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函数新定义问题训练

函数中的定义型问题训练

一、选择题

1.定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，如果函数g (x )＝

x 2

(x ∈(0，＋∞))，h (x )＝sin x ＋2cos x ，x ∈(0，π)，φ(x )＝－x

e －2x 的“新不动点”分别为α、β、γ，那么α、β、γ的大小关系是( ) A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ

2.对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )

A ．f (x )

．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝cos(x ＋1)

3.定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R.对于任意实数a ，b ，c ，给出如下结论： ①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )．其中正确结论的个数是( ) A ． 0 B ． 1C ． 2 D ． 3

4.设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：

()()()()()()

k f x f x k f x k f x k ?≤?=?

>??，取函数()2x f x x e -=--，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有

()()k f x f x =，则( )

A ．k 的最大值为2

B ．k 的最小值为2

C ．k 的最大值为1

D ．k 的最小值为1

5.对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意实数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，那么称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是( ) A ． [3,4] B ． [2,4] C ． [2,3] D ． [1,4] 二、填空题

6.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；

(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；

②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3； ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .

7.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π??

上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)

①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .

8.已知函数y ＝f (x )(x ∈R)，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝

h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．

9.给定区间D ，对于函数f (x )，g (x )及任意的x 1，x 2∈D (其中x 1>x 2)，若不等式f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)恒成立，则称函数f (x )相对于函数g (x )在区间D 上是“渐先函数”．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 相对于函数g (x )＝2x －3在区间[a ，a ＋2]上是渐先函数，则实数a 的取值范围是________．

10.函数f (x )的定义域为D ，对D 内的任意x 1、x 2，当x 1

13]，()3

f x x ≥恒成立，则3579f f ??

+ ? ?????

的值为________．三、解答题

11.对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足

(1)存在闭区间[a ，b ]?D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2?[a ，b ]时，总有f (x 2)>c .称f (x )为“平底型”函数．

判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由．

12.已知实数k ∈R ，且k≠0，e 为自然对数的底数，函数()1

x x ke f x e =+，g(x)＝f(x)－x.

(1) 如果函数g(x)在R 上为减函数，求k 的取值范围；

(2) 如果k ∈(0，4]，求证：方程g(x)＝0有且只有一个根x ＝x 0；且当x>x 0时，有x>f(f(x))成立；

(3) 定义：① 对于闭区间[s ，t]称差值t －s 为区间[s ，t]的长度；② 对于函数g(x)，如果对任意x 1、x 2∈[s ，t]?D(D 为函数g(x)的定义域)，记h ＝|g(x 2)－g(x 1)|，h 的最大值称为函数g(x)在区间[s ，t]上的“身高”．问：如果k ∈(0，4]，函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？ 13.设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ．（1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；

（2）当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；

（3）设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0时，

若

()()0

g x h x x x --＜0在D 内恒成立，则称点P 为函数y ＝g (x )的“巧点”．当a ＝1

4-时，试问函数y ＝f (x )是

否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．

14.若存在实数x 0与正数a ，使x 0＋a ，x 0－a 均在函数f(x)的定义域内，且f(x 0＋a)＝f(x 0－a)成立，则称“函数f(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”．

(1) 设f(x)＝x 3－3x 2＋2x －1，问是否存在正数a ，使“函数f(x)在x ＝1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由；

(2) 设g(x)＝x ＋

(x ＞0)，若对于任意x 0∈(3，4)，总存在正数a ，使得“函数g(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．

15.已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极小值；

(2)当a ＝－1时，过坐标原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，设切点为P (m ，n )，求实数m 的值； (3)设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0时，若

()()

g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数y ＝g (x )的“转点”．当a ＝8时，试问函数y ＝f (x )是否存在“转点”？若存在，请求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

16.若斜率为k 的两条平行直线l ，m 经过曲线C 的端点或与曲线C 相切，且曲线C 上的所有点都在l ，m 之间(也可在直线l ，m 上)，则把l ，m 间的距离称为曲线C 在“k 方向上的宽度”，记为d (k )． (1)若曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤2)，求d (－1)；

(2)已知k >2，若曲线C ：y ＝x 3－x (－1≤x ≤2)，求关于k 的函数关系式d (k )．

17.已知函数f(x)＝x－1－ln x.

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)求证：当n∈N*时，

111

1...

231

e n

++++

>+；

(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b都

成立，则称直线y＝kx＋b是函数h(x)与g(x)的“分界线”．设函数h(x)＝1

x2，g(x)＝e[x－1－f(x)]，试问函

数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由．

18.对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式f(a＋x)·f(a－x)＝b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函数”．

(1)判断函数f(x)＝4x是否为“(a，b)型函数”，并说明理由；

(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x∈[0,2]时，都有1≤g(x)≤3成立，且当x∈[0,1]时，g(x)＝x2－m(x－1)＋1(m>0)，试求m的取值范围．

函数中的定义型问题训练

答案解析

1.【解析】由定义，令g ′(x )＝x ＝12

x 2

，得α＝2；对于h (x )＝sin x ＋2cos x ，x ∈(0，π)，令h ′(x )＝cos x －2sin x ＝sin x ＋2cos x ，得β∈(34

，π)；对于φ(x )＝－x e －2x ，令φ′(x )＝－x e －2＝－x

e －2x ，得γ＝1.故γ<α<β，选C.

