当前位置:文档之家› 人教版-数学-八年级上册-《从分数到分式》典型例题

人教版-数学-八年级上册-《从分数到分式》典型例题

人教版-数学-八年级上册-《从分数到分式》典型例题
人教版-数学-八年级上册-《从分数到分式》典型例题

《从分数到分式》典型例题

例1.下列各式中不是分式的是( )

A .y

x x +2 B .21π C .21x D .13-x x 例2.分式)

3)(2(1---x x x 有意义,则x 应满足条件( ) A .1≠x B .2≠x

C .2≠x 且3≠x

D .2≠x 或3≠x

例3.当x 取何值时,下列分式的值为零?

(1)212-+x x ; (2)33

+-x x

例4.

932-+x x 与3

1-x 是同一个分式吗? 例5.若分式

x x 2123-+的值为非负数,求x 的取值范围

例6. 判断下列有理式中,哪些是分式?

()x -151;y y 132+;2b a +;c b a c b a ++--;()312-πx ;223

121y x -;

例7. 求使下列分式有意义的x 的取值范围:

(1)5

21-+x x ; (2)x x -+243; (3)()()3521+-x x ; (4)5

.03222+--x x x 。

例8. 当x 是什么数时,下列分式的值是零:

(1)22322+--x x x ; (2)3

3--x x 。

参考答案

例1.解答 B

说明

①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母; ②π是一个常数,不是一个

字母

例2.分析 因为零不能作除数,所以分式要有意义,分母必不为0,即 0)3)(2(≠--x x ,所以2≠x 且3≠x

解 C

说明

当分母等于零时,分式没有意义,这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点

例3.分析 要使分式的值为零,不仅要使分子等于零,同时还必须使分母不等于零 解 (1)由分子012=+x ,得21-=x .又当2

1-=x 时,分母02≠-x . 所以当21-=x 时,分式2

12-+x x 的值为零。 (2)由分式03=-x ,得3±=x .当3=x 时,分母063≠=+x ;当3-=x 时,分母03=+x .所以当3=x 时,分式33

+-x x 的值为零.

例4.分析 分式

932-+x x 有意义的条件是092≠-x ,即3≠x 和3-.而3

1-x 有意义的条件是3≠x ,而当3-=x 时,3

1-x 是有意义的. 解 由于932-+x x 与31-x 有意义的条件不同,所以,它们不是同一个分式. 说明

在解分式问题时,一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义,然后再考虑

其他问题.

例5.分析 0>ab 可转化为0>a ,0>b 或0

a 可转化为0≥a ,0>

b 或0≤a ,0

解 根据题意,得x

x 2123-+0≥,可转化为 (Ⅰ)???>-≥+021,023x x 和(Ⅱ)???<-≤+.

021,023x x

由(Ⅰ)得2132<≤-x ,由(Ⅱ)得???

????>-≤.21,32x x 无解. 综上,x 取值范围是:2

132<≤-x 例 6. 分析 判断有理式是否分式的依据,就是分式定义。也就是说,有理式不仅应在形式上是B

A ,更重点的是

B 中要有字母,才可判定为分式。 解:根据分式定义,y y 132+;c b a c b a ++--,()312-πx

中分母均含有字母,故它们是分式。

说明 分母中只要含有字母即可,至于字母的个数和次数不受限制;而分子中字母则可有可无。

例7. 分析 要使分式有意义,只需分母不为零。可以假定分母等于零,求出相应的x 的值,在x 的取值范围内去掉这些值就为所求。

解:(1)令052=-x ,有25=

x 。 所以使分式521-+x x 有意义的x 的取范围是不等于2

5的一切有理数。 (2)令02=-x ,有2=x ,即2=x 或2-=x 。 所以使x

x -+243有意义的x 的取值范围是不等于2和-2的一切有理数。 (3)令()()0352=+-x x ,则有02=-x 或035=+x ,

即2=x 或53-

=x 。 所以使()()3521+-x x 有意义的x 的取值范围是不等于2且不等于5

3-的一切有理数。 (4)由于02≥x ,那么05.02>+x 。 所以使5

.03222+--x x x 有意义x 的取值范围是一切有理数。 说明 1. 到目前为止,分式的字母取值是在有理数范围内,今后,随着扩充新的数,字母的取值范围将跟着扩大。

