第三章函数插值
一、实验目的
1.学习Matlab的三次样条插值函数spline和csape的使用方法；
2.对实验中给出的数据，用Matlab函数求各种样条，并绘制图像；
二、实验内容
通过Matlab的help学习三次样条插值函数spline和csape的使用方法。以函数csape为例，它的调用形式为：
pp=csape(X,Y,conds,valconds)
其中，conds与valconds为给出边界条件的字符串与条件值。conds常用的选择：‘second’为方案一的曲率调整样条；
‘complete’或‘clamped’为方案二的固支样条（压紧样条）；
‘not-a-kont’为方案三的非扭结样条，与pp=spline（X，Y）等价；
‘periodic’为方案四的周期样条。
pp是一个结构数组，通过pp.coefs可以显示多段多项式的系数。
根据下面数表1，用Matlab函数求各种样条（边界条件自己给），并绘制它们的图像。
边界条件：f’(1.00)=1,f’(10.00)=1或f”（1.00）=1，f”(10.00)=1。
2.1 计算机求解
本实验通过调用Matlab中的spline函数和csape函数，对表1中的实验数据求各种样条，流程图如图1：
图1 程序流程图
2.2 计算程序
%原始数据
x=[1.00;2.00;3.00;4.00;5.00;6.00;7.00;8.00;9.00;10.00]
y=[3.56;2.56;1.54;0.53;0.26;0.90;1.81;2.12;1.53;0.56]
save mydata2.mat x y
%调用spline和csape求各种样条
pp1=csape(x,y,'second',[1,1]) %方案一的曲率调整样条
pp1.coefs %显示多项式系数
fnplt(pp1) %绘制样条函数图像
grid on
pp2=csape(x,y,'complete',[1,1]) %方案二的固支样条
pp2.coefs
fnplt(pp2)
grid on
pp3=csape(x,y,'not-a-knot') %方案三的非扭结样条
pp3.coefs
fnplt(pp3)
grid on
pp4=csape(x,y,'periodic') %方案四的周期样条
pp4.coefs
fnplt(pp4)
grid on
pp=spline(x,y) %用spline求样条（方案三的非扭结样条）
pp.coefs
fnplt(pp)
grid on
三、运行结果
根据上节编写的script，运行得到结果如表2。
Figure -0.2073 0.5000 -1.2927 3.5600
0.0167 -0.1220 -0.9147 2.5600
0.1706 -0.0720 -1.1086 1.5400
0.0309 0.4398 -0.7408 0.5300
-0.1243 0.5326 0.2317 0.2600
-0.1737 0.1597 0.9240 0.9000
-0.0510 -0.3613 0.7223 1.8100
0.0776 -0.5143 -0.1533 2.1200
0.2605 -0.2814 -0.9491 1.5300
1.4711 -3.4711 1.0000 3.5600
-0.4332 0.9421 -1.5289 2.5600
0.2916 -0.3574 -0.9442 1.5400
-0.0031 0.5173 -0.7842 0.5300
-0.1091 0.5080 0.2411 0.2600
-0.2004 0.1806 0.9297 0.9000
0.0406 -0.4205 0.6899 1.8100
-0.2620 -0.2987 -0.0293 2.1200
1.5273 -1.0847 -1.4127 1.5300
-0.0306 0.0819 -1.0513 3.5600
-0.0306 -0.0100 -0.9794 2.5600
0.1832 -0.1019 -1.0913 1.5400
0.0277 0.4477 -0.7455 0.5300
-0.1241 0.5309 0.233 0.2600
-0.1711 0.1585 0.9226 0.9000
-0.0613 -0.3549 0.7262 1.8100
0.1163 -0.5388 -0.1675 2.1200
0.1163 -0.1900 -0.8963 1.5300
-0.0016 0.0131 -1.0116 3.5600
-0.0384 0.0084 -0.9900 2.5600
0.1853 -0.1069 -1.0884 1.5400
0.0273 0.4490 -0.7463 0.5300
-0.1243 0.5308 0.2335 0.2600
-0.1700 0.1578 0.9222 0.9000
-0.0657 -0.3522 0.7278 1.8100
0.1327 -0.5492 -0.1735 2.1200
0.0547 -0.1510 -0.8737 1.5300
-0.0306 0.0819 -1.0513 3.5600
-0.0306 -0.0100 -0.9794 2.5600
0.1832 -0.1019 -1.0913 1.5400
0.0277 0.4477 -0.7455 0.5300
-0.1241 0.5309 0.233 0.2600
-0.1711 0.1585 0.9226 0.9000
-0.0613 -0.3549 0.7262 1.8100
0.1163 -0.5388 -0.1675 2.1200
0.1163 -0.1900 -0.8963 1.5300
四、结果分析
