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高等代数第5章习题参考答案

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第五章二次型

1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-；

2）2

3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212

2216223x x x x x x x x -+--；

4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；

6）4342324131212

422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212

4232221222x x x x x x x x x x ++++++。

解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，先作非退化线性替换

???

??=-=+=33

212211y

x y y x y y x （1）

则

()312

221321444,,y y y y x x x f ++-=

2

223233121444y y y y y y ++-+-=

()2

2

233

3142y y y y ++--=，再作非退化线性替换

???

?

???

==+=3

3223112121z

y z y z z y （2）

则原二次型的标准形为

()2

322213214,,z z z x x x f ++-=，

最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为

???

?

?

?

???=+-=++=333212321

121212

121z x z z z x z z z x （3）

于是相应的替换矩阵为

??

??????

?

?-=?

?????? ??????? ??-=1002112

1

210

2110001021021100011011T ，且有

???

?

? ??-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 2

3322221214422x x x x x x x ++++，

由配方法可得

()()()

2

33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=

()()2

322

212x x x x +++=，

于是可令

???

??=+=+=33

3222112x

y x x y x x y ，

则原二次型的标准形为

()2

221321,,y y x x x f +=，

且非退化线性替换为

???

??=-=+-=33

322321122y

x y y x y y y x ，

相应的替换矩阵为

???

?

?

??--=100210211T ，

且有

???

?

? ??=????? ??--????? ??????? ??--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

（3）已知()3231212

2213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=，

由配方法可得

()()()

2

3322223223231212132144222,,x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-++-+-=

()()2

322

3212x x x x x +---=，

于是可令

???

??=+=+-=33

32232112x

y x x y x x x y ，

则原二次型的标准形为

()2

221321,,y y x x x f -=，

且非退化线性替换为

???

?

?

?

???

=-=-+=333223211

21212

321y x y y x y y y x ，

相应的替换矩阵为

???????

?

?

?--=10021

21

23211

T ，且有

?????

??-=??????

?

? ?

?--?

???? ??-----??????

??

??--='00001000110021210

232

110313*********

302121

001AT T 。（4）已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++=，

先作非退化线性替换

???????===+=4

4332

2411y x y x y x y y x ，

则

()4232432

441432182288,,,y y y y y y y y y x x x x f ++++=

????

???

???? ??+++??? ??+++=2

32132142481212181212128y y y y y y y y

322

321281212

1

8y y y y y +??? ??++-

322

3212

432124128121218y y y y y y y y y +??? ?

?

++-??? ??+++=，

再作非退化线性替换

???????=-=+==4

43233

221

1z y z z y z z y z y ，

则

()2

321243214321434528385218,,,??? ?

?

++-??? ??+++=z z z z z z z x x x x f

2

32222z z -+，

再令

????

??

???

+++===++=4

3214332

23211

83

85214

345z z z z w z w z w x x z w ，

则原二次型的标准形为

()4321,,,x x x x f 2

42322218222w w w w +-+-=，

且非退化线性替换为

????

??

???+-=-=+=+--=414

3233

224321121434521w w x w w x w w x w w w w x ，

相应的替换矩阵为

?

???

???

?

??---

-

=100

2

101100110

1434521

T ，且有

??

?

?

?

?

?

?

?--='800002000020

00

2AT T 。

（5）已知()4321,,,x x x x f 434232413121x x x x x x x x x x x x +++++=，先作非退化线性替换

???????===+=4

4332

22112y x y x y x y y x ，

则

()4321,,,x x x x f 43424132312

22122222y y y y y y y y y y y y y ++++++=

()21242

432

43214321y y y y y y y y --??? ?

?

+-+++=，

再作非退化线性替换

?????

????=+=+++==4

4433432121

121

y z y y z y y y y z y z ，即

???????

??=-=--+-==44

4

334321211212

1z

y z

z y z z z z y z y ，

则原二次型的标准形为

()4321,,,x x x x f 2

42

322214

3z z z z -

-+-=，且非退化线性替换为

??

??????

???

=-=--+-=--+=4

443

343

21243211

21212

1z x z z x z z z z x z z z z x ，

相应的替换矩阵为

?

?

?

??

??

?

?

??------=1000

2110021

111

21111T ，且有

?

?

???

??

?

?---='430000100

0010

00

1AT T 。

（6）已知()4321,,,x x x x f 4131212

422212442x x x x x x x x x +++++=

434232222x x x x x x +++，由配方法可得

()4321,,,x x x x f ()()[]

2

43243212122222x x x x x x x x ++++++=

()4342322

4222

432222222x x x x x x x x x x x +++++++-

()()2

432

4322

4321212123222x x x x x x x x x ++??? ?

