（第4题）
期末检测试题 高一数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：
棱锥的体积13
V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．
方差222
2
12()()()n x x x x x x s n
-+-+
+-=
．
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线310x +=的倾斜角为（ ）
6A.
π
3
B.
π
23C.
π 56
D.
π
2. 已知ABC ?的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若0603A ,a ==，则b c
sinB sinC
++等于（ ）
1
2A.
3 3 2D.
3. 已知以()43C ,-为圆心的圆与圆2
21x y +=相内切，则圆C 的方程为
（ ）
()()22
4336A. x y -++=
()()22
4316B. x y ++-= ()()2
2
4336
C. x y ++-=
()()2
2
4316D. x y -++=
4. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为（ ）
.A
6
π
.B
4
π
.C
3
π
.
D 2
π
5. 若128,,,x x x 的方差为3，则1282,2,,2x x x 的方差为（ ）
63B. 6C. 12D. 6. 已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ） 5 42B. 15C. 8D.
7. 已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos a C b =，则ABC ?的形状一定是（ ）
.A 等腰直角三角形 .B 直角三角形 .C 等腰三角形 .D 等边三角形
（第15题）
8. 下列命题说法错误．．
的是（ ） .A 若a ∥α,b ⊥α，则a ⊥b .B 若α∥β α∩γ=a,β∩γ=b ，则a ∥b .C 若α∥β,a ⊥α，则a ⊥β .D 若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β
9．在ABC ?中，点D 在边BC 上，且满足AD =BD =2CD ，3tan 2B ?2tan A +3=0，则∠B 的大小为（ ）
.
A 6π
.B
3π
.C
4π
.D
512
π
二、多项选择题（本大题共3小题．每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）．
10. 已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形，有两解的是 （ ）
.A 22120a ,b ,B === .B 2345a ,b ,B ===
.C b =3,c =√3,B =60° .D a =2√3,b =√10,B =60°
11. 已知直线l 与圆22240C :x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为
()01M ,，
则实数a 的取值可为（ ）
1A. 2B. 3C. 4D.
12. 如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 为矩形，6AP =，AB a =.若在直线BC 上存在 两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为
3
π
.
则实数a 的值为（ ）
1A. 2B. 3C. 4D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为____ ______.
14. 已知点(1,3)A 与直线:l 340x y ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为_ ____.
15. 如图，为测量两座山顶之间的距离MC ，已知山高52BC km =， 75MN .km =，从观测点A 分别测得M 点的仰角30,MAN ∠= C 点的仰角45CAB ∠=?以及60MAC ∠=?，则两座山顶之间的
距离MC =___ _____km ．
(第12题)
16. 如图，三棱锥B ACD -中，平面BCD ⊥平面ACD ，CD =6,∠BDC =600，若BC =√3BD ，AC =2AD ，
则该三棱锥的体积的最大值为____________.
四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）
已知ABC ?的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，2cos A (c cos B +b cos C )=a （1）求角A ；
（2）若23a =，ABC ?的面积为3，求ABC ?的周长.
18. （本小题满分12分）
已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点()10E ,，AD 边所在直线的方程为220x y ++=．点()21F ,-在AB 边所在直线上.求：
（1）AB 边所在直线的方程； （2）CD 边所在直线的方程．
（第16题）
19. （本小题满分12分）
某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组
[]80,100，得到频率分布直方图，如图所示．
（1）求所打分数不低于60分的患者人数； （2）该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率．
20. （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC a ===，2
ACB π
∠=，点D 为BC 中
点,
连接1A C 、1AC 交于点E ，点F 为1DC 中点. （1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：平面1A CB ⊥平面1AC D ； （3）求点C 到平面1AC D 的距离.
21. （本小题满分12分）
如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于C,D.已知ACD
?为正三角形.当目标出现于B时，测得1
BD=千米.
BC=千米，2
（1）若测得60
∠=，求ABC
DBC
?的面积；
（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？
22.（本小题满分12分）
已知圆2221:()(0)C x a y r r -+=>，圆心1C 在直线240x y ++=上，且直线
40x ++=被圆1C 截得的弦长为.
（1）求圆1C 的方程；
（2）过圆222:(6)4C x y -+=上任一点()00,Q x y 作圆1C 的两条切线, 设两切线分别与y 轴交于点M 和N ,求线段MN 长度的取值范围.
期末检测试题 高一数学参考答案
一、单项选择题
1.A
2.D
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.C 二、多项选择题
10.BD 11.AB 12.ABC 三、填空题
13. 0.8 14.(5,1)- 15.
