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线性代数讲义

线性代数（Linear Algebra ）

引言（Introduction ）

1. 数学数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等．

2. 代数代数(algebra)分为古典代数和近世代数．古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1

-=；

一元二次方程 )0(02

≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(22,1a ac b b x -±-=；

一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；

但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．

近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：

例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问

雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”

解法1 设雉、兔分别为x ，y ，则由???=+=+944235y x y x 解得?

??==1223y x .

解法2 ???? ??9435足头?

????→????? ????→????? ????→?122312354735兔雉兔头半足头再作差作差半其足 . 解法 3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为70235＝?，从而得兔“手”数为

94－70＝24，于是兔子数为24÷2＝12，雉数为35－12＝23 .

注：后两种解法心算即可．

例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克）．

表1 各产品的原料成份（％）及各原料的用量（千克）

解设A,B,C,D,E 五种产品的产量分别为X i （i ＝1，2，3，4，5），

则问题归结为求解方程组 ???????=++++=++++=++++=++++600

1.06.01.0

2.01.07807.01.0

3.01.02.02501.02.02.06.0

4.0100

1.01.04.01.03.054321543215

432154321X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

这是一个含五个未知量、四个方程的方程组．

例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示．求每类商品的年

平均利润率（％）．表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）

解设四类商品A,B,C,D 的利润率分别为X i （i ＝1，2，3，4），则问题归结为解下面含

四个未知量、四个方程的方程组 ???????=+++=+++=+++=+++95

500500250300907504003001608580050010020080

600300200250432143214

3214321X X X X X X X X X X X X X X X X .

现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程

组，其一般形式为 ???????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112

22221211

1212111 .

此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无

穷多组解，如 ⑴??

?=-=+2261

32121x x x x 有唯一解

?==03

/12

1x x ; ⑵???=-=-2261

321

21x x x x 有无穷多解

?-==132

1c x c

x （其中c 为任意常数） ; ⑶??

?=-=-4

261

32121x x x x 无解 .

那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题．线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支．在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester 、A.Cayley 、美国的Peirce 父子和L.E.Dickson 等人的工作．

主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等．下面我们将分别介绍．当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多

内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的．

参考书

[1] 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社． [2] 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数辅导（胡金徳等编），清华大学出版社． [3] 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社． [4] 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社． [5] 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社． [6] Linear Algebra(UTM)，By L.Smith ，Springer-Verlag ．

．．．

第一讲行列式 ( Determinant )

教学目的与要求：了解n 阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法，会应用行列式的性质简化n 阶行列式的计算，会用Cramer 法则解线性方程组．

重点：n 阶行列式的概念、性质与计算

§1 二、三阶行列式（复习与总结）

一、2阶行列

例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ???=+=+②①

ΛΛ94423521

21x x x x ；

（2）??

?=+=+②

①ΛΛ22221211212111b x a x a b x a x a ……(1)（其中)021122211≠-=a a a a D ．

解 (1) )1(4-?+?②①得,2346211=?=x x

1)2(?+-?②①得1224222=?=x x ．

(2) )(1222a a -?+?②①得121222111)(x b a a b D Dx ?-===D 1/D ，

1121)(a a ?+-?②①得=?-==221121122)(x a b b a D Dx D 2/D ．

为使⑴的解表示简单，Leibniz 于18世纪初引入2阶行列式的定义如下：

定义设有4个元素（数）排成的两行（row ）、两列（column ）的

1211a a a a ，称为

一个2阶行列式，其值为a 11a 22－a 12a 21，即

2112221122

1211a a a a a a a a -=．

如例1（2）中的D=

1211a a a a 称为方程组⑴的系数行列式，而22

1211a b a b D =

，

1112b a b a D =

；（1）中的2494

2351,464

94135,24

21121==

D D D ．

例２计算2

15－=

D ．

解 1331252

5＝）（－＝－?-?=

D ．例３

设1

2λλ=

D ，问λ为何值时，（1）D = 0，（2）D ≠0？

解因D =λ2－3λ＝λ（λ－3），故（1）当λ＝0或3时，D = 0；

（2）当λ≠0，3时，D ≠0．例4 设1

21--=

k k D ，则D ≠0的充要条件是（）

答：k ≠－1，3．

(因D =(k －1)2－4＝（k ＋1）（k －3），故D ≠0的充要条件是k ≠－1，3) 例5 如果122

2112110==

a a a a D ，则下列（）是???=+-=+-0022221211212111

b x a x a b x a x a 的解．

(A)2

211

222

1211b a b a x a b a b x =

，; (B)2

211

11222

1211b a b a x a b a b x =

=，;

