第一章特殊平行四边形
回顾与思考
一、学生知识状况分析
特殊的平行四边形” 是学生继学习了平行四边形之后的一个学习内容，学
生已经学习了平行四边形的有关知识，对平行四边形的性质和判定已有一定的认识，学生在小学也接触过矩形，菱形，正方形的一些简单应用。本节主要复习三种特殊平行四边形的性质和判定，以及对他们的比较。研究过程中以类比，归类为主要方法，同时，九年级学生已经具备比较强的归纳、总结能力，利用学生间相互评价、相互提问，使之参与课堂的热情提高。
二、教学任务分析
本节是从三种特殊平行四边形的关系入手，使学生进一步认识矩形、菱形、
正方形的内在关系：不仅要让学生了解三种特殊平行四边形的性质和判定，更重要的是让学生通过观察、比较、归类找出他们内在的转化方法。通过自己动经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。本节共一个课时，已总结和简单练习为主。
1．知识目标：
复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。
2．能力目标：
1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的
符号感，发展抽象思维．
2）经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳
能力和初步的演绎推理的能力；
3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，
提高学生的能力。
3．情感与价值观要求
1 ）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2）通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养
4.教学重点
(1)三种特殊平行四边形性质和判定的复习
(2)三种特殊平行四边形的关系.
4.教学难点
总结关系方法的多样性和系统性。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：交流创意 ，导入课题；第二环节:
动手操作、探求新知；第三环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩 固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：交流创意，导入课题
内容：事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关 系图，课堂上先交流讨论。
目的：通过学生自己的创意入手，激发学生学习兴趣。引出关系图 注意事项：激发了学
生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
第二环节：交流创意，总结归纳
内容：事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的性
质和判定方法。
目的：通过学生自己的作品入手，激发学生学习兴趣。引出特殊平行四边形 的性质，判
定表格，梳理本章知识。
注意事项：提高了课堂效率，激发学生自我总结的兴趣，培养学生表达能力。
第三环节：小试牛刀，基础巩固
内容：一组考察基础的判断，填空题
1、一组对边平行的四边形是梯形。（）
有一个角 矩形 邻边相等
平行四边形一有一个角是直角且邻边相等
正方形
邻边相等
菱形 有一个角
2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。（）
3、两条对角线相等的四边形是矩形。
4、一组邻边相等的的矩形是正方形。
5、对角线互相垂直的四边形是菱形。
6两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（）
目的：巩固基础知识
注意事项：学生通过简单快速答题，查漏补缺。
第四环节：出示例题，总结方法
内容：两个例题，一个正方形，一个折叠问题。
例1：已知：如图（4）在正方形ABCDK F为CD延长线上的一点，CEL AF于E，交AD于M
求证：/ MFD=45
目的：解决学生本章中两个难点问题的困惑。
例2.如图，矩形纸片ABCD中, AB=3厘米，BC=4厘米，现将A、C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF。试确定重叠部分^ AEF的面积。
注意事项：学生通过例题学习，总结方法，拓展提升。
第五环节：总结收获，拓展提升
内容：交流收获。
目的：本节课内容较多，帮助学生总结知识和方法。
注意事项：学生通过交流总结，将知识和方法形成系统。
四、教学设计反思:
本节课为特殊四边形的总结和归纳，要求学生经历从自我总结到交流、升华
三种图形的关系、性质、判定的过程，感受图形世界的内在联系；并在具体过程中，学会用自己的语言和方法描述它们的关系，用总结的方法，解决实际问题。
教学中注意让学生经历从具体到抽象，再由抽象上升到知识体系的学习过程，并在这堂课中学会解决折叠问题的方法。
第一章特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定（1） 【教学目标】 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形的关系。 2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学重难点】 重点：掌握菱形的性质。 难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学过程】 一、回顾复习 1.平行四边形的定义。 2.平行四边形的性质。 3.平行四边形的判定。 二、新课讲授 1.出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论： （1）菱形是轴对称图形； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直。
3.证明这些结论。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=BC=AD；（2）AC⊥BD。 证明： 由此可以得到菱形的两条性质定理： 菱形的四条边相等。 菱形的对角线互相平分。 4.总结菱形所有的性质： 边：菱形的四条边相等； 角：菱形的对角相等，领角互补； 对角线：菱形的对角线互相垂直且平分。 对称性：菱形是轴对称图形（两条对称轴是对角线所在的直线）
菱形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）5.范例学习（P3） 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 6、随堂练习，巩固新知 1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2）菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______. 3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）4）菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。 5）“P4随堂练习”