由表2对比四种三次样条插值函数，在区间[4,9]内的图像形状差别不大，通过对比系数矩阵也可以验证这一点。在区间[1,2]、[2,3]和[9，10]内，方案一、二与方案三、四的图像有差别，但方案三和方案四之间没有差别。
特别是方案二的固支样条，在区间[1,2]内靠近左端点的位置有一个波峰，而且在该区间的系数矩阵与其他方案相比有着明显的差异，s K1=（1.4711，-3.4711，1.0000，3.5600）分别对应的（x3 x2 x2）项的系数正负与其他方案相反；在区间[2,3]内有一个拐点，sk2=（-0.4332，0.9421，-1.5289，2.5600）分别对应的（x3x2）项的系数正负与其他方案相反；在区间[9,10]内靠近右端点的位置有一个波峰，s K9=（1.5273，-1.0847，-1.4127，1.5300）对应的（x3）项的系数正负与其他方案相反。但在其他区间并未出现这种情况，可能与函数值在区间内数值变化的差值（f x右端点-f x左端点）和固支样条的特性有关。
第四章函数逼近
一、实验目的
1.学习Matlab的数据拟合函数fit及各种库函数，并利用给定离散数据进行计算；
2.对比Matlab中的各种库函数，自己设计一种模型进行自定义拟合；
3.学习利用Matlab绘制散点图和拟合曲线。
四、实验内容
利用Matlab的数据拟合函数fit及各种库模型，对下表中的数据进行各种形式的数据拟合；这个函数还支持自定义模型的拟合，自己设计一种模型进行自定义拟合，并绘制散点图及各种拟合函数的图像。
2.1 计算机求解
在Matlab的数据拟合库模型中，包含了以下十种用于二维曲线拟合函数：
根据表1给出的数据，利用plot绘制散点图，然后利用fit拟合函数，选择表2中的库模型进行数据拟合，并绘制拟合函数的图像和计算标准差。
2.2 计算程序
%原始数据
xdata=[24.4100;89.5700;133.6100;250.9900;333.4700;422.0200;522.4700;20.1500;73.4200; 179.8600;337.2300;253.2400;450.1000;656.2000;60.4100;147.7300;237.1200;495.4700;28.9300;
85.1500;226.8600;393.3200;623.8600;96.4400;223.8800;349.5200;523.0300;748.2900;749.2700; 851.6100];
ydata=[0.5910;9.4700;12.9700;16.1310;16.9660;17.7650;18.2910;0.3670;7.4220;14.4640;17.003 0;16.0620;17.9790;19.3300;5.5560;13.5640;16.1140;18.2710;0.9430;8.9200;15.6510;17.3390;19. 1000;10.0400;15.6390;17.1650;18.5190;19.8900;20.0650;20.9300];
%绘制散点图
plot(xdata,ydata,'o'); hold on;
%利用fit 拟合函数，选择库模型进行拟合并绘制图像
[d,gof]=fit(xdata,ydata,'weibull'); %选择distribution 中的weibull 函数 plot(d,'k');
在选择其他库函数时，程序依据以上步骤，只需在语句[cfun,gof]=fit(xdata,ydata,libn ame)中改变libname （模型名称）即可，此处不再赘述，库函数的模型形式将在表3给出。
2.3自定义模型
根据散点图特征，构造函数模型为：
b
ax x
y +=
计算程序如下：
s=fitoptions('Method','NonlinearLeastSquares','Startpoint',[1 1]); f=fittype('x./(a.*x+b)'); [c2,gof2]=fit(xdata,ydata,f); plot(xdata,ydata,'o'); hold on; plot(c2,'k');
三、运行结果
根据上节编写的script ，运行得到结果如表3，其中的Standard error 和Degrees of freedom 可根据[cfun ，gof]语句中的gof 求得。
a*b*x^(b-1)*exp(-
15.7919
a*exp(b*x)+c*exp(
a0+a1*cos(x*p)+b
a0+a1*cos(x*p)+b 1*sin(x*p)+a2*cos (2*x*p)+b2*sin(2*
a0+a1*cos(x*p)+b 1*sin(x*p)+...+a3* cos(3*x*p)+b3*sin
a0+a1*cos(x*p)+b 1*sin(x*p)+...+a8* cos(8*x*p)+b8*sin
a1*exp(-((x-b1)/c1)
a1*exp(-((x-b1)/c1) ^2)+a2*exp(-((x-b2
a1*exp(-((x-b1)/c1) ^2)+...+a3*exp(-((x
a1*exp(-((x-b1)/c1)
^2)+...+a8*exp(-((x
16.0550 (p1)/(x^2+q1*x+q2
(p1*x^2+p2*x+p3)
(p1*x^5+...+p6)/(x
a1*sin(b1*x+c1)
a1*sin(b1*x+c1)+a
a1*sin(b1*x+c1)+.. .+a3*sin(b3*x+c3)
a1*sin(b1*x+c1)+.. .+a8*sin(b8*x+c8)
cubic interpolating smoothing spline linear interpolation
p1*x^2+p2*x+p3 p1*x^3+p2*x^2+...
p1*x^9+p2*x^8+...