21111222

21211b a b a x a b a b x ----=

----=

，； (D)2

211

222

212

1b a b a x a b a b x ---

=-----

=，．

答：（）

线性代数讲义2

第二章矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算. §2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子. 例1 设有线性方程组 ??? ????=++-=+-+=++--=--+7 7391833 32154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下： ????? ???????------77391111833312111151 这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要. 例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1. 这个排成4行5列的产值阵列? ? ??? ???? ???768082708880909075907684857098 6478755880具体描述了这家企业各种产品各季

度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况. 例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，， 2,1=）耗用第j 种材料（n j ，， 2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2. 表2-2 这个由行列构成的消耗定额阵列 ? ? ??? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系. 类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义. 定义由n m ?个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ?矩阵.这n m ?个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素. 一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ?表示，或记作() n m ij a ?.

线性代数讲义

线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

[线性代数电子讲义] [1] 行列式的定义

[线性代数]第一章行列式 1 二阶与三阶行列式的引入 2n阶行列式的定义 3行列式的性质 4余子式与代数余子式 5行列式的展开定理 6线性方程组的Gramer 法则 7典型例题回顾

用消元法解二元线性方程组: ?? ?=+=+, ,22221211212111b x a x a b x a x a :2x 消去◇二阶行列式 2 122211211b b a a a a ,)(212221*********b a a b x a a a a -=-:1x 消去, )(211211*********a b b a x a a a a -=-时，当021122211≠-a a a a ，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=1.二阶与三阶行列式的引入

22 211211a a a a [定义1]22 2112 11a a a a 21 122211a a a a -=: 记号主对角线副对角线 [二阶行列式计算:对角线法则] 2211a a =21 12a a -22 2112 11a a a a : 224列的数表行个数排成设有，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=21122211a a a a -代数式称为该数表所确定的二阶行列式.

,22 21 12 11a a a a D = ?? ?=+=+. ,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组: [系数行列式] [二元方程组的Gramer 法则] ?? ?=+=+. , 22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =,222 12 1 1a b a b D = ?211222112 122211a a a a b a a b x --=D D x 1 1=

自考04184线性代数(经管类)讲义

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得0

线性代数英文讲义

Chapter 4 Linear Transformations In this chapter, we introduce the general concept of linear transformation from a vector space into a vector space. But, we mainly focus on linear transformations from n R to m R. §1 Definition and Examples New words and phrases Mapping 映射 Linear transformation 线性变换 Linear operator 线性算子 Dilation 扩张 Contraction 收缩 Projection 投影 Reflection 反射 Counterclockwise direction 反时针方向 Clockwise direction 顺时针方向 Image 像 Kernel 核 1.1 Definition ★Definition A mapping(映射) L: V W is a rule that produces a correspondence between two sets of elements such that to each element in the first set there corresponds one and only one element in the second set. ★Definition A mapping L from a vector space V into a vector space W is said to be a linear transformation（线性变换）if

线性代数讲义-01行列式

第一章行列式第一节行列式的定义. 一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列. 定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n . 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列. 定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++. 例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式: 2112221122 21 1211a a a a a a a a -=;

线性代数知识点归纳(1)

线性代数知识点归纳（1）第一部分行列式 1、排列的逆序数 2、行列式按行（列）展开法则 3、行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1、行列式的计算：①（定义法） ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和、推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零、③（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积、④ 若都是方阵（不必同阶），则⑤关于副对角线：⑥范德蒙德行列式： ⑦型公式：⑧（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法、⑨（递推公式法）对阶行列式找出与或，之间的一种关系一一称为递推公式，其中，，等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法、（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算、⑩（数学归纳法） 2、对于阶行列式，恒有：，其屮为阶主子式；

3、证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值、 4、代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1、矩阵的运算性质 2、矩阵求逆 3、矩阵的秩的性质 4、矩阵方程的求解 1、矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵、记作：或同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等、矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等、矩阵运算&、矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）、b、数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为、c、矩阵与矩阵相乘：设，，则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律，即公式不成立、8、分块对角阵相乘：，b、用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；c、用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量、d、两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘、④方阵的幕的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作、8、对称矩阵和反对称矩阵：是对称矩阵、是反对称矩阵、b、分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为屮各个元素的代数余子式、，，、分块对角阵的伴随矩

