如果您喜欢这份文档,欢迎下载!祝您成绩进步,学习愉快! 北京市东城区2018届高三数学4月综合测试(一模)试题 文
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。
(1)若集合{|31}A x x =-<<,{|1B x x =<-或2}x >,则A
B =
(A ){|31}x x -<<- (B ){|32}x x -<< (C ){|11}x x -<< (D ){|12}x x << (2)复数i
1i
z =
-在复平面内对应的点位于 (A )第一象限 (B )第二象限
(C )第三象限 (D )第四象限
(3)若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤??
+-≥??≥?
则y x -的最大值为
(A )2- (B )1-
(C )2
(D )4
(4)执行如图所示的程序框图,如果输出的S 值为30,那么空白的判断框中应填入的条件
是
(A )2n ≤ (B )3n ≤ (C )4n ≤ (D )5n ≤
(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为
(A )2
(B )22
(C )32
(D ) 4
(6)函数4
()2x f x x
=-的零点所在区间是 (A )1(0,)2
(B )1(,1)2
(C )3(1,)2
(D )3(,2)2
(7)已知平面向量,,a b c 均为非零向量,则“()()?=?a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件
(D )既不充分也不必要条件
(8)为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学.在某景区,由于时
间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览.高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选.据了解,在甲、乙两个景点中有18人会选择甲,在乙、丙两个景点中有18人会选择乙.那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览; ②乙景点的得票数可能会超过9;
③丙景点的得票数不会比甲景点高; ④三个景点的得票数可能会相等.
(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)命题“x ?∈R ,e 0x
>”的否定是_________.
(10)已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点坐标为1(,0)4
,则p =_______.
(11)在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55
,则
sin θ=_______,tan 2θ=_________.
(12)已知圆2
2
(1)1x y -+=上的点到直线2y kx =-的距离的最小值为1,则实数
k = .
(13)已知实数,x y 满足21x y +=,则xy 的最大值为 .
(14)定义:函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的差为()f x 在区间[,]a b 上的极
差,记作(,)d a b .
①若2
()22f x =x x -+,则(1,2)d =________; ②若()m
f x =x+
x
,且(1,2)|(2)(1)|d f f ≠-,则实数m 的取值范围是________.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题13分)
已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且36a =-,56S S =. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列{}n b 满足12b a =,23b S =,求{}n b 的前n 项和.
(16)(本小题13分)
函数()sin()(0,)22
f x x ω?ω?ππ
=+>-<<的部分图象如图所示. (Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位长度,得到函数()y g x =的图象, 令()()()F x f x g x =+,求函数()F x 的单调递增区间.
A
(17)(本小题13分)
某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组:[10,20),[20,30),…,[50,60],并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于40岁的
概率;
(Ⅲ)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.
(18)(本小题14分)
如图,四边形ABCD 为菱形,60DAB ∠=,ED ⊥平面ABCD ,
22ED AD EF ===,EF ∥AB ,M 为BC 中点.
(Ⅰ)求证:FM ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:AC BE ⊥;
(Ⅲ)若G 为线段
BE 上的点,当三棱锥G BCD -时,求BG
BE
的值.
频率
组距年龄
a 0.005
0.030.02
0.01
(19)(本小题共14分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,长轴长为
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点M 是以长轴为直径的圆O 上一点,圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N .
求证:过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点.
(20)(本小题13分)
已知函数()sin cos f x x x a x x =++,a ∈R .
(Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当2a=时,求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当2a >时,若方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解,求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A (2)B (3)C (4)B (5)C (6)C (7)B (8)D 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) (9)0x ?∈R ,0e 0x
≤ (10)1
2
(11)
45 247- (12)43-或0 (13)
1
8
(14)1 (1,4) 三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分)
解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d . 因为56S S =,所以6330a a d =+=.
因为36a =-,所以2d =,110a =-.
所以212n a n =-,*
n ∈N . ……………6分
(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q .
由(Ⅰ)可知,18b =-,224b =-,所以3q =.
所以,数列{}n b 的前n 项和为
(8)(13)
4(13)13
n n --=--,*n ∈N .………13分 (16)(共13分) 解:(Ⅰ) 因为
254(
)263
ω
π
ππ
=-=π, 所以1ω=.
又因为sin
)13
?π+=(, 所以
2()3
2
+=k k π
π
?π+
∈Z ,
即2()6
=k k π
?π+∈Z .