四、结果分析
对表3中的函数模型进行选择，以标准差小于0.3为标准，将拟合效果较好的函数列于表4，其中效果最好的函数模型是fourier6，而且fourier库模型普遍具有很好的拟合效果。在sin库模型中，sin6拟合效果最后；在polynomia库模型中，poly9效果最好。
第五章 数值积分法
一、实验目的
1.学习Romberg 积分法的计算方法，并用Matlab 求解实验给出函数的积分值；
2.学习Matlab 的函数quadl 进行定积分的求解。
二、实验内容
选择你认为最好的积分法（也可以用Matlab 的函数和Romberg ），求解正态分布的概率积分
dt e x t x
2
2
21)(-?
=Φπ
取x=0:0.01:3.5,以概率论教材中标准正态分布概率分布表的样子制作一个具有7位有效数字的概率分布表。
2.1 Romberg 积分法
%积分函数 function y=f(x)
y=exp(-x.^2./2)/sqrt(2*pi); %Romberg 积分法 function integral_Romberg clear all
x=0:0.01:3.5; %积分区间的取值 flag=2;
n=20; %迭代次数 a=f(x(1)); b=f(x(flag));
eps=1*10^-6; %收敛边界 T=zeros(1, n); S=zeros(1,n); C=zeros(1,n); R=zeros(1,n); %计算T （1） h1=x(flag)-x(1); sumf=0;
T(1)=h1/2*(a+b);
%计算T 、S 、C 、R for i=1:n-1 h=h1/2^i;
for j=1:2^(i-1); x=0+(2*j-1)*h; sumf=sumf+f(x); end
T(i+1)=T(i)/2+h/2*sumf; end
for i=1:n-1
S(i)=4/3*T(i+1)-1/3*T(i);
end
for i=1:n-2
C(i)=16/15*S(i+1)-1/15*S(i);
end
for i=1:n-3
R(i)=64/63*C(i+1)-1/63*C(i);
end
for i=1:n-3
if abs(R(i+1)-R(i)) fprintf('积分I=%9.8f\n',R(i)); break end end 2.2 自适应Gauss-Lobatto积分法 x=0:0.01:3.5; %积分区间的取值 g=@(x) exp(-x.^2./2)/sqrt(2*pi); for i=1:350 y(i)=quadl(g,x(1),x(i)) end 三、运行结果 根据Matlab函数quadl函数计算得到概率分布表1，根据2.1节的Romberg积分法计算得到概率分布表2。 表2 概率发布表 四、结果分析 将表1和表2的数据与标准正态概率分布表（四位有效数字）进行对比，在小数点后四位没有误差；将表1与表2的数据进行对比，误差精度到10-5。在利用Romberg积分法计算时，结果精度要求越高，区间需要不断折半进行迭代计算，此时的计算量也会随着增大。 第七章 非线性方程（组）的数值解法 一、实验目的 1.学习Matlab 的求根函数：fzero 、fsolve 和roots ； 2.对实验中给出的非线性方程（组），用Matlab 的求根函数求解。 二、实验内容 （1）非线性方程f(x)=0求解函数fzero 。调用主要方法： ),(0x f fzero x =,求x 0附近的根； ]) [,(b a f fzero x =,求[a b]之间的根，要求f(a)与f(b)符号相反 作图观察下面两个方程根的大致位置 0)(,0)cos()(21=-==-=-x e x x f x x x f 用fzero 函数求更精确的根。 （2）非线性方程组0)(=X F 求解函数fsolve 。调用方法： ),(0X F fsolve X =，求点X 0附近的根 这里F 是向量函数（方程组），X 0是迭代初值向量。 作图观察方程组 ?????++-=--=1 1181 1073 3 y y x x x y 所有9个根的大概位置，用fsolve 函数求解更精确的根。 （3）求解多项式全部根函数roots 。调用方法： )(C roots F = 这里的C 是向量，表示多项式。 用roots 函数求解多项式： 12)(23++=x x x P 全部3个零点。 2.1 计算机求解 （1）求解实验（1）通过Matlab 函数中的ezplot （fun ）进行作图，以确定方程根的大致位置，然后分别利用fzero(f,[a,b])和fzero(f,x 0)求解方程更精确的根。 （2）求解实验（2）通过Matlab 函数中的ezplot （fun ）进行作图，以确定方程根的大致位置，然后分别利用X=fsolve(F,X o )求解方程更精确的根。 （3）求解实验（3）通过Matlab 函数中的F=roots(C)。 2.2 计算程序 2.2.1 实验(1) %方程f 1(x)=cos(x)-x=0的根 ezplot('cos(x)') hold on ezplot('x') grid minor fzero('cos(x)-x',[0,1]) fzero('cos(x)-x',0.5) %方程f2(x)=x-exp(-x)=0的根 ezplot('x') hold on ezplot('exp(-x)') grid minor fzero('x-exp(-x)',[0,1]) fzero('x-exp(-x)',0.5) 2.2.2 实验(2) %方程组的根 ezplot('7*x^3-x*10-1-y') hold on ezplot('-8*y^3+11*y+1-x') grid minor F=@(x)[7*x(1)^3-x(1)*10-1-x(2);-8*x(2)^3+11*x(2)+1-x(1)] x1= fsolve(F,[-1.2,-1.2]) x2=fsolve(F,[-1.1,-1]) x3=fsolve(F,[-1.1,-0.2]) x4=fsolve(F,[-0.1,-0.1]) x5=fsolve(F,[-1,1.5]) x6=fsolve(F,[-0.2,1.2]) x7=fsolve(F,[-1,0]) x8=fsolve(F,[1.3,0]) x9=fsolve(F,[1.3,1.1]) 2.2.2 实验(3) %多项式的零点 c=[2 1 0 1] roots(c) 三、运行结果 根据上节编写的script，计算结果如表1、表2和表3。 图像fzero(f,[a,b]) (x)=x-exp(-x)=0 表2 实验(2)结果 [-1.2 -1.2] [-1.1 -0.2] [-0.1 -0.1] [-1 1.5] [-0.2 1.2] [-1 0] [1.3 0] [1.3 1.1] 四、结果分析 Matlab的求根函数给非线性方程（组）的求解带来了很大的便利，而且结果准确。