2.【解析】由f (x )＝f (2a －x )知f (x )的图象关于x ＝a 对称，且a ≠0，A ，C 中两函数图象无对称轴， B 中函数图象对称轴只有x ＝0，而D 中当a ＝k π－1(k ∈Z)时， x ＝a 都是y ＝cos(x ＋1)的图象的对称轴．故选D

3.【解析】①因为a *b ＝lg(10a ＋10b )，故(a *b )*c ＝lg(10a ＋10b )*c ＝lg(10lg(10a ＋10b )＋10c )＝lg(10a ＋10b ＋10c )，同理a *(b *c )＝a *(lg(10b ＋10c ))＝lg(10a ＋10lg(10b ＋10c ))＝lg(10a ＋10b ＋10c )，故“*”运算满足结合律；②据定义易知运算符合交换律；③(a *b )＋c ＝lg(10a ＋10b )＋c ＝lg(10a ＋10b )＋lg 10c ＝lg[(10a ＋10b )10c ]＝lg(10a ＋

c ＋10b ＋

c )＝(a ＋c )*(b ＋c )，故结论成立．综上可知①②③正确．

4.【【解析】对任意x ∈(－∞，＋∞)，恒有fk (x )＝f (x )成立，即f (x )≤k 恒成立，∵f ′(x )＝e －

x －1，当x >0时，

f ′(x )<0;当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，从而f (x )在x ＝0时取到最大值f (0)＝1，∵f (x )≤k 恒成立，∴k ≥1，故选D.

6.【解析】①中由y ＝x 3得y ′＝3x 2.又当x ＝0时，切线斜率为0，故函数y ＝x 3在点(0,0)处的切线方程为y ＝0.结合图象知①正确． ②中由y ＝(x ＋1)3得y ′＝3(x ＋1)2.又当x ＝－1时，切线斜率为0，故函数y ＝(x ＋1)3在点(－1,0)处的切线方程为y ＝0，故②不正确． ③中由y ＝sin x 得y ′＝cos x .又当x ＝0时，切线斜率为1，

故函数y ＝sin x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .结合图象知③正确． ④中由y ＝tan x 得y ′＝

cos x

.又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝tan x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .结合图象知④正确． ⑤中由y ＝ln x 得y ′＝

.又当x ＝1时，切线斜率为1，故函数y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，结合图象可知⑤不正确． 7.【答案】④

【解析】对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈0,2π??

时，f ″(x )<0; 对于②，f ″(x )＝－

21x ，在x ∈0,2π?? ???

时，f ″(x )<0; 对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈0,

2π?

时，f ″(x )<0; 对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈0,2π?

时，f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝x e x

不是凸函数．

8.【答案】(，＋∞)

【解析】由已知得()2

h x ＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －

.h (x )>;g (x )恒成立，即6x ＋2b ，

3x ＋b 恒成立．

在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y (如图所示)，

，即b >，故答案为(，＋∞)．

9.【答案】5,4??--∞+∞ ? ?????

【解析】设a ≤x 2g (x 1)－g (x 2)恒成立，即a 21x ＋ax 1－(a 2

2x ＋ax 2)>;2x 1－3－

(2x 2－3)恒成立，即a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)>2(x 1－x 2)．因为x 1>x 2，故不等式转化为a (x 1＋x 2＋1)>2恒成立．因为a ≤x 2x 1≤a ＋2，所以2a ＋1x 1＋x 2＋1a ＋5，

故当a >0时，不等式恒成立转化为a (2a ＋1)≥2，即2a 2＋a －2≥0，解得a ；

当a<0时，a (2a ＋5)≥2，即2a 2＋5a －2≥0，解得a ≤

所以a 的取值范围是51,44???--+-∞+∞ ?? ?????

. 10.【答案】1

【解析】∵对任意x ∈[0，

13]，有f (x )≥32x ，∴f (13)≥32×13＝1

； ∵对任意x ∈[0,1]，有f (1－x )＋f (x )＝1，∴f (

23)＋f (1

)＝1.

∵f (x )在[0,1)上为非减函数，∴f (

13)≤f (23)＝1－f (13)，∴f (13)≤12，∴f (13)＝12，∴f (23)＝12

. 对任意x ∈[

13，23]，有f (13)≤f (x )≤f (23)，∴f (x )＝12(13≤x ≤2

)， ∵

13<37<59<23∴f (37)＝f (59)＝12，∴f (37)＋f (5

)＝1. 11.【解析】f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数，存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1，当x<1或x >2时，f (x )>1恒成立；

f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]?R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数．

12.【解析】(1) ∵()()g x f x x =-=1

x x ke e +－x 在R 上为减函数，

∴ g′(x)＝

()()

11x x x x

ke e ke e e

+-+－1＝

()

+－1≤0恒成立，即k≤

()

1x x

e e +恒成立．

∵

(

11224x

x x

e e e e +=++≥=，当且仅当e x ＝1

e ，即x ＝0时，

()2

e +的最小值为4，∴ k≤4.

