科斯定理与中国国有企业产权改革
;本文针对《科斯陷阱初探》一文中的若干推理过程及其结论提出了异议，认为科斯的对现实世界确有巨大的指导价值，尤其对于正处于体制改革中的国有。
关键字：科斯定理产权国有企业改制
一.导言
在《经济学家》杂志2002年第3期上，刊登了一篇题为《科斯陷阱初探》（以下简称《科》）的文章，作者试图论证科斯定理中存在着“科斯陷阱”这样一种谬误，并据此了现实中的一些现象，然后提出自己对一些经济学重大的观点。
但我作为一名刚刚涉足博大精深的经济学世界的学生，与此文却有不同的观点，并运用一些简单的经济学分析工具进行了探讨，然后由科斯的理论联想到了当前中国国有企业体制改革中的若干问题，提出了自己的见解。
二.关于所谓的科斯陷阱
科斯定理有许多种表述方式，如可以表述为“不变性定理”。即：“如果产权被清楚地界定，且所有的交易成本为零，那么不管谁拥有产权，资源的运用都将相同。”①也即达到了帕累托最优。《科》文批判的即为这一表述，它说，“实际上，权利的界定不同，会导致权利各方所采用的避免损害的不同，从而其成本也不同，这样，避免损害的成本与假设不存在损害时的总产值的差值不同，也就是不同的权利界定会导致最后的生产总值不同，资源配置结果不同。”《科》文中举了
这样一个例子（也是科斯书中使用的例子）：毕业论文
有一块地，分成不同的部分分别供牧人来养牛和农民来种地，并且有以下关系成立：
牛群的规模（头）谷物年损失量（吨）每增加一头牛造成的损失量（吨）
1 1 1
2 2 ;2
3 6 ; ;3 毕业论文
4 10 ;4
假设条件如下1.交易费用为零；
2.初始产权界定清晰；
3.完全竞争；
4.技术条件不变；
（一），科斯的论证：
设谷物价格为1美元/吨，假设牧人对牛造成的损失负责，如果他将牛群从2头（一任意假定的出发点）扩大到3头，那他必须赔偿农民3美元，以补偿增加的牛对农民造成的3吨谷物的损失。另外他再考虑增加的其他成本，只有多养的牛给他带来的收益大于全部新增的成本，他才会扩大牛群规模。反之，若农民对损失负责，那农民会给牧人3美元让牧人将牛群从3头减到2头，于是这3美元也成了第3头牛的机会成本（如果牧人继续保持3头牛的规模，农民是不会给他钱的）。然后牧人再根据收益与成本决定是否减小牛群。从而，“养牛
人在增加第3头牛时是否付出了3美元（若付，则说明牧人对损失负责），或者他不增加第3头牛时是否收到了3美元（若收到，则说明农民对损失负责），这些都不会最后的结果。”② 毕业论文（二），《科》文的论证：
“让我们假设，在牧人对损害负责的情况下，牛群的最优规模是2头，由于他把其牛群扩大到3头，须支付包括3美元在内的全部附加成本，超过了其多生产的牛的价值，因而牛群会保持在2头的最佳规模，资源达到了最优配置。但是在牧人不对损害负责的情况下，实际上牧人想让农夫支付的成本，决不会如天真到科斯所设想的那样只是增加第3头牛造成的谷物损失价值3美元，而是把牛群扩大到n头时损坏农夫全部谷物的价值——这里的n头是指牧人霸占了农夫全部的土地后的最优牛群数，无须考虑即可知道这个最优规模的n头不可能正好等于原来的2头。很显然，这是农夫绝对不可能支付得起的，从而牛群就会实际扩大到n头，而非保持在2头的最优规模。这就是说全部的土地都被牧人占用而养牛，这就导致了不同的资源配置结果，而根据前面的定义，这也并非资源最优配置。”
（三），我的论证：
设MC为牧人养牛的边际成本，MD为农民遭受的边际损害，MC+MD 为社会的边际成本，MR为养牛的边际收益，MR=P，如下图所示：
假设这块地的产权起初是不明晰的，也就是说不存在一份合约明确规定谁应该对牛造成的损失负责，那么牧人就会按照自己的边际生产
曲线确定牛群规模，根据MC=MP，他会养3头牛。而农民当然不会甘心，他会向牧人提出抗议，但最后的结果很可能是牧人毫不理会。（也许这样做是不道德的，但作为一个经济人，这是他的最佳选择。）于是，牛群会继续保持在从全社会看来无效率的3头上。毕业论文现在让我们来界定产权，比如说制定，规定私有财产神圣不可侵犯，这样一来，牧人就必须为自己养的牛给农民的谷物带来的损失进行赔偿，否则将被投入监狱。从而他面对的边际成本曲线由MC上升到MC+MD，再根据MC+MD=MP，可知牛群规模将会是2头。此时，牧人的总利润为三角形ABO，而农民遭受的损失为三角形OFQ1，但他也得到了牧人对他的赔偿——三角形BEO, 三角形OFQ1和三角形BEO面积相等（因为BE=FQ1），于是他的总利润为零。