因为22?ππ-
<<, 所以6
?π
=
. 所以()f x 的解析式是()sin()6
f x x π=+. ……………6分
(Ⅱ) 由已知()sin[()]sin()cos 362
g x x x x πππ
=++=+=, 所以()()sin()cos 6
f x
g x x x π+=++
1
sin cos cos 22x x x =
++
3
sin cos 22
x x =
+
)3
x π
=+
. 函数sin y x =的单调递增区间为[22]()2
2
k k k πππ-π+∈Z ,
.
由22232k x k ππππ-≤+≤π+, 得52266
k x k ππ
π-
≤≤π+()k ∈Z , 所以()F x 的单调递增区间为[22]()66
k k k 5ππ
π-
π+∈Z ,. ………13分 (17)(共14分)
解: (Ⅰ) 根据频率分布直方图可知,10(0.0050.010.020.03)1a ?++++=,
解得0.035a =. ………5分(Ⅱ)根据题意,样本中年龄低于40的频率为
10(0.010.0350.03)0.75?++=,
所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,
估计其年龄低于40岁的概率为0.75. ………10分 (Ⅲ)根据题意,春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为
150.1250.35350.3450.2550.0532.5++++=?????(岁). ………13分
C
A
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)设AC BD O
=,连结,
EO MO.
因为,
M O分别是,
BC BD的中点,
因为EF//AB,且
1
2
EF=AB,
因为OM//AB,且
1
2
OM=AB,
所以EF//OM,且EF=OM.
所以四边形EOMF为平行四边形.
所以FM∥EO.
又因为EO?平面BDE,FM?平南BDE,
所以FM∥平面BDE.………5分(Ⅱ)因为ABCD为菱形,
所以AC BD
⊥.
因为ED⊥平面ABCD,
所以ED AC
⊥.
因为BD ED D
=,
所以AC⊥平面BDE.
又因为BE?平面BDE,
所以AC BE
⊥.………10分(Ⅲ)过G作ED的平行线交BD于.
由已知ED⊥平面ABCD,
所以GH⊥平面ABCD.
所以GH为三棱锥G BCD
-的高.
因为三棱锥G BCD
-的体积为
9
,
所以三棱锥
G BCD
-的体积
11
sin60
32
V BD BC GH
=?????=.
所以
2
3
GH=.
所以
2
1
3
23
GH BG
ED BE
===.
所以
1
3
BG =BE . ………14分 (19)(共13分)
解:(Ⅰ)由题意得2a c a ?=?
?=??
解得1c =.
所以2222b a c =-=.
所以椭圆C 的方程为22
132
x y +=. ………5分
(Ⅱ)由题意知,圆O 的方程为22
3x y +=.
设(3,)N t ,00(,)M x y , 22
003x y +=.
由22||3||ON
MN =+,
得2222
0033(3)()+t x y t =+-+-, 即2222
000093692t x x y ty t +=+-++-+, 即22
00003620x x y ty +-+-=.
因为22
003x y +=,
所以00330x y t +-=.
当0t =时,01x =,直线l 的方程为1x =,直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F . 当0t ≠时,直线MN 的方程为003()y y x x t
-=--,
即0033ty ty x x -=-+,即3(1)ty x =--,直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F . 综上所述,直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F . ………14分
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)当1a =-时,()sin cos f x x x x x =-+,
所以'()2sin cos 1f x x x x =++,'(0)1f =. 又因为(0)1f =-,
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-. ………4分 (Ⅱ)当2a =时,()sin 2cos f x x x x x =++,
所以'()sin cos 1f x x x x =-++.
当(0,)2
x π
∈时,1sin 0x ->,cos 0x x >, 所以'()0f x >.
所以()f x 在区间[0,]2π上单调递增.
因此()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()2
f π
=π,最小值为(0)2f =.………8分
(Ⅲ)当2a >时,'()(1)sin cos 1f x a x x x =-++.
设()(1)sin cos 1h x a x x x =-++,
'()(2)cos sin h x a x x x =--,
因为2a >,[0,]2
x π∈, 所以'()0h x <.
所以()h x 在区间[0,]2
π上单调递减.
因为(0)10h =>,()11202
h a a π=-+=-<,
所以存在唯一的0[0,]2
x π∈,使0()0h x =,即0'()0f x =. 所以()f x 在区间0[0,]x 上单调递增,在区间0[]2
x π,上单调递减. 因为(0)f =a ,()2
f π=π,
又因为方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解,
所以23a <≤. ………13分