第三节多边形的边和角
一、课标导航
二、核心纲要
1.多边形的有关概念
⑴多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
⑵多边形的内角和：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的延长
线组成的角叫做多边形的外角.
⑶多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
⑷正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
⑸凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条线的同一侧，这样的多
边形叫做凸多边形，否则称为凹多边形.
注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形.
2.多边形的内角和
n边形外角和公式：(n－2)·180°.
3.多边形的外角和
n边形的外角和等于360°.
注：多边形外角和与边数无关.
4.多边形的对角线的条数
多边形的对角线的条数为：
()3
2
n n-
(n＞3)
5.镶嵌
⑴定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的拼接在一起，
这类问题叫做平面镶嵌.
⑵镶嵌的条件：拼在同一个顶点的几个多边形的内角和恰好为360°.
注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形.(其中三角形和四边形是任意的)
②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形.
本节中点讲解：一个条件(镶嵌的条件)，两个概念(多边形的有关概念和镶嵌)，两个定理(多边形内角和及其外角和定理).
三、全能突破
基础演练
1.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( ). A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
2.某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论.甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”.你认为正确的是( )
A.甲和丁
B.乙和丁
C.丙和丁
D.以上都不对
3.小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形铺砖，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )
A.正三角形、正六边形
B.正三角形、正五边形、正八边形
C.正六边形、正五边形
D.正八边形、正三角形
4.如图11－3－1所示，在锐角△ABC 中，BD 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，且BD 、CF 交于点F ，若∠A ＝52°，则∠BFC 的度数是( ). A.108° B.128° C.138° D.158°
5.如图11－3－2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.
2π B.3π C.4
π
D.2π 6.如图11－3－3所示，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108
米回到点P ，则α＝_____.
图
11-3-2
图11-3-4
7.如图11－3－4所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＋∠F 的度数.
8. ⑴已知∠AOB ＝65°，P 是平面上的任意一点，过点P 做P F ⊥OA ，P F ⊥OB ，垂足分别为点F ，
F ，求∠F P F 的度数。
⑵探究∠F P F 与∠AOB 有什么关系？(直接写出结论)
⑶通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂足于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？
9.在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，
⑴如图11－3－5(a )所示，AF 、CF 分别是∠BAD 和∠DCB 的角平分线，判断AF 与CF 的位置关系，并证明.
⑵如图11－3－5(b )所示，AF 、CF 分别是∠GAD 和∠HCB 的角平分线，直接写出AF 与CF 的位置关系；
⑶如图11－3－5(c )所示，AF 、CF 分别是∠BAD 和∠FCB 的角平分线，判断AF 、CF 的位置关系，并证明.
(a)
(b)
A
11－3－5
能力提升
10.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是( ) A.0 B.1 C.3 D.5
11.小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图11－3－6(a )所示)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图11－3－6(b )所示)，他在△ABC 内画了一个等边△DFF ，然后打算剪掉三个角(如四边形AMND )，可比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，∠MDN 的度数应为( ) A.100° B.110° C.120° D.130°
12.已知：如图11－3－7所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝_____.
13.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()n
m k - ＝____ .
14. ⑴一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为2750°，这个多边形的边数为_____，除去的这个内角的度数为_____.
⑵一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是_____. ⑶一个凸多边形的某一个内角的外角与其内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是_____. 15.遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针方向旋转α(0°＜α＜180°﹞被称为一次操作，若五次操作后。发现赛车回到出发点，则α为_____.
16.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC 中，AB ，AC 是两腰，所以∠BAC ＝∠BCA .利用这条性质，解决下面的问题：
已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O ，它们所夹的锐角为123,,ααα ，如图11－3－8所示：
α3=_____
α2=_____
α1=_____
图11-3-8
正八边形正六边形
正五边形α3
α2
α1
G
F
E D
C
B
A
H
O
F
E
D
C
B A
O
E D
C
B
A
当正多边形的边数是n (n ＞3)时，则α＝_____.
图11-3-7
B I
E
C
A
H
F
D
17.已知：如图11－3－9所示，在六边形ABCDFF 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠F ＋∠F ，猜想可得六边形ABCDFF 中必有两条边是平行的.
⑴根据图形写出你的猜想：_____∥_____.
⑵请证明你在⑴中写出的猜想.
18.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形. ⑴请根据下列图形，填写表中空格.
...
图
11-3-10
⑵如图11－3－10所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形. ⑶不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？
⑷正三角形、正四边形正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.
图11-3-9
A
B
E
19.阅读理解：
如图11－3－11所示，在正△ABC中，M，N分别在BC、AC边上，若∠AMN＝60°，则∠1＝∠2.小强是这样论证的：
∵△ABC是正三角形，∴∠B＝180
3
°
＝60°.∴∠AMC＝∠1＋∠B＝∠1＋60°.
有∠AMC＝∠2＋∠AMN，∠AMN＝60°，∴∠AMC＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2.
⑴类比应用：如图11－3－12所示，将阅读理解中的正三角形换成正四边形ABCD，M，N分别为BC、CD上的点，类似地：若∠AMN＝_____，则∠1＝∠2.请你用小强的证明方法论证.
⑵拓展延伸：请你将上述命题推广到一般，如图11－3－13所示，ABCDFF...是正n边形.
写出命题：_____________________________________________________.
图11-3-11
图11-3-12
B
A D
N
图11-3-13
20.如图11－3－14所示，在四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外界∠DCF的平分线所在的直线相
交于点F，若∠A＝α，∠D＝β；
图11-3-14(b)
(a)
B C E
E
⑴如图(a)所示，α＋β＞180°.试用α，β表示∠F，直接写出结论；
⑵如图(b)所示，α＋β＜180°，请在图(B)中画出∠F，并试用α，β表示∠F；
⑶一定存在∠F 吗？如有，写出∠F 的值，如不一定，直接写出α，β满足什么条件时，不存在 ∠F .
中考链接
21.(2012·北京)正十边形的每个外角等于( ). A.18° B.36° C.45° D.60°
22.(2012·四川成都)已知一个多边形的内角和是外角和的
3
2
，则这个多边形是_____. 23.(2012·河北)用四个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一个公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图11－3－15(a )所示，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图11－3－15(b )所示，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为______.
巅峰突破
24.凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( ). A.4 B.5 C.6 D.7
25.在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是_____. 26.如图11－3－16所示，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，FC －CD ＝3，求BC ＋DF 的值.
图11-3-16
A B
E
F
图11-3-15