而如果产权是这样界定的：农民必须忍受牛群四处践踏给他造成的损失（这是可能的，想一想19世纪的印度，作为一名普通的农民，面对闯入自家麦地里的英国人的牛，他除了忍气吞声还能怎么样呢？）于是他不得不与牧人进行谈判，他愿意为牧人减少所养的牛而付费，只要付的钱不超过他受到的边际损害（小于四边形FDQ2Q1）；另一方面，牧人也愿意接受农民的钱而少养牛，只要收到的钱不少于他养牛的利润(大于三角形BCE)。由于假定交易费用为零，他们总会通过讨价还价达成一致，最后的结果仍将是牧人只养2头牛。此时，牧人的总利润为三角形ACO，其中四边形ABEO是正常经营所得，三角形CBE为农民给他的钱。而农民的损失为三角形OFQ1和三角形CBE，其中三角形OFQ1是牛破坏谷物对他的损失，三角形CBE是他支付给
牧人的钱。虽然农民仍然遭受损失，但比起谈判前的损失三角形OFQ1来，这个结果他是愿意接受的，因为三角形CBE和三角形OFQ1的面积总和要小于三角形OFQ1的面积（注意：BE=FQ1）。毕业论文
由上述分析可知，我支持科斯的观点。而《科》文的逻辑错误关键在于如果农夫对损失负责，牛群的规模是多大（见前面引用的《科》文原文）。《科》文作者认为牛群将会一直扩大到直到霸占整块土地。我认为不会这样，即使不对损失负责，牧人的边际成本曲线也是不断上升的，而边际收益是固定的（等于市场价格），牛群规模总会达到一个最大值，而不会无限扩大。并且，农民为什么不来和他谈判呢？对此，《科》文又做了如下解释：
“有人可能会说，只要农夫种植的全部纯收益大于牧人把牛群从2头增加到n头的全部净收益，从而只要支付给牧人一个略大于其全部增加净收益的补偿金就可以了，但这是不可能的。在完全竞争的条件下，边际成本等于边际收益等于价格，如果没有损害存在，牧人每头牛都会获得相同的纯收益，这个纯收益应等于把相同资金投于农作的纯收益；在对损失不负责的情况下，牧人的纯收益将大大增加，因为有一部分成本无须他自己支付，而是由农夫替他支付的，所以农夫根本不可能支付给牧人一个略大于其全部增加的净收益的补偿金。”
这里的论述也有逻辑错误：的确，在不对损失负责的情况下，把牛群从2头增加到3头，牧人的纯收益会大大增加，具体讲是从三角形ABO扩大到三角形ACO。但不要忘记，随着牛变多，农民的损失也不断增加，农民一定会找牧人谈判，和前面分析的一样，使牛群规模控
制在2头。毕业论文
接着，《科》文又举了一个现实生活中的例子，原文如下：
“在笔者所在的山区，村庄周围的农田作物常会遭到家禽的损坏，由于村庄周围的农田几乎各家都有，而损坏农作物的禽畜也几乎各家都有，一般损害也不大，这不仅因为农作物本身的价值小，而且因为人们看到损害农作物的禽畜就会把它们赶出来。所以根据情理和传统，禽畜损害农作物并不予以赔偿，这也就是说，这是一种‘对损害不负责的制度’。于是，一般来说，为了防止损害，人们是在其农田周围（通常只是要道处）种植荆棘或打上篱笆。可是，也有人使用了这样一种‘不寻常的措施’——投毒或放置一种炸野兽的炸弹。在我的童年记忆里，村庄里每年都有人为自己死于非命的禽畜（在当时的农村它们堪称价值不菲）而悲伤。试想，投毒这种对农夫来说成本几可不记的避免损害的方法，在牧人对损害负责的权利界定情况下牧人会使用吗？”
我认为用这样一个现实生活中的例子来驳斥科斯定理是不妥当的。我们以前的讨论都是在若干假设条件下进行的（主要是交易成本为零），而这里的交易成本却绝对不可忽略，而且正是由于村民之间谈判的成本太高才导致无法达成一致，不得已采用了投毒这样的极端方式，这其实是谈判的一种替代行为，而它之所以出现也是由于其实施成本低。科斯从来就没有脱离现实地表述其思想，相反，他认为交易所采用的组织结构对交易费用的大小有重要影响。他说：“我这篇论文（《企业的性质》）最重要的东西，是将交易费用明确引入经济分
析。”③正是因为当交易成本存在时，在不同的产权界定下的交易方式会不相同，所以明晰产权才那么重要。在上例中，如果牧人对损失负责，那么投毒行为就会消失，取而代之的将是较为文明的其它方式。可以说，这个例子恰恰证明了科斯的思想。毕业论文
我们既不应该认为科斯定理错误，也不应该因为它有许多前提假设，如交易成本为零，产权界定清晰，完全的信息等等而认为其没有实用价值。任何定理都有前提假设。好象不应该因为空气阻力而否定牛顿定理一样，我们不应该因交易成本而否定科斯定理。总是通过抽象把握世界，而抽象总会把一部分现实假设掉。
什么是中国剩余定理？