16.四、解答题
17. 解（1）由已知及正弦定理得:()2cos A sinC cos B sinBcosC sin A +=
()2cos Asin B C sin A
∴+=
…………………2分
在ABC ?中，()()sin B C sin A sin A π+=-=
∴
2cos Asin A sin A =
sin A ≠
1
2cos A ∴=
…………………3分
()
0C ,π∈
3A π
∴∠=
…………………4分
（2）
1
2
ABC S bc sin A ?=
∴
1sin 23
bc π
=
4bc ∴= …………………6分
由已知及余弦定理得:22
122b c bc cos A =+-
()2
1222cos
3
b c bc bc π
∴=+--
b c ∴+= …………………9分
∴ABC ?的周长为 …………………10分
18. 解（1）
ABCD 为矩形 AD AB ∴⊥
AD 边所在的直线方程为：220x y ++=
∴AB 所在直线的斜率为
1
2
AB k =
…………………2分 ()21F ,-在AB 边所在直线上．
∴ AB 边所在直线的方程为：()1
122
y x +=
- 即240x y --= .…………………4分 （2）方法一：
ABCD 为矩形 ∴ AB
CD
∴ 设直线CD 的方程为
20x y m -+= .………………6分
由矩形性质可知点E 到AB 、CD
= ……………8分
解得2m =或4m =-(舍)． ……………10分
∴ CD 边所在的直线方程为
220x y -+= …………………12分
方法二：
由方程240x y --=与220x y ++=联立得
()02A ,-， …………………7分
∴ 关于E 的对称点()22C
, .………………10分
AB CD ，∴ CD 边所在的直线方程为
220x y -+= .………………12分
19. 解（1）由直方图知，所打分值[)60100,的频率为
00175200015020065...?+?=，………………2分
∴ 人数为10006565.?=（人）
答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人． ………………4分
（2）由直方图知，第二、三组的频率分别为0.1和0.2，则第二、三组人数分别为10人和20人，所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1:2，则第二组有2人，记为,A B ；第三组有4人，记为
,,,a b c d . ………………8分
从中随机抽取2人的所有情况如下：
,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15种 ………10分
其中，两人来自不同组的情况有：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共8种
∴ 两人来自不同组的概率为
8
15
答：行风监督员来自不同组的概率为8
15
. …………12分
20. 证明：
直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ACC A 为平行四边形
E ∴为
1AC 的中点
F 为1DC 的中点 EF AD ∴
又
EF ?平面ABC ,AD ?平面ABC ，∴EF 平面ABC ……………2分
（2）
四边形11ACC A 为平行四边形，1AC CC =
∴平行四边形11ACC A 为菱形，即1
1AC AC ⊥ ………………3分 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱
∴1C C ⊥平面ABC
BC ?平面ABC ∴1C C ⊥BC , 2
ACB π
∠=
BC AC ∴⊥
BC 1C C ⊥，1C C
AC C =，1,C C AC ?平面11ACC A
BC ∴⊥平面11ACC A .………………5分 1AC ?平面11ACC A BC ∴⊥1AC 1
1AC AC ⊥，1BC AC C =，,BC 1A C ?平面1ACB 1AC ∴⊥平面1
ACB …… 7分
1AC ?平面1AC D ∴ 平面1AC D ⊥平面1
ACB …………8分 （3）法一：（等体积法）连接DE ，设点C 到平面1AC D 的距离为h 1C C ⊥平面ABC ，CA,CD ?平面ABC
11C C CA,C C CD ∴⊥⊥，1C C 为三棱锥1C ACD -高
在直角1C CA ?中，12AC CC a ==，122AC a ∴=. 在直角1C CD ?中，12CD a,CC a ==，15CD a ∴=
在直角ACD ?中，2CD a,AC a ==，5AD a ∴=，2ACD S a ?∴=
在等腰1AC D ?中，11522DA DC a,AC a ===，3DE a ∴=，126DAC S a ?∴= 11C ACD
C AC
D V V --= 1
111
33ACD AC D C C S h S ??∴??=?? 2266h a a
== ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为
6
a ………12分 方法二：（综合法）作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H . 1C C ⊥平面ABC ，AD ?平面ABC
1C C AD ∴⊥
CG AD ⊥，1CG
C C C =，1CG,C C ?平面1C CG
AD ∴⊥平面1C CG
CH ?平面1C CG
AD CH ∴⊥ 1CH C G ⊥，1AD
C G G =，1C G,A
D ?平面1AC D
CH ∴⊥平面1AC D 即CH 为点C 到平面1AC D 的距离 ……10分
在直角ACD ?
中，CG =
；在直角1C CG ?
中，12C C a,CG ==
，
11C C CG
CH C G
?∴=
=
=
∴ 点C 到平面1AC D
.………………12分
21. 解（1）在BCD ?中，根据余弦定理得：2222CD BC BD BD BC cos DBC =+-??∠， 21423CD ∴=+-= …………2分 222BD CD BC =+2
BCD π
∴∠=
11223ABC S sin ππ???
∴=
?+= ???
………4分 （2）设CBD ,CDB αβ∠=∠= 在BCD ?中，254CD cos α=-，1CD
AD sin sin sin sin βαβα
=?=
………………6分
在ABD ?中，22223AB BD AD BD ADcos πβ?
?=+-?+ ???
………8分
942cos AD cos sin αββ=--
+942cos αα=--
94cos αα=--(
)9422cos cos ααα=---+
5496sin πα?
?=+-≤ ??
?（当且仅当23πα=时，AB 取到最大值） …………10分
∴ max 3AB =4<,在射程范围内.
答：目标B 在我方炮火射程范围内. ……12分 22. 解（1）圆心()1,0C a 在直线240x y ++=上 2a ∴=- ……1分
圆心1C
到直线40x ++=
的距离1d =
∴
直线40x ++=被圆1C
截得的弦长为=2r =………3分 ∴圆1C 的方程22(2)4x y ++= ………………4分
（2）设过点Q 的圆1C 的切线方程为()00y k x x y =-+
2=，
整理、化简成关于k 的方程()
()222
00000044240x x k y x y k y +-++-=，① 判别式()()()2
222200000000042444161664y x y y x x x y x ?=+--+=++，
0024k x x ∴=
+. …………8分
直线()00y y k x x -=-与y 轴的交点为()000,y kx -
设()()0100200,,0,M y k x N y k x --，则210MN k k x =-，而21,k k 是方程①的两根，则
2100MN k k x =-，又()2
2
0064x y -+=，
[])0
00||4,8MN x ∴=
=
∈. …………10分
()
t t =∈，21616
||6
6t MN t t t
==++ 由于函数6t t
+
在区间
是单调递减，所以max min |||MN MN =
?∴∈?
?…………12分
MN