在利用fsolve求解时需要给出根的大致位置，但是区间的选择比较难以确定，如果两个根的取值比较接近，如果区间选取不当回漏掉一个根。根据表3中的实验结果，方程组的9个根在图像位置一一对应起来，说明实验结果是正确的，但求根区间的大小和范围没有规律性，只能通过不断的实验，才能将全部根求出。 Matlab作业3（数值分析） 机电工程学院（院、系）专业班组 学号姓名实验日期教师评定 1.计算多项式乘法(x2+2x+2)(x2+5x+4)。 答： 2. （1）将(x-6)(x-3)(x-8)展开为系数多项式的形式。（2）求解在x=8时多项 式(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)的值。 答：（1） （2） 3. y=sin(x)，x从0到2π，?x=0.02π，求y的最大值、最小值、均值和标准差。 4.设ｘ＝[0.00.30.8 1.1 1.6 2.3]'，y=[0.500.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'，试求二次多项式拟合系数，并据此计算x1=[0.9 1.2]时对应的y1。解：x=[0.0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]'; %输入变量数据x y=[0.50 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'; %输入变量数据y p=polyfit(x,y,2) %对x,y用二次多项式拟合,得到系数p x1=[0.9 1.2]; %输入点x1 y1=polyval(p,x1) %估计x1处对应的y1 p = -0.2387 0.9191 0.5318 y1 = a) 1.2909 5.实验数据处理：已知某压力传感器的测试数据如下表 p为压力值，u为电压值，试用多项式 d cp bp ap p u+ + + =2 3 ) ( 来拟 合其特性函数，求出a,b,c,d，并把拟合曲线和各个测试数据点画在同一幅图上。解： >> p=[0.0,1.1,2.1,2.8,4.2,5.0,6.1,6.9,8.1,9.0,9.9]; u=[10,11,13,14,17,18,22,24,29,34,39]; x=polyfit(p,u,3) %得多项式系数 t=linspace(0,10,100); y=polyval(x,t); %求多项式得值 plot(p,u,'*',t,y,'r') %画拟和曲线 x = 0.0195 -0.0412 1.4469 9.8267 实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验报告 插值法 数学实验室 数值逼近 算法设计 级 ____________________________ 号 ____________________________ 名 _____________________________ 实验项目名称 实验室 所属课程名称 实验类型 实验日期 实验概述： 【实验目的及要求】 本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插 多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的 优劣。 本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并 去实现。 【实验原理】 《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值， 拉格朗日 插值的相应算法和相关性质。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A 笔记本电脑 操作系统： Win dows 8专业版 处理器：In tel ( R Core ( TM i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用 MATLA B 现; 第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计 MATLA 程序，利用程序算出 问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。 实验一： 已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式 P 4（ x ）及三次样条函数 S （ x ）（自然边界条件）对数据进行插值。 用图给出{（ X i , y i ）, X i =0.2+0.08i , i=0 , 1, 11, 10 } , P 4 （ x ）及 S （ x ）。 值方法：牛顿 在MATLAB 件中 数值分析实验指导 2012年8月 实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 p o l y (v b = 的输出b 是一个n+1维向量，它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ) )20:1((; )2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +=== 上述简单的MATLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。 实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n 很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法 电子科技大学电子工程学院标准实验报告（实验）课程名称MATLAB与数值分析 学生姓名：李培睿 学号：2013020904026 指导教师：程建 一、实验名称 《MATLAB与数值分析》第一次上机实验 二、实验目的 1. 熟练掌握矩阵的生成、加、减、乘、除、转置、行列式、逆、范数等运算 操作。（用.m文件和Matlab函数编写一个对给定矩阵进行运算操作的程序） 2. 熟练掌握算术符号操作和基本运算操作，包括矩阵合并、向量合并、符号 转换、展开符号表达式、符号因式分解、符号表达式的化简、代数方程的符号解析解、特征多项式、函数的反函数、函数计算器、微积分、常微分方程的符号解、符号函数的画图等。（用.m文件编写进行符号因式分解和函数求反的程序） 3. 掌握Matlab函数的编写规范。 4、掌握Matlab常用的绘图处理操作，包括：基本平面图、图形注释命令、 三维曲线和面的填充、三维等高线等。