剩余定理详细解法 中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？ 意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？ 《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23 如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。 刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题： 「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」 孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
科斯定理在生活中的应用 08保险赵薇 一，科斯定理 科斯定理比较流行的说法是：只要财产权是明确的，并且交易成本为零或者很小，那么，无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的，实现资源配置的帕雷托最优。 科斯定理旨在描述资源稀缺性必定引发各种经济竞争和交易费用发生，而明晰界定的产权安排则是节省交易费用从而是决定经济效率的基本制度设定。经济发展水平取决于经济效率优劣，经济效率优劣取决于交易成本高低，交易成本高低则取决于产权是否明晰界定，而产权明晰效应则又取决于政府是否将产权界定给私人。从制度运行的延伸联系来看，政府效能→产权安排→交易成本→经济效率→经济发展，这就是科斯定理所解释和描述的内在逻辑联系。 在现实世界中，科斯定理所要求的前提往往是不存在的。财产权的明确是很困难的，交易成本也不可能为零，有时甚至是比较大的。因此，依靠市场机制矫正外部性（指某个人或某个企业的经济活动对其他人或者其他企业造成了影响，但却没有为此付出代价或得到收益）是有一定困难的。但是，科斯定理毕竟提供了一种通过市场机制解决外部性问题的一种新的思路和方法。 二，科斯定理的应用 红绿灯对交通的改善作用可以用科斯定理来解释。 交通的十字路口是公共资源，通过红绿灯对车辆的交通资源划分符合交易成本为零或者很小的条件，无论开始将资源分配给十字路口车辆的任何一方，都能最终实现资源的有效配置，并且达到帕累托最优。红绿灯解决十字路口的堵塞问题就在于其划分了该公共资源的使用权，使产权明晰。 这也是政府通过效能达到产权安排，通过节省交易成本最终达到经济效益最大化，促进经济发展的一个实际例子。 另一个简单的例子是：国家出台公共场合不准吸烟的规定。 通过这个规定我们可以知道，社会把公共场所空气清洁的权利赋予了不会吸烟的
中国剩余定理（孙子定理） 问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。 定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 以上两个定理随便个例子即可证明！ 现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2、求各个数所对应的基础数 （1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4 (1) 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2 (1) 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。 （1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况） （2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。 （3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。 35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。 （4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题
浅析中国剩余定理及其应用 李辉 （井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009） 指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学 引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来 我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3
