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考点22 不等关系和基本不等式
【高考再现】
热点一 不等关系与不等式
1.(2012年高考辽宁卷理科12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）
(A)2
1x
e x x ++ (2)
1112
4
1x x x
<-
+
+
(C)2
1cos 12
x x -… (D)2
1ln(1)8
x x x +-
…
2.(2012年高考全国卷理科9)已知12
5ln ,log 2,x y z e
π-===，则（ ）
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y z x <<
3. (2012年高考安徽卷理科15)设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____
①若2
ab c >；则3
C π
<
②若2a b c +>；则3
C π
<
③若3
3
3
a b c +=；则2
C π
<
④若()2a b c ab +<；则2
C π
>
⑤若22222
()2a b c a b +<；则3
C π
>
【答案】①②③
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4.(2012年高考湖北卷文科9)设a,b,c,∈ R,,则 “abc=1a
b
+
c
a b c ≤++”
的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要的条件 【答案】A
【解析】若 “abc=1”,a
b
c
bc ac ab a b c +≤++,故是充分条件;
反之,不成立.
5.(2012年高考湖南卷文科7)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①
c a
＞
c b
；② c a ＜c
b ； ③ log ()log ()b a a
c b c ->-；
其中所有的正确结论的序号是__.
A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
6.(2012年高考重庆卷文科7)已知2log 3log 3a =+，
2log 9log 3b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是
（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】B
【解析】222213log 3log log 3log 3log 32
2
a =+=+
=
，
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222213log 9log
2log 3log 3log 32
2
b =-=-
=
，2322log 21log 2log 3
log 3
c ==
=
，
则a b c =>.
7.(2012年高考天津卷文科4)已知a=21.2
，b=
()
12
-0.2
，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为
（A ）c b 【方法总结】 (1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． (2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题. 热点二 基本不等式 8.(2012年高考浙江卷文科9)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A. 245 B. 285 C.5 D.6 9. (2012年高考陕西卷文科10)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a ab ab C. ab 2 a b + D.v= 2 a b + 【答案】 A. 2 222, 11222,,. 2S ab S v ab S S a b ab a b a b ab a a b v a a v A a b a = = < =++ +<∴= >=∴<<+ 解析：设从甲地到乙地所走路程为，则= 10.(2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（ ） https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： A ．)0(lg )4 1lg(2>>+ x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x x x ∈≠≥+ π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(11 12 R x x ∈>+ 【方法总结】 利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值. 【考点剖析】 一．明确要求 1.结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二．命题方向 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命题的热点．着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、低档．考查题型多为选择、填空题. 2.利用基本不等式求最值是命题热点．客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．各种题型都有，难度中、低档. 三．规律总结 一个技巧 作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法 待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 两条常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0?1a ＜1 b ； ②a ＜0＜b ?1a ＜1 b ； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ?a c ＞b d ； ④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0?1b ＜1x ＜1 a . (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质： b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质： a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)． 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ＞0)等．还 要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋ b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2 1a ＋1 b (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 【基础练习】 1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ?ac 2＞bc 2；②a ＞|b |?a 2＞ https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 全品高考网 https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, b 2；③a ＞b ?a 3＞b 3；④|a |＞b ?a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞ ) 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2 . 答案 A 4．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )． A ．ad ＞bc B ．ac ＞bd C ．a －c ＞b －d D ．a ＋c ＞b ＋d 解析 由不等式性质知：a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d . 答案 D 5. 12－1 与3＋1的大小关系为________． https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 【名校模拟】 一．基础扎实 1.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)已知点),(n m A 在直线 012=-+y x 上，则n m 42 +的最小值为 . 2.(七校联考 数学试卷文)若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b +=，则m 的值 为 . 答案：25解析:在25a b m ==取对数得：11log 2, log 5m m a b ==，0m > 又 212a b +=∴log 202m =2 20m ∴=25m ∴= 3.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)设x ，y 为实数，若4x 2 ＋y 2 ＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是 . 4. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)已知实数1,0,0=>>xy y x ，则))((x x y y y x ++的最小值为____________； https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 5.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知0t >，则函数2 41 t t y t -+=的最 小值为 ____________ . 二．能力拔高 6.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)若x ，y > 0，且12=+y x ，则 )41)(1(y y x x ++的最小值是 A ． 2 25 B ．4 25 C ．8 25 D ．16 25 7.(浙江省2012届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)设实数x 、y 满足：3501020x y x y x ++≥?? +-≤??+≥? ， https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 则24x y z =+的最小值是 A ． 14 B ． 12 C ．1 D ． 8 8.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试）函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则n m 21+ 的最小值 等于（ A.16 B.12 C.9 D. 8 9.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)已知11,2 21 x y x x <=+ -则函数的最大值 为 。 三．提升自我 10.（2012理科数学试卷）已知实数x、y满足 20 50 40 x y x y y -≤ ? ? +-≥ ? ?-≤ ? ，若不等式222 ()() a x y x y +≥+ 恒成立，则实数a的最小值是 (A) 25 17 (B) 8 5 (C) 9 5 (D) 2 https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 11.(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则 191 9 c a + ++的最大值为 12.(襄阳五中高三年级第一次适应性考试文)已知0,0x y >>，若m m y x x y 2822 +>+ 恒成 立，则实数m 的取值范围是____ 答案：42m -<< 解析：由题意得， 28282 8y x y x x y x y +≥?=，当且仅当 28y x x y = 等号是成立的， 要使得 m m y x x y 2822+>+ 恒成立，则2 2 28280m m m m + 解得42m -<<。 【原创预测】 https://www.doczj.com/doc/9b9319716.html, 010-******** 58818068 全品高考网邮箱： 1.若实数a,b,c 满足222 ,2222 a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值是 . 2.若不等式22 |log | 11 | |2 ,(,2)2 x x a x x -+≥∈上恒成立，则实数a 的取值范围为 _ _
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