(2) 由(1)知：k ∈(0，4]时，g(x)在R 上为减函数，又g(0)＝

11k +－0＝2

>0， g(4)＝441ke e +－4＝()4

4444

444411

k e ke e e e ----=++，∵ k≤4，∴ (k －4)e 4

－4<0,∴g(4)<0, ∴ g(x)＝0在(0，4)上有一个根x ＝x 0.又g(x)为减函数，∴ g(x)＝0有且只有一个根x ＝x 0. ∵ g(x)为减函数，∴ x>x 0时，有 g(x)

即f (x )-x<0,∴x>f (x )，又∵f (x )=()1

11x

x ke k f x e e ==

+??+ ???

为增函数，∴ x>f(f(x))

（3）设[]12,2,x x t t ∈-，且12x x <，由（1）知，[]0,4k ∈时，()g x 在R 上为减函数， ∴ ()()()()()()21122h g x g x g x g x g t g t =-=-≤--

()()()()2222f t t f t t f t f t =-----=--+????????

()()222222122211111t t t t t t t t t t t ke ke e e e k ke e e e e e e e ----??-=-+=-+=+ ?++++++??

()()

222

211221t

t k e k e e e e e

--=-

≥+++1

e k e -=-?

+．

其中()2

10k e ->，当且仅当2

t e e e

=，即1t =时，min 121e h k e -=-?+．

∴函数()g x 在长度为2的闭区间[]1,1-上“身高”最“矮”． 13.【答案】（1）当a ＝1时，f ′(x )＝()()221x x f x x

+-'=(x ＞0)，

由f ′(x )＞0

得：x >

；由f ′(x )＜0得：0＜x

所以，f (x )的单调增区间为

∞)，单调减区间为

．（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－

2x (x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2

．又直线OM 的斜率为2232ln m m m

+-，

所以，4m ＋3－2m ＝2232ln m m m

+-，即m 2＋ln m －1＝0，

又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根，所以，切点横坐标为1．（3）a ＝－

时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为： y ＝(－

12x 0＋34－02x )(x －x 0)－14x 02＋34

x 0－2ln x 0．令h (x )＝(－

12x 0＋34－02

x )(x －x 0)－14x 02＋34

x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－

12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－0

x ) ＝－

12(x －x 0)－(2x －02x )＝－12x (x －x 0) (x －0

x ) 当0＜x 0＜2时，

04x ＞x 0，F (x )在(x 0,04

x )上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，()0

0F x x x >-；当x 0＞2时，

04x ＜x 0，F (x )在(04x ,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，()0

0F x x x >-．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”．

当x 0

＝2时，F ′(x )＝－

()2

202x x

-≤，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．

所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，

()02F x x <-；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，()

F x x <-．因此，点(2，f (2))为“巧点”，其横坐标为2． 14.【解析】解：(1) 由f(1＋a)＝f(1－a)，

得(1＋a)3－3(1＋a)2＋2(1＋a)－1＝(1－a)3－3(1－a)2＋2(1－a)－1. 即a(a ＋1)(a －1)＝0.∵ a ＞0，∴ a ＝1. (2) 令g(x)＝c ，得x ＋

＝c ，即x 2－cx ＋b ＝0.(*) 由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0.∴ c ＞0，b ＞0，c 2－4b ＞0，

＝x 0. 则0＜b ＜2

0x 对一切x 0∈(3，4)均成立．∴ b 的取值范围是(0，9]．

15.(1)当a ＝1时，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2231x x x -+＝()()121x x x

--，

当102x <<

时，f ′(x )>0；当1

x <<时，f ′(x )<0;当x >1时，f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极小值－2.

(2)f ′(x )＝2x －1－1x (x >0)，所以切线的斜率k ＝2m －1－1m ＝2ln m m m

--，

整理得m 2＋ln m －1＝0.显然m ＝1是这个方程的解．

又因为y ＝x 2＋ln x －1在(0，＋∞)上是增函数，所以方程x 2＋ln x －1＝0有唯一实数解，故m ＝1. (3)当a ＝8时，函数y ＝f (x )在其图像上一点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为h (x )＝008210x x ??+

- ???

(x －x 0)＋2

0x －10x 0＋8ln x 0.

设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0，则

F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝0088210210x x x x ?

???+--+- ? ?????＝2x (x －x 0)04x x ??- ??

若002x <<,F (x )在004,

x x ?? ???上单调递减，所以当004,x x x ??∈ ???

时，()()00F x F x <=，此时

()00F x x x <-，若x 0>2，则F (x )在004,x x ??

???

上单调递减，

当x ∈004,x x ??

???

时，F (x )>F (x 0)＝0，此时()00F x x x <-，所以y ＝f (x )在(0,2)和(2，＋∞)上不存在“转点”．若x 0＝2时，则F ′(x )＝

(x －2)2，F (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >x 0时，F (x )>F (x 0)＝0；当x

- ???