科斯第一定理 （一）在交易费用为零的情况下，不管权利如何进行初始配置，当事人之间的谈判都会导致资源配置的帕雷托最优； （二）在交易费用不为零的情况下，不同的权利配置界定会带来不同的资源配置； （三）因为交易费用的存在，不同的权利界定和分配，则会带来不同效益的资源配置，所以产权制度科斯定理的设置是优化资源配置的基础（达到帕雷托最优）。 科斯定理的精华在于发现了交易费用及其与产权安排的关系，提出了交易费用对制度安排的影响，为人们在经济生活中作出关于产权安排的决策提供了有效的方法。根据交易费用理论的观点，市场机制的运行是有成本的，制度的使用是有成本的，制度安排是有成本的，制度安排的变更也是有成本的，一切制度安排的产生及其变更都离不开交易费用的影响。 科斯定理的两个前提条件：明确产权和交易成本钢铁厂生产钢，自己付出的代价是铁矿石、煤炭、劳动等，但这些只是“私人成本”；在生产过程中排放的污水、废气、废渣，则是社会付出的代价。如果仅计算私人成本，生产钢铁也许是合算的，但如果从社会的角度看，可能就不合算了。于是，经济学家提出要通过征税解决这个问题，即政府出面干预，赋税使得成本高了，生产量自然会小些。但是，恰当地规定税率和有效地征税，也要花费许多成本。于是，科斯提出：政府只要明确产权就可以了。如果把产权“判给”河边居民，钢铁厂不给居民们赔偿费就别想在此设厂开工；若付出了赔偿费，成本高了，产量就会减少。如果把产权界定到钢铁厂，如果居民认为付给钢铁厂一些“赎金”可以使其减少污染，由此换来健康上的好处大于那些赎金的价值，他们就会用“收买”的办法“利诱”厂方减少生产从而减少污染。当厂家多生产钢铁的赢利与少生产钢铁但接受“赎买”的收益相等时，它就会减少生产。从理论上说，无论是厂方赔偿，还是居民赎买，最后达成交易时的钢产量和污染排放量会是相同的。但是，产权归属不同，在收入分配上当然是不同的：谁得到了产权，谁可以从中获益，而另一方则必须支付费用来“收买”对方。总之，无论财富分配如何不同，公平与否，只要划分得清楚，资源的利用和配置是相同的——都会生产那么多钢铁、排放那么多污染，而用不着政府从中“插一杠子”。那么政府做什么呢?明确产权，并且有效地保护产权。 科斯定理表明，市场的真谛不是价格，而是产权。只要有了产权，人们自然会“议出”合理的价格来。 但是，明确产权只是通过市场交易实现资源最优配置的一个必要条件，却不是充分条件。另一个必要条件就是“不存在交易成本”。交易成本，简单地说是为达成一项交易、做成一笔买卖所要付出的时间、精力和产品之外的金钱，如市场调查、情报搜集、质量检验、条件谈判、讨价还价、起草合同、聘请律师、请客吃饭，直到最后执行合同、完成一笔交易，都是费时费力的。就河水污染这个问题而论，居民有权索偿，但可能会漫天要价，把污染造成的“肠炎”说成“胃癌”；在钢铁厂有权索要“赎买金”的情况下，它可能把减少生产的损失一元说成十元。无论哪种情况，对方都要调查研究一番。如果只是一家工厂和一户居民，事情还好办。当事人的数目一大，麻烦就更多，因为有了“合理分担”的问题。如果是多个厂家，谁排了污水、排了多少，他们如何分摊赔偿金或如何分享“赎买金”就要先扯皮一番；如果是多户居民，谁受害重谁受害轻，怎么分担费用或分享赔偿，也可打得不可开交。正是这些交易成本，可能使得前面所说的那种由私人交易达到的资源配置无法实现——或是大家一看有这么多麻烦，望而却步。所以说，科斯定理的“逆反”形式是：如果存在交易成本，即使产权明确，私人间的交易也不能实现资源的最优配置。 科斯定理的两个前提条件各有所指，但并不是完全独立、没有联系。最根本的是明确产权对减少交易成本的决定性作用。产权不明确，后果就是扯皮永远扯不清楚，意味着交易成本无穷大，任何交易都做不成；而产权界定得清楚，即使存在交易成本，人们在一方面可以
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人 问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰： 三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。 五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。 七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。 三乘五乘七，又得一百零五。 则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数