平行四边形判定教学反思 本节课是平行四边形的判定的第一课时，其探究的主要内容是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，以及“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两种判定方法。它是在学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。“承上”，首先，在探究判定定理的证明方法和运用判定定理时，都用到了全等三角形的相关知识；其次，平行四边形的判定定理和性质定理是两两对应的互逆定理，本节课在引入新课时就是类比性质引入判定的。“启下”，首先，平行四边形的性质定理、判定定理是研究特殊的平行四边形的基础；其次，平行四边形性质、判定的探究模式从方法上为研究特殊的平行四边形奠定了基础。并且，本节内容还是学生运用化归思想、数学建模思想的良好素材，培养了学生的创新思维和探索精神。 基于上述的思考在设定教学目标时，除了常规对定理的掌握和应用等的基本目标以外，我还将“经历从生活问题建立数学模型的过程，体会如何用数学眼光看待生活中的问题和现象，提高对数学学科的兴趣，进一步理解数学理论的建立方式。”确立为本节课的教学目标，同时考虑到部分农学生今后的发展，设立了分层目标：“初步理解数学模型，体会建立
数学模型的基本方式，体会由定理猜想逆命题，并加以证明或推翻的数学实践过程。” 为了实现上述教学目标我以学生教室中日光灯的悬挂 和身边无障碍通道扶手的安装为引例新定理，以牛顿的数学桥为结尾（包含平行四边形的不稳定性）让学生体验数学来源于生活又应用于生活，这一点取得了很好的课堂效果；然而在介绍数学模型的基本知识时，过于匆忙，效果不甚理想。 为了在课堂中提供学生探究思维的空间，我提出了：“问通过上述图形分析，还有什么方法可以判定一个四边形是平行四边形？”的探究问题并让学生思考尝试给出所有的平行四边形判定方法，学生在思考时方向不够明确，一开始有困难，等了许久终于有学生从平行四边形的性质才想到了一条判定定理，其他同学在他的提示下，纷纷由其他的一些性质，找到了判定方法。由此我想到：首先老师在上课时要给学生以足够的探究时间和空间，不要急于提示；其次在设计探究性问题时，要从本班学生实际情况出发，明确题目的表达，比如上述问题加上从平行四边形的各要素考虑就会更好一些。 通过本节课的实践我体会到：第一，教学方法是由教学目的、教学内容决定的；第二，教师要驾驭教材。教材是教学的依据，教师应该尊重它，这是对的，但这并不等于说，教师一点不能变通教材。
- 1 - 平行四边形知识点归纳 一、基本定义 1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质： 因为ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行 （ABCD 54321??? ? ? ? ? ??. 5．三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. E D C B A A B C D 1234A B D A B D O C
- 2 - 6．梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 二 定理：中心对称的有关定理 1．关于中心对称的两个图形是全等形. 2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这 一点对称. 三 公式： 1．S 菱形 = ch ab =2 1 （a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. （a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 = Lh h b a =+)(2 1 .（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高 ,L 为梯形的中位线） 四 常识： 1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是： 2 ) 3n (n -. 2．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 3．梯形中常见的辅助线： E F D A B C 平行四边形 矩形 菱形 正方形
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
1 / 3 第一章 特殊平行四边形 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每题4分，共40分）（下列每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填 在括号内） 1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( ) A 、对角线互相平分的四边形 B 、对角线互相垂直且平分的四边形 C 、对角线相等的四边形 D 、对角线相等且互相垂直的四边形 2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相 等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（ ） A 、3 个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、过四边形A BCD 的顶点A 、B 、C 、D 作BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若EFGH 是菱形,则四边形ABCD 一定是( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、对角线相等的四边形 4、在菱形ABCD 中，,,CD AF BC AE ⊥⊥ 且E 、F 分别是BC 、CD 的中点，那么=∠EAF （ ） A 、075 B 、055 C 、450 D 、060 5、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ） A 、56 B 、55 C 、54 D 、35 6、矩形的内角平分线能够组成一个（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、平行四边形 7、以正方形ABCD 的一组邻边AD 、CD 向外作等边三角形ADE 、CDF ，则下列结论中错误的是（ ） A 、BD 平分EBF ∠ B 、030=∠DEF C 、B D EF ⊥ D 、045=∠BFD 8、已知正方形ABCD 的边长是10cm ，APQ ?是等边三角形，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，则BP 的边长是（ ） A 、55cm B 、33 20cm C 、)31020(-cm D 、)31020(+cm 9、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、32 B 、332 C 、3 3 D 、532 10、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A 、四个角都是直角 B 、两组对边分别相等 C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角