，∴当k ＝－1时，与曲线C 相切的直线只有一条．结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤2)相切，另一条直线过曲线的端点B (2，7)．

∴平行的两条直线分别为：x ＋y －9＝0和x ＋y ＋

＝0. 由两条平行线间的距离公式可得，d (－1)

(2)曲线C ：y ＝x 3－x (－1≤x ≤2)的端点A (－1,0)，B (2,6)，

∴y ′＝3x 2－1．所以曲线C 在点A(－1,0)处的切线斜率为2，在点B (2,6)处的切线斜率为11. 设斜率为k 且过点A 的直线为1:l y kx k =+，过点B 的直线为2:26l y kx k =-+，()00,P x y 为曲线上斜率为k 的切点.

下面分两种情况：

①当k ≥11时，由2

03111k x =-≥，得02x ≤-或02x ≥.因为C ：y ＝x 3－x (－1≤x ≤2)，所以切点P 不在曲

线C 上，则曲线C 上的所有点都在12,l l 之间，所以d (k )

；

②当211k <<时，由2023111x <-<，得021x -<<-，或012x <<.因为C ：y ＝x 3－x (－1≤x ≤2)，所

以有且只有一条斜率为k 的直线与曲线C 相切．由2031k x =-，

得0x =

．切线方程为()()2330

0:31l y x x x x x =--+-

，即)3

219

y kx k =-+．设1l 、2l 、3l 在y 轴上的截距分别为1b 、

2b 、3b ，则1b k =，262b k =-．因为211k <<，所以12b b >

．因为)3

231b k =+，

223621b b k k -=-++，令1t k =+()211k <<，则()1312k t t =-<<．

所以3223289b b t -=-+．设(

)32289g t t =-+，因为(

223

g t '=-，， 312t <<

所以()0g t '<．则函数()g t ()3,12上是单调递减函数，因为()120g =，所以()0g t >在()3,12上恒成立，所以23b b >，则曲线上的所有点都在1l 、3l 之间.

所以d (k )

91k k ++

综上得(

)

)))3

1191211k d k k k k ≥=++<<,

17.解析(1)∵f (x )＝x －1－ln x (x >;0)，∴f ′(x )＝1－

1x ＝1

x x

-. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增． ∴f (x )的最小值为f (1)＝0.

(2)证明：由(1)知当x >0时，恒有f (x )≥0，即x －1≥ln x .

故e x －

1≥x ，从而有e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取等号．分别令x ＝1

，

12，13，…，1

可得e 1>1＋1＝2，12

13122e >+=，1314133e >+=，…，1

111n n e n n +>+=

相乘可得1111...233412...123n

n e

n n +++++>????=+，即111

1 (23341)

2...123n n e n n

+++++>????=+.

(3)令F (x )＝h (x )－g (x )＝12x 2－eln x (x >0)，则F ′(x )＝x －e

＝(x x x +，

当x ∈(0时，F ′(x )<0,F (x )递减；当x ∈∞)时，F ′(x )>0，F (x )递增．

所以当x F (x )取得最小值0.则h (x )与g (x )的图象在x 2e ???

. 设函数h (x )与g (x )存在“分界线”，方程为y －

2e ＝k (x ，应有h (x )≥kx ＋2

－x ∈R 时恒成立，即x 2－2kx －e ＋2在x ∈R 时恒成立，必须Δ＝4k 2－4(2e)＝4(k 2≤0，得k 下证g (x －

在x >0时恒成立，记G (x )＝eln x ＋

e ，

则G ′(x )

＝

e x x -=，当x ∈(0

时，G ′(x )>0，G (x )递增；当x ∈(2e ，＋∞)时G ′(x )<0,G (x )递减．

所以当x ＝

2e 时，G (x )取得最大值0，即g (x )≤2e x －2

在x >0时恒成立．综上可知，函数h (x )与g (x )存在“分界线”，其中k

b ＝－

. 18.【解析】(1)函数f (x )＝4x 是“(a ，b )型函数”，因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a ＝b ，所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16.

(2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4，所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝

()

2g x -，其中2－x ∈[0,1]．

而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝

m . ①当

>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪4,21m ????+??＝4,11m m ??

+??+??，由题意得134

m m +≤???≥?+?，此时无解； ②当12≤2m ≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为(),02m g g ???? ???????，即2

1,14m m m ??+-+????

，

所以g (x )在[0,2]上的值域为2

1,14m m m ??+-+????∪2

44,114

m m ?

????+??+-????

，由题意得244,311413m m m m ?≤?+?+-??+≤??

且2

11441

1m m m ?+-≥????≥?+?，解得1≤m ≤2； ③当0＜2m ≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为(),12m g g ???? ???????，即21,24m m ??

+-???

?，则g (x )在[0,2]上的

值域为2

1,24m m ??+-????∪2

42,14

m m ????????+-

????＝22

1,414m m m m ?

??+-????+-

????