?++-+++=，

于是可令

?????????=+=++=+++=4

44334

3224

32112

12322x y x x y x x x y x x x x y ，则原二次型的标准形为

2

32

22

12

12y y y f +-=，且非退化线性替换为

?????????=-=+-=-+-=4

44334

322432112

32y x y y x y y y x y y y y x ，故替换矩阵为

???????

?

?--

--=1000110

01231011

21T ，且有

??????

?

?

?-='00

0002100002

0000

1AT T 。（7）已知()4321,,,x x x x f 4332212

4232221222x x x x x x x x x x ++++++=，

由配方法可得

()4321,,,x x x x f ()()[]

2

4

43312

3131222222x x x x x x x x x x x ++-++++= ()()

23

244323312

32122x x x x x x x x x x -+++-++= ()()212123312

432

3212x x x x x x x x x x +---++++=

()()()2

312

432

32121x x x x x x x x +-+++++=，

于是可令

??????+=+=++=3

144333

212x x y x x y x x x y ，

则原二次型的标准形为

2

42

22

22

1y y y y f -++=，且非退化线性替换为

???????-+=+-=-==4

3144134

221

1y y y x y y x y y x y x ，

相应的替换矩阵为

??

?

?

?

??

?

?---=110110011010

00

01T ，

且有

??

??

?

??

?

?-='100001000010

00

01AT T 。（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

解 1）已求得二次型

()321,,x x x f 323121224x x x x x x ++-= 的标准形为

2

3222134y y y f ++-=，

且非退化线性替换为

???

?

?

?

???=+-=++=333212321

121212

121y x y y y x y y y x ，

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

????

??==1

3223121z y z y ，

可得二次型的规范形为

2

32221z z z f -+=。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

????

???===1

3221121z y z y iz y ，

可得二次型的规范形为

2

32221z z z f ++=。

2）已求得二次型

()321,,x x x f 2

3322221214422x x x x x x x ++++=

的标准形为

2

22

1y y f +=，且非退化线性替换为

???

??=-=+-=33

322321122y

x y y x y y y x ，

故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 2

221y y f +=。 3）已求得二次型

()321,,x x x f 3231212

2216223x x x x x x x x -+--=

的标准形为

2

22

1y y f -=，且非退化线性替换为

???

?

?

?

???

=-=-+=33322321121212321y x y y x y y y x ，

（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 2

22

1y y f -=。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

???

??===33

2211z

y iz y z y 。

可得二次型的规范形为

2

221z z f +=。

（3）已求得二次型

()4321,,,x x x x f 423243218228x x x x x x x x +++= 的标准形为

2

42322218222y y y y f +-+-=，

且非退化线性替换为

????

??

???+-=-=+=+--=4

143233

224321121

434521y y x y y x y y x y y y y x ，

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

??????

?

?????

?====1

4332

2412

21

21212

1z y z y z y z y ，

可得二次型的规范形为

2

2232221z z z z f --+=。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

??????

?

?????

?====4

4332

2112

21

2212

z y z i y z y z i y ，

可得二次型的规范形为

2

2232221z z z z f +++=。

（5）已求得二次型

()4321,,,x x x x f 434232413121x x x x x x x x x x x x +++++= 的标准形为

2

42

32

22

14

3y y y y f --+-=，且非退化线性替换为

??

??????

???

=-=--+-=--+=4

443

343

21243211

21212

1y x y y x y y y y x y y y y x ，

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

???

?

?

????====4433122

132z y z y z y z y ，

可得二次型的规范形为

2

4232221z z z z f ---=。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

???

?

?

????====4433221132iz y iz y z y iz y ，

可得二次型的规范形为

2

4232221z z z z f +++=。

6）已求得二次型

()4321,,,x x x x f 4131212

422212442x x x x x x x x x +++++=

434232222x x x x x x +++ 的标准形为

2

32

22

12

12y y y f +--=，且非退化线性替换为

?????????=-=+-=-+-=4

4433432

2432112

32y x y y x y y y x y y y y x 。（1）在实数域上，若作非退化线性替换

????????

?====4

41

332

21221z y z

y z y z y ，可得二次型的规范形为

2

32221z z z f --=。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

????????

?====4

43

322

1122z y z

y z i y iz y ，可得二次型的规范形为

2

32221z z z f ++=。

7）已求得二次型

()4321,,,x x x x f 4131212

422212442x x x x x x x x x +++++=

434232222x x x x x x +++ 的标准形为

2

4222221y y y y f -++=，且非退化线性替换为

???????-+=+-=-==4

3144134

221

1y y y x y y x y y x y x 。

（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 2

42

22

22

1y y y y f -++=。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

???????====4

4332

21

1iz y z y z y z y ，

可得二次型的规范形为

2

4232221z z z z f +++=。

2．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知A A '=且r A rank =)(，于是存在可逆矩阵C 使 D AC C ='，且D 为对角阵，又因为()()

1

1

1

,,---'=''C C

C C 均为可逆矩阵，所以有

r D D D AC C +++='Λ21，其中

??????????