（用.m文件编写在一个图形窗口上绘制正弦和余弦函数的图形，并给出充分的图形注释） 5. 熟练操作MATLAB软件平台，能利用M文件完成MATLAB的程序设计。 三、实验内容 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以x， y为坐标显示图像 x(n+1) = a*x(n)-b*(y(n)-x(n)^2); y(n+1) = b*x(n)+a*(y(n)-x(n)^2) 2. 编程实现奥运5环图，允许用户输入环的直径。 3. 实现对输入任意长度向量元素的冒泡排序的升序排列。不允许使用sort 函数。 四、实验数据及结果分析 题目一： ①在Editor窗口编写函数代码如下： 实验2.1 多项式插值的振荡现象 问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange 插值中的使用节点越多，插值多项式的次数就越高.我们自然就关心插值多项式的次数增加时，()n L x 是否也更加靠近被逼近的函数.Runge 给出的一个例子就是极著名并富有启发性的.设区间[-1,1]上的函数 ()2 1 125f x x = +. 实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 21,0,1,2,,,i i x i n n =-+ = 则拉格朗日插值多项式为 ()()201 125n n i i i L x l x x ==+∑ . 其中，(),0,1,2,,i l x i n =是n 次Lagrange 插值基函数. 实验要求： （1） 选择不断增大的分点数目2,3, n =，画出原函数()f x 及插值多项式()n L x 在 [-1,1]上的图像，并比较分析实验结果. （2） 选择其他的函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数 ()()4 ,arctan ,1x h x g x x x = =+ 重复上面的实验看结果如何. 解：matlab 程序代码 实验结果： f（x）结果如下 h（x）结果如下 g（x）结果如下 结果分析：适当提高插值多项式的次数，可以提高逼近的精度，但次数太高反而会产生不良效果。主要是次数越高，计算工作量大，积累的误差也大；在整个区间上做高次多项式，但局部插值节点处的值有微笑偏差时，可能会影响整个区间上函数值的很大变化，使计算很不稳定。从上图可以看出，高次插值不准确。 实验3.1 编制以函数{} n k k x =为基的多项式最小拟合程序，并对表3.11中的数据作3次多项式最小二 乘拟合. 表3.11 取权数1i w ≡，求拟合曲线0 n k k k x ?α * *== ∑中的参数{}k α、平方误差2δ，并作离散数据 {},i i x y 的拟合函数()y x ?*=的图形. 解：matlab 程序代码 实验结果： 数值分析第一次实验报告 姓名： 学号： 实验1： 1. 实验项目的性质和任务 通过上机实验，使学生对病态问题、线性方程组求解和函数的数值逼近方法有一个初步理解。 2．教学内容和要求 1）对高阶多多项式 20 1()(1)(2)(20)()k p x x x x x k ==---=-∏ 编程求下面方程的解 19()0p x x ε+= 并绘图演示方程的解与扰动量ε的关系。（实验） 2）对2~20n =，生成对应的Hilbert 矩阵，计算矩阵的条件数；通过先确定解获得常向量b 的方法,确定方程组 n H x b = 最后，用矩阵分解方法求解方程组，并分析计算结果。（第三章，实验题4） 3）对函数 2 1()[1,1]125f x x x =∈-+ 的Chebyshev 点 (21)cos( ) 1,2,...,12(1) k k x k n n π -==++ 编程进行Lagrange 插值，并分析插值结果。（第四章 实验1） 项目涉及核心知识点 病态方程求解、矩阵分解和方程组求解、Lagrange插值。 重点与难点 算法设计和matlab编程。 1）a．实验方案： 先创建一个20*50的零矩阵X，然后利用Matlab中的roots（）和poly（）函数将50个不同的ess扰动值所产生的50个解向量分别存入X矩阵中。然后再将ess向量分别和X的20个行向量绘图。即可直观的看出充分小的扰动值会产生非常大的偏差。即证明了这个问题的病态性。 b．编写程序： >> X=zeros(20,50); >> ve=zeros(1,21); >> ess=linspace(0,,50);k=1; >> while k<=50 ve(2)=ess(k); X(1:20,k)=roots(poly(1:20)+ve); k=k+1; end >> m=1; >> while m<=20 figure(m),plot(ess,X(m,:)); 数值分析 实验一 一、实验目的 熟悉MATLAB 编程。 学习线性方程组数值解法的程序设计算法。 二、实验题目 1.给定线性方程组 （a ）用LU 分解和列主元消去法求解。输出A=LU 的分解的L 和U ，detA 以及解向量x 。 （b ）将2.099999改为2.1，5.900001改为5.9.用列主元消去法求解。输出detA 及解向量 x ，并与（a ）的结果比较。 2。线性方程组Ax=b 的A 及b 为 10 7 8 9 32 7 5 6 5 23 A= 8 6 10 9 b= 33 7 5 9 10 31 则解x=（1,1,1,1）T 用MATLAB 内部函数求detA 及A 的所有特征值和cond （A ）2。若令 ????????????=????????????????????????----15900001.582012151526099999.2310 7104321x x x x 10 7 8.1 7.2 A+δA= 7.08 5.04 6 5 8 5.98 9.89 9 6.99 5 9 9.98 求解（A+δA ）（x+δx ）=b,输出向量δx 和2 从理论结果和实际计算两方面分析线性方程组Ax=b 解的相对误差2 及A 的相对误差2 的关系。 三、实验原理与理论基础 1.本题用LU 分解法及列主元高斯消去法 LU 分解法原理： 解Ax=b 相当于解两个三角方程，即 Ly=b,Ux=y 分解求出x 和y 。 列主元消去法原理： 利用逐次消去未知数的方法，把线性方程组 Ax=b 化为与其等价的三角形线性方程组，求解线性方程组的方法可用回代的方法求。 2.本题通过 计算式： ) ()()(min max 2122T T AA A A A A A cond λλ==- 来计算A 的谱子条件数。 四、实验内容 1.