2. 如果分母是二次三项式的形式,则首先考虑分解成两个一次式的乘积,再令分母为零。

3. 对于分式,弄清其字母的取值范围,对今后分式的进一步学习有着重要的意义。 例8. 分析 要使分式值为零,则首先要使分式有意义,也就是要求的x 必须满足使分子为零的同时,使分母不为零。

解: (1)x 应满足02≠+x ①

同时满足 02322=--x x ② 由①得2-≠x ;

由②得 ()()0122=+-x x ,

∴ 02=-x 或012=+x ,

而2=x 或2

1-=x 均使分母不为零。 ∴当2=x 或2

1-=x 时,都能使分式22322+--x x x 的值为零。 (2)x 应满足03≠-x ①并且03=-x ②。

由①得3≠x ; 由②得3=x ,则3=x 或3-=x 。

而3=x 不是分母的取值范围,应当舍去。

∴当3-=x 时,分式33

--x x 的值是零。

说明 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的。如果令分子为零,求出的数,使分母也为零时,必须舍去,所以使分式B A 为零的条件是:?

??=≠.00A B

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ. 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 那么当n =k +1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 例3.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.

初二数学练习题.经典题型

八 年 级 数 学 试 题 姓名: 一、选择题:本大题共12 个小题.每小题4分;共48分. 1.下列方程中是二元一次方程的是 ( ) A. 32=+ y x B. 2 23y x =+ C. 022=-y x D.31-=+y x 2.和数轴上的点一一对应的数是……………………… ( ) A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是………………………… ( ) A. 6,8,10 B. 9,12,15 C. 1,2,3 D. 7,24,25 4.如图,所示是直线y kx b =+的图象,那么有( ) A .k >0,b >0 B .k >0,b <0 C .k <0,b <0 D .k <0,b >0 5.多边形的每个外角都是36°,则它的边数是( ). A .15 B .13 C .10 D .7 y 6.抽查初三年级8名学生一周做数学作业用的时间分别为(单位:小时)5,4,6,7,6,6,7,8.这组数据中,中位数为 ( ) A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 7.如图所示,△ABC 沿射线AC 的方向平移5厘米后成为△A 'B 'C ' ,则BB ' 的长度是( ) A.10cm B.2.5cm C.5cm D.不能确定 8. 菱形的对角线的长分别为6和8,则它的周长为 ( ) A.5 B.10 C.20 D.40 9.一次函数y kx k =+,不论k 取何非零实数,函数图象一定会过点 ( ) A .(1,1-) B .(-1,0) C .(1,0) D .(1-,1) 10.如图,AOB △中, 30B =o ∠.将AOB △绕点O 顺时针旋转52o 得到A OB ''△,边A B ''与边OB 交于点C (A '不在OB 上),则A CO '∠的度数为( ) A .22o B .52o C .60o D .82o 11.甲、乙两名学生运动的一次函数图象如图所示,图中s 和t 分 别表示与出发地的距离和时间,根据图象可知,快者的速度比慢 者的速度每秒快( ) A .2.5米 B .1.5米 C .2米 D .1米 12.如图,四边形ABCD 是正方形,BF ∥AC ,四边形AEFC 是菱形, 则∠ACF 与∠F 的度 数比是 ( )A .3 B.4 C.5 D.不是整数 A A ' B C O B ' 64 t/秒 12 s/米 O 8

最新人教版数学八年级上册易错题及答案

八年级上册易错题集 第十一章三角形 1. 一个三角形的三个内角中() A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90° C. 不可能有两个大于89° D. 不可能都小于60° 2. 如图,△ABC中,高CD、BE、AF相交于点O,则△BOC?的三条高分别为. 3、三角形的一个外角大于相邻的一个内角,则它的形状;三角形的一个外角小于于相邻的一个内角,则它的形状;三角形的一个外角等于相邻的一个内角,则它的形状。 4、三角形内角中锐角至少有个,钝角最多有个,直角最多有个,外角中锐角最多有个,钝角至少有个,直角最多有个。一个多边形中的内角最多可以有个锐角。 5.已知一个三角形的三边长3、a+2、8,则a的取值范围是。 6.如图②,△ABC中,∠C=70°,若沿虚线截去∠C,则∠1+∠2= 。 7.如图③,一张△ABC纸片,点D、E分别在边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2= 。 8.△ABC中,∠A=80°,则∠B、∠C的内角平分线相交所形成的钝角为;∠B、∠C的外角平分线相交所形成的锐角为;∠B的内角平分线与∠C