《认识平行四边形》教学案例与反思 四甲中心小学姜鑫美 教学目标： 1、运用生活实例和实践操作认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征。 2、学会用不同方法制作一个平行四边形，通过猜想验证发现平行四边形的特征，能测量或画出平行四边形的高。 3、在解决实际问题中感受图形与生活的联系，培养学生空间观念和动手实践能力。 教学过程： 一、复习导入： 1、师：老师这里有一些平面图形，大家看看。 2、投影仪出示以下图形： 提问：以上图形都有什么共同特征？ 指出：有四条线段围成的图形叫做四边形。 我们学过的平面图形中，有哪些是四边形？ 我们以前学过的长方形、正方形都是四边形。其他的图形你认识吗？它们都各有自己的特点。师出示升降台、篱笆等实物图，学生观察，突出其中平行四边形的图形。这就是我们今天要认识一种新的四边形——平行四边形。 生活中你在哪些地方见过平行四边形？
二、操作探究 1、制作：同学们已经能找出生活中的一些平行四边形，我们能不能利用身边的一些材料，自己想办法制作一个平行四边形？ 电脑出示五种制作材料 操作要求：四人一组，每人选择其中的一种材料制作一个平行四边形，自己独立制作。 2、交流：大家已经完成了自己的创作，请你们和小组的同学交流一下，说说自己的做法和理由。 (1)方法一：用小棒摆。 (2)方法二：在钉子板上面围一个平行四边形。 (3)方法三：在方格纸上画一个平行四边形。 (4)用直尺画一个平行四边形。 用三角尺拼。 3、演示：五种制作方法。 4、讨论:我们已经能够用不同的方法制作平行四边形，这些大小不同的平行四边形到底有什么共同特点呢？ 猜想：请同学们猜一猜平行四边形边有什么特点？ 验证：自己想办法来验证其中的一个猜想是否正确。 交流：用什么方法验证的？ ①两组对边分别相等：用直尺量的方法来验证对边相等后，教师用课件直观展示。
九年级数学上册《特殊平行四边形》 一、填空题： 1.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________. 2.菱形的面积为24cm 2，边长为5cm ，则该菱形的对角线长分别为 。 3.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少_______度可以与原图形重合. 4.正方形的对角线长为10 cm ，则正方形的边长是_________. 5.矩形的两条对角线的一个交角是60°,一条对角线与较短边 的和是12 cm ，则对角线长是_ __. 6.如图，矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上，如果 ∠BAE=50°，则∠DAF=_______. 7.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________。由此猜想：顺次连结___ ____的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_ _ _______的四边形四边中点所得四边形是菱形。即新四边形的形状与原四边形的____ _____有关。 8.已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6 cm 和8 cm ，则菱形的周长是_________. 9.如图，正方形ABCD ，以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE 四边形S =_________. 10.如图，E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE=BD ，AE 交DC 于F ，则∠AFC=________. 11.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案， 则FAC ∠= ，FCA ∠= 。 12.边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形， 则所剩余图形的周长为 。 13.已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线 长为8cm ，则这个菱形的周长为 。 14.如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折 叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为 ，折痕EF 的长为 。 二、选择题： 1.能判定一个四边形是菱形的题设是（ ） A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直 C.有三边相等 D.四条边都相等 2.□ABCD 是正方形需增加的条件是（ ） A.邻边相等 B.邻角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 3.矩形边长为10cm 和15cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（ ） A.6cm 和9cm B. 5cm 和10cm C. 4cm 和11cm D. 7cm 和8cm 4.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点， 则菱形的内角中钝角的度数是（ ） A.150 B. 135 C. 120 D.100 5.如图，在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD=90°， 若矩形ABCD 的周长为30 cm ，则AB 的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm 6.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 7.若菱形ABCD 的周长为16，∠A ∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（ ） A.23 B.33 C.43 D.83 8.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点， 使该点到各顶点距离相等的图形是（ ） A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 9.如图，过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ，则△AEC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形 10.矩形的对角线长10 cm ，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ） A.40 cm B.10 cm C.5 cm D.20 cm 11.如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A F D C B E B D A F 9题图 E B C D A F 10题图 E B C D A G F 11题图 14题图 D C B A F E G 5题图 A C B D A D C B E 9题图 11题图 12题图