解： （a ）LU 分解法： 程序如下： function [ x ] = zhijiejiefangcheng( A,b ) 数值分析实验报告 姓名：周茹 学号： 912113850115 专业：数学与应用数学 指导老师：李建良 线性方程组的数值实验 一、课题名字：求解双对角线性方程组 二、问题描述 考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组（以n=7为例） ?????????? ?????? ? ???? ?d a d a d a d a d a d a d 766 55 44 3 32 211??????????????????????x x x x x x x 7654321=?????????? ? ???????????b b b b b b b 7654321 写出一般的n （奇数）阶方程组程序（不要用消元法，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组） 。 三、摘要 本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法，该算法适用于任意三对角方程组的求解。 四、引言 对于一般给定的d Ax =，我们可以用高斯消去法求解。但是高斯消去法过程复杂繁琐。对于特殊的三对角矩阵，如果A 是不可约的弱对角占优矩阵，可以将A 分解为UL ，再运用追赶法求解。 五、计算公式（数学模型） 对于形如????? ?? ????? ??? ?---b a c b a c b a c b n n n n n 111 2 2 2 11... ... ...的三对角矩阵UL A =，容易验证U 、L 具有如下形式： ??????? ????? ??? ?=u a u a u a u n n U ...... 3 3 22 1 ， ?? ????? ? ?? ??????=1 (1) 1132 1l l l L 比较UL A =两边元素，可以得到 ? ?? ??-== = l a b u u c l b u i i i i i i 111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T n x x x x ... 2 1 = ,()T n f f f f ... 2 1 = 令y Lx =，则有 f Uy = 于是有 ()?????-== --u y a f y u f y i i i i i 1 1 11 1 * i=2， 3, ... ,n 再根据y Lx =可得到 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 内容包括： 实验题目1：算法的数值稳定性实验 实验题目2：LU分解实验 实验题目3：三次样条插值外推样条实验 实验题目4：第二类Fredholm 积分方程实验实验题目5：M级显式R_K法 实验题目：算法的数值稳定性实验 实验内容：计算积分()1 0()d 1515n x I n x a x ==+? (n=1,2,…,20) 易得到下面递推公式 ()()1 1I n aI n n =--+ 并有估计式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++ 计算方法： 算法一:采用下面递推公式计算: ()()1 1I n aI n n =--+ ()1,2,,20 n = 取初值()116 0ln ln 15a I a +== 算法二: 采用下面递推公式计算: ()()111I n I n a n ??-= -+???? ()20,19,,1 n = 结果分析：（分析哪个好哪个不好，原因是什么） 我觉得算法二比较好, 原因一:根据式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++得知,I(n)不可能小于 零,而算法一的计算结果有部分结果小于零。原因二:对算法一记初始误差 ε0=/I 0-I(0)/>0; 则εn =/I n -I(n)/=a/I n-1-I(n-1)/=a n *ε0 由此可知,当n=20时, ε20把ε0放大了a 20倍，其结果造成严重的。 而对于算法二^ ^ 11n n a εε-= ,…, ^ ^ 01 n n a εε=,尽管有初始误差^ 20ε,但随着计算的进程,这个误差的影响不断减小。 附：源程序：（把源程序附上） 算法一程序: >> format long >> a=15;I=log(16/15); for n=1:20 n I=-a*I+1/n end 算法二程序: >> format long >> a=15;I=31/10080; >> for n=20:-1:1 n I I=1/a*(-I+1/n); End 学生实验报告实验课程名称 开课实验室 学院年级专业班 学生姓名学号 开课时间至学年学期 if(A(m,k)~=0) if(m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); %换行 end A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); %消去end end x=zeros(length(b),1); %回代求解 x(n)=A(n,c)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end y=x; format short;%设置为默认格式显示,显示5位 （2）建立MATLAB界面 利用MA TLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组： 详见程序。 五、计算实例、数据、结果、分析 下面我们对以上的结果进行测试，求解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 7 2 5 10 13 9 14 4 4 3 2 1 13 12 4 3 3 10 2 4 3 2 1 x x x x 输入数据后点击和，得到如下结果： 更改以上数据进行测试，求解如下方程组： 1 2 3 4 43211 34321 23431 12341 x x x x ?? ???? ?? ???? ?? ???? = ?? ???? - ?? ???? - ???? ?? 得到如下结果： 数学与统计学院 数 学 综 合 实 验 报 告 班级：2013级数学三班姓名：康萍 数 值 计 算 一、实验目的 本实验通过介绍Mathmatca 的数值计算功能，它的特点是准确计算与数值计算相结合，能够通过可选参数提高计算精度，学习包括数据的拟合及插值、数值积分与方程的近似解、极值问题、最优化与数理统计方面的内容。 二、实验环境 基于Windows 环境下的Mathematica7.0软件与Mathematica9.0软件。 