?

?

?=???????

?

?

?=???????

?

?=0000,,000,002211O

O ΛO

O

r

r

d D d D d D 于是

()()1211

--+++'=C D D D C A r Λ

()()()

1112111

1------'

++'+'=C D C C D C C

D C

r Λ。

因

()11

1

=??

? ?

?'--C

D C rank i

()r i ,,2,1Λ=，且

()()()

111111------'='='

??

????'C D C C D C C D C i i i 。即()1

1

--'C

D C

i

都是对称矩阵，故A 可表成r 个秩为1的对称矩阵之和。

3．证明：

???

??

??

?

?n λλλO

2

1 与 ??????

?

?

?n i i

i λλλO

2

1 合同，其中n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列。

证题中两个矩阵分别设为B A ,，与它们相应的二次型分别为

2

222211n n A x x x f λλλ+++=Λ，

2

222121n i i i B y y y f n λλλ+++=Λ，作非退化的线性替换

t i t x y = ()n t ,,2,1Λ=，则B f 可化成A f 。故A 与B 合同。

4．设A 是一个n 阶矩阵，证明：

1）A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X ，有0='A X X 。 2）如果A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量X 有0='A X X ，那么0=A 。证 1）必要性。因为A A '-=，即()j i a a a ji ij ii ≠-==,0，所以 ()j i j

i ji ij j i j

i ij

x x a a x x a

AX X ∑∑≠+==',

由于0=+ji ij a a ，故

()0=+=

'∑≠j i j

i ji ij

x x a a

AX X 。

充分性。因为n

R X ∈?，有0='A X X ，即

()()22221112121122111x a x x a x x x a a x a n n n ++++++Λ

()02

222=+++++n nn n n n x a x x a a ΛΛ，

这说明原式是一个多元零多项式，故有

,02211====nn a a a Λ ()j i a a ji ij ≠-=，即A A -='。

2）由于A 是对称的，且0='A X X ，即

2222112112211122x a x x a x x a x a n n ++++Λ 022

22=++++n nn n n x a x x a ΛΛ，

这说明AX X '为一个多元零多项式，故有 02211====nn a a a Λ， 002==?=ji ij ij a a a ，

即0=A 。

5．如果把实n 阶对称矩阵按合同分类，即两个实n 阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？

解实对称矩阵A 与B 合同的充要条件为存在可逆矩阵T 与C 使

D d d d AC C BT T r

=??????

????

?

?

?='='002

1O

O

。下面考虑对角矩阵D 的相应二次型的合同分类情况，在()r i d i ,,2,1Λ=中可分为

负

个正，个负个正，个负个正，个负个正，个负个正，个r

r r r r 0

11221

10---Λ

Λ

Λ

ΛΛΛ

共计1+r 个合同类。但秩r 又可分别取0,1,2,,1,Λ-n n ，故共有 ()()()2

211321++=

++++++n n n n Λ

个合同类。

6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条

件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。

证必要性。设

()()()n n n n n x b x b x b x a x a x a x x x f ++++++=ΛΛΛ2211221121,,,，其中()n i b a i i ,,2,1,Λ=均为实数。

1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即 i i ka b = ()n i ,,2,1Λ= 不失一般性，可设01≠a ，则可作非退化线性替换

()???==+++=n i x y x a x a x a y i i

n

n ,,222111ΛΛ

使二次型化为

()2

121,,,ky x x x f n =Λ，

故二次型()n x x x f ,,,21Λ的秩为1。

2）若两个一次式系数不成比例，不妨设

2

2

11b a b a ≠，则可作非退化线性替换 ()???

??==+++=+++=n i x y x b x b x b y x a x a x a y i i

n n n n ,,32211222111ΛΛΛ，

使

()n x x x f ,,,21Λ21y y =。再令

()???

??==-=+=n i z y z z y z z y i i

,,3212211Λ，

则二次型可化为

()n x x x f ,,,21Λ21y y =2

22

1z z -=，

故二次型()n x x x f ,,,21Λ的秩为2，且符号差为0。

充分性。1）若()n x x x f ,,,21Λ的秩为1，则可经非退化线性替换CY Z =使二次型化为

()n x x x f ,,,21Λ2

1ky =，

其中1y 为n x x x ,,,21Λ的一次齐次式，即

n n x a x a x a y +++=Λ22111，且

()n x x x f ,,,21Λ()2

2211n n x a x a x a k +++=Λ

()()n n n n x a x a x a x ka x ka x ka ++++++=ΛΛ22112211。 2）若()n x x x f ,,,21Λ的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换CY Z =使二次型化为

()n x x x f ,,,21Λ()()21212

22

1y y y y y y -+=-=

()()n n n n x b x b x b x a x a x a ++++++=ΛΛ22112211，故()n x x x f ,,,21Λ可表成两个一次齐次式的乘积。

7．判断下列二次型是否正定：

1）2

332223121217160130481299x x x x x x x x x +-++-； 2）2

3322231212128224810x x x x x x x x x +-+++；

3）

j

n

j i i

n

i i

x

x x

∑∑≤<≤=+

11

2；

4）

1

1

1

1

2+-==∑∑+i n i i

n i i

x

x x 。

解 1）二次型的矩阵为

???