，

则2

44314

m m m m ?+-≥???≤??+-?解得2

≤m ≤1.综上所述，所求m

的取值范围是22???

???.

二次函数新定义问题(一)(讲义及答案)

新定义问题（一）（讲义）知识点睛新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。此类问题的一般思路： ①结合图形，理解新定义关键词； ②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”； ③结合背景信息，借助新定义求解．

精讲精练 1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式．（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．

2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ；（2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．

函数中的新定义问题

函数中的新定义问题一、填空题 1、定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数 f(x)?|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差 2 为 . 2、（2015余杭区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x；②f（x）= x2；③f（x）=2；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为． 3、（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?，均有f?x1??f?x2?kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x?? 4、（2012格致三模）已知全集为U，P??U，定义集合P的特征函数为x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。 ??1,x?P,fP?x???，对于A??U， B??U，给出下列四个结论： 0,x?eP.?U? ①对任意x?U，有feUA?x??fA?x??1； ②对任意x?U，若A??B，则fA?x??fB?x?； ③对任意x?U，有fAIB?x??fA?x??fB?x?； ④对任意x?U，有fA?B?x??fA?x??fB?x?。其中，正确结论的序号是__________。 5、定义运算：a*b=，对于函数f（x）和g（x），函数|f（x）﹣g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（f（x），g（x）），则（sinx*cosx，1）= ．

初三数学中考一轮复习新定义问题教案(含练习)

§15-1 新定义计算对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点()1,a b ，()21,a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知()11,0y x m x x = -≤≤≠是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围；（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．1

Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点()1,x y 和()2,x y 关于点(),x x 中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y x =上，所以称这两个函数为关于直线y x =的特别对称函数．例如：12y x =和32 y x =为关于直线y x =的特别对称函数．（1）若32y x =+和()0y kx t k =+≠为关于直线y x =的特别对称函数，点()1,M m 是32y x =+上一点． ①点()1,M m 关于点()1,1中心对称的点坐标为． ②求k ，t 的值．（2）若3y x n =+和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值．（3）若二次函数2y ax bx c =++和2y x d =+为关于直线y x =的特别对称函数． ①直接写出a ，b 的值． ②已知点()3,1P -，点()2,1Q ，连接PQ ，直接写出2y ax bx c =++和2y x d =+两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围．

与函数有关的新定义题型

与函数有关的新定义题型 1．(2016长沙25题10分)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”． (1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值； (2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6 x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式； (3)当常数k 满足1 2≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴， y 轴所围成的三角形面积的取值范围．

2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点．．．．．．称之为“中国结”． (1)求函数y ＝3x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数y ＝k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标； (3)若二次函数y ＝(k 2－3k ＋2)x 2＋(2k 2－4k ＋1)x ＋k 2－k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？

3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． (1)若点P (2，m )是反比例函数y ＝n x (n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； (2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 是常数，a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，且满足－2

二次函数新定义问题

专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题 ?类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用图4－ZT－1 1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________. 2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________． 3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”． (1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点． (2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________． (3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图4－ZT－2

?类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究 4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答． 5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点． (1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．

中考数学专题突破十：新定义问题(含答案)

专题突破(十) 新定义问题 1．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z10－1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图． (1)当⊙O 的半径为1时． ①分别判断点M (2，1)，N (3 2，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标； ②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围． (2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－ 3 3 x ＋2 3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．图Z10－1 2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1. (1)分别判断函数y ＝1 x (x >0)和y ＝x ＋1(－4a )的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围； (3)将函数y ＝x 2(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位长度，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足3 4 ≤t ≤1?

新定义函数-中考新题型

实数b的取值范围．变式如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

例3．如图1，抛物线y =ax 2 +bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．（1）抛物线2 12 y x = 对应的碟宽为；抛物线y =4x 2对应的碟宽为；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为；抛物线y =a (x -2)2 +3（a ＞0）对应的碟宽为；（2）抛物线2 543 y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；（3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1， F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1 2 ，且F n 的碟顶是F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式； ②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。

2017中考有关《二次函数新定义》题型练习

2016年中考数学二次函数综合题练习【二次函数中新定义问题】 1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()() 0'0y x y y x ??=?-??≥＜，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．（1）下面哪个点的“关联点”在函数3 y x = 的图象上？（） A 、（0，0） B 、（3，－1） A 、（－1，3） D 、（－3，1）（2）如果一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2)，求点M 的坐标；（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标 y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围． x y O x y O

O x y D 1D 2B 3 A 3D 3C A B A 2B 2 A 1 B C 2 C 1 2、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形。点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ， C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ， 333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ， C 的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，t ）． ①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为；（2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线542 ++-x x y ＝上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图3，已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数)0(4 >= x x y 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．

