定积分及其应用

定积分及其应用

一、定积分知识梳理

（一）基本概念

1．定积分的定义若最大小区间的长度趋于零时，概念1中的积分和式的极限存在，则此极限值就称为函数在区间上的定积分，记作.

2．定积分的几何意义是曲线在区间上及轴所围各部分图形面积的代数和。

3．积分上限函数若函数在区间上连续，在区间上每取一点，就有一个确定的定积分的值与对应，依据函数的定义就构成一个新的函

数。我们把这个函数称之为变上限函数，记为：. 即=.（≤≤）。

对于其它的变限积分函数利用定积分的补充定义或定积分的可加性均可化为变上限函数。

4．积分元素法

一个量要用定积分表示必须具有两个特性：①是一个与其变量的变化区

间有关的量；②对于具有可加性，即.其中△是区间的子

区间[,+]所对应的部分量，如果△的近似表示式是△≈，而

.则=.

对量建立定积分式的积分元素法，为的积分元素。若量表示面积，

就称为面积元素；若量表示体积，就称为体积元素等。这种方法在解决问题时简单、方便，并经常采用，应熟练掌握。

5．定积分的近似计算

定积分的近似计算是被积函数的原函数存在，但用初等函数无法表示出，或被积函数用表格给出，不能用牛顿—莱布尼兹公式计算的定积分。它实用于工程技术与科学实验，这时就需要用近似积分方法来计算。随着计算工具的现代化和计算程序公式化，使近似计算既快又能达到所需精确度，所以积分近似计算的应用越来越广泛。

（二）性质和公式

1．定积分的性质（假设下列被积函数都是可积的，积分限的大小如不特别指明均不加限制。）

性质 1 有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和。即

=

性质 2 被积函数中有常数因子可以提到积分号的前边来。即

推论1 ；推论2（为常数）

性质 3 若函数在与、与c、与构成的区间上连续，则

=.

性质4如果，在区间上，则.

性质5 如果，在区间上，则.

推论3 ∣∣.

性质6 如果M与m分别是函数在区间上的最大值与最小值，则

≤≤（）

性质7 如果函数在区间上连续，则在上至少存在一点，使得

（≤≤）

2.换元积分法

⑴定积分换元法在计算中起着化难为易的作用，正确应用换元的条件，是确保计算无误必不可少的。否则会导致错误的结果。如设，则，

由，当时，，时，，故，这出错的原因在于换元不符合要求的条件。又如，设，在[0，1]取值时，在

取值，且.则.如此得出错误“1 = - 1”的结论。出现错误是换元中的与变化范围不满足换元法条件要求的对

应关系。为此要注意是否满足有关条件。

3．分部积分法

分部积分法主要解决两函数乘积的积分，关键是依被积表达式来选取及，

的选择

可依情况随意选取，第一次分部怎

表示的情形，即记，一定要把作为上限这个变量的与作为积分变量的区别开来，不要混淆。

②求导时，首先要弄清是对哪个变量求导，把积分上限函数的自变量与积分变量区分开来，变上限函数的自变量是上限变量，因此，对变上限函数的求导，就是对上限变量的求导，与积分变量无关。但有时被积表达式内含有上限变量的情况，应把上限变量从被积表达式内提到积分号外，然后再进行求导。例如对上

个问题中的求导时，先把它写作，然后应用乘积的求导法则求导。

③对积分下限是变量的积分，可以类似地建立上述结论。如

④当积分上限，甚至积分下限，都是的函数时，就要应用复合函数的求导

法则进行求导。一般地，若和是的可微函数，则有

二、典型例题分析及解题方法技巧

（一）由定积分的几何意义计算定积分

例计算

【分析】被积函数是以坐标原点为圆心，为半径的在第一象限的圆。其面积正好是圆的面积的.

解由定积分的几何意义与以上的分析知.

。

（二）利用换元法计算定积分

换元法是求不定积分的基本方法之一，它原则上也可以用于计算定积分。不同的是在不定积分换元时，求出原函数后仍要换回成原来的变量；但在定积分却不需要这样，只须在作积分变量代换的同时，相应地也把积分上、下限加以改变

就行了，最后可不必再换回成原来的变量，因为定积分乃是一个数，如果变换后的积分计算出来了，那么原来的积分自然也就计算出来了。定积分的换元法可概述如下

1．第一类换元法（凑微分法）：设被积函数在上连续，且

为的原函数，那么.

2．第二类换元法：设被积函数在上连续，在上单值且

有连续的导数，从变到时，在上变化，且. 则

.

例1 求

解法1

解法2令则

解法3令则

【注意】使用换元法，不仅可用第一换元法，而且也可用第二换元法。在用第二换元法时，换元不是唯一的。

例2 求

【分析】偶函数在上的定积分等于在上的定积分的2倍；奇函数在

上的定积分等于0

解因为，所以= 0

（三）利用分部积分法计算定积分

应用分部积分法求定积分的过程与求不定积分一样，只是其中已积出的部分要用积分的上、下限代入，未积出的部分仍然是一个定积分，其上下限不变，即

.其中在上都是连续可微函数。所以，在定积分情形应用

分部积分法往往还简单性；如果上下限代入后[]的值是0，分部积分法

更会是特别方便的。

定积分的分部积分法着重解决三类积分问题

1．被积函数为有理整函数与指数函数或与三角函数的正弦或余弦函数的乘积，它的计算往往用到分部积分法，并把有理整函数看作公式里的.