的外角平分线相交所形成的锐角为;高BD与高CE相交所形成的钝角为;若AB、AC边上的垂直平分线交于点O,则∠BOC为。 9.一个多边形除去一个内角外,其余各角之和为2750°,则这个多边形的 11.如图,在△ABC中,画出AC边上的高和BC边上的中线。 第十二章全等三角形 1.有以下条件:①一锐角与一边对应相等;②两边对应相等;③两锐角对 应相等;④斜边和一锐角对应相等;⑤两条直角边对应相等;⑥斜边和一条直角边对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是 2.已知△ABC与△A′B′C′中,AB=A′B′,BC=B′C′,下面五个条件: ①AC=A′C′;②∠B=∠B′;③∠A=∠A′;④中线AD=A′D′;⑤高AH=A′H′,能使△ABC≌△A′B′C′的条件有。 3.判断正误: ①两条边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等() ②两条边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等() ③两条边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等() ④两条边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等()

人教版八年级上册数学综合测试题

A D B C 八年级数学试卷(一)(第十一章:三角形) 一、选择题(本大题共10题,每小题3分,共30分) 1、以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A .3cm ,4cm ,5cm B .4cm ,6cm ,10cm C .1cm ,1cm ,3cm D .3cm ,4cm ,9cm 2、等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是( ) A .17 B .13 C .17或22 D .22 3、一个三角形的两边分别为3和8,第三边长是一个偶数,则第三边的长不能为( ) A 、6 B 、8 C 、10 D 、12 4、在下图中,正确画出AC 边上高的是( ). A B C D 5、如图,线段AD 把△ABC 分为面积相等的两部分,则线段AD 是( ). A 、三角形的角平分线 B 、三角形的中线 C 、三角形的高 D 、以上都不对 6、适合条件C B A ∠= ∠=∠2 1 的三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 7、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,这个多边形的边数是( ) A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 8、若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) .8 C 9、n 边形的每个外角都为24°,则边数n 为( ) A 、13 B 、14 C 、15 D 、16 10、如图所示,已知△ABC 为直角三角形,∠B=90°,若沿图中虚线剪去∠B ,则∠1+∠2 等于( ) A 、90° B 、135° C 、270° D 、315° 11、 如图所示,在△ABC 中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,并且CD 、BE 交于,点P ,若∠A=500 ,则 ∠BPC 等于( ) A 、90° B 、130° C 、270° D 、315° D F A E C B

八年级上册数学错题集

1、如图①,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1, S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3. (1)如图②,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分 别用S1,S2,S3表示,写出它们的关系;(不必证明) (2)如图③,分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别 用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明; (3)若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件? 2、王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家 兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长;(2)问第一条边长可以为7米吗?请说明理由,并求出a的取值范围3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若 不能,说明理由.

3、如图所示,将一根长为24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为 12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在外面的长为hcm,则h的取值范围是() 4、若5x+32的立方根等于-2,求x+17的平方根 5、若a.b 均为正整数,且a >根号7,b<2的立方根,则a+b 的最小值是() 6、如果正方形ABCD的两个相对顶点为B(3,0),D(0,3),那么A、C两点的坐标 分别为: 7、已知点A(m+1,-2)和点B(3,m-1),如果直线AB∥x轴,那么m的值为 (), 如果直线AB∥y轴,那么m的值为() 8、在平面直角坐标系中,点P在x轴的上方,点P到y轴的距离为1,且OP=2, 画出图形并求P点坐标。 9、已知点M(x,y)与点A(-1/5,n)关于x轴对称,与点B(m,1/2)关于y轴对称,求 代数式25x2+20xy+4y2+2013的值 10、如图,平面直角坐标系中有四个点,它们的横纵坐标均为整数.若在此平面直角坐标系内移动点A,使得这四个点构成的四边形是轴对称图形,并且点A的横坐标仍是整数,则移动后点A的坐标为().