《平行四边形的初步认识》教学反思 陆家中心校胡丹萍 本课内容是苏教版二年级上册第二单元第二课时的《平行四边形的初步认识》，是在认识了四边形的特性的基础上教学的，要求学生能够从具体的实物或图形中识别出哪个是平行四边形。要求学生理解：两组对边相等且方向相同的四边形是平行四边形。 我先通过生活中一些物体，如伸缩门，栅栏，楼梯扶手，让他们去发现这里面都有一个共同图形叫平行四边形。然后，让他们拿出自己准备平行四边形，观察它的形状特征，闭上眼睛在大脑里想象平行四边形的样子。接着，比较孩子们手里的平行四边形，大小，高矮，长短都不一样，但什么是一样的？孩子们发现的很到位，上下对边一样长，左右对边也一样长-----只是简单让孩子们去了解了一下，没有深入去分析平行四边形的特征。接下来，让他们去比较平行四边形与我们学过的长方形有什么不同?以此来衬托出平行四边形的特点，孩子们都用了自己的语言解释说，平行四边形比长方形歪，不像长方形是直直站着的。这个解释也很有道理，让他们用自己的方式去理解和记住平行四边形的样子。 初步认识平行四边形，我就让他们学会判断，给出了不同的四边形，让他们找出哪些是平行四边形，并说出理由。巩固对平行四边形的认识。学会画一个平行四边形，虽然在课本中没有要求，但在一些练习中，却发现很多让画平行四边形的题目。所以，接下来的时间里，我简单让孩子学会怎么样在方格纸或点子图中画平行四边形，并让他们说说画平行四边形一定要注意什么？上下两条边的格子数要一样。先确定出4个点，再连线。这种方法方便快捷，孩子们也容易掌握。让孩子们自己动手试画时，我一一巡视，发现有困难的孩子，就及时给予指导，示范。孩子们画的都很认真，画平行四边形对孩子们来说是一个难点。以后多练练，肯定会好很多的。也会加深他们对平行四边形的认识。 感觉一节课匆匆下来，通过让孩子们看、摸、描、画等活动，孩子们应该对平行四边形有了正确认识，但在课后的练习中发现并非如此，孩子们在判断是否是平行四边形时，一题中有多个不同平行四边形，往往不敢下结论。特别是遇到接近长方形的平行四边形，心里就没底了，有点模糊。今后，多让他们画画各种不同的平行四边形，可能会有所改观。
特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题：（基础简单题） 例1：在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边 形？并说明理由． 实战演练：（中档题） 1.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 笔记：中点四边形（补充知识点） （1）连接四边形各边中点： （2）连接平行四边形各边中点： （3）连接矩形各边中点： （4）连接菱形各边中点： （5）连接正方形各边中点： A 、顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的图形是： ． B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得到的图形是： ． C 、顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边的中点所得到的图形是 ： ． A B C D E F E ' G
第一章特殊平行四边形单元测试 一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( ) A．20° B．40° C．80° D．100° 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( ) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如果要证明 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( ) A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A．10 B．8 C．6 D．5 7．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( ) A．12＋12 2 B．2＋6 2 C．12＋ 2 D．24＋6 2 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12a C．8a D．4a 9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( ) A．8 B．4 2 C．8 2 D．16 10．下列命题中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等且互相垂直平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° 12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( ) A．75° B．60° C．55° D．45° 14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( ) A. 2 B ．2 C. 6 D．2 2 15．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件， 不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 二、填空题 16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．第1题图 第2题图第3题图 第4题图第7题图 第8题图 第11题图第12题图第13题图 第14题图 第15题图 第16题图第17题图
平行四边形及其性质的教学反思 上五庄镇纳卜藏学校张得生 本节课我从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲。学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程，通过观看学生习以为常的平行光线在室内的投影片，让学生感受到平行四边形与生活实际紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的平行四边形上来，为下面学习新知识创造了良好开端。学生在拼图活动中可以获得丰富的感知，经历和体验图形的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化。通过拼图游戏，让学生经历了平行四边形概念的探究过程，自然而然地形成平行四边形的概念，符合学生的认知规律。避免了以往概念教学的机械记忆，同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性。渗透类比思想。在比较中学习，能够加深学生对平行四边形概念本质的理解。通过动手画图操作使学生对平行四边形及其相关元素获得丰富的直观体验，为下面介绍平行四边形的对边、对角、对角线以及从这些基本元素入手探究图形性质打下坚实基础。 学生在拼图活动中可以获得丰富的感知，经历和体验图形的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化。通过拼图游戏，让学生经历了平行四边形概念的探究过程，自然而然地形成平行四边形的概念，符合学生的认知规律。避免了以往概念教学的机械记忆，同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性。渗透类比思想。在比较中学习，能够加深学生对平行四边形概念本质的理解。通过动手画图操作使学生对平行四边形及其相关元素获得丰富的直观体验，为下面介绍平行四边形的对边、对角、对角线以及从这些基本元素入手探究图形性质打下坚实基础。鼓励学生探究方式、结果、表示方法的多样化以及学生学习方式的个性化。