?

? ??----=713024301306246

99A ，

因为

,0991>=? ,0130

66

992>--=? 03>=?A ，

故原二次型为正定二次型。

2）二次型的矩阵为

???

?

? ??--=114121424

124

10A ，

因为0

3）记二次型的矩阵为()

a A ?=，其中

??≠==j i j i a ij ,2

12121211ΛM O M M M ΛΛΛA ，由于A 的任意k 阶顺序主子式所对应的矩阵k A 与A 为同类型的对称矩阵，且

故原二次型为正定二次型。

4）记二次型的矩阵为()

a A ?=，则A 的k 级顺序主子式为

Λ，故原二次型为正定二次型。

8．t 取什么值时，下列二次型是正定的：

322214225x x x x x tx x x x +-+++ 2）3231212

3222161024x x x x x tx x x x +++++

解 1）二次型的矩阵为

? ??--=5212111t

t A ，因为A 的各阶顺序主子式为

t A ，当原二次型为正定时，有

解上面不等式组，可得05

t 。 2）二次型的矩阵为

? ??=1353451t t A ，

当A 的所有顺序主子式都大于零时，即 011>=?， 044

123>-+-===?t t t

由原二次型为正定得

但此不等式组无解，即不存在t 值使原二次型为正定。

9．证明：如果A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标相同的子式。证设正定矩阵()

n ij a A ?=，作正定二次型

()i i j k k k k k k j x <<<≠=Λ

则可得新二次型

j i k k i k k j ij

由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A 的一切i 级主子式0>i A ()n i ,,2,1Λ=。 10．设A 是实对称矩阵，证明：当实数t 充分大之后，A tE +是正定矩阵。

??+++=+nn n n n n a t a a a a t a a a a t A tE Λ

，它的k 级顺序主子式为

k k a t a a a a t a a a a t t +++=

当t 充分大时，()t k ?为严格主对角占优矩阵的行列式，且∑≠>+i

j ij ii a a t ()n i ,,2,1Λ=，

故()0>?t k ()n k ,,2,1Λ=，从而A tE +是正定的。 11．证明：如果A 是正定矩阵，那么1

-A 也是正定矩阵。

证因A 是正定矩阵，故AX X '为正定二次型，作非退化线性替换Y A X 1-=，又1

-A 也是对称矩阵，故

>'=''='---AX X Y AA

-'为正定二次型，即证1

-A 为正定矩阵。

12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0

高等代数第6章习题参考答案

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高数一试题(卷)与答案解析

《高等数学(一) 》复习资料一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。 A 1 B 2 C 4 D 0

8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +

高等代数第6章习题解

第六章习题解答习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？（1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ；（3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ；（4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。（5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（3）不是。因为而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。证明：,,M N V k F ?∈∈，则所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等代数试卷及答案1

高等代数一、填空题（共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。二、判断题（共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。（） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（）

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

高等代数试题附答案

高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（）

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

高等代数试卷及答案--(二)

一、填空题（共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。二、判断题（共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。（） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（）三、计算题（共3题，每题10分，共30分）

大学高数试卷及答案

浙江农林大学 2016 - 2017 学年第一学期期中考试课程名称：高等数学Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题

4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

高等代数试题2(附答案)

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。（）

高等代数考研习题精选

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；

高等代数试题及答案

. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且= . 证明: 的值域与核都是的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

高等代数真题答案

第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.

3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.

6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????

高等代数习题

高等代数习题第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)

(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数全体整数全体有理数 b a b a+ → |) , (

4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; .

《高等代数》月测试试题与及答案

《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）一、（共12分）叙述下列概念或命题：（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理. 答：（1）向量组称为线性相关，如果有数域中不全为零的数，使 . 注对如下定义也视为正确：如果向量组（）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的. （2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关. 注对如下定义也视为正确：向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）线性无关；（ⅱ）可由线性表出.

（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 注用公式写出按行（或列）展开定理亦可. 二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1．．（×） 2．若向量组（）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部（）级排列中，奇排列的个数为．（√）4．若排列为奇排列，则排列为偶排列．（×）5．若矩阵的秩是，则的所有高于级的子式（如果有的话）全为零．（√）

6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．（×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解．（×） 8．对个未知量个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．（×） 9．等价向量组的秩相等．（√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．（√）三、（共18分）计算行列式（1）解原式．注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）

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