初二上册数学练习题及答案北师大版

初二上册数学练习题及答案北师大版第一章勾股定理课后练习题答案 说明:因录入格式限制,“√”代表“根号”,根号下内用放在“”里面; “⊙”,表示“森哥马”,,¤,♀,∮,≒ ,均表示本章节内的类似符号。 1.l探索勾股定理 随堂练习 1.A所代表的正方形的面积是625;B所代表的正方形的面积是144。 2.我们通常所说的29英寸或74cm的电视机,是指其荧屏对角线的长度,而不 是其长或宽,同时,因为荧屏被边框遮盖了一部分,所以实际测量存在误差. 1.1 知识技能 1.x=l0;x=12. 2.面积为60cm:,. 问题解决 12cm。 1.2 知识技能

1.8m. 数学理解 2.提示:三个三角形的面积和等于一个梯形的面积:联系拓广 3.可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形.随堂练习 12cm、16cm. 习题1.3 问题解决 1.能通过。. 2.要能理解多边形ABCDEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的.然后 剪下△OBC和△OFE,并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位 置上.学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形,且它的面积等于图①中 正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。即=AB+CD:也就是BC=a+b。, 22222 这样就验证了勾股定理 l.能得到直角三角形吗 随堂练习 l.可以作为直角三角形的三边长.

2.有4个直角三角影. 数学理解 2.仍然是直角三角形;略;略 问题解决 4.能. 1.蚂蚁怎样走最近 13km 提示:结合勾股定理,用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在 习题 1.5 知识技能 1.5lcm. 问题解决 2.能. 3.最短行程是20cm。 4.如图1~1,设水深为x尺,则芦苇长为尺,由勾股定理解得x=12, 则水池的深度为12尺,芦苇长为13尺。 复习题 知识技能 1.蚂蚁爬行路程为28cm. 2.能;不能;不能;能.

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法(2016.4.21) 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.

题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ Λ. 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

(完整)人教版八年级数学上册知识整理与经典例题

第十一章全等三角形 一、全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 二、全等三角形 注意:(1)两个三角形全等,互相重合的顶点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 (2)“能够完全重合”是指在一定的叠放下,能够完全重合。 △ABC与△A′B′C′全等记作△ABC≌△A′B′C′,“≌”读作“全等于”。 注意:(1)两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上,这样对应的两个字母为端点的线段是对应边;对应的三个字母表示的角是对应角(若用一个字母表示一个角亦是如此)。 (2)对应角夹的边是对应边,对应边的夹角是对应角。 (3)对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系,对边是与角相对的边,对角是与边相对的角。 全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”和“SSS”。 (2)两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”和“SAS”。 (3)两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”和“ASA”。 (4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”和“AAS”。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”和“HL”。 注意:SSA、AAA不能识别两个三角形全等,识别两个三角形全等时,必须有边的参与,如果有两边和一角对应相等时,角必须是两边的夹角。 找夹角——SAS (1)已知两边都是直角三角形——HL 找另一边——SSS 找边的对角——AAS (2)已知一边一角找夹角的另一边——SAS 找夹边的另一角——ASA (3)已知两角找夹边——ASA 找其他任意一边——AAS 一个图形与另一个图形的形状一样,大小相等,只是位置不同,我们称这个图形是另一个图形的全等变换,三种基本全等变换:(1)旋转;(2)翻折;(3)平移。 三、角平分线的性质定理及逆定理 1、性质定理:角平分线上的点到角的两边距离相等。 注意:(1)定理作用:a.证明线段相等;b.为证明三角形全等准备条件。 (2)点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度。 2、逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在角平分线上。 3、三角形的内心 利用角的平分线的性质定理可以导出:三角形的三个内角的角平分线交于一点,此点叫做三角形的内心,它到三边的距离相等。