数学运算“中国剩余定理”的应用 例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 题中3、4、5三个数两两互质。 则…4，5?=20；…3，5?=15；…3，4?=12；…3，4，5?=60。 为了使20被3除余1，用20×2=40； 使15被4除余1，用15×3=45； 使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×1＋45×2＋36×4=274， 因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。 例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ 题中3、7、8三个数两两互质。 则…7，8?=56；…3，8?=24；…3，7?=21；…3，7，8?=168。 为了使56被3除余1，用56×2=112； 使24被7除余1，用24×5=120。 使21被8除余1，用21×5=105； 然后，112×2＋120×4＋105×5=1229， 因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。 例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。 则…8，11?=88；…5，11?=55；…5，8?=40；…5，8，11?=440。 为了使88被5除余1，用88×2=176； 使55被8除余1，用55×7=385； 使40被11除余1，用40×8=320。 然后，176×4＋385×3＋320×2=2499， 因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。 例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？ 题中9、7、5三个数两两互质。 则…7，5?=35；…9，5?=45；…9，7?=63；…9，7，5?=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 然后，280×5＋225×1＋126×2=1877， 因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。 例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？ 题中9、7、5三个数两两互质。 则…7，5?=35；…9，5?=45；…9，7?=63；…9，7，5?=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225；
一、 中国剩余定理——中国古代趣题 1) 趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2) 趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得知识框架 中国剩余定理及弃九法
庇古税科斯定理 庇古税的简介庇古环境税可溯源到由福利经济学家庇古所提出的庇古税(Pigouivain tax)。庇古税是解决环境问题的古典教科书的方式，属于直接环境税。它按照污染物的排放量或经济活动的危害来确定纳税义务，所以是一种从量税。庇古税的单位税额，应该根据一项经济活动的边际社会成本等于边际效益的均衡点来确定，这时对污染排放的税率就处于最佳水平。 按照庇古的观点，导致市场配置资源失效的原因是经济当事人的私人成本与社会成本不相一致，从而私人的最优导致社会的非最优。因此，纠正外部性的方案是政府通过征税或者补贴来矫正经济当事人的私人成本。只要政府采取措施使得私人成本和私人利益与相应的社会成本和社会利益相等，则资源配置就可以达到帕累托最优状态。这种纠正外在性的方法也称为“庇古税”方案。 在科斯条件下，庇古税本身将造成资源配置失调。 庇古税的意义庇古税是解决环境问题的古典教科书的方式，属于直接环境税。它按照污染物的排放量或经济活动的危害来确定纳税义务，所以是一种从量税。庇古税的单位税额，应该根据一项经济活动的边际社会成本等于边际效益的均衡点来确定，这时对污染排放的税率就处于最佳水平。 庇古税的意义在于:首先，通过对污染产品征税，使污染环境的外部成本转化为生产污染产品的内在税收成本，从而降低私人的边际净收益并由此来决定其最终产量.其次，由于征税提高污染产品成本，降低了私人净收益预期，从而减少了产量，减少了污染。第三，庇古税作为一种污染税，虽然是以调节为目的的，但毕竟能提供一部分税收收入，可专项用于环保事业。即使作为一般税收收入，也可以相应减轻全国范围内的税收压力。第四，庇古税会引导生产者不断寻求清洁技术.