2．被积函数为有理整函数与指数函数的反函数——对数函数，或与三角函数的反函数——反三角函数的乘积，它的计算往往用到分部积分法，并把对数函数或反三角函数看作公式里的.

3．递推移项式：被积函数是两个函数的乘积，哪一个选取公式里的都行，但是必须用两次或两次以上的分部积分法，推得含有原积分的解析式，最后移项可得定积分的值。

例1 设求

解由

知

于是.所以

（四）公式法求定积分

利用定积分的换元法证得的许多公式，对于某类型的函数的积分法，可以作重大的简化。经常会用到下面的一些公式

1．； 2．

3．若是连续偶函数，则； 4．若是连续奇函数，则；

5．若是周期为的周期函数，则

例1 求

解因为是奇函数，利用公式 (其中是奇函数)，

所以

（五）变上限定积分的分析运算

设函数在区间上连续，则由定积分定义的“新函数”（作为变上限

的函数），在上连续、可导，而且.这是一个具有巨大原则性和实用意义的结论，必须深刻理解。

例1设时连续，并且.求

解对求导,得.故

令 就有

（六）.元素法的应用 例1 证明：由平面图形

，

（

连续）绕y 轴

旋转所成的旋转体的体积.

分析 这里要求平面图形绕y 轴旋转而成立体的体积，但由于y 的取值范围未知。因此不便选y 作积分变量，故选x 为积分变量，用元素法求解。

证明 选x 为积分变量，由已知

，在区间

上任取一个小区间

，则由

，轴及曲边

所围平面图形绕y 轴旋转所得旋

转体可视为圆环体，其体积展开图为长方体，长、宽、高分别为

，

故体积微元素，则体积公式.

（七）平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积

把由直线x =a ，x =b (a

注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．

１）用微元法分析X －型平面图形的面积

取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－

f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此

dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ，

从而 A =.)]()([ 12?-b

a

dx x f x f

２）微元法分析Y －型图形的面积

A =.)]()([ 12?-d

c dy y g y g

对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干

个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积． 例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ． 解 解方程组

,

,2

2x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．

将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．

由公式(1)，所求图形的面积为 A

=1

0 31

23132)(2

3

x x dx x x -=-?=3

1．

例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2解 解方程组

,

22

,22+-==x

y x y 得交点(2

1，1)，(2，－2)．

积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．

所求图形的面积为 A =1 2- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ?--=--=4

9．

2. 极坐标系中曲边扇形的面积

在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．

在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示 这个角内的小曲边扇形面积，dA =2

1[r (θ)]2d θ

所以 A =?β

αθθ 2)]([2

1d r ．

例1 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ． 解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍． 极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为 A =2??β

αθθ 2)]([2

1d r

=??++=+ππ

θθθθθ 0

22 0

2)cos cos 21()]cos 1([d a d a

=)2

3|2sin 4

1sin 22

30

2=++ ??π

θθθa πa 2． （八）、空间立体的体积

1. 一般情形

设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a

公式．

过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，

截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积

V =.)( ?b

a dx x A

例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、 与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．

解 据图，椭圆方程为64

42

2y x +=1．

过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x

截交面为图示直角三角形，其面积为

A (x )=21y ?y tan α=21y 2tan α=32(1－4

2

x )tan α

=8(4－x 2

)tan α，

应用公式(4)

V =?--2

2 2

)4(tan 8dx x α=16tan α?-2

0 2

)4(dx x =3

256tan α．

2. 旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．

把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (

x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a

体积记作V x ．

过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积

A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得

V x =π?b

a dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式

V y =π?d

c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，

d (c

例1 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ． 解 V x =π?b

a dx x f 2)]([=π?π

0 2)(sin dx x

f (x

=?-=-π

πππ 0 0

]2

2sin [2)2cos 1(2x x dx x =2

2π． 例2 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴

旋转而成的旋转体的体积V y ．

解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π5

5])[(1

0 51

41

0 22ππ===??y dy y dy y

（九）、平面曲线的弧长

1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式

称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．

如图所示，在[a ，b ]

上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得

曲线长度微元

d s 的计算公式 d s =22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x ) ds =2)]([1x f '+dx.

计算公式

S = ?b

a ds = ?'+b

a dx x f 2)]([1 (8).若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为

S =?'+d

c dy y g 2)]([1 例1 求曲线y =4

1x 2－2

1ln x (1≤x ≤e )的弧长s ．

解 y '=21x －x 21=21(x －x

1)，

ds =2)]([1x f '+dx =)1(2

1)1(4

112x

x dx x

x +=-+dx ，

所求弧长为

s = ?b a ds =4

1]ln 21[21)1(2

1e

1 2 1 =+=+?x x dx x

x e (e 2+1)．

（十）物理上的应用 1、变力做功

物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s

时，F 所作的功W =F ?s ．

物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．

在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ．

作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法

W =?b a dW =?b

a dx x F )(． (12) 例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．

解

需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即

F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9?102

(N/m). 所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9?102x ．

由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功 W =??1

.0 0 2109.4xdx =2

1?4.9?1021.0 0

2

x =2.45(J)．

例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA 作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为

F (r )=k 2r

q (k 为比例常数，q 为点电荷O 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =(a

解 这是在变力F (r )为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 可应用公式(12)，得

W =?b a dr r q k 2=kq b a

r ]1[-=kq (b

a 1

1-)．