人教版数学八年级上册易错题难题整理含答案+易错题及答案

人教版数学八年级上册 易错题难题整理含答案+易错题及答案 人教版数学八年级上册易错题难题整理含答案 一、选择题(把正确答案的代号填在下面对应的表格中,每小题3分,共30分) 3、下列说法中,①一组数据的中位数只有一个②一组数据的中位数可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数 ③一组数据的众数可能有多个 ④一组数据的众数是这组数据中出现次数最多的数据的次数⑤一组数据的众数一定是这组数据中的数 正确说法的个数有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、下列说法正确的有( ) (1)数轴上的点不是表示有理数,就是表示无理数;(2)实数a 的倒数是 a 1 ;(3)带根号的数都是无理数;(4)两个绝对值不相等的无理数,其和、差、积、商仍是无理数。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 内容补充 一个数的平方=它本身这个数0,1 一个数的平方根=它本身这个数是0,1 一个数的算术平方根=它本身这个数是0, 一个数的立方等于它本身,这个数是-1,0,1 一个数的立方根=它本身这个数是-1,0,1 6、一个自然数的算术平方根为m ,则与这个自然数相邻的下一个自然数是( ) A、1+m B、 12+m C、12+m D、1+m 分析:此题注意审题 二、填空题 11、某市对全市3万名初中学生的视力进行了一次抽样调查,得到如图所示的统计图。在这次调查中,所选取样本的容量是 ;如果视力在4.9到5.1之间(含4.9与5.1)为正常,那么全市大约有 名初中生视力 是正常 的。

12、设10的整数部分为a ,小数部分为b ,则代数式b (10+a )的值等于 。 根号9<根号10<根号16,所以3<根号10<4,所以,a=3 b=【根号10-3】 所以,b (10+a )=【根号10-3】【根号10+3】 所以利用因式分解的结果为1 13、比较大小:-15、如图所示,AD =4,CD =3,∠ADC =90°,AB =13,BC =12,该图形的面积等于 . 则x= ; 16、已知x 满足(x-1)3=-27 8 ,17、若不等式组???b x a x 的解集为x ﹥a ,则a 与b 的关系是 。 注意等号 18、一个水池有甲、乙两个进水管。单独开甲管,6小时注满全池,两管同时开,3小时注满全池。如果设单独开乙管x 小时注满全池,由此得到方程 。 二、填空题 11、240,7500; 12、1 13、﹤,﹥ 14、4+7或4-7 15、24 16、-32,y ≥21 17、a ≥b 18、61+x 1=3 1 三、解答题 20、(每小题4分,共16分)计算: (1)因式分解 题略【注意区别计算,结果要逐步考察】

新人教版八年级数学上册期末复习题

八年级数学期末考试卷 (测试时间:120分钟 满分:100分) 一、 选择题(每题3分,共24分) 1、下列计算中正确的是( ). A .2352a b a += B .44a a a = C .248·a a a = D .236()a a -=- 2、以下五家银行行标中,是轴对称图形的有( ) A 、1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3、如图1,一扇窗户打开后,用窗钩AB 可将其固定,这里所运用的几 何原理是( ) A .垂线段最短 B .两点之间线段最短 C .两点确定一条直线 D .三角形的稳定性 4、等腰三角形一个角是30°,则它的顶角是( ) A. 30° B. 120° C. 30°或120° D. 150° 5、已知△ABC ≌△FED ,若∠FED=37°,∠BCA=100°,则∠BAC 的度数是( ) A. 100° B. 80° C. 43° D. 37° 6、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a >b ),把余下的部分 剪拼成一个矩形,通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式, 则这个等式是( )

A.a 2-b 2=(a+b)(a -b) B. (a+b)2=a+2ab+b 2 C.(a -b)2=a 2-2ab+b 2 D.a 2-ab=a(a -b) 7、如图2,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠B AC ,BC=10 cm ,BD=6 cm , 则点D 到AB 的距离是( ) A .4 cm B. 6 cm C .8 cm D .10 cm 图1 图2 8.甲、乙两班学生植树造林,已知甲班每天比乙班多植5棵树,甲班植80棵 树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等,若设甲班每天植树x 棵,则根据题意列出的方程是( ). A .8070 5x x =- B . 8070 5x x =+ C .80705x x = + D .8070 5 x x = - 二、填空题(每题3分,共18分) 9、当x ____ __时,分式 x x -+121有意义. 10、如图3,已知AC =BD ,D A ∠=∠,请你添一个直接条件, , 使△AFC ≌△DEB . C B A

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? (1 ??? (2()时命题成立,证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。 ??? (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。 ??? (3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时,。 ,右边,左边 时等式成立,即有,则当时, 由①,②可知,对一切等式都成立。 的取值是否有关,由到时 (2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法,即 ,则这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证。 (3)在步骤②的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键是明确 时证明的目标,充分考虑由到时,命题形式之间的区别和联系。