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？ 这种问题称为“中国剩余定理”问题。 我一般用两种方法解决这类问题。 第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。 第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。 还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。 下面分别介绍一下常用的两种方法。 通用的方法：逐步满足法 【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？ 把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，…… 然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11. 所以11就是所求的数。 先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。 好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。 特殊的方法：最小公倍法 情况一 【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外） 除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。 除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。 所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16. 情况二
【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？ 这种情况也可以用特殊法。 数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。 数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。 所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14. 多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。 所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。 我们接下来分析最开始的那个问题。 【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？ 这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。 除以７余２的数可以写成7n＋2。 7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识） 7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。 所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44. 所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？） 要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识） 56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。 所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.
“中国剩余定理”算理及其应用 “中国剩余定理”算理及其应用： 为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。 用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。 例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 题中3、4、5三个数两两互质。 则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。 为了使20被3除余1，用20×2=40； 使15被4除余1，用15×3=45； 使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×1＋45×2＋36×4=274， 因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。 例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ 题中3、7、8三个数两两互质。 则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。 为了使56被3除余1，用56×2=112； 使24被7除余1，用24×5=120。 使21被8除余1，用21×5=105； 然后，112×2＋120×4＋105×5=1229， 因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。 例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。 则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。 为了使88被5除余1，用88×2=176； 使55被8除余1，用55×7=385； 使40被11除余1，用40×8=320。 然后，176×4＋385×3＋320×2=2499， 因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。 例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目） 题中9、7、5三个数两两互质。 则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。