满足学生的多样化学习需求。做到既着眼于共同发展，又关注到个性差异。 小组合作探究结果的展示，从多个方面完善了学生对平行四边形性质的认识，大大提高了学习效率；更为重要的是在这一过程中，让学生体悟到学习方式的转变。不但完成了学习任务，而且还学会了与人交流沟通的本领。真正体现了新课程理念中“以人为本，促进学生终身发展”的教学理念。注重直观操作和简单推理的有机结合。把几何论证作为探究活动的自然延续和必然发展。使学生的实践精神，创新意识和自觉说理意识得到提高。在开放式探究平行四边形性质的活动后，再引导学生总结归纳，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养。回扣课始导言，体现了教学的连贯性，也体现出数学知识的实用性。学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的。本题构造了一个图动→手动→脑动的动态思维场景，学生在此场景中观察、分析、归纳、推理。培养了学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力，使学生真正成为知识的主动建构者。在全体学生获得必要发展的前提下，不同的学生还可以获得不同的体验。应该说是对新教材的基本设计思想的一个很好的诠释。开放性的命题培养了学生思维的严谨性、发散性、灵活性。 对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法。培养学生自我反馈、自主发展的意识。
第18章平行四边形小结与复习（1） 【教学目标】 1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等； 2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系； 3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。 【教学重点】 平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的区别与联系。 【教学难点】 平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 【教具准备】三角板、自制课件。 【教学过程】 一、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题 同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，在本章中，我们学习了哪些图形，它们是如何发展的它们有怎样的从属关系呢请看图片。再请同学们迅速地完成学案上性质判定，归纳表。 （二）归纳整理，形成体系 1、性质判定，列表归纳
（三）诊断与运用练习 1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ： （1）AB ＝CD,AD ＝BC （平行四边形） （2）∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ） （3）AB ＝BC ，四边形ABCD 是平行四边形 （ 菱形 ） （4）OA ＝OC ＝OB ＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ） 2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为 5 厘米。 3、顺次连结矩形ABCD 各边中点所成的四边形是 菱形 。 4、若正方形ABCD 的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。 二、查缺补漏，讲练结合 〖例题1〗一题多变，培养应变能力 已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ． B C
特殊的平行四边形 知识点一：矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理（1）矩形的四个角是直角 （2）矩形的对角线相等且互相平分 （3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 （1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形 （2）对角线相等平行四边形为矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 归纳补充： 1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
知识点二：菱形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 （3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边都相等的四边形是菱形 ※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形 1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 （1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。 （2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角 （3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 3、判定定理 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。
特殊的平行四边形练习题 一、填空题 1、如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积( ) A．2B．4 C．4D．8 3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( ) A．2 B.C．6D．8 4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( ) A．2 B．3 C.D．2 5、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝ ( ) A．5 B．4 C．3.5 D．3
6、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2． A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2 7、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（） A. 5 B. 4 C. D. 9、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE 的最小值是（） A. B. C. D. 二、填空题 10、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______． 11、如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为． 12、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，，= .