(完整版)八年级数学几何经典题【含答案】

F 八年级数学几何经典题【含答案】 1、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长 线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . 2、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG , 点P 是EF 的中点. 求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半. 3、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF . . 4、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F . 求证:AE =AF . B

5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE . 求证:PA =PF . 6、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC . 7如图,△ABC 中,∠C 为直角,∠A=30°,分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ,DE 与AB 交于F 。 求证:EF=FD 。 8如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、BC 的中点,EC 和DF 相交于G ,连接AG ,求证:AG=AD 。 9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF D F E P C B A F P D E C B A

八年级上学期数学错题集

13.2--13.3错题集 一、选择题 1、下列说法正确的是() A.面积相等周长相等的两个三角形全等 B.全等三角形指形状完全相同的三角形 C.全等三角形周长相等 D.所有等边三角形全等 2、下列不能唯一确定一个直角三角形的是() A.已知两直角边 B.已知一直角边和一斜边 C.已知一斜边和一锐角 D.已知两直角边 3、下列说法正确的是() A.有两条边分别相等的两个三角形全等 B.一条直角边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等 D.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4、下列命题:①两个三角形中有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等;②两 边及第三边的高对应相等的两个三角形全等;③两边及第三边的高对应相等的两个锐角三角 形全等;④锐角为30的两个直角三角形有一边相等,则这两个三角形全等;正确的是() A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 5、在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所成的角为50,则∠B等于() A.70 B.20或70 C.40或70 D.40或20 6、如图:在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且FB=CE,则下列结论::①DE=DF,②AE=AF③BD=CD,④AD⊥BC。其中正确的个数有() A:1个 B:2个 C:3个 D:4个 第7题第8题 7、如图:在不等边△ABC中,PM⊥AB,垂足为M,PN⊥AC,垂足为N,且PM=PN,Q在AC上,PQ=QA,下列结论:①AN=AM,②QP∥AM,③△BMP≌△QNP,其中正确的是() A:①②③ B:①② C:②③ D:① 9、如图:直线a,b,c表示三条相互交叉环湖而建的公路,现在建立一个货物中转站,要 求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有() A:1个 B:2个 C:3个 D:4个

初二数学上册知识点测试题(附答案)

初二数学上册知识点测试题(附答案) 查字典数学网小编为大家整理了初二数学上册知识点 测试题(附答案),希望能对大家的学习带来帮助! 初二数学试题 (时间:120分钟分值:120分) 题号一二三总分 21 22 23 24 25 26 27 得分 一. 选择题(每题3分,共36分) 1.若M 、N 、P 三点都在函数 (k0的图象上,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.DE是 ABC中AC边的垂直平分线,D是垂足交BC于E,若BC=8厘米,AB=10厘米,则 EBC的周长为( )厘米 A.16 B.28 C.26 D.18 3.如图,将⊿ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90度,得到⊿ABE,连结EF,则下列结论错误的是( ) A.⊿ADF≌⊿ABE B.AEAF C.AEF=45 D.AD=AE 4.已知多项式x2+ax+b与x2-2x-3的乘积中不含x3与x2项,则a,b的值为( )。 A.a=2,b=7 B.a=-2,b=-3 C.a=3,b=7 D.a=3,b=4

5.如果是一个完全平方式,那么k的值是( ) A. 15 B. 5 C. 30 D. 30 6.已知a=2019x+2019,b=2019x+2019,c=2019x+2019,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.我们规定这样一种运算:如果,那么b就叫做以a为底的N的对数,记做 logaN。例如:因为23=8,所以log28=3,那么log381的值为( ) A.27 B.9 C.4 D. 381 8.已知:a、b为实数,且ab=1,设,则M、N的大小关系是( ) A.MN B.M 9.若分式方程有增根,则m 的值( ) A.6 B.-6 C. D.3 10.将中,x、y都扩大2倍,则分式的值( ) A . 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 都扩大4倍 11.若函数y=kx(k0)与函数y= 的图像交于A、C两点,AB垂直于x轴于B,则⊿ABC的面积为( ) A. 1 B. 2 C. k D . 12.阻值为和的两个电阻,其两端电压关于电流强度的函数图象如图,则阻值( ) A.

