Ⅰ)解：设P (0，y 0)，P 到双曲线的两条渐近线的距离记为d 1、d 2 双曲线的两条渐近线方程为2020x y x y -=+=， 2分 ∴22
12001|4|5d d x y =
=-
4分
又点P 在双曲线C 上，∴2
2
0044x y -=，故124
5
d d = 6分
(Ⅱ)解：2
2
2
00||(5)(0)PA x y =-+-
∵2
200
44x y -=，∴222
20005
||(5)1(4)444
x PA x x =-+-=-+ 8分
∵点P 在双曲线C 上，∴| 0 |≥2
故当04x =时，| PA |2
有最小值4，| PA |有最小值2．
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案
数学必修5试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（ ） Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．101 2.ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为（ ） A ． 2 1 B ．23 C.1 D.3 3.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 101 4.已知0x >，函数4 y x x = +的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 5.在等比数列中，112a =，12q =，132 n a =，则项数n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.不等式2 0(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ） A. 0,0a ?≥ D. 0,0a >?> 7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为（ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ?中,80,100,45a b A ? ===,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ） 2A. 3 2B.-3 1C.-3 1D.-4 10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
高二数学期末考试试卷 出题人：冯亚如 一．选择题（40分） 1.由数列1,10,100,1000，……猜测该数列的第n 项是（ ） A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ） A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有（ ） A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员，要从中选出6人调查学习负担情况，调查应采取的抽样方法是（ ） A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3，-2)，B(2，3)则直线AB 的倾斜角为（ ） A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A ．3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系（ ） A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中，有4张中奖卷，从中任取1张，中奖的概率是
（ ） A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥，其底面边长是1，则棱锥的高是 （ ） A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆（x-1）2+（y+3）2=9的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二．填空题（20分） 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________； 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________； 13.一条直线l 与平面α平行，直线m 在面α内，则l 与m 的位置关系是_______________； 14.正三棱锥的底面边长是4cm ，高是33cm ，则此棱锥的体积为________________； 15.已知球的半径r=3，则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三．解答题（60分） 16.光线从点M(-2, 3)出发，射到P(1, 0)，求反射直线的方程并判断点N(4，3)是否在反射光线上。（10分）