三、实验的基本理论和方法 1、 Mathmatica 提供了进行数据拟合的函数： Fit[data,funs,vars] 对数据data 用最小二乘法求函数表funs 中各函数的一个线性组合作为所求的近似解析式，其中vars 是自变量或自变量的表。 Fit[data, { }x ,1, x ] 求形如bx a y +=的近似函数式。 Fit[data, { }2,,1x x , x ] 求形如2cx bx a y ++=的近似函数式。 Fit[data, { }xy y x ,,,1, {}y x ,] 求形如dxy cy bx a y +++=的近似函数式。 2、 函数InterpolatingPolynomial 求一个多项式，使给定的数据是准确的函数值，其调用格式如下： InterpolatingPolynomial[{ ,,21f f },x] 当自变量为1，2，…时的函数值为 ,,21f f 。 InterpolatingPolynomial[{ ),,(),,(2211f x f x },x] 当自变量为i x 时的函数值为i f InterpolatingPolynomial[{}}},,,,{,{1111 ddf df f x ,x] 规定点i x 处的函数值。 3、 求定积分的数值解有两种方法： 使用N[Integrate[f,{x,a,b}],n]或使用NIntegrate[f,{x,a,b}]前者首先试图求符号 数值分析实验（2014,9,16~10,28） 信计1201班，人数34人 数学系机房 数值分析 计算实习报告册 专业 学号 姓名 2014~2015年第一学期 实验一 数值计算的工具 Matlab 1.解释下MATLAB 程序的输出结果 程序： t=0.1 n=1:10 e=n/10-n*t e 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0 -1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 0 2.下面MATLAB 程序的的功能是什么？ 程序： x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值 x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),end 用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>X x=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X 3.考虑下面二次代数方程的求解问题 02=++c bx ax 公式a ac b b x 242-+-=是熟知的，与之等价地有a c b b c x 422-+-=，对于 1,100000000,1===c b a ，应当如何选择算法。 应该用a ac b b x 242-+-=计算，因为b 做分母 4.函数)sin(x 有幂级数展开...! 7!5!3sin 7 53+-+-=x x x x x 利用幂级数计算x sin 的MATLAB 程序为 function s=powersin(x) s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t ； t=-x^2/（(n+1)*(n+2)）*t ； n=n+2； end t1=cputime; pause(10); t2=cputime; t0=t2-t1 (a)解释上述程序的终止准则。 当s+t=s ，终止循环。 (b)对于2/21,2/11 ,2/πππ=x 计算的进度是多少？分别计算多少项？ X=pi/2时，s =1.0000 x=11pi/2时，s=-1.0000 x=21pi/2时，s =0.9999 Cputime 分别是0.1563 0.0469 0.0156 5.考虑调和级数∑∞ =11 n n ，它是微积分中的发散级数，在计算机上计算该级数的部 分和，会得到怎么样的结果，为什么？ function s=fun(n) s=0; t=1/n; for i=1:n s=s+1/i; end 当n=100时s =5.1874 当n=80时s =4.9655 当n=50时，s =4.4992 当n=10时，s =2.9290 6.指数函数的级数展开...! 3!213 2++++=x x x e x ，如果对于0 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以 实验报告 实验项目名称 估计水塔的水流量 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导教师 成绩 一、实验目的 （1）学会对实际问题的分析方法 （2）学会利用所学的知识解决实际问题 （3）设计出相应的算法，编制相应的应用程序 二、实验内容 某居民区，其自来水是有一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m ，塔的直径为17.4m ，水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次。按照设计，当水塔中的水位降低至最低水位，约8.2m 时，水泵自动启动加水。当水位升至最高水位，约10.8m 时，水泵停止工作。 下表给出了某一天的测量记录，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，由3个时刻无法测量到水位（表中为—）。 试建立数学模型，计算居民的用水速度和日总用水量。 三、实验原理、方法（算法）、步骤 时刻 0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 水位 9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814. 8.686 时刻 7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.945 12.032 水位 8.525 8.388 8.220 — — 10.820 10.500 时刻 12.954 13.875 14.982 15.903 1 6.826 1 7.931 19.037 水位 10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 时刻 1 9.