实用文库汇编之数学归纳法经典例题及答案

*实用文库汇编之数学归纳法(2016.4.21)* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.

题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++

人教版八年级数学分式知识点和典型例题(最新整理)

a ● ÷ 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1. 转化思想 转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2. 建模思想 本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题— ——分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3. 类比法 本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值(通分与约分) 4. 幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则: b ± c = b ± c (a ≠ 0) a a a b d bc da bc ± da 2. 异分母加减法则: ± = ± = a c ac ac ac (a ≠ 0, c ≠ 0) ; 3. 分式的乘法与除法: b ? d = bd a c ac , b ÷ c = b ? d = bd a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a m a n =a m+n ; a m a n =a m -n 6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = mn 7. 负指数幂: a -p = 1 a p a 0=1

人教版八年级上册数学 全册全套试卷易错题(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学全册全套试卷易错题(Word版含答案) 一、八年级数学三角形填空题(难) 1.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm,则它的周长为__cm. 【答案】22 【解析】 【分析】 底边可能是4,也可能是9,分类讨论,去掉不合条件的,然后可求周长. 【详解】 试题解析:①当腰是4cm,底边是9cm时:不满足三角形的三边关系,因此舍去. ②当底边是4cm,腰长是9cm时,能构成三角形,则其周长=4+9+9=22cm. 故填22. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答. 2.等腰三角形一边长是10cm,一边长是6cm,则它的周长是_____cm或_____cm. 【答案】22cm,26cm 【解析】 【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和6cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 【详解】 (1)当腰是6cm时,周长=6+6+10=22cm; (2)当腰长为10cm时,周长=10+10+6=26cm, 所以其周长是22cm或26cm. 故答案为:22,26. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键. 3.三角形的三个内角度数比为1:2:3,则三个外角的度数比为_____. 【答案】5:4:3 【解析】 试题解析:设此三角形三个内角的比为x,2x,3x, 则x+2x+3x=180, 6x=180, x=30, ∴三个内角分别为30°、60°、90°,

八年级上数学期末专题复习

轴对称 14、加油站A和商店B在马路MN的同一侧(如图),A到MN的距离大于B到MN的距离,AB=7米,一个行人P在 马路MN上行走,问:当P到A的距离与P到B 的距离之差最大时,这个差等于______米. 15 、如图,△ ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.连接PB、PC,若∠A=70°,则∠PBC的度数是______ 16、等腰三角形的周长为30cm,一边长是12cm,则另两边的长分别是______ 17、如图,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为 18、如图,△ABC是等边三角形,分别延长CA,AB,BC到A′,B′,C′,使AA′=BB′=CC′=AC,若△ABC的面积为1,则△A′B′C′的面积是______ (第十四题) (第十五题) (第十七题) (第十八题) 5、等边△ABC是边长为1,BD=CD,∠BDC=120°,E、F分别在AB、AC上,且∠EDF=60°,求△AEF的周长。 16、如图,△ABC是等边三角形,延长BC至E,延长BA至F,使AF=BE,连结CF、EF,过点F作直线FD⊥CE于D,试发现∠FCE与∠FEC的数量关系,并说明理由. 17、已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC 于E,求证CT=BE。 B A C D E F A C T E B M D

18、如图,已知△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,∠C=35°,且AB+BD=DC ,求∠B 度数。 19、已知△ABC 中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来。只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数) 20、如图1,已知△ABC 中,AB=BC ,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ,长直角边为DF ),将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中,DE 交AB 于M ,DF 交BC 于N 。①证明DM=DN ; ②在这一旋转过程中,直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ,请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积; (2)旋转至如图2的位置,延长AB 交DE 于M ,延长BC 交DF 于N ,DM=DN 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (3)旋转至如图3的位置,延长FD 交BC 于N ,延长ED 交AB 于M ,DM=DN 是否仍然成立?请写出结论,不用证明。 21、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为CD 的中点,连接AE 、BE ,BE ⊥AE ,延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证:(1)FC=AD ;(2)AB=BC+AD . A B C 备用图① A B C 备用图② A B C 备用图③ C A B D A D C N F E B M 图2 A D C F E B M 图3 A D C N F E B M 图1

相关主题
文本预览
相关文档 最新文档