四年级《平行四边形》组内研课案例 以研促教共同提升 -----柳州市驾鹤路小学四年级数学教研组 组长：xxx 执教老师：xxx 组员：谢媛 xxx 柳州市驾鹤路小学第三届“银鹤杯”课堂大赛，20XX年11月4日由四年级教研组示教研成果，xxx老师执教《平行四边形》，结合本年级研究专题“培养学生良好习惯”及“小组合作学习”，按照课堂改造的教学模式，展示了老师个人教学风采，及班级学习习惯和学习能力。 我们四年级组是一个团结和谐、积极向上、勤于研究、乐于创新的团队，由xxx、谢媛、xxx三位热爱数学教学工作的教师组成。我们的课改意识浓，责任意识强，敬业精神足。 为借助本次课堂大赛，让我们的教学能力及水平得以进一步提高，本组三位数学老师以《平行四边形》一课为载体，在赛前积极备课，共同钻研教材。在这次的研课活动中，我们以“共享资源、共享智慧、协同合作、促进发展”为宗旨，采取“个人——集体——个人”的研课过程，施行组际常态研磨的方法，借组课例为载体，推行专题性研究，使集体备课与个人钻研相结合，提升教师的专业水平。我们先后进行了三次试教，大家一起讨论分析，相互启发。研课紧紧围绕“小组合作学习”和“培养学生良好习惯”这两个专题，着力凸显了“以生为本”的教学理念。 提出问题： 1、如何设计数学活动，开展有效小组合作学习 2、如何在教学课堂中培养学生良好的学习习惯？ 第一次试教： 教课堂呈现： 学生已有一定的四边形知识基础，在此之前对平行四边形有着一定的表象认识，对本课学习兴趣浓，积极参与，部分学生思维较活。学生课堂发言不积极，回答问题声音小，在小组活动中，小组合作有些混乱。 发现问题： 学生不能有效的进行合作学习。 分析原因： 教师在设计小组合作活动时，教师让学生在小组活动之前思考回答了“什么是平行四边形的特征”也板书了“上下对这相等，左右手一组对边相等。”但小组活动时又让学生去探究“平行四边形的边有什么特点。”小组合作的目的有些混乱，没有明确活动目的到底是让学生探究新知还是让学生验证结论。
特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 于点M，N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD． 其中正确的结论有（） MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则 m1，m2的大小关系为（） 6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断： ①EF是△ABC的中位线； ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半； ③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC； ④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形， 其中正确的是（）
7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n， 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________． 9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
第一章特殊平行四边形 一、矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2、矩形的性质： (1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等。(4)矩形是轴对称、中心对称图形。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD 5、矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)有三个角是直角的四边形是矩形． (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． ②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． 二、菱形 1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 2．菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等． (3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． (4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半． 3．菱形的判定： (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)四边都相等的四边形是菱形． (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形． O D C B A
三．正方形 1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形， 它们的包含关系如图： 2．正方形的性质 (1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴． (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形． (6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等． (7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22 2 b a S ==． 3．正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证它有一个角为直角． (2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)． 四、三角形中位线定理： （1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。、 （2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。 五、中点四边形 1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形 2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。