科斯第一定理 科斯在《社会成本问题》一文中提到“没有权利的初始界定，就不存在权利转让和重新组合的市场交易。但是定价制度的运行毫无成本，最终的结果（指产值最大化）是不受法律状况影响的。”这就是科斯第一定理。换句话说也就是如果交易费用为零，不管产权初始如何安排，市场机制会自动达到帕雷托最优。 科斯第二定理 科斯的原话说，“一旦考虑到进行市场交易的成本，合法权利的初始界定会对经济制度运行的效率产生影响。”即在交易费用不为零的情况下，不同的权利配置界定会带来不同的资源配置。这又有两层含义：一、在交易成本大于零的现实世界，产权初始分配状态不能通过无成本的交易向最优状态变化，因而产权初始界定会对经济效率产生影响。二、权利的调整只有在有利于总产值增长时才会发生，而且必须在调整引起的产值增长大于调整时所支出的交易成本时才会发生。 案例——关于科斯定理的应用 假设一家化工厂将其污物排入河流，引起下游六户居民的供水污染，结果每户损失100元，共计600元。污物有两种方法消除：（1）工厂花费300元安装污水过滤器；（2）为每个居民安装净水器，每家75元，共450元。显然最好的办法是工厂安装过滤器，因为它仅用300元就消除了600元的危害。 如果法律赋予家庭使用清洁水的权利，工厂将支付600元的赔偿金，花费300或450来净水。所以，工厂最有效的办法是自己花300安装污水过滤器。 如果法律赋予工厂排污的权利，最终结果为，居民为工厂安装污水过滤器。所以，在假设交易成本为零的前提下，无论法律如何配置初始权利，都可达成做有效的方法，即在工厂安装净水过滤器。这正好体现科斯第一定理的内容。 进一步讨论，如果法律赋予工厂排污的权利，居民在一起进行集体选择的交易成本不为零，每户付出成本30元时，情况又会发生变化。因为那样每户居民将花费75元购买净水器。 450/6=75<(30+300/6=80) 450<180+300=480 因此由于交易成本的变化，居民将选择自己安装净水器，而不是第一种情况下的为工厂安装过滤器。这正好体现了科斯第二定理。
科斯定理 科斯定理（Coase Theorem） 什么是科斯定理？ 科斯定理是由诺贝尔经济学奖得主罗纳德·哈里·科斯(Ronald H. Coase)命名。他于1937年和1960年分别发表了《厂商的性质》和《社会成本问题》两篇论文，这两篇文章中的论点后来被人们命名为著名的“科斯定理是产权经济学研究的基础，其核心内容是关于交易费用的论断。 科斯定理的基本含义是科斯在1960年《社会成本问题》一文中表达的，而“科斯定理”这个术语是乔治·史提格勒(George Stigler)1966年首次使用的。 科斯定理较为通俗的解释是：“在交易费用为零和对产权充分界定并加以实施的条件下，外部性因素不会引起资源的不当配置。因为在此场合，当事人（外部性因素的生产者和消费者）将受一种市场里的驱使去就互惠互利的交易进行谈判，也就是说，是外部性因素内部化。” 也有人认为科斯定理是由两个定理组成的。科斯第一定理即为史提格勒的表述：如果市场交易成本为零，不管权利初始安排如何，市场机制会自动使资源配置达到帕累托最优。在交易成本大于零的现实世界，科斯第二定理可以表述为：一旦考虑到市场交易的成本，合法权利的初始界定以及经济组织形式的选择将会对资源配置效率产生影响。 科斯定理的构成 科斯定理由三组定理构成。 科斯第一定理的内容是：如果交易费用为零，不管产权初始如何安排，当事人之间的谈判都会导致那些财富最大化的安排，即市场机制会自动达到帕雷托最优。 如果科斯第一定理成立，那么它所揭示的经济现象就是：在大千世界中，任何经济活动的效益总是最好的，任何工作的效率都是最高的，任何原始形成的产权制度安排总是最有效的，因为任何交易的费用都是零，人们自然会在内在利益的驱动下，自动实现经济资源的最优配置，因而，产权制度没有必要存在，更谈不上产权制度的优劣。然而，这种情况在现实生活中几乎是不存在的，在经济社会一切领域和一切活动中，交易费用总是以各种各样的方式存在，因而，科斯第一定理是建立在绝对虚构的世界中，但它的出现为科斯第二定理作了一个重要的铺垫。
科斯定理的案例 我们举一个数字例子（在西方，有关科斯定理的论述，包括科斯本人的文章在内，往往实用简单的数字例子。这里的例子取自波林斯基《法律学和经济学引论》，利特尔和勃朗出版社，波士顿，１９８３年版，第１１－１４页）：假设有一工厂，它的烟囱冒出的烟尘使得５户居住于工厂附近的居民所洗晒的衣服受到损失，每户的损失为７５元，从而５户损失的总额为３７５元。 要想矫正这一受污染之害的状态，又假设只存在两种治理的办法：第一是在工厂的烟囱上安装一个除尘器，其费用为１５０元；第二是给每户提供一个烘干机，使它们不需要去晒衣服，烘干机的费用假设为每户５０元，因此第二种办法的成本总和是２５０元。显然，在这两种解决办法中，第一种是比较节约的，它的成本较低，代表最有效率的解决方案。这种最有效率的解决方案，在西方经济学中被成为帕累托最优状态。关于帕累托最优状态，下面还将加以解释。 按照科斯定理的含义，上述例子中，不论给予工厂以烟囱冒烟的权利，还是给予５户居民晒衣服不受烟囱污染的权利（即上述的财产所有权的分配），只要工厂与５户居民协商时其协商费用为零（即上述的交易费用为零），那末，私有制的市场机制（即私人之间自由进行交易）总是可以得到最有效率的结果（即采用安装除尘器的办法）。
为什么如此？按照科斯等西方学者的解释，如果把排放烟尘的财产所有权给予工厂，即工厂有权排放烟尘，那末，５户居民便会联合起来，共同给工厂义务安装一架除尘器，因为，除尘器的费用低于５架烘干机，更低于晒衣所受到的烟尘之害（３７５元）。如果把晒衣服不受烟尘污染的产权给予５户居民，那末，工厂便会自动地给自己安装除尘器，因为，在居民具有不受污染之害的产权的条件下，工厂有责任解决污染问题，而在两种解决办法中，安装除尘器的费用较低。 因此，科斯定理宣称，在交易费用为零的条件下，只要产权明晰化，不论产权归谁，私有制的市场机制总会找到最有效率的办法，从而达到帕累托最优状态。 当然，科斯定理的结论只有在交易费用为零时才能得到。如果不是如此，结果便会不同。例如，假设在工厂具有排放烟尘产权的条件下，如果５户居民联合在一起共同行动的费用很大，例如为１２５元，那末，为了共同行动给工厂安装除尘器，总支出是２７５元（１２５＋１５０＝２７５）。在这样的情况下，５户居民便会各自去购买一架烘干机，因为，这样做只费２５０元。显然，这不是一个最有效率的结果。关于科斯定理，大致的意思便是如此。科斯本人并没有对该定理加以精确的证明，仅仅使用了类似上述的数字例子加以说明。
六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；