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a 000 0021 称为对角行列式， n n a a a a a a 2121 00 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 00 022211211及 nn n n a a a a a a 21 222111 0为上（下）三角行

列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 00 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 221121222111 0=。 3、 ||||B A B O O A ?=， ||||B A B O C A ?=， ||||B A B C O A ?=。 4、范得蒙行列式—形如1121 121211 11 ),,,(---= n n n n n n a a a a a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且 n i j j i n n n n n n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----== 11121 12 121)(1 11 ),,,(。【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。 2、对调两行（或列）行列式改变符号。 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a 2 121112112 121112 11212 21 111211 +=+++。

线性代数讲义

目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 2.矩阵和向量 (1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 由m?n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m?n型矩阵.例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8

大学线性代数必过复习资料

复习重点：第一部分行列式 1．排列的逆序数（P.5 例4；P.26 第2、4 题） 2．行列式按行（列）展开法则（P.21 例13；P.28 第9 题）3．行列式的性质及行列式的计算（P.27 第8 题）第二部分矩阵 1．矩阵的运算性质 2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56 第17、18 题；P.78 第5 题） 3．伴随阵的性质（P.41 例9；P.56 第23、24 题；P.109 第 25 题）、正交阵的性质（P.116） 4．矩阵的秩的性质（P.69 至71；P.100 例13、14、15）第三部分线性方程组 1．线性方程组的解的判定（P.71 定理3；P.77 定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75 例13；P.80 第16、 17、18 题） 2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）

第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1 .向量组的线性表示 2.向量组的线性相关性 3.向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1.施密特正交化过程 2.特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8 9、10; P.135 第7至13题） 3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23 题）要注意的知识点：线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2?代数余子式的性质： ①、A j和a,的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；

线性代数知识点总结(第1、2章)上课讲义

线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如

线性代数讲义-复习知识树

线性代数绪论一、线性代数研究的核心问题代数——用字母代替数；代数学——关于字母运算的学说，研究的中心内容：解方程。初等代数（用字母代替数）： )1( 一元一次方程 )2(

行列式解法消元法四元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组无一般根式解一元五次及更高次方程根式解或求根公式一元四次方程一元三次方程一元二次方程??????????????????→? ?? ???)2()1( 问题一：如何求解含更多个未知数的一次方程组？ 1．Varga ，1962年提到在Bettis 原子能实验室已经解了108000个未知数的方程组； 2．70年代末，我国“全国天文大地网首次整体平差计算”课题，核心部分是求解一个含16万个未知数31万个方程式的矛盾方程组。一般地，如何求解含n 个未知数m 个一次方程的方程组：

? ?????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 其中未知数之间的关系由加法与数乘来实现，称这种关系为线性关系，称相应的方程组为线性方程组。线性代数如何求解线性方程组发展??→? 线性代数研究的核心问题——求解线性方程组。字母——代替代数量（如行列式、向量、矩阵、张量等）。线性代数定义——研究具有线性关系的代数量的一门学科。问题二：一元高次方程及多元高次方程组（简称为代数方程（组））的有关问题，如：根的个数、根的性质（实根、虚根、重根等）、根的分布（上界与下界、分布区域等）、根的近似计算、公共根等。研究代数方程（组）??→?发展多项式代数

线性代数讲义

线性代数（Linear Algebra ）引言（Introduction ） 1. 数学数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等． 2. 代数代数(algebra)分为古典代数和近世代数．古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1 -=；一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(22,1a ac b b x -±-=；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问

线性代数讲义1

线性代数与解析几何讲义（部分）引言（Introduction ） 1. 数学数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等． 2. 代数代数(algebra)分为古典代数和近世代数．古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=；一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(2 2,1a ac b b x -± -=；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”

考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义- 主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为 )(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑ -= τ。定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a 000 21 称为对角行列式，n n a a a a a a 2121 00 =。

2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 0 022211211 及 nn n n a a a a a a 21 2221 11 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 2211222112110 0=，nn nn n n a a a a a a a a a 2211212221 11 0=。 3、 ||||B A B O O A ?=， ||||B A B O C A ?=， ||||B A B C O A ?=。 4、范得蒙行列式—形如1121 121211 11 ),,,(---= n n n n n n a a a a a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且 n i j j i n n n n n n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----== 11121 121 21)(1 11 ),,,(。【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。 2、对调两行（或列）行列式改变符号。 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a 2 121112112 121112 11212 21 111211 +=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

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