新定义函数问题

新定义、新概念创新函数问题解析信息迁移题是近几年高考中函数题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。 1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=-x 2, 值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( ) A.9个 B 。8个 C 。5个 D 。4个解析:函数y=-x 2, 值域为{-1,-9}，可知自变量x 从1，-1，±1中任取一个，和从3，-3，±3中任取一个构成函数，故满足条件的“同族函数”有3×3=9个。 2. 若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数f(x)的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”)。已知函数 f(x)=?????≥<++0,0,14222x x x x x e 则f(x)的“友好点对”有_______个。解析:本题若直接求解显然不行，不妨作出函数f(x)=2x 2+4x+1,(x<0) 图象关于原点对称的函数记为g(x)=-f(-x)=-2x 2+4x-1=-2(x-1)2+1,g(1)=1, 而f(1)= e 2 <1，作出g(x)与f(x)(x ≥0)的图象，数性结合可知，g(x) 与f(x)(x ≥0)有两个交点，故f(x)的“友好点对”有两个。 3，（2010湖南卷)用min{a,b}表示a,b 俩数中的最小值，若函数f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-2 1 对称,则t=_________________ 解析:在同一坐标系中，分别作出函数 x y =与t x y +=的图像，由图像知f(x)的图像为图中的实线部分(A-B-C-O-E)。由于f(x) 的图象关于直线x=-2 1对称，于是 1,2 12 0=∴-=+-t t 。评注:本题主要考查绝对值函数的图像的做法以及函数图像的对称问题。求解本题应首先作出f(x)的图像(两函数图像中较低的部分)，再利用对称性，由中点坐标公式求出t 值。 4. 已知函数f(x)是[a,b]上的连续函数，定义:g 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}（x ∈[a,b]）,g 2(x)=max{f(t)|a a ≤t ≤x}( x ∈[a,b]).其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最小值，man{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最大值。若存在最小正整数k,使得g 2(x)—g 1(x) ≤k(x-a)对任意的x ∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶回归函数”。（Ⅰ）若f(x)=cosx, x ∈[0, π],试写出g 1(x)，g 2(x)的表达式；（Ⅱ）已知函数f(x)=x 2,,x ∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k 阶回归函数”。如果是，求出对应的k; 如果不是，请说明理由；解析: （Ⅰ）由题意可知 g 1(x)=cosx,[],,0π∈x g 2 (x)=1,[]π,0∈x . （Ⅱ）g 1(x)=[) [] ???∈-∈4,0,00,1,2x x x g 2 (x)=[][]???∈-∈4,1,1,1,1,2 x x x g 2 (x)—g 1(x)=[) [)[] ?? ???∈∈-∈-4,1,1,0,10,1,122x x x x x 当[)0,1-∈x 时，()112 +≤-x k x ，所以2,1≥-≥k x k ；当[)1,0∈x 时，()11+≤x k ，所以1 1+≥ x k 所以1≥k ；当[] 4,1∈x 时， ()12+≤x k x 所以5 161 ,2≥∴≥ +k k x x 综上所述516≥k

函数新定义问题

历年高考新定义函数问题一、利用函数性质解决函数新定义问题 1．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ??=???x x 为有理数为无理数 ,则下列结论错误的是（） A ．()D x 的值域为{}0,1 B ．()D x 是偶函数 C ．() D x 不是周期函数 D ．()D x 不是单调函数 1【答案】C 【解析】A,B.D 均正确,C 错误. 【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键. 2．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:2 2,*,a ab a b b ab ?-?=??-?a b a b ≤>, 设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________. 2【解析】由定义运算“*”可知 22 2 2112()0(21)(21)(1),21148 ()=11(1)(21)(1),211()024 x x x x x x x f x x x x x x x x ?--≤??-----≤-??=??------???--+??，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是 116 -（）. 二、利用数形结合解决函数新定义问题 1.【2015高考天津，理8】已知函数()()2 2,2,2,2, x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

中考定义新函数综合练习

26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x 的取值范围是全体实数；（2）下表是y 与x 的几组对应值． ①m = ； ②若M （7-，720-），N （，720）为该函数图象上的两点，则；（3）在平面直角坐标系中， A （），B （）为该函数图象上的两点，且A 为范围内的最低点， A 点的位置如图所示． ①标出点B 的位置； ②画出函数（）的图象． (1)(2)(3)y x x x =---(1)(2)(3)y x x x =---(1)(2)(3)y x x x =---n n =xOy ,A A x y ,B A x y -23x ≤≤(1)(2)(3)y x x x =---04x ≤≤

26. 有这样一个问题：探究函数x x y 1 2-=的图象与性质. 小宏根据学习函数的经验，对函数x x y 1 2-=的图象与性质进行了探究. 下面是小宏的探究过程，请补充完整：（1）函数x x y 1 2-=的自变量x 的取值范围是___________；（2）下表是y 与x 的几组对应值. 求m ，n 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：________________.