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908 水位 8.433 8.220 — 10.820 10.591 10.354 10.180 实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = 数值分析实验(2) 实验二 插值法 P50 专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907 一、实验目的 1、熟悉MATLAB 编程； 2、学习插值方法及程序设计算法。 二、实验题目 1、已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式()4P x 及三次样条函数()S x （自然边界条件）对数据进行插值用图给出(){},,0.20.08,0,1,11,10i i i x y x i i =+=，()4P x 及()S x 。 2、在区间[]1,1-上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数()2 1125f x x = +作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 3、下列数据点的插值 可以得到平方根函数的近似，在区间[]0,64上作图 （1）用这9个点作8次多项式插值()8L x （2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 从得到结果看在[]0,64上，哪个插值更精确；在区间[]0,1上，两种插值哪个更精确？ 三、实验原理与理论基础 1、拉格朗日差值公式 )()(111k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++ 点斜式 k k k k k k k k x x x x y x x x x y x L --+--=++++11111)( 两点式 2、n 次插值基函数 ....,2,1,0,)()(0n j y x l y x L i j n k k k j n ===∑= n k x x x x x x x x x x x x x l n k n k k k k k ,...,1,0,) () (... ) () (... ) () ()(1100=------= -- 3、牛顿插值多项式 ...))(](,,[)](,[)()(102100100+--+++=x x x x x x x f x x x x f x f x P n ))...(](,...,[100---+n n x x x x x x f )(],...,,[)()()(10x x x x f x P x f x R n n n n +=-=ω 4、三次样条函数 若函数],,[)(2b a C x S ∈且在每个小区间],[1+j j x x 上是三次多项式，其中， b x x x a n =<<<=...10是给定节点，则称)(x S 是节点n x x x ,...,,10上的三次样条函数。若在节点j x 上给定函数值),,...,2,1,0)((n j x f y j i ==并成立,,...,2,1,0,)(n j y x S i j ==则称)(x S 为三次样条插值函数。 5、三次样条函数的边界条件 （1）0)()(''''''00''====n n f x S f x S （2）'''00')(,)(n n f x S f x S == 四、实验内容 1、M 文件： function [p]=Newton_Polyfit(X,Y) format long g r=size(X); n=r(2); M=ones(n,n); M(:,1)=Y'; for i=2:n 数值计算方法论文 论文名称：数值计算方法期末总结 学号： 姓名： 完成时间： 摘要：数值计算方法是数学的一个重要分支，以用计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。本文是我对本学期数值分析这门课程中所学到的内容以及所作的工作的总结。通过一学期的学习，我深入学习了线性方程组的解法，非线 性方程的求根方法，矩阵特征值与特征向量的计算，函数的插值方法，最佳平方逼近，数值积分与数值微分，常微分方程初值问题的数值解法。通过陶老师课堂上的讲解和课下的上机训练，对以上各个章节的算法有了更深刻的体会。 最后做了程序的演示界面，使得程序看起来清晰明了，便于查看与修改。通过本学期的学习。 关键词：数值计算方法、演示界面 第一章前言 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 第二章基本概念 2.1算法 算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 2.2 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表2.1 表2.1 第三章泛函分析 2.1泛函分析概要 泛函分析（Functional Analysis）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映射）的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间。如：距离空间，赋范线性空间，内积空间。 2.2 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。 这里以Cn空间为例，Rn空间类似。最常用的范数就是p-范数。若 ，那么 当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数：║x║2=（│x1│2+│x2│2+…+│xn│2）1/2 ∞-范数：║x║∞=max（│x1│，│x2│，…，│xn│） 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式：║x║∞≤ ║x║2≤ ║x║1≤ n1/2║x║2≤ n║x║∞ 另外，若p和q是赫德尔（Hölder）共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式： |Matlab作业3(数值分析)答案
数值分析实验报告1
数值分析实验报告176453
数值分析实验指导2012
数值分析实验报告1
《MATLAB与数值分析》第一次上机实验报告
数值分析实验题
数值分析试验一
数值分析实验一
数值分析实验报告
(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告
数值分析实验题目及解答
数值分析实验报告
综合实验数值计算
数值分析实验2014
数值分析实验报告总结
数值分析实验报告
数值分析实验报告1
数值分析实验(2)word版本
数值分析期末实验报告
相关主题
文本预览