科斯定理（Coase Theorem） Robert Cooter 给从未涉及过科斯定理的学生上科斯定理课的教师，都亲身感受了科斯定理所引起的惊叹和佩服，但科斯本人却从未将定理写成文字，而其他人如果试图将科斯定理写成文字，那很有可能是走了样的，或成了同义反复。被称作科斯定理的命题或命题组，源于一系列案例。科斯像法官一样一直拒绝把他初始论文中的论点加以广泛地推广。正如法官的言论一样，对于他论文中的每一个解释，都有另外一种似乎说得通的看法。我不想得出最终结论，但我愿谈谈几种对科斯定理的传统解释，并用科斯的几个例子之一来加以阐明。经过20多年的争论，传统的解释似乎已经穷尽了科斯定理含义。 微观经济学的一个中心思想是，自由交换往往使资源得到最充分的利用，在这种情况下，资源配置被认为是帕累托（Pareto）有效的。除了资源所有权外，法律还规定了其他许多权利，诸如以某种形式使用其土地的权利、免于骚扰权、意外事故要求赔偿权或合同履行权。可以这样认为，科斯概括的关于资源交换的一些论点适用于关于法定权利交换的种种论点。根据这种看法，科斯定理认为，法定权利的最初分配从效率角度上看是无关贤要的，只要这些权利能自由交换。换句话说就是，由法律所规定的法定权利分配不当，会在市场上通过自由交换得到校正。 这种观点认为：保障法律的效率，就是消除对法定权利自由交换的障碍。含糊不清常常损害法定权利，使其难于得到正确估价。此外，法庭也并非总是愿意强制履行法定权利的交易合同。因此，根据“自由交换论”，法律的效力是由明确法定权利并强制履行私人法定权力交换合同而得以保障的。 经济学家们认为，除了交换自由之外，还必须具备一些其他条件，才能使市场有效地配置资源。条件之一是关于交易成本的含糊但不可或缺的概念。狭义上看，交易成本指的是一项交易所需花费的时间和精力。有时这种成本会很高，比如当一项交易涉及处于不同地点的几个交易参与者时。高交易成本会妨碍市场的运行，否则市场是会有效运行的。广义上看，交易成本指的是协商谈判和履行协议所需的各种资源的使用，包括制定谈判策略所需信息的成本，谈判所花的时间，以及防止谈判各方欺骗行为的成本。由于强调了“交易成本论”，科斯定理可以被认为说的是：法定权利的最初分配从效率角度看是无关紧要的，只要交换的交易成本为零。
被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） 同余定理1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数） 例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？ 习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值. 同余定理2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数） 例2：22003除以7的余数是多少？ 习题2：??的积,除以4的余数是_____. 例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理） 分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。此题解法很多，在此介绍同余尝试法。在附录中有此种题型的一般解法。题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数： 2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57…… 在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然， 23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4……以上数列都能满足前面两个要求。所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有 23，58，93，128，163，198，233，268，303，338…… 接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然 23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3…… 综上，我们发现 23，128，233，338，443…… 均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。 以上的求解过程我们叫同余尝试法，难点在于尝试这个过程会导致计算量比较大，但是这种解题方法适应性强，条件可以无限制增加，方法不变。
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。 孙子定理 孙子定理 1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。 k1%b==k1%c==0 && k1%a==1; k2%a==k2%c==0 && k2%b==1; k3%a==k3%b==0 && k3%c==1; 2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。 Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c); P为满足Answer > 0的最大整数； 或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ; 解题思路： 令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？ 因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，
3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数； 再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数； 因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a； 同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b。 依此类推，按上面的方法寻找到除以各素因子的余数的数之总和，为满足除以各素因子余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素因子余数的条件的数。由此构成孙子定理的解法。 （中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k 则同余方程组： x≡b1 （mod m1) x≡b2 （mod m2) ... x≡bk （mod mk)