26.有这样一个问题：探究函数 x y= x+1 的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数 x y= x+1 的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成： (1)函数 x y= x+1 的自变量x的取值范围是___________； (2)列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=__________； (3)请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出函数的一条性质. 26．【探究函数 9 y x x =+的图像与性质】 x y= x+1

49函数新定义题

专题49、与函数有关的创新问题过*()n n ∈N 个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。给出下列函数：①()sin 2f x x =；② 3()g x x =；③1 ()()3 x h x =；④()ln x x ?=，其中是一阶整点函数的是( ) ，它的图象只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除 1,1),，所以它不是一阶整点函数，排除,,3),所以它不是一阶整点函数，排除C . 00000“优美点”。已知22,0 ()2,0x x x f x kx x ?+<=?+≥? ，若曲线()f x 存在“优美点”，则实数k 的取值范围为 ( ) .(,2A -∞- .[2B - .(,2C -∞+ .(0,2D + 函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”，若函数2()31x f x -=-与2()x g e x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) 214., A e e ?? ??? 214.,B e e ?? ??? 242.,C e e ?????? 3242D.,e e ?????? 【答案】B 【解析】由2()310x f x -=-=，解得2x =，可知{}2{}0|()M f αα===，函数2()31x f x -=-与2()x g e x x a =-互为“1度零点函数”，∴存在β，使得()0g β=，且|21|β-<，可得

【例4】已知具有性质：1()f f x x ?? =- ???的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①1()f x x x =-；②1 ()f x x x =+；③,01()0,11 , 1x x f x x x x ? ?<?，其中满足“倒负”变换的函数是( ) 【例5】若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数2],1,2[y x x =∈与函数2[],2,1y x x =∈--即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( ) [].A y x =([]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]0.10=) .B y x =+31 .log C y x x = - 1 .1 D y x x =+ + 【答案】AD 【解析】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调。

与函数有关的新定义题型 2

与函数有关的新定义题型１.(2016长沙25题1０分）若抛物线Ｌ：ｙ＝aｘ２＋bx＋c(ａ,b,c是常数,abc≠０）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Ｑ在直线l上,则称此直线l与该抛物线Ｌ具有“一带一路”关系．此时直线ｌ叫做抛物线Ｌ的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”．（1)若直线ｙ=mｘ+1与抛物线ｙ＝x２－2x+n具有“一带一路”关系，求ｍ,n的值； (2)若某“路线＂L的顶点在反比例函数y＝错误!的图象上,它的“带线”ｌ的解析式为y=２x－４，求此“路线”L的解析式； (3）当常数ｋ满足1 ２ ≤k≤２时，求抛物线L：y=ax２+（3ｋ2-２k+1)x+k的“带线”ｌ与ｘ轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.

2．（２０15长沙２５题10分）在直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数．．．．的点．．称之为“中国结". (1)求函数ｙ＝＼ｒ(３）x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数y ＝k x (k ≠0,k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结",试求出常数k 的值与相应“中国结"的坐标; （3)若二次函数ｙ＝(k 2-3ｋ+２)x 2+(２k 2－4k +１)x +k 2-k (k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结"，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”？

3.（2０14长沙25题10分)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(－1,－１),(0，０），（错误!,错误!）,…都是“梦之点”,显然，这样的“梦之点”有无数个. (1)若点P(2,m)是反比例函数y=＼f(n，x)(n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式； (2)函数y=3kx＋s-1（k，ｓ是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y＝ax２＋bｘ+１(ａ,b是常数,a>0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x１)，Ｂ(x２，ｘ2）,且满足－2

函数新定义习题

函数新定义习题已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，若x x f y ) (=在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2) (x x f y = 在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω。若函数hx hx x x f --=2 3 2)(，且1)(Ω∈x f ，2)(Ω?x f ，则实数h 的取值范围是（） A ．),0[+∞ B ．),0(+∞ C ．]0,(-∞ D ．)0,(-∞ （茂名2014年一模）8、定义域为],[b a 的函数)(x f y =的图象的两个端点为B A 、，点 ),(y x M 是)(x f 图象上任意一点，其中)10()1(≤≤-+=λλλb a x )，向量 OB OA ON )1(λλ-+=（O 为坐标原点），若不等式k MN ≤恒成立，则称函数)(x f 在],[b a 上“k 阶线性近似”. 若函数]1 x x y -=在2,1[上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( ) A ．),0[+∞ B ．),1[+∞ C ．),223 [+∞- D ．),22 3[+∞+ （2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有 0()()0()()f x h x m h x g x m <-的四组函数如下： ①2 ()f x x = ，()g x = ②()102x f x -=+，()g x = 23 x x -； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x +； ④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=--。其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 【答案】C 【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。

二次函数压轴题之新定义问题(一)(讲义及答案)

二次函数压轴题之新定义问题（一）（讲义）知识点睛新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。此类问题的一般思路： ①结合图形，理解新定义关键词； ②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”； ③结合背景信息，借助新定义求解．

