两条直线的位置关系判断方法
设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0
l a x b y c l a x b y c ++=++=
一．行列式法 记系数行列式为1122,a b D a b =1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-
1l 和2l 相交?0D ≠ 1221b a b a ≠?
1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠
1l 和2l 重合?0===x y D D D
二．比值法
1l 和2l 相交?2
121b b a a ≠()0b ,a 22≠； 1l 和2l 垂直?0b a b a 2211=+；
1l 和2l 平行?212121c c b b a a ≠=
()0c ,b ,a 222≠；
1l 和2l 重合?2
12121c c b b a a ==()0c ,b ,a 222≠
三．斜率法
111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠ ；
12l l ?与平行2121b b k k ≠=，
12l l ?与重合2121b b k k ==，；
12l l ?与垂直-1.=21k k ;
特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；
（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；
（3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在；
（4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；
例题分析
1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ B ）
A.平行的两条直线的斜率一定相等
B.平行的两条直线倾斜角相等
C.两直线平行的充要条件是斜率相等
D.两直线平行是他们在y 轴上截距不相等的充分条件
分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；
C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；
D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；
2、若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a 1，a 2，斜率分别为k 1，k 2，则下列命题
（1）若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； （2）若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2；
（3）若l 1∥l 2，则倾斜角a 1=a 2；（4）若倾斜角a 1=a 2，则l 1∥l 2；
其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（ C ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l 2为两条不重合的直线
3、已知两条不重合的直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题： ①若sin α1=sinα2，则l 1∥l 2
②若cos α1=cosα2，则l 1∥l 2
③若l 1⊥l 2，则tan α1?tanα2=﹣1
④若l 1⊥l 2，则sin α1sinα2+cosα1cosα2=0
其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ）
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．①②③④
分析：①sin α1=sin α2， 可知α1=α2 或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π0，，所以不一定推出；
②cos α1=cos α2 ,可知 α1=α2 ，因为倾斜角α1,α2的范围[)π0，，所以可以推出； ③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =2
π，致使斜率不存在； ④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，
下证，不妨设α1=π，α2 =2
π，此时也成立； 4、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记3
k 2k )2k (3D -+-=.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的…………………………… ( A )
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件 ；
C ．充要条件;
D ．既不充分也不必要条件
5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）
A. 1a =-；
B. 12
=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论
当0a =时，1:2=l x ；2:1=l y ，此时垂直，不满足条件，舍去
当1a -=时，1:0-=l x y ；2:0-=l y x ，此时重合，舍去
当10a -，≠时，12122111
+?=≠?=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=）（1a =?
类似也可以用斜率法，此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况
6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1b
a -=是21l l ⊥的………………………………（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：?⊥21l l 0
b a =+
7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（ C ）
A.充分不必要条件;
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 分析：(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母)
直线ax+2y=0平行于直线x+y=1? 10121a ≠=2a =? 8.已知直线()0
1m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+--
(1)m 为___1m ≠且98m ≠-__时，21l l 与相交；
(2)m 为__6- __时，21l l 与垂直；
分析：直线方程含有参数m ，故必须保证这个方程表示的是直线（y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m
(1)21l l 与相交?98≠-m ; (2)21l l 与垂直?6=-m
9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=，则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____
①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x 轴围成直角三角形；
分析：①如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是2αsin ≠ ②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时12αsin -=?，6
π5α= ③由第②问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与x 轴围成直角三角形，因为只要有一个角是直角就可以啦；
10、若直线l 1：2x+（m+1）y+4=0与直线l 2：mx+3y ﹣2=0平行，则m 的值为（ C ）
A ．﹣2
B ．﹣3
C ．2或﹣3
D ．﹣2或﹣3
分析：同第5题
11、已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是…………………………………………（ B ）
A ． 无论k ，P 1，P 2如何，总是无解
B ． 无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解
C ． 存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解
D ． 存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解 分析：此时使用行列式法，否则用其他方程需要讨论，因为要保证使用条件，故下面只需要先判断1221b a b a -是否为0
证： 因为 P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点并且直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a 1≠a 2，并且b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，
∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 2 (ka 1+1)-a 1 (ka 2+1)=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1
∴方程组有唯一解．
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