函数创新试题之“新定义型”函数问题

函数创新试题之“新定义型”函数近几年高考试题或模拟试题中出现了一种函数创新试题——“新定义型”函数。它是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考察学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力。本文在此介绍几种常见的“新定义型”函数，旨在探索题型规律，提高解题的方法。一、密切函数例1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x [a,b]，都有︱f（x）-g(x)︱≦1。则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”，[a,b]称为“密切区间”，设f(x)=x2 -3x+4 与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（） A，[3，4] B，[2，4] C，[2，3] D，[1，4] 解析：由∣f(x)-g(x)∣=∣x2-5x+7∣=x2-5x+7≦1 得2≦x ≦3,故所求密切区间可以是[2，3] ，故应选C. 二，科比函数例2，对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a﹤,b),使当x [a,b]时，f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”。若函数f(x)=k+ 是科比函数，则实数k的取值范围是（） A.（，＋∞）B、 C. D. 解析：因为f(x)=k+ 是增函数，若f(x)=k+ 是“科比函数”，则存在实数a,b(-2≦a﹤b),使f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根，从而方程 k=x- 有两个不同实根，令=t 则k=t2-t-2 (t≧0) 当t=0时,k=-2;当t= 时,k= ,由图可知，当﹤k≦-2 时，直线y=k与曲线y=t2-t-2(t≧0)有两个不同交点，即方程k=t2-t-2有两个不等实根，故实数k的取值范围是故应选C. 三，保等比数列函数例3，定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列﹛a n﹜、﹛f(a n)﹜仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在上的函数如下：①f(x)= x2 ; ②f(x)=2x ; ③f(x)= ; ④f(x)=ln . 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）。 A、①② B ③④ C ①③ D ②④ 解析：根据“保等比数列函数”的定义逐个判断，如﹛a n﹜是等比数列，则﹛a n2﹜、﹛﹜也是等比数列，、不一定是等比数列，故应选C。四，延拓函数例4，已知函数f（x）、g（x）的定义域分别为F、G，且F G，若对于任意的x F，都有g （x）=f（x)，则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”。已知函数f（x）=2x，（x≤ 0), 若g（x）为f（x)在R上的一个“延拓函数”，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）。 A、 B.log2︱x︱ C . D. 解析：由题意得，当x≤ 0时，g（x）=f（x）= 2x= 2-︱x︱又g（x）是偶函数，因此有g(-x)=g(x)恒成立，当x＞0 时，-x＜0, g(x)=g(-x)=2-x = 综上所述，g(x)= 故应选C。五，符号函数 1 (x＞0)

新定义函数-中考新题型

函数图形变换方法总结： 1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数； 2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式； 3．根据题目要求结合函数性质解决问题。例1．我们规定：形如()ax k y a b k k ab x b +=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)k y k x =≠. （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ， CD 交于点E ，“奇特函数”6ax k y x +=-的图象经过B ，E 两点. ①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x =的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、

E、P、Q为顶点组成的四边形面积为1610 ，请直 3 接写出点P的坐标．例2．定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1，-2，

3}，函数y =2x +3的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0} （1）将“特征数”是30,,13????? ??? ? ? 的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是313y x =-；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是2 11,2b,b 2?? -+???? 的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围．

函数新定义问题训练

函数中的定义型问题训练一、选择题 1.定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，如果函数g (x )＝ 12 x 2 (x ∈(0，＋∞))，h (x )＝sin x ＋2cos x ，x ∈(0，π)，φ(x )＝－x e －2x 的“新不动点”分别为α、β、γ，那么α、β、γ的大小关系是( ) A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ 2.对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x ) ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝cos(x ＋1) 3.定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R.对于任意实数a ，b ，c ，给出如下结论： ①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )．其中正确结论的个数是( ) A ． 0 B ． 1C ． 2 D ． 3 4.设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数： ()()()()()() k f x f x k f x k f x k ?≤?=? >??，取函数()2x f x x e -=--，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有 ()()k f x f x =，则( ) A ．k 的最大值为2 B ．k 的最小值为2 C ．k 的最大值为1 D ．k 的最小值为1 5.对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意实数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，那么称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是( ) A ． [3,4] B ． [2,4] C ． [2,3] D ． [1,4] 二、填空题 6.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切； (2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3； ②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3； ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .

湖南省长沙市中考数学实现试题研究与函数有关的新定义问题题库

湖南省长沙市中考数学实现试题研究与函数有关的新定义问题题库 1．实数x 、y 若存在坐标(x ，y )同时满足一次函数y ＝px ＋q 和反比例函数y ＝k x ，则二次函数y ＝px 2 ＋qx －k 为一次函数和反比例函数的“共享”函数. (1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数y ＝－x ＋4和反比例函数y ＝3 x 是否存在“共享” 函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标； (2)已知整数m 、n 、t 满足条件：t b >c ，a ＋b ＋c ＝0，令L ＝|1x 1－1 x 2 |，求L 的取值范围．解：(1)令－x ＋4＝3x ，解得x ＝1或x ＝3，y ＝－x ＋4和y ＝3 x 是“共享”函数，实数对坐，标为(1，3)和(3，1)； (2)y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与y ＝2018x 的“共享”函数是y ＝(1＋n )x 2 ＋(2m ＋2)x －2018，由题意得，y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与y ＝2018 x 的“共享”函数为y ＝(m ＋t )x 2 ＋(10m －t )x － 2018， ∴?????1＋n ＝m ＋t 2m ＋2＝10m －t ，即? ????n ＝9m －3t ＝8m －2，又∵t b >c ，即2()0a c ac